高考數(shù)學(xué) 3.8 應(yīng) 用 舉 例練習(xí)試題

課時(shí)提升作業(yè)(二十三)應(yīng)用舉例(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.如圖所示,為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A,B間的距離,給定下列四組數(shù)據(jù),不一定能確定A,B間距離的是()A.α,a,b B.α,β,aC.a,b,γ D.α,β,b【解析】選A.選項(xiàng)B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可確定AB.選項(xiàng)C中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)D同B類似.選項(xiàng)A中利用正弦定理求β時(shí)可能會(huì)有兩解,故選A.2.已知△ABC的外接圓的半徑為2,設(shè)其三邊長(zhǎng)為a,b,c,若abc=16,則三角形的面積為()A.1 B.2 C.2 D.4【解題提示】根據(jù)正弦定理用上外接圓的半徑,由此選擇三角形的面積公式求解.【解析】選B.由正弦定理,得=2×2=4,即sinA=,因?yàn)閍bc=16,所以S△=bcsinA==2.3.某工程中要將一長(zhǎng)為100m,傾斜角為75°的斜坡,改造成傾斜角為30°的斜坡,并保持坡高不變,則坡底需加長(zhǎng)()A.100m B.100mC.50(+)m D.200m【解析】選A.設(shè)坡底需加長(zhǎng)xm,由正弦定理得,解得x=100.4.(2015·石家莊模擬)在△ABC中,面積S=a2-(b-c)2,則cosA=()【解析】選B.S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccosA=bcsinA,所以sinA=4(1-cosA),16(1-cosA)2+cos2A=1,所以cosA=.5.(2015·成都模擬)臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),城市B在A的正東40千米處,B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為()A.0.5小時(shí) B.1小時(shí)C.1.5小時(shí) D.2小時(shí)【解題提示】數(shù)形結(jié)合,求臺(tái)風(fēng)進(jìn)入以B點(diǎn)為圓心以30千米為半徑的圓內(nèi)的弦長(zhǎng),路程除以速度得時(shí)間.【解析】選B.如圖,設(shè)以B點(diǎn)為圓心,以30千米為半徑的圓與臺(tái)風(fēng)的航線交于C,D兩點(diǎn).在△BAC中,AB=40,BC=30,∠BAC=45°,設(shè)AC=x,則由余弦定理得302=x2+402-2x·40cos45°,即x2-40x+700=0.………①因?yàn)樵凇鰾AD中,AB=40,BD=30,∠BAD=45°,所以AC,AD的長(zhǎng)是方程①的兩個(gè)根,設(shè)為x1,x2,則x1+x2=40,x1x2=700,AD-AC=|x2-x1|=故持續(xù)的時(shí)間為=1(小時(shí)).【一題多解】解答本題你還有其他方法嗎?選B.如圖,作BE⊥CD,則BE=EA=20,又BC=30,所以CE==10.故CD=20,所以持續(xù)的時(shí)間為=1(小時(shí)).二、填空題(每小題5分,共15分)6.在?ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,則?ABCD的面積為.【解析】?ABCD的面積S=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin60°=9.答案:97.(2015·宜賓模擬)要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度,在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°,在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°,并測(cè)得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,則電視塔的高度為m.【解析】設(shè)電視塔AB高為xm,則在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,得BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°,所以BD=x.在△BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,即(x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得x=40,所以電視塔高為40m.答案:408.某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼叫信號(hào),我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測(cè)出該漁輪在方位角為45°距離為10海里的C處,并測(cè)得漁輪正沿方位角為105°的方向,以9海里/小時(shí)的速度向小島靠攏,我海軍艦艇立即以21海里/小時(shí)的速度前去營(yíng)救,則艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為小時(shí).【解題提示】首先根據(jù)題意畫出圖形,再根據(jù)兩船所用時(shí)間相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.【解析】如圖,設(shè)艦艇在B′處靠近漁輪,所需的時(shí)間為t小時(shí),則AB′=21t,CB′=9t.在△AB′C中,根據(jù)余弦定理,則有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos120°,可得,212t2=102+81t2+2·10·9t·.整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=-(舍去).故艦艇需小時(shí)靠近漁輪.答案:【加固訓(xùn)練】一船向正北航行,看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后,看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°方向,另一燈塔在船的南偏西75°方向,則這只船的速度是每小時(shí).【解析】如圖,依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,從而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是這只船的速度是=10(海里/小時(shí)).答案:10海里三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD.(2)求四邊形ABCD的面積.【解題提示】(1)設(shè)出BD的長(zhǎng),利用余弦定理求解.(2)利用S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD求解.【解析】(1)設(shè)BD=x,在△ABD,△BCD中,由余弦定理,得cosA=,cosC=.因?yàn)锳+C=π,所以cosA+cosC=0,聯(lián)立上式解得x=,cosC=,所以C=,BD=.(2)因?yàn)锳+C=π,C=,所以sinA=sinC=,四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△BCD=AB·AD·sinA+CB·CD·sinC=(1+3)=2.所以四邊形ABCD面積為2.10.(2015·廣州模擬)如圖,某測(cè)量人員為了測(cè)量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A,B之間的距離,她在西江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C,從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,B;找到一個(gè)點(diǎn)D,從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,C;找到一個(gè)點(diǎn)E,從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B,C;并測(cè)量得到數(shù)據(jù):∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1(百米).