八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案

16.1.1《二次根式》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

(1)理解二次根式的概念：

(2)理解二次根式中被開方數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件。

2.過程與方法

發(fā)展觀察、歸納、概括等能力，發(fā)展有條理的思考能力以及語言表達(dá)能力。

3.情感態(tài)度和價(jià)值觀

通過師生共同活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)良好的情感，合作交流，主動(dòng)參與的意識(shí)，在獨(dú)

立思考的同時(shí)能夠認(rèn)同他人。

【教學(xué)重點(diǎn)】

從算術(shù)平方根的意義出發(fā)理解二次根式的概念。

【教學(xué)難點(diǎn)】

二次根式有意義的條件。

【教學(xué)方法】

自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法。

【課前準(zhǔn)備】

教學(xué)課件。

【課時(shí)安排】

1課時(shí)

【德育滲透】

學(xué)問勤中得，螢窗萬卷書。三冬今足用，誰笑腹空虛。

意思是：學(xué)習(xí)要靠勤奮才能獲得，經(jīng)過三年就會(huì)學(xué)得滿腹經(jīng)綸。出自《神童

詩(shī)》。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

在之前的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了平方根的知識(shí)，我們知道平方根有這樣的性質(zhì)：

正數(shù)a有2個(gè)平方根,它們互為相反數(shù)；0的平方根是

Q；負(fù)數(shù)沒有平方根。

根據(jù)這樣的性質(zhì)，大家來快速回答一下下邊的問題吧。

求下列各數(shù)的平方根：

sia

(1)36；(2)—；(3)6.25；(4)——

1212

【過渡】同學(xué)們的知識(shí)掌握都不錯(cuò)，那么今天，我們就來學(xué)習(xí)一下與平方根有一定關(guān)系的新知識(shí),

二次根式。

二、新課教學(xué)

1.二次根式

【過渡】從剛剛的問題中，我們得到了一個(gè)算術(shù)平方跟，現(xiàn)在，大家看課本思考的內(nèi)容，并進(jìn)行

填空吧。

(1)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為,面積為S的正方形的邊長(zhǎng)為o

(2)一個(gè)長(zhǎng)方形圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m2,則它的寬為m。

(3)一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t(單位：s)與開始落下的高度h(單位:

m)滿足關(guān)系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,則1=。

【過渡】從剛剛的結(jié)果中，我們可以總結(jié)出這幾個(gè)結(jié)果分別有什么意義呢？又有什么共同的特點(diǎn)

嗎？結(jié)合之前學(xué)習(xí)的平方根的知識(shí)，大家誰能回答一下呢？

(學(xué)生討論回答)

【過渡】結(jié)合之前的知識(shí)，我們知道，這幾個(gè)式子都是表示一個(gè)非負(fù)數(shù)(包括字母或式子表示的

非負(fù)數(shù))的算術(shù)平方根。今天，我們就給這樣的式子下一個(gè)定義：二次根式。

二次根式的定義：一般地，我們把形如?(a>0)的式子叫做二次根式，“廠”稱為二次根號(hào)。

【過渡】從二次根式的定義上，我們可以知道二次根式的一些特點(diǎn)：

(1)表示a的算術(shù)平方根；

(2)a可以是數(shù)，也可以是式；

(3)形式上含有二次根號(hào)；

(4)a20,?20,雙重非負(fù)性；

(5)既可表示開方運(yùn)算，也可表示運(yùn)算的結(jié)果。

【過渡】其中，我們需要注意的最重要的是二次根式的雙重非負(fù)性，這也是我們判斷一個(gè)式子是

否為二次根式的重要依據(jù)?，F(xiàn)在，我們就來練習(xí)一下吧。

練習(xí)：判斷下列代數(shù)式中哪些是二次根式？

(1)J；(2)V46；(3)，a，+2a+2；(4)代(5)J(m+3>

(學(xué)生快速回答，并說明理由)

【過渡】現(xiàn)在，請(qǐng)大家思考這樣一個(gè)問題，?+1這樣的式子屬不屬于二次根式呢？結(jié)合二次根

式的定義，我們可以知道，它不屬于二次根式，而是含有二次根式的代數(shù)式。

【過渡】根據(jù)我們剛剛所學(xué)的雙重非負(fù)性性質(zhì)，我們知道，被開方數(shù)必須大于0,因此，(2)不

是二次根式，這也就說明了，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒有平方根。

根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，我們還可以求解字母的取值范圍，下邊，我們看一下課本例1的內(nèi)容。

例題講解，例1?

【過渡】例1是簡(jiǎn)單的根據(jù)a'O進(jìn)行求解范圍，性質(zhì)，我們來看一下思考內(nèi)容，并思考二次根

式有意義需要滿足什么樣的條件呢？

課本P2思考內(nèi)容。

【過渡】從思考題中，我們可以看出，對(duì)于二次根式來說，有意義的條件即為被開方數(shù)不能為負(fù)

數(shù)，具體的情況則需要具體分析。

【典題精講】1、求下列a的取值范圍。

(3)

解：(1)由a+120,得a2-l；

(2)由l-2a>0,得a<l/2；

(3)由(a-1)220,得a為任何實(shí)數(shù).

2、|a-2|+Vb-3+(c-4)2=0,則a-b+c=3

【過渡】從這個(gè)例題中，我們能夠清楚的看到，在解決求取值范圍這一類的問題時(shí)，所依據(jù)的主

要就是二次根式的被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)。

在被開方數(shù)為分式的形式時(shí)，我們需要牢記分母不能等于0o

【知識(shí)鞏固】1、下列各式中不是二次根式的是(B)

A.代耳B.口C.8D.J(a-b)L

2、當(dāng)x是多少時(shí)，旦在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。

2x4

解：依題意有x20且2x?lW0,

解得x20且xwL

2

.?

