公開課教案教學(xué)設(shè)計(jì)課件數(shù)學(xué)歸納法

PAGE2.3數(shù)學(xué)歸納法課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：理解數(shù)學(xué)歸納法原理及其本質(zhì)，掌握它的基本步驟與方法．能較好地理解“歸納奠基”和“歸納遞推”兩者缺一不可。二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：提出問題：?jiǎn)栴}1：前面學(xué)習(xí)歸納推理時(shí)，我們有一個(gè)問題沒有徹底解決．即對(duì)于數(shù)列，已知，(n=1,2,3…)，通過對(duì)n=1,2,3,4前4項(xiàng)的歸納，猜想出其通項(xiàng)公式，但卻沒有進(jìn)一步的檢驗(yàn)和證明．問題2：大家玩過多米諾骨牌游戲嗎？這個(gè)游戲有怎樣的規(guī)劃？(多媒體演示多米諾骨牌游戲)這是一個(gè)碼放骨牌游戲，碼放時(shí)保證任意兩相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下．只要推倒第一塊骨牌，就必然導(dǎo)致第二塊骨牌倒下；而第二塊骨牌倒下，就必然導(dǎo)致第三塊骨牌倒下…最后，不論有多少塊骨牌都能全部倒下．討論問題：?jiǎn)栴}1、問題2有什么共同的特征？其結(jié)論成立的條件的共同特征是什么結(jié)論成立的條件：結(jié)論對(duì)第一個(gè)值成立；結(jié)論對(duì)前一個(gè)值成立，則對(duì)緊接著的下一個(gè)值也成立．上面兩個(gè)條件分別起怎樣的作用？它們之間有怎樣的關(guān)系？我們能否去掉其中的一個(gè)？你能舉反例說明嗎？在上述兩個(gè)條件中，第一個(gè)條件是歸納遞推的前提和基礎(chǔ)，沒有它，后面的遞推將無從談起；第二個(gè)步驟是核心和關(guān)鍵，是實(shí)現(xiàn)無限問題向有限問題轉(zhuǎn)化的橋梁與紐帶．如在前面的問題1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似簡(jiǎn)單，但卻是不可缺少的．而第二步顯然更加不可缺少．這一點(diǎn)在多米諾骨牌游戲中也可清楚地看出．解決問題：由上，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值()時(shí)命題成立；(2)假設(shè)n=k(k≥,)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．由以上兩個(gè)步驟，可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，它是證明與正整數(shù)n(n取無限多個(gè)值)有關(guān)、具有內(nèi)在遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)命題的重要工具．三、提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確。（2）初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理。（3）理解和記住用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟。（4）初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式。二、學(xué)習(xí)過程：例1、證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式：解析：（1）讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和合理性；（2）掌握從到時(shí)等式左邊的變化情況。證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立,即,則=,即n＝k＋1時(shí)等式也成立由（1）、（2）可知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)任何n∈都成立．點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，要注意以下三句話：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。變式訓(xùn)練1.在數(shù)列{}中,＝1,(n∈),先計(jì)算，，的值，再推測(cè)通項(xiàng)的公式,最后證明你的結(jié)論．例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明()．解析：（1）進(jìn)一步讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和合理性，從而從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)；（2）掌握從到時(shí)等式左邊的變化情況，合理的進(jìn)行添項(xiàng)、拆項(xiàng)合并項(xiàng)等。證明：（1）時(shí)：左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立。

∴當(dāng)時(shí)等式也成立。

由（1）、（2）可知，對(duì)一切

，原等式均成立點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，要注意以下三句話：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。變式訓(xùn)練2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．反思總結(jié)：1．歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明；2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，用于證明一些與正整數(shù)有關(guān)數(shù)學(xué)命題，它的基本思想是遞推思想，它的證明過程必須是兩步，最后還有結(jié)論，缺一不可；3．遞推歸納時(shí)從到，必須用到歸納假設(shè)，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q。注意明等式時(shí)第一步中時(shí)左右兩邊的形式，第二步中時(shí)應(yīng)增加的式子；第二步中證明命題成立是全局的主體，主要注意兩個(gè)“湊”：一是“湊”時(shí)的形式（這樣才好利用歸納假設(shè)），二是“湊”目標(biāo)式。當(dāng)堂檢測(cè)：1．觀察式子：，，，，則可歸納出式子為（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是，前n項(xiàng)和公式是課后練習(xí)與提高一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)為（）A.B.C.D.2．凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，凸n+1邊形對(duì)角線 的條數(shù)f(n+1)為（）A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-23．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式左邊（）A.增加了一項(xiàng)B.增加了一項(xiàng)C.增加了“”，又減少了“”D.增加了“”，又減少了“”二、填空題4．已知數(shù)列，計(jì)算得，由此可猜測(cè)_______．5．若f(k)=則=+_______．三、解答題6．由下列不等式：，，，，，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明．參考答案：1.C2.C3.C4.5.6．解：根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第個(gè)不等式，即一般不等式為：．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，，猜想成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，猜想也正確，所以對(duì)任意的，不等式成立．下課啦，咱們來聽個(gè)小故事吧:活動(dòng)目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對(duì)于我們來說是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動(dòng)過程：

