高考數(shù)學 6.4 基本不等式練習試題

課時提升作業(yè)(三十六)基本不等式(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.下列不等式:①a2+1>2a;②a+bab≤2;③x2+1A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.①②不正確,③正確,x2+1x2+1=(x2+1)+1x2.(2013·福建高考)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是()A.0,2 B.C.-2,+∞ D.【解析】選D.22x+y≤2x+2y=1,所以2x+y≤14,即2x+y≤2-2,所以x+y3.(2015·馬鞍山模擬)設x>0,y>0,且2x+y=6,則9x+3y有()A.最大值27 B.最小值27C.最大值54 D.最小值54【解析】選D.因為x>0,y>0,且2x+y=6,所以9x+3y≥29x·3y=232x+y4.圓x2+y2+2x-4y+1=0關于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對稱,則ab的取值范圍是()A.-∞,14 C.-14,0 【思路點撥】圓關于直線對稱,則圓心在直線上,利用此條件可解.【解析】選A.由已知得圓心坐標為(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故ab≤a+b225.(2015·黃岡模擬)若實數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=2,則xy+yz+zx的取值范圍是()A.[-1,2] B.[1,2]C.[-1,1] D.[-2,2]【解析】選A.因為(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0,所以x2+y2+z2≥xy+xz+yz,所以xy+yz+zx≤2;又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)≥0,所以xy+xz+yz≥-12(x2+y2+z2)=-1.綜上可得:-1≤xy+xz+yz≤2.故選A.6.設二次函數(shù)f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域為[0,+∞),則1c+9A.3 B.92 C.5 【解析】選A.由題意知,a>0,Δ=16-4ac=0,所以ac=4,c>0,則1c+9a≥2×9ac=3,當且僅當1則1c+97.(2015·濰坊模擬)一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為2,2a+13bA.323 B.283 C.143 【解析】選D.由題意得3a+2b=2,2a+13b=2a+13b×3a+2b2=126+4ba+a故選D.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2015·青島模擬)下列命題中正確的是(填序號).①y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-43②y=sin2x+4si③y=2-3x-4x(x<0)的最小值是2-43【解析】①正確,因為y=2-3x-4x=2-3x+4x≤2-2當且僅當3x=4x,即x=2②不正確,令sin2x=t,則0<t≤1,所以g(t)=t+4t顯然g(t)在(0,1]上單調(diào)遞減,故g(t)min=g(1)=1+4=5.③不正確,因為x<0,所以-x>0,最小值為2+43,而不是2-43.答案:①【誤區(qū)警示】此題容易出現(xiàn)答案為①②,是因為做題時只看到了形式,而看不到基本不等式成立的條件而造成的.9.(2013·四川高考)已知函數(shù)f(x)=4x+ax【解析】由題f(x)=4x+ax(x>0,a>0),根據(jù)基本不等式4x+ax≥4a,當且僅當4x=答案:3610.已知x,y為正實數(shù),3x+2y=10,3x+2【解析】由a+b2得3x+2y=23x+2y=25當且僅當x=53,y=5答案:25【一題多解】此題還可以這樣解:設W=3x+2W2=3x+2y+23x·2y=10+23x·2y≤10+(3x所以W≤20=25,當且僅當x=53,y=5答案:25(20分鐘40分)1.(5分)(2015·懷化模擬)已知a,b為正實數(shù),函數(shù)y=2aex+b的圖象經(jīng)過點(0,1),則1a+1A.3+22 B.3-2 C.4 D.2【解析】選A.由已知得2a+b=1,又因為a,b為正實數(shù),所以1a+1b=(2a+b)1a+≥3+22ab·當且僅當a=1-22,b=2【加固訓練】(2013·山東高考)設正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當xyz取得最大值時,2x+1A.0 B.1 C.94 【解析】選B.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2.所以xyz=x≤12當且僅當xy=4yx2x+1y-2z=22y+1y2y1-12y2.(5分)(2015·吉林模擬)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項am,an使得aman=4a1,則1A.32 B.53 C.94 【解析】選A.由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).因為aman所以2m+n-2=24,所以m+n=6,所以1m+4n=1=1≥16(5+4)=3當且僅當nm=4故1m+4n的最小值等于3.(5分)(2015·太原模擬)正數(shù)a,b滿足1a+9b=1,若不等式a+bA.[3,+∞) B.(-∞,3]C.(-∞,6] D.[6,+∞)【解析】選D.因為a>0,b>0,1a+9所以a+b=(a+b)1=10+ba+9ab≥10+2由題意,得16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m對任意實數(shù)x恒成立,而x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值為-6,所以-6≥-m,即m≥6.【加固訓練】(2014·閔行模擬)若不等式(x+y)ax+4y≥【解析】因為不等式(x+y)ax+4y≥16對任意正實數(shù)x,y恒成立,所以16令f(x)=(x+y)ax則f(x)=a+4+ayx+4xy≥a+4+2當且僅當xy=a所以a+4a+4≥16,解得a≥4,因此正實數(shù)a的最小值為4.答案:44.(12分)(2015·鄭州模擬)若a>0,b>0,且1a+1b=(1)求a3+b3的最小值.(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.【解析】(1)因為a>0,b>0,且1a+1b=所以ab=1a+1b≥21當且僅當a=b=2時取等號.因為a3+b3≥2(ab)3≥22當且僅當a=b=2時取等號,所以a3+b3的最小值為42.(2)由(1)可知,2a+3b≥22=26ab≥43故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)某小區(qū)想利用一矩形空地ABCD建市民健身廣場,設計時決定保留空地邊上的一水塘(如圖中陰影部分),水塘可近似看作一個等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且△EFG中,∠EGF=90°,經(jīng)測量得到AE=10m,EF=20m,為保證安全同時考慮美觀,健身廣場周圍準備加設一個保護欄,設計時經(jīng)過點G作一直線交AB,DF于M,N,從而得到五邊形MBCDN的市民健身廣場,設DN=x(m).(1)將五邊形MBCDN的面積y表示為x的函數(shù).(2)當x為何值時,市民健身廣場的面積最大?并求出最大面積.【解題提示】(1)作GH⊥EF,垂足為H,過M作MT∥BC交CD于T,求出AM=600-10x40-x,可得S五邊形MBCDN=S四邊形MBCT+S四邊形MTDN=(40-AM)×60+12(2)將函數(shù)變形,利用基本不等式,可求市民健身廣場的面積最大值.【解析】(1)作GH⊥EF,垂足為H.因為DN=x,所以NH=40-x,NA=60-x,因為NHHG=所以40-x10=60-x過M作MT∥BC交CD于T,則S五邊形MBCDN=S四邊形MBCT+S四邊形MTDN=(40-AM)×60+12(x+60)×所以y