故當(dāng)x》0且xW-時(shí)，二二在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。

22x-l

【拓展提升】1、已知y=g+、空J(rèn)-2,求xy的值。

解；由題意得，3-x20且x-320,

解得xW3且x23,所以，x=3,

y=-2,所以"，=3”=義O

2、已知a,b分別為等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，且a?b滿足b=4+v%不+3您工，求此三角形的周長(zhǎng)。

解：由題意得，3a-620,2-a20,

解得，a22,aW2,則a=2,

則b=4,

V2+2=4,.,.2,2、4不能組成三角形，

此三角形的周長(zhǎng)為2+4+4=10。

【小結(jié)、板書設(shè)計(jì)】

1、二次根式的定義：

一般地，我們把形如正（a20）的式子叫做二次根式，“廠”稱為二次根號(hào)

2、二次根式有意義的條件：

各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；

如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零。

【教學(xué)反思】

16.1.2《二次根式》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

(1)經(jīng)歷探索性質(zhì)0?=a(a，0)和=2(a>0)的過程，并理解其意義；

(2)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)(y=a(a20)和=&(a20)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)；

(3)了解代數(shù)式的概念。

2.過程與方法

發(fā)展觀察、歸納、概括等能力，發(fā)展有條理的思考能力以及語言表達(dá)能力。

3.情感態(tài)度和價(jià)值觀

通過師生共同活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)良好的情感，合作交流，主動(dòng)參與的意識(shí)，在獨(dú)

立思考的同時(shí)能夠認(rèn)同他人。

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解二次根式的兩個(gè)基本性質(zhì)，并能用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)。

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用二次根式的性質(zhì)。

【教學(xué)方法】

自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法。

【課前準(zhǔn)備】

教學(xué)課件。

【課時(shí)安排】

1課時(shí)

【德育滲透】

業(yè)精于勤，荒于嬉，行成于思，毀于隨。

意思是：學(xué)業(yè)的精深在于勤奮刻苦，荒廢在于嬉戲游樂；道德行為的成功

在于深思熟慮，敗毀在于因循茍且。出自韓愈《進(jìn)學(xué)解》。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

【過渡】上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次根式的概念，了解了滿足什么樣的條件才能稱為二次根式，現(xiàn)在,

我們來復(fù)習(xí)一下吧。

課件展示復(fù)習(xí)題，學(xué)生快速回答。

【過渡】形如(a20)的式子叫做二次根式。我們知道，二次根式有這樣的特點(diǎn)，(1)根指數(shù)必

須為2；(2)被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。那么二次根式還有其他什么性質(zhì)嗎？今天我們就來探究一下吧。

二、新課教學(xué)

1.二次根式的性質(zhì)1

【過渡】之前我們學(xué)習(xí)了算術(shù)平方根，現(xiàn)在，大家根據(jù)算術(shù)平方根的意義填一下探究?jī)?nèi)容吧。

()2=4；()22；

()2=；()2=Q。

【過渡】大家的計(jì)算都很正確，現(xiàn)在，請(qǐng)大家思考一下，如果我們把被開方數(shù)換成a,那么就會(huì)

有：(2=a(a20)。

這就是二次根式的第一個(gè)性質(zhì)：

(2=a(a20)

【過渡】根據(jù)等式的定義，我們可以將上述式子寫作：a=C(a^0)o由這個(gè)式子的特點(diǎn)，我們

可以得到一種解決問題的辦法，即如何將一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成平方的形式,而這對(duì)某些題目是有益的辦法。

例題：課本例2。

2.二次根式性質(zhì)2

【過渡】接下來，我們來看第二個(gè)探究?jī)?nèi)容。

問題2填空：

=2；=0.1;

=；=0O

【過渡】和剛剛一樣，我們同樣將其擴(kuò)展到所有范圍內(nèi)，則得到：=a(a20)

【過渡】由此，我們可以得到二次根式的第二個(gè)性質(zhì)：

=a(aNO)

同樣，根據(jù)等式的定義，我們可以得到：a(a^O)

【過渡】利用這個(gè)式子，可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成帶有“廠”的形式。

例題：課本例3。

【典題精講】1、已知l<x<8,化簡(jiǎn)++。

解：Vl<x<8,

++

=|x-8|+|x+8|+n

=8-x+x+8-l

=15

2、己知實(shí)數(shù)x,y滿足|x-4|+=0,求以x,y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)。

解：根據(jù)題意得x-4=0,y-8=0,

解得x=4；y=8,

(1)若4是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、4、8,

不能組成三角形；

(2)若4是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：4、8、8,

能組成三角形，周長(zhǎng)為4+8+8=20。

3.代數(shù)式

問題3回顧我們學(xué)過的式子，如5,a,a+2b,-ab,等，這些式子有哪些共同特征？

【過渡】大家對(duì)這個(gè)問題有什么答案嗎？

(1)含有表示數(shù)的字母；

(2)用基本運(yùn)算符號(hào)連接數(shù)或表示數(shù)的字母。

【過渡】我們一般稱這樣的式子叫做代數(shù)式。

用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來得到的式子叫代數(shù)式。

【練習(xí)】判斷下列式子是否為代數(shù)式？

(1)

(2)x+y=5

(3)

(4)xWO

⑸3W2

【過渡】我們可以看到，(2)與(5)是和我們的代數(shù)式的概念相違背的，因此，這種用等號(hào)或

不等號(hào)連接起來的式子都不是代數(shù)式。

【知識(shí)鞏固】

1、下列五個(gè)等式中一定成立的有(A)

①C=a；②=a；③=a?；④a°=l；⑤=2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-2；(2)X4-9；(3)3x2-5。

解：(1)X2-2=X2-()2=(X-)(X+)；

(2)X4-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(X+)(X-)；

(3)3X2-5=(X+)(X-)O

3、化簡(jiǎn)下列各式：

(1)(y>0)；

(2)；

(3)(x2)；

(4)+(l<x<3)

解：(1)Vy>0,

=7x2?|y|=7x?y

(2)n>3,則3-n<0

=71-3

(3)Vx>,則l-3xW0

:.==|l-3x|=3x-l

(4)Vl<x<3則有x-3<0,l-x<0

/.+=|x-3|+|1-x|=3-x+x-1=2

4、已知2<aV3,化簡(jiǎn)+|a-3|。

解：V2<a<3,

：.2-a<0,a-3<0,

J!^^=a-2+|a-3|=a-2+3-a=l.