1.主持人上場(chǎng)，神秘地說：“我讓大家猜個(gè)謎語，你們?cè)敢鈫幔俊贝蠹一卮穑骸霸敢?！?/p>

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請(qǐng)它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場(chǎng)說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會(huì)現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動(dòng)物可喜歡你了，沒有水我們會(huì)死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們?cè)缇涂菟懒?，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。

主持人：下面請(qǐng)聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對(duì)蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們，聽完了這個(gè)快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對(duì)莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對(duì)美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們?cè)撛鯓幼瞿兀?/p>

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護(hù)水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對(duì)，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)們看得可認(rèn)真了，知道了我們北京是個(gè)缺水城市，我們?cè)俨荒芾速M(fèi)水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對(duì)了請(qǐng)給點(diǎn)掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時(shí)把水龍頭開小點(diǎn)，請(qǐng)回答對(duì)不對(duì)。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請(qǐng)把手機(jī)借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個(gè)電話，告訴她做飯時(shí)別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個(gè)小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請(qǐng)看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學(xué)生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！?/p>

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個(gè)小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個(gè)同學(xué)太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動(dòng)關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會(huì)怎樣做呢？

齊：主動(dòng)關(guān)好。

小記者：同學(xué)們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會(huì)，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學(xué)，你好！通過參加今天的班會(huì)你有什么想法，請(qǐng)談?wù)労脝幔?/p>

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費(fèi)一滴水。

小記者：請(qǐng)這位同學(xué)談?wù)労脝幔?/p>

答：今天參加班會(huì)我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個(gè)人做起。我想把每個(gè)廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學(xué)們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學(xué)們?cè)僖姡?/p>

水跑上來說：同學(xué)們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請(qǐng)你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動(dòng)物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護(hù)我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動(dòng)物：小熊上場(chǎng)說：我代表動(dòng)物家族謝謝你了，我們也會(huì)保護(hù)你的！

花草樹木跑上場(chǎng)說：我們也不會(huì)忘記你的貢獻(xiàn)！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學(xué)們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因?yàn)槲姨吲d了，今后還請(qǐng)你們多關(guān)照我呀！

主持人：水伯伯，請(qǐng)放心，今后我們一定會(huì)做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學(xué)們，今天我們召開的班會(huì)非常生動(dòng)，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學(xué)們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會(huì)到此結(jié)束。

6.活動(dòng)效果：

此次活動(dòng)使學(xué)生明白了節(jié)約用水的道理，浪費(fèi)水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭(zhēng)做節(jié)水小標(biāo)兵

活動(dòng)目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對(duì)于我們來說是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動(dòng)過程：

1.主持人上場(chǎng)，神秘地說：“我讓大家猜個(gè)謎語，你們?cè)敢鈫?？”大家回答：“愿意！?/p>

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請(qǐng)它來?！?/p>

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場(chǎng)說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會(huì)現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動(dòng)物可喜歡你了，沒有水我們會(huì)死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們?cè)缇涂菟懒?，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。

主持人：下面請(qǐng)聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對(duì)蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們，聽完了這個(gè)快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對(duì)莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對(duì)美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們?cè)撛鯓幼瞿兀?/p>

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護(hù)水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對(duì)，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)們看得可認(rèn)真了，知道了我們北京是個(gè)缺水城市，我們?cè)俨荒芾速M(fèi)水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對(duì)了請(qǐng)給點(diǎn)掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時(shí)把水龍頭開小點(diǎn)，請(qǐng)回答對(duì)不對(duì)。

（2）（生）：小蘭告