(1)求△CDE的面積.(2)求A,B之間的距離.【解題提示】(1)連接DE,在△CDE中,求出∠DCE,直接利用三角形的面積公式求解即可.(2)求出AC,通過(guò)正弦定理求出BC,然后利用余弦定理求出AB.【解析】(1)連接DE,在△CDE中,∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,S△ECD=DC·CE·sin150°=×sin30°=×=(平方百米).(2)依題意知,在Rt△ACD中,AC=DC·tan∠ADC=1×tan60°=.在△BCE中,∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°.由正弦定理得BC=·sin∠CEB=×sin45°=.因?yàn)閏os15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°連AB,在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB可得AB2=()2+()2-2××=2-,所以AB=(百米).【加固訓(xùn)練】如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好用2小時(shí)追上.(1)求漁船甲的速度.(2)求sinα的值.【解題提示】要求漁船甲的速度,關(guān)鍵是求出BC,而AB=12,AC就是漁船乙2小時(shí)走的距離,因此AC=20,故可用余弦定理求得BC,注意α=∠ACB,因此可在△ABC中求sin∠ACB或cos∠ACB,從而獲得sinα的值.【解析】(1)依題意,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784.解得BC=28.所以漁船甲的速度為=14海里/小時(shí).(2)方法一:在△ABC中,因?yàn)锳B=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α,由正弦定理,得即sinα=方法二:在△ABC中,因?yàn)锳B=12,AC=20,BC=28,∠BCA=α,由余弦定理,得cosα=即cosα=因?yàn)棣翞殇J角,所以sinα=(20分鐘40分)1.(5分)甲船在島B的正南A處,AB=10千米.甲船以每小時(shí)4千米的速度向北航行,同時(shí),乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲船在A,B之間,且甲、乙兩船相距最近時(shí),它們所航行的時(shí)間是()A.分鐘 B.小時(shí)C.21.5分鐘 D.2.15分鐘【解析】選A.如圖,設(shè)航行x小時(shí),甲船航行到C處,乙船航行到D處,在△BCD中,BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,兩船相距S千米,根據(jù)余弦定理可得,DC2=BD2+BC2-2BC·BDcos∠CBD=(6x)2+(10-4x)2-2×6x(10-4x)·cos120°,即S2=28x2-20x+100=28(x-)2+100-28×()2,所以當(dāng)x==時(shí),S2最小,從而S也最小,即航行×60=分鐘時(shí)兩船相距最近.故選A.2.(5分)(2014·浙江高考)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成的角).若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,則tanθ的最大值是()【解析】選D.由勾股定理可得,BC=20m,過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥BC,交BC于點(diǎn)P′,連接AP′,如圖,則tanθ=,設(shè)BP′=x,則CP′=20-x,由∠BCM=30°得,PP′=CP′tan30°=(20-x).在Rt△ABP′中,AP′=故tanθ=令y=,則y′=當(dāng)x<-時(shí),y′>0,當(dāng)-<x<20時(shí),y′<0,所以當(dāng)x=-時(shí),y最大=,所以tanθ的最大值=3.(5分)(2015·黃山模擬)若△ABC中,b=3,B=,則該三角形面積的最大值為.【解題提示】利用余弦定理列式,利用基本不等式求ac的最大值,代入面積公式即可.【解析】由b=3,B=及余弦定理可得9=b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,所以ac≤9,當(dāng)a=c=3時(shí),取“=”,所以S△ABC=所以S△ABC的最大值為,當(dāng)a=b=c=3時(shí)取得.答案:【加固訓(xùn)練】(2011·安徽高考)已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則△ABC的面積為.【解析】設(shè)三角形一邊長(zhǎng)為x,則另兩邊的長(zhǎng)為x-4,x+4,那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120°,解得x=10,所以S△ABC=×10×6×sin120°=15.答案:15【方法技巧】三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對(duì)于面積公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一個(gè)角就使用與該角正弦值有關(guān)的面積公式.(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.4.(12分)(2015·哈爾濱模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a(cosC+sinC)=b.(1)求角A的大小.(2)若△ABC的周長(zhǎng)為20,面積為10,求△ABC的三邊長(zhǎng).【解題提示】(1)化邊為角,利用三角形內(nèi)角和定理消元.(2)由題意列方程組求解.【解析】(1)因?yàn)閍(cosC+sinC)=b,所以由正弦定理,得sinA(cosC+sinC)=sinB.因?yàn)锽=π-(A+C),所以sinAcosC+sinAsinC=sin(A+C),即sinAsinC=cosAsinC,因?yàn)閟inC≠0,故tanA=,A=.(2)由題意,得a+b+c=20,…………①bcsinA=bcsin=10,即bc=40.…………②又a2=b2+c2-2bccosA,即a2=b2+c2-bc.…………③由①,得b+c=20-a,…………④a2=(b+c)2-3bc,把②④代入上式,得a2=(20-a)2-120,解得a=7,所以解得或故三角形的三邊長(zhǎng)為a=7,b=8,c=5或a=7,b=5,c=8.5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種途徑,一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C,現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再?gòu)腂勻速步行到C,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路AC長(zhǎng)為1260m,經(jīng)測(cè)量,cosA=,cosC=.(1)求索道AB的長(zhǎng).(2)問(wèn):乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?【解題提示】(1)在△ABC中,利用正弦定理求AB.(2)設(shè)時(shí)間t,畫圖形,用余弦定理建立兩人的距離關(guān)于時(shí)間t的函數(shù),求函數(shù)的最值.(3)解三角形求BC的長(zhǎng),求乙從B處出發(fā)時(shí),甲已經(jīng)走過(guò)的路程,設(shè)速度v,列不等式求解.【解析】(1)在△ABC中,AC=1260,因?yàn)閏osA=,cosC=,所以sinA=sinC=sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC因?yàn)樗訟B=故索道AB的長(zhǎng)為1040米.(2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短.設(shè)乙出發(fā)t分鐘后到達(dá)E點(diǎn),此時(shí)甲到達(dá)F點(diǎn),如圖,連接EF,則AE=130t,AF=50(t+2).在△EAF中,因?yàn)閏osA=,所以EF2=AE2+AF2-2AE