【拓展提升】1、已知實(shí)數(shù)a滿足+=a,求a-20132的值。

解：根據(jù)二次根式有意義的條件可得a-201420,解得a22014,

?/+=a

a-2013+=a,

.?.=2013,

/.a=20132+2014,

；.a-20132=2014

2、已知實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示：試化簡(jiǎn)

ab

I!IIIII.)

-3-2-1012345

解：根據(jù)數(shù)軸可知：-3Va<-2,4<b<5,

b>2,a-b<0,

=|a+)|-|b-2|-|a-b|

=-(a+)-(b-2)-[-(a-b)]

=-a--b+2+a-b

=-2bo

【小結(jié)、板書設(shè)計(jì)】

1、二次根式性質(zhì)1:

(2=a(a20)

2、二次根式性質(zhì)2：

=a(a>0)

3、代數(shù)式

【教學(xué)反思】

16.2.1《二次根式的乘除》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

理解日?通=v^ab（a，0,b，0）,Vab=v^-vS（a20,b20）,并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)。

2.過程與方法

發(fā)展觀察、歸納、概括等能力，發(fā)展有條理的思考能力以及語言表達(dá)能力。

3.情感態(tài)度和價(jià)值觀

通過師生共同活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)良好的情感，合作交流，主動(dòng)參與的意識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

v'a,yjb=Vab（a?0,b20）,v^=v'a,VE（a20,bZO）及它們的運(yùn)用。

【教學(xué)難點(diǎn)】

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出??屁=Vab（a》0,b，0）。

【教學(xué)方法】

自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法。

【課前準(zhǔn)備】

教學(xué)課件。

【課時(shí)安排】

1課時(shí)

【德育滲透】

志當(dāng)有高遠(yuǎn)。

意思是：人應(yīng)當(dāng)有遠(yuǎn)大的志向。出自（三國(guó)?蜀）諸葛亮《誠(chéng)外甥書》。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

【過渡】上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么是二次根式以及二次根式的特點(diǎn)，現(xiàn)在，我們一起來復(fù)習(xí)一下

這些基本的知識(shí)吧。

（引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)基本知識(shí)）

二次根式的特點(diǎn)及性質(zhì)。

【過渡】在有理數(shù)的運(yùn)算中，我們學(xué)習(xí)了加、減、乘、除四則運(yùn)算，那么，在我們學(xué)習(xí)了二次根

式之后，大家有沒有考慮過，兩個(gè)二次根式能否進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算？怎樣運(yùn)算？讓我們從研究

乘法開始。

二、新課教學(xué)

1.二次根式的乘法

【過渡】現(xiàn)在，大家來看一下課本的探究?jī)?nèi)容，研究一下二次根式的乘法吧。根據(jù)二次根式與算

術(shù)平方根。

課本P6探究?jī)?nèi)容。

【過渡】從剛剛的結(jié)果中，我們可以看到，分別有這樣的等式，舊義遍=國(guó)，代乂星

=、，佞踮，而x8=73衣23。大家能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

(學(xué)生討論回答)

【過渡】將字母表示規(guī)律，就得到二次根式的乘法法則：

一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為

4a-x[b=\[ab.(a>0,b>0)

【過渡】從這個(gè)乘法法則中，我們需要知道：

(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；

(2)兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作為等號(hào)另

一邊二次根式中的被開方數(shù)。

【過渡】在這里，如果沒有特殊要求，我們的被開方數(shù)都是正數(shù)?，F(xiàn)在，我們來練習(xí)一下利用乘

法法則計(jì)算吧。

課本例1。

【過渡】例1只是簡(jiǎn)單的利用公式進(jìn)行計(jì)算，大家想一想，根據(jù)等式的定義，把式子反過來同樣

成立。

V,而\向?、行(a>0,b>0)

根據(jù)這個(gè)式子，我們可以利用它對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

【過渡】大家思考這樣一個(gè)問題，V(-4)x(-9>斤*癖成立嗎？為什么？

(學(xué)生回答)

【過渡】大家回答的很正確，這樣是不正確的，原因呢，就是瓜?的(a20,b>0)o

課本例2o

【過渡】從這個(gè)例題中，我們可以總結(jié)出化簡(jiǎn)二次根式的一般步驟：

(1)將被開方數(shù)盡可能分解成幾個(gè)平方數(shù)。

(2)應(yīng)用誣f(a>0,b>0)

(3)將平方項(xiàng)應(yīng)用捋=2(a>0)

【過渡】現(xiàn)在，我們利用這個(gè)步驟來看一下例3的內(nèi)容吧。

課本例3。

【過渡】例3中，我們看到了有系數(shù)的二次根式，而且可以知道，這樣的二次根式化簡(jiǎn)的時(shí)候,

系數(shù)和系數(shù)相乘，積為最終結(jié)果的系數(shù)。

【典題精講】1、若v密1?=J(x-2)(2-x)成立,試化筒|x*4|+|x|.

解：根據(jù)題意得：

x-l2O,2-x20,解得1WXW2,

所以|x-4|+|x|=-(x-4)+x=-x+4+x=4

2、己知v訪是不大于20的整數(shù)，求整數(shù)x的值。

解：根據(jù)題意得：>/l2x<20,

.?.0W12xW”400

100

，0WxW—

3

整數(shù)x為0、3、12、27.

【知識(shí)鞏固】1、同、值的值是一個(gè)整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值是(B)

A.1B.2C.3D.5

3、已知三角形一邊長(zhǎng)為同，這邊上的高為回m,求這個(gè)三角形的面積。

解：...三角形一邊長(zhǎng)為V?2cm,這邊上的高為45Ucm,

.?.這個(gè)三角形的面積為：；X聞X癡=3聞，

答：這個(gè)三角形的面積為：3V35cm2

2

【拓展提升】1、已知|x-2|+%/6^y+z-6z+9=0,求標(biāo)、予、仿的值。

22

解：V|x-2|+%,'6-y+z-6z+9=|x-2|++(z-3)=0

x-2=0,6-y=0,z-3=0,即x=2,y=6,z=3,

則原式=V5X、，GXVJ=6

2、求比(巡+0)6大的最小整數(shù)。

解：設(shè)V6+V5=x,V6->/5=y>x+y=2V6，xy=l,

又：x2+y2=(x+y)2-2xy=(2V6)2-2Xl=22,

x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=422、總

/.(V6+V5)6+(VS-V5)6=x6+y6=(x3+y3)2-2x3y3=10582,

又o〈v6V5<i,從而ov(、住V5)6<i,

故10581〈(巡-、5)6<10582,

.??比(遍+逐)6大的最小整數(shù)為10582。

【小結(jié)、板書設(shè)計(jì)】

1、二次根式的乘法：

v'a?瓜=Vab=(a>0,b>0)

【教學(xué)反思】

16.2.2《二次根式的除法》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

理解空=-(a>0,b>0)和(a>0,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算。

加鄧遙

2.過程與方法

利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及

利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)。

3.情感態(tài)度和價(jià)值觀

通過師生共同活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)良好的情感，合作交流，主動(dòng)參與的意識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解"=~(a>0,b>0)和1='(a>0,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算.

Vby/b品

【教學(xué)難點(diǎn)】

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定。

【教學(xué)方法】

自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法。

【課前準(zhǔn)備】

教學(xué)課件。

【課時(shí)安排】

1課時(shí)

【德育滲透】

自古圣賢，盛德大業(yè)，未有不由學(xué)而成者也。

意思是：自古以來，圣人賢人的盛德大業(yè)，沒有不是通過學(xué)習(xí)而成V紀(jì)的。

出自(清)黃宗羲《明儒學(xué)案》。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

【過渡】上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么是二次根式的乘法法則，現(xiàn)在，我們一起來復(fù)習(xí)一下如何正確

運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算吧。

課件展示題目。

【過渡】現(xiàn)在，請(qǐng)大家快速計(jì)算一下吧，看誰能最先得到正確答案。

帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)，進(jìn)行計(jì)算。

二、新課教學(xué)

1.二次根式的除法

【過渡】上節(jié)課，我們通過實(shí)例的探究總結(jié)出了二次根式的乘法法則，那么這節(jié)課呢，我們采用

同樣的方法來總結(jié)除法法則。大家根據(jù)課本P8的探究?jī)?nèi)容，來總結(jié)一下二次根式的除法法則吧。

課本P6探究?jī)?nèi)容。

【過渡】從剛剛的結(jié)果中，我們大家能用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

(學(xué)生討論回答)

【過渡】將字母表示規(guī)律，就得到二次根式的除法法則：

一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定為

￥口(a>0,b>0)

&N匕

【過渡】從我們總結(jié)出來的規(guī)律，以及二次根式和分母的條件，我們可以知道，在除法中，必須

要有的條件。

【過渡】在這里，如果沒有特殊要求，我們的被開方數(shù)都是正數(shù)?，F(xiàn)在，我們來練習(xí)一下利用除

法法則計(jì)算吧。

課本例4o

【過渡】例4只是簡(jiǎn)單的利用公式進(jìn)行計(jì)算，大家想一想，根據(jù)等式的定義，把式子反過來同樣

成立。

根據(jù)這個(gè)式子，我們可以利用它對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

課本例5。

【過渡】這些例題中，我們能夠發(fā)現(xiàn)，在我們所得到的結(jié)果中，都需要滿足這樣的要求。

(1)分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含分母；

(2)最后結(jié)果中的二次根式要求寫成最簡(jiǎn)的二次根式的形式。

【過渡】那么現(xiàn)在又有一個(gè)問題，究竟什么的根式屬于最簡(jiǎn)二次根式呢？我們來看一下這樣幾個(gè)

根式，得，3^5,20,2仃，這幾個(gè)根式均是沒有辦法再進(jìn)一步化簡(jiǎn)的計(jì)算結(jié)果。從這幾個(gè)式子當(dāng)

中，結(jié)合剛剛的例題，大家能總結(jié)出來最簡(jiǎn)二次根式的定義嗎？

最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

【練習(xí)】課件展示練習(xí)題，學(xué)生快速回答。

【過渡】根據(jù)這個(gè)最簡(jiǎn)二次根式，大家來計(jì)算一下例6吧。

課本例6o

【過渡】從例6中，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果在最初的化簡(jiǎn)之后，得不到最簡(jiǎn)二次根式，那么我們就

需要想辦法去滿足。這個(gè)在做題的過程中，需要大家慢慢體會(huì)。

【典題精講】1、已知：a2+b2-4a-2b+5=0,求正迎二上的值。

arab

解：Va2+b2-4a-2b+5=0,

J(a-2)2+(b-1)2=0,

.*.a-2=0,b-1=0,解得a=2,b=l,

aHU)?ab

原式二

當(dāng)a=2,b=l時(shí)，原式=1+一

2

—2x-^-/xv+3v

2、.已知x、y均為正數(shù)，且次（次+,@=34（、反+5Jy），求q~QpJ的值。

解：由已知條件可知：x-2月-15y=0

（、反+3^/y）（v'x-5行）=0

；舟3護(hù)0

，、反-5J戶0,，、氏=5即x=25y

原式=2

【知識(shí)鞏固】1、計(jì)算（1）坐；（2）空

V23五

解：（1）

「、9屈9叵■而，_

（2）-^=375

3近3遍

解：原式=那第La2b2、，額

【拓展提升】1、則m的值是B)

A.大于1B.小于1

C.等于1D.無法確定

2、已知x為奇數(shù),求、，l-2x-x」+，3x-l的值。

...x-620,9-x>0,解得6Wx<9；

又「x為奇數(shù),

【小結(jié)、板書設(shè)計(jì)】

1、二次根式的乘法：

【教學(xué)反思】

16.3《二次根式的加減》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

（1）理解和掌握二次根式加減的方法；

（2）含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用。

2.過程與方法

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對(duì)二次根式進(jìn)行加減的方法的理解。再總結(jié)經(jīng)驗(yàn),

用它來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)。

3.情感態(tài)度和價(jià)值觀

通過師生共同活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)良好的情感，合作交流，主動(dòng)參與的意識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律。

【教學(xué)難點(diǎn)】

最簡(jiǎn)二次根式的判斷，及二次根式的混合運(yùn)算。

【教學(xué)方法】

自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法。

【課前準(zhǔn)備】

教學(xué)課件。

【課時(shí)安排】

1課時(shí)

【德育滲透】

少壯不努力，老大徒悲傷。一一漢樂府古辭《長(zhǎng)歌行》

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

【過渡】在之前的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們學(xué)習(xí)了同類項(xiàng)的合并，大家還記得同類項(xiàng)合并的計(jì)算方法嗎？

我們來檢測(cè)一下吧。

學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式。

(1)2x+3x；(2)2X5-5X5+5X5；(3)3x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

【過渡】上面題目的結(jié)果，實(shí)際上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)合并。同類項(xiàng)合并就是字母不變，

系數(shù)相加減。而我們本節(jié)內(nèi)容，則主要是學(xué)習(xí)二次根式的加減，那么這兩者之間有沒有什么共同點(diǎn)呢？

現(xiàn)在，就讓我們一起來探究一下吧。

二、新課教學(xué)

1.二次根式的加減

【過渡】按照我們剛剛復(fù)習(xí)的同類項(xiàng)的合并，我們來試著思考一下，這樣的同類項(xiàng)合并能否用于

二次根式呢？我們來看看課本12頁(yè)的思考題。

【過渡】問題是要判斷能否截出兩個(gè)正方形，轉(zhuǎn)化為幾何問題，即為判斷兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)和與

長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)的大小，若小于長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，則說明不能截出。那么兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是建和

vl8＞兩者之和為、用該如何計(jì)算這個(gè)呢？

(學(xué)生討論回答)

結(jié)合我們復(fù)習(xí)的同類項(xiàng)合并，可以這樣計(jì)算。課件展示計(jì)算過程。

【過渡】在這個(gè)問題之后，我們?cè)賮砜磶讉€(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算：

(1)75+375=⑵3675=⑶述+v隹⑷博舊=

(5)66=(6)

【過渡】根據(jù)剛剛我們探究的內(nèi)容，這幾個(gè)計(jì)算很容易就能算出來，我們也發(fā)現(xiàn)，(5)(6)這兩

個(gè)是不能合并同類項(xiàng)的，而從(3)(4)中，在計(jì)算之前，我們需要將二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式。從

結(jié)果中，我們發(fā)現(xiàn)，前四個(gè)式子中，均分別有相同的二次根式V5與口，而二次根式的加減，也只能

在這樣的條件下進(jìn)行，這樣的式子，我們稱之為同類二次根式。

同類二次根式：幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就叫做

同類二次根式。

【過渡】那么，我們?cè)撊绾闻袛嗍欠駷橥惗胃侥?？根?jù)剛剛的內(nèi)容，有人能總結(jié)一下嗎？

(學(xué)生回答，并進(jìn)行總結(jié))

(1)先化簡(jiǎn)：把各個(gè)二次根式都化為最簡(jiǎn)二次根式。

(2)再觀察：化簡(jiǎn)后的二次根式的被開方數(shù)是否相同。

【過渡】在判斷的時(shí)候，我們只需要看被開方數(shù)是否相同，而與其前面的因式及符號(hào)無關(guān)。大家

來練習(xí)一下吧。

【練習(xí)】下列各組二次根式是否為同類二次根式?

（1）配與V50;（2）g與g；（3）-3、6用與2代；（4）與三倔；（5）府與J-

【過渡】在判斷的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，有的二次根式表面上看是不同類，但是將其化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)根

式的時(shí)候，則為同類二次根式，因此，在判斷的過程中，一定要記得，比較的是最簡(jiǎn)二次根式。

【過渡】在認(rèn)識(shí)了同類二次根式之后，我們就可以總結(jié)二次根式加減的一般步驟了。

（1）將每個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式；

（2）找出其中的同類二次根式；

（3）合并同類二次根式。

【過渡】簡(jiǎn)單的對(duì)其進(jìn)行總結(jié)，可以歸納為一化二找三合并，記住了這幾個(gè)字，二次根式的加減

計(jì)算，就簡(jiǎn)單多了。

例題，課本例lo

【練習(xí)】下列計(jì)算哪些正確，哪些不正確？

（1）V5+V2=V5;（2）a+v侯aVE:⑶后丫信丫康；（4）avG+b、,G=（a+b）標(biāo)⑸

32

（學(xué)生回答，并指出如何錯(cuò)誤）

【過渡】在二次根式的加減運(yùn)算中，通過剛剛的練習(xí)，我們需要牢記掌握的即是同類二次根式才

能相加。

【過渡】從計(jì)算中，我們可以發(fā)現(xiàn)，二次根式的加減與整式的加減根據(jù)都是分配律，它們的運(yùn)算

實(shí)質(zhì)也基本相同。

【過渡】例1只是簡(jiǎn)單的加減法，現(xiàn)在我們看例2中加減法的混合運(yùn)算吧。

課本例2。

【過渡】在之前學(xué)習(xí)過的運(yùn)算中，我們會(huì)有加減乘除在一塊的混合運(yùn)算，在二次根式的運(yùn)算中，

同樣也有這樣的混合運(yùn)算。

課本例3,例4。

【過渡】從例題中，我們能夠看出，以前學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則、運(yùn)算順序，二次根式混合運(yùn)

算仍然適用。

【典題精講】1、設(shè)x-m,,求（=2+的值。

222

例..1-V2+V31W2-V3

解：.x=-------，y=-------,

22

x+y=],x-y=73-V2?xy=-

2

js-vr(x+yXx-y)^…_避-丫入二2+遍」

原式=[-------J+xy=(-------)+-------

2224o

2、如果最簡(jiǎn)二次根式"/石和v礪豆是同類二次根式，求a、b的值.

解：.?…遂和、國(guó)帝是同類二次根式，

b-a=2,3a=2b-a+2

解得：a=3,b=5

【知識(shí)鞏固】1、計(jì)算：⑴3^18+^-4703;(2)VT7-15#+：日;⑶佗g[+聞

_rrrz

解：⑴原式=9您+芋-4X#=8@

61

(2)原式=3VJ-15xj+[X4VJ=-V5；

(3)原式=\^5-------f■無盡2v5二—F2丫怎

236

2、把卜列各式化成最簡(jiǎn)二次根式(a>0,b>0).

(1)師+3a器-毋xJ|

⑵I厄ab尋卡

解：(1)原式=2、版+丫辰?、，辰=2^/55

(2)原式=(2\&屈)x[=2瓜

【拓展提升】1、解下列方程和不等式。

V21

(1)M-X+-^=2x+l

V2-1正+1

(2)、用(x-1)>3(x+1)

V21

解：(1)-=r-X+——=2x+l

V2-1V2+1

分母有理化，得

V2（V2+l）x+V2-l=2x-l

去括號(hào)，得2X+V2X+V5-1=2X-1

移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得

V5X=-2,解得，x=-l?

(2)厭(x-1)>3(x+1)

去括號(hào)，得

的x-y/6>3x-3

移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得

(V6-3)x>3+V6

系數(shù)化為1,得

x<-5-2、石

2、如圖，某學(xué)校計(jì)劃在校園內(nèi)修建一個(gè)正方形的花壇，在花壇中央還要修一個(gè)正方形的小噴水

池.搞設(shè)計(jì)需要考慮有關(guān)的周長(zhǎng)，如果小噴水池的面積為8平方米，花壇的綠化面積為10平方米，

問花壇的外周與小噴水池的周長(zhǎng)一共是多少米？

解：由題意可知噴水池的邊長(zhǎng)為、國(guó)米，

花壇的外周邊長(zhǎng)為V而耳=，無米.

所以周長(zhǎng)一共是：4(、用+VI8)=4(272+3V2)=200(米).

答：花壇的外周與小噴水池的周長(zhǎng)一共是20匹米。

3、已知5-仃的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,則求2af的值。

解：由題意可得：a=3,b=2-V3，

2a--=2X3-3=4-VJ。

b2-V3

【小結(jié)、板書設(shè)計(jì)】

1、二次根式的加減即為對(duì)同類二次根式的合并。

二次根式的加減與整式的加減根據(jù)都是分配律，它們的運(yùn)算實(shí)質(zhì)也基本相同。

【教學(xué)反思】

17.1.1《勾股定理》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

(1)了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景。

(2)能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問題。

2.過程與方法

發(fā)展觀察、歸納、概括等能力，發(fā)展有條理的思考能力以及語言表達(dá)能力。

3.情感態(tài)度和價(jià)值觀

通過師生共同活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)良好的情感，合作交流，主動(dòng)參與的意識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

勾股定理的推導(dǎo)

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用勾股定理解決問題。

【教學(xué)方法】

自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法。

【課前準(zhǔn)備】

教學(xué)課件。

【課時(shí)安排】

1課時(shí)

【德育滲透】

一寸光陰一寸金，寸金難買寸光陰。一一《增廣賢文》

【教學(xué)過程】

一、情景導(dǎo)入

【過渡】如圖所示為2002年在北京舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽，它標(biāo)志著我國(guó)古代數(shù)學(xué)的

成就。這個(gè)圖形里到底蘊(yùn)涵了什么樣博大精深的知識(shí)呢？今天我們就來探究一下，關(guān)于這個(gè)圖形，究

竟有哪些知識(shí)。

■CM2€C2

Beijing

August20-28,2002

二、新課教學(xué)

I.勾股定理

【過渡】相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中

反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系?，F(xiàn)在，我們也來觀察一下，從圖形中能發(fā)現(xiàn)什么知識(shí)呢？

【過渡】大家來看P22頁(yè)的思考內(nèi)容，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)圖形與上邊的圖形是一致的，今天，我們

也來當(dāng)一回科學(xué)家，來思考一下，這個(gè)圖形到底有什么奧秘呢？

/

/

/C\

\/

A/

\/

B

圖甲

【過渡】我們能夠看到，在這個(gè)圖中，有三個(gè)正方形A、B、C,現(xiàn)在，我們假設(shè)小方格的邊長(zhǎng)

為1。正方形A、B、C的面積各為多少？

（學(xué)生回答）引導(dǎo)學(xué)生通過小方格的個(gè)數(shù)計(jì)算。

【過渡】通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，三個(gè)正方形，SA=6,SB=6,SC=12?由此，我們能夠回答思考內(nèi)

容中的第一個(gè)問題，即三個(gè)正方形的關(guān)系是SA+SB=SC。

【過渡】現(xiàn)在，我們來看第二個(gè)問題，結(jié)合正方形的知識(shí)，我們知道三個(gè)正方形所圍成的，即藍(lán)

色部分是一個(gè)等腰直角三角形。我們假設(shè)A、B、C三個(gè)正方形對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a、b.c?則通過

正方形面積的計(jì)算，大家能得到什么呢？

(學(xué)生回答)

【過渡】大家都是很優(yōu)秀的科學(xué)家，就是這樣，我們能夠得到a?+b2=c2,而從圖中，我們又能發(fā)

現(xiàn)，a、b、c剛好是等腰直角三角形的三條邊。那么，現(xiàn)在誰能來總結(jié)一下，等腰直角三角形中三邊

的關(guān)系呢？

對(duì)于等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。

【過渡】既然等腰三角形中有這樣的性質(zhì)，那大家就可能會(huì)說，其他一般的三角形中會(huì)不會(huì)也有

同樣的性質(zhì)呢？我們來看課本探究的內(nèi)容。

【過渡】同樣是假設(shè)小方格為1,我們畫出了一般情況下的直角三角形。同樣根據(jù)剛剛的面積法,

我們來探索一下。

【過渡】同樣的，我們能夠得到SA+AB=SC，而對(duì)應(yīng)的邊所組成的三角形的邊長(zhǎng)也有同樣的關(guān)系:

a2+b2=c2o

【過渡】由以上的例子，我們得到這樣的猜想：

如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a?+b2=c2。

【過渡】從古至今，有很多科學(xué)家對(duì)命題1進(jìn)行了證明，下邊我們來介紹證明方法：

(1)趙爽弦圖：學(xué)生閱讀課本，進(jìn)行理解。

【過渡】趙爽弦圖是比較著名的證明方法，他的基本思路是用四個(gè)直角三角形圍成如圖所示的正

方形。從面積角度入手，大正方形的面積為c2,小正方形的面積(b-a)2。與此同時(shí)，S大=4S三+S小。

即c2=2ab+a2-2ab+b2。由此得到a2+b2=c2o

【過渡】趙爽弦圖證明了命題I的正確性。我們將其成為勾股定理。

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

【過渡】利用勾股定理，可以簡(jiǎn)單的解決一些問題。大家來練習(xí)一下吧。

【過渡】在勾股定理的應(yīng)用當(dāng)中，也會(huì)存在一些變式的應(yīng)用。如確定斜邊等。

課件展示變式應(yīng)用。

【典題精講】

如果直角三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和4,那么第三邊的長(zhǎng)為_5或妊.

解：（1）當(dāng)兩邊均為直角邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為5,

（2）當(dāng)4為斜邊時(shí)，由勾股定理得，第三邊為，

V7

故答案為5或、斤.

如圖已知AD是直角^ABC的中線，E為BD的中點(diǎn)，BA=BD,問AC、AE的長(zhǎng)度有何等量關(guān)

解析：AB=2AE.

證明：設(shè)AB=x,

VAD為斜邊BC的中線，

；.BD=DC=DA=x,即4ABD為等邊三角形,

；.AE==AB.

AC=,且BC=2AB,

；.AC=AB,；.AC=2AE

【知識(shí)鞏固】1、如圖，則正方形A的邊長(zhǎng)是（A）

64

/100廠

A.6B.36C.64D.8

2、若一個(gè)直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)是7cm,另一條直角邊比斜邊短1cm,則斜邊長(zhǎng)為(D)

A.18cmB.20cmC.24cmD.25cm

3、判斷題：

(1)直角三角形三邊分別為a,b,c,則一定滿足下面的式子：a?+b2=c2錯(cuò)誤

(2)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4,則第三邊長(zhǎng)是5錯(cuò)誤

4、如圖，在AABC中，/A=45°,NB=30°,CDJ_AB,垂足為D,CD=1,則AB的長(zhǎng)為(D)

A.2B.2C.+1D.+1

【拓展提升】1、已知RtaABC的周長(zhǎng)為14,面積為7.試求它的三邊長(zhǎng)。

解：設(shè)AABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,其中c為斜邊，依題意得方程組：

a2+b2=c2①；ab=7②；a+b+c=14③

由③得：a+b=14-c

從而解得：c=6.

于是，a+b=14-c=8,ab=98-14c=14.

從而a、b是方程z2-8z+14=0的兩根.解得z=4±.

故Rt^ABC的三邊分別為4-、％4+品6

【小結(jié)、板書設(shè)計(jì)】

1、勾股定理：

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

【教學(xué)反思】

17.1.2《勾股定理》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

利用勾股定理解決實(shí)際生活問題。

2.過程與方法

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，主動(dòng)參與討論學(xué)習(xí)。

3.情感態(tài)度和價(jià)值觀

通過師生共同活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)良好的情感，合作交流，主動(dòng)參與的意識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

正確利用勾股定理解決實(shí)際問題。

【教學(xué)難點(diǎn)】

將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

【教學(xué)方法】

講解與練習(xí)相結(jié)合的方法。

【課前準(zhǔn)備】

教學(xué)課件。

【課時(shí)安排】

1課時(shí)

【德育滲透】

天行健，君子以自強(qiáng)不息。一一《周易?乾?象》

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

【過渡】上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么是勾股定理以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用，現(xiàn)在我們先來回憶一下，什么是

勾股定理？

（引導(dǎo)學(xué)生回答）

【過渡】大家回答的都很正確，看來課下都進(jìn)行了復(fù)習(xí)。那么，現(xiàn)在我就要檢驗(yàn)一下大家究竟會(huì)

不會(huì)運(yùn)用勾股定理。

課件展示簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。學(xué)生回答。

【過渡】剛剛的問題只是非常簡(jiǎn)單的應(yīng)用，這節(jié)課我們將學(xué)習(xí)勾股定理的深一步應(yīng)用。

二、新課教學(xué)

1.勾股定理的應(yīng)用

(1)生活中的數(shù)學(xué)問題

【過渡】我們首先來看勾股定理在生活實(shí)際問題中的應(yīng)用。

講解例1。

【過渡】讀過問題之后，我們知道，這是一道實(shí)際的問題。在之前，我們學(xué)習(xí)過，遇到實(shí)際問題

時(shí)，我們需要想辦法將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，而實(shí)際的圖形就需要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形0

【過渡】從題目中，我們知道，木板的長(zhǎng)和寬都大于門的寬度和高度。因此，不論是橫著還是豎

著，都是不可能將木板弄進(jìn)屋里。在這個(gè)時(shí)候，我們就需要考慮，斜著能否將其抬進(jìn)去呢？

【過渡】我們知道，在矩形中，其對(duì)角線的長(zhǎng)度是最大的，因此，就將問題轉(zhuǎn)化為比較對(duì)角線與

木板長(zhǎng)度的大小。在這里，我們就需要用到勾股定理。

課件展示解題過程。

【過渡】現(xiàn)在，我們來看另一類問題。

講解例2.

【過渡】題目可以轉(zhuǎn)化為比較BE與0.4m的大小，這樣就能夠?qū)栴}數(shù)學(xué)化，再利用勾股定理,

就可以解決問題了。

課件展示解題過程。

(2)立體問題

【過渡】除了以上的問題之外，我們還會(huì)遇到在立體圖形中的問題。

例3：有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米,底面半徑等于3厘米，在圓柱下底面上的A點(diǎn)有一只螞蟻,

它想從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,螞蟻沿著圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(”的值取3)

【過渡】求至少要爬多少路程，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線最短，把圓柱體展開，在得到的矩形上連接兩

點(diǎn)，求出距離即可。

課件展示解題過程。

(3)折疊問題

【過渡】折疊問題是勾股定理應(yīng)用中的有一種類型，我們通過例題來看一下如何解決這類問題。

例4：矩形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8,BC=10,求折痕AE

的長(zhǎng)。

【過渡】解決這類問題最重要的是理解折疊，即找到對(duì)應(yīng)的線。

課件展示解題過程。

【知識(shí)鞏固】1、如圖，小明家居住的甲樓AB面向正北，現(xiàn)計(jì)劃在他家居住的樓前修建一座乙

樓CD,樓高為18米，已知冬天的太陽(yáng)最低時(shí)，光線與水平線的夾角為30°,若讓乙樓的影子剛好

不影響甲樓，則兩樓之間距離至少應(yīng)是多少米？

解：：CE〃DB,

NECB=30°,

AZCBD=30°.

在RtZ\CBD中，CD=18m,

CB=2CD=2X18=36(m).

BD=v'BCJ-CDJ=18丫5(m)

2、如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P,Q同時(shí)從A,B兩點(diǎn)出發(fā)，

分別沿AC,BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度都是lcm/s,那么幾秒后，P,Q兩點(diǎn)之間的距離

為2、5cm?

設(shè)x秒后，PQ=2y/5cm,貝!|PC=PC=(6-x)cm,CQ=(8-x)cm,

由勾股定理得：(6-x)2+(8-x)2=(2VJ)2

整理得：X2-14X+40=0解得：x=4或x=0(不合舍去)

4秒后，PQ=2y/5cm

3、如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為55寸、10寸和6寸，A和B是這個(gè)

臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是多

少？

解：展開后由題意得：NC=90°,AC=3XI0+3X6=48（寸）,

BC=55寸，

由勾股定理得：AB=，ACJ-BO=73（寸）

4、如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿FE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B'處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處,

若AE=3,BF=4,則AB長(zhǎng)是多少？

解：由折疊的性質(zhì)知：A'B'=AB,AE=A'E,BF=B'F,NA'=NA=90°,NB'FE=NBFE；

又：AD〃BC,

.,.ZBFE=ZB,EF,

.?./B'EF=/BFE=/B'FE,即B'E=B'F=BF；

在RtZXA'B'E中，由勾股定理得：A'B'2+A（E?=B'E2,

即：AB2=BF2-AE2,

；.AB=嚴(yán)亍=/，即AB的長(zhǎng)度是夕。

【拓展提升】1、已矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6,BC=4,點(diǎn)F在DC上，DF=2.動(dòng)點(diǎn)M、N分別

從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿線段DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N

兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).連接FM、FN.設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x

秒，問：當(dāng)x為多少時(shí)，F(xiàn)M±FN?

解：連接MN,做NPJ_DC,

當(dāng)FM_LFN時(shí)，即△MFN為直角三角形，.*.FM2+FN2=MN2,

VMN2=AM2+AN2,DM2+DF2=FM2,PF2+PN2=FN2,

又?.?設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)速度都是1個(gè)單位/秒，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6,BC=4,DF=2,M、N

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，DM=x,AM=4-x,AN=6-x,PN=4,PF=6-2-x,

DM2+DF2+PF2+PN2=AM2+AN2,

.\X2+4+(4-X)2+16=(4-x)2+(6-x)2,解得:x=4/3?

【小結(jié)、板書設(shè)計(jì)】

1、勾股定理的應(yīng)用：

生活中的數(shù)學(xué)問題

立體問題

折疊問題

【教學(xué)反思】

17.1.3《勾股定理》教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

(1)了解在數(shù)軸上無理數(shù)的表示。

(2)能用勾股定理解決問題。

2.過程與方法

在講解與練習(xí)中進(jìn)一步加深理解。

3.情感態(tài)度和價(jià)值觀

通過師生共同活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中培養(yǎng)良好的情感，合作交流，主動(dòng)參與的意識(shí)。

【教學(xué)重點(diǎn)】

無理數(shù)的表示

【教學(xué)難點(diǎn)】

正確的在數(shù)軸上表示無理數(shù)。

【教學(xué)方法】

自學(xué)與小組合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方法。

【課前準(zhǔn)備】

教學(xué)課件。

【課時(shí)安排】

1課時(shí)

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

【過渡】在之前的學(xué)習(xí)中，我們了解到了數(shù)軸這樣一個(gè)概念?，F(xiàn)在，大家看一下這兩個(gè)問題,