高考二輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)專題八1第一講　函數(shù)與方程思想

專題八思想方法第一講函數(shù)與方程思想考點整合函數(shù)思想考綱點擊對數(shù)學(xué)思想方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時必須要與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，通過對數(shù)學(xué)的考查，反應(yīng)考生對數(shù)學(xué)思想的掌握程度．基礎(chǔ)梳理一般地，函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等．在解題中，善于挖掘題目的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵，它廣泛地應(yīng)用于方程、不等式、數(shù)列等問題．整合訓(xùn)練

1．(1)(2009年廣州模擬)方程m＋＝x有解，則m的最大值為(

)A．1

B．0C．－1D．－2(2)方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)根的充要條件是(

)A．0＜a≤1B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≤1D．a(chǎn)＜0或0＜a≤1答案：(1)A

(2)C考綱點擊方程思想

1．方程的思想就是將所求的量(或與所求的量相關(guān)的量)設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件，列出方程(組)，通過解方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行研究，使問題得到解決．

2．方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)：方程f(x)＝0的解就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)；函數(shù)y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0.通過方程進(jìn)行研究，方程f(x)＝a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域；函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要．整合訓(xùn)練

2．(1)把長為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是(

)(2)對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p，使不等式x2＋px＞4x＋p－3成立的x的取值范圍是________．解析：(1)設(shè)截成兩段分別為x，y，則x＋y＝12，即y＝12－x(0＜x＜12)，兩個正三角形的邊長分別為

(2)設(shè)f(p)＝p(x－1)＋x2－4x＋3，f(p)為關(guān)于p的一次函數(shù)，要使f(p)＞0對p∈[0,4]恒成立，則

解得x＞3或x＜－1.

答案：(1)D

(2)x＞3或x＜－1考綱點擊函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用對數(shù)學(xué)能力的考查，強調(diào)“以能力立意”，就是以數(shù)學(xué)知識為載體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點組織材料，側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情境中去的能力，從而檢測出考生個體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能．基礎(chǔ)梳理

1．函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：

(1)借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；

(2)在研究問題中通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的．

2．方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個方面：

(1)解方程或解不等式；

(2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識應(yīng)用；

(3)需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系等；

(4)構(gòu)造方程或不等式求解問題．整合訓(xùn)練答案：D高分突破運用函數(shù)與方程思想解決字母或式子的求值或取值范圍問題已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范圍．思路點撥：本題可以根據(jù)題設(shè)條件將b，c的和與積用a表示，構(gòu)造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其判別式Δ≥0，再構(gòu)建a的不等式求解．或根據(jù)題設(shè)條件將a表示成c的函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解．解析：法一(方程思想)：因為b＋c＝－a，

bc＝1－a.

所以b，c是方程x2＋ax＋1－a＝0的兩根，所以Δ＝a2－4(1－a)≥0，即Δ＝a2＋4a－4≥0，得b＋c－bc＋1＝0，如果c＝1，則b＋1－b＋1＝0，即2＝0，不成立，因此c≠1，跟蹤訓(xùn)練

1．若a、b是正數(shù)，且滿足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范圍．運用函數(shù)與方程思想解決方程問題如果方程cos2x－sinx＋a＝0在上有解，求a的取值范圍．思路點撥：可分離變量為a＝－cos2x＋sinx，轉(zhuǎn)化為確定的相關(guān)函數(shù)的值域．解析：法一：把方程變形為a＝－cos2x＋sinx.易求得f(x)的值域為(－1,1]．故a的取值范圍是(－1,1]．將方程變?yōu)椋簍2＋t－1－a＝0.依題意，該方程在(0,1]上有解．設(shè)f(t)＝t2＋t－1－a，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸t＝－，如下圖所示．跟蹤訓(xùn)練

2．如果方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)(a∈R)有解，求實數(shù)a的取值范圍．②③④由①②得1＜x＜3，∴原方程等價于(x－1)(3－x)＝a－x(1＜x＜3)，即a＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)運用函數(shù)與方程思想解決不等式問題

(1)已知x，y∈R，且2x＋3y＞2－y＋3－x，那么(

)A．x＋y＜0

B．x＋y＞0C．Xy＜0D．Xy＞0(2)設(shè)不等式2x－1＞m(x2－1)對滿足m∈[－2,2]的一切實數(shù)m都成立，求x的取值范圍．思路點撥：(1)先把它變成等價形式2x－3－x＞2－y－3y，再構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)＝2x－3－x，利用函數(shù)單調(diào)性比較．

(2)此問題由于是常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論，若變換一個角度，以m為變量，使f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常函數(shù))f(x)的值在[－2,2]內(nèi)恒負(fù)時，參數(shù)x應(yīng)滿足的條件．解析：(1)設(shè)f(x)＝2x－3－x.因為y＝2x，y＝－3－x均為R上的增函數(shù)，所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函數(shù)．又由2x－3－x＞2－y－3y＝2－y－3－(－y)，即f(x)＞f(－y)，∴x＞－y，即x＋y＞0.(2)設(shè)f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，則不等式2x－1＞m(x2－1)恒成立f(m)＜0恒成立．∴在－2≤m≤2時，跟蹤訓(xùn)練

3．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時取到極值．

(1)求a，b的值；

(2)若對于任意的x∈[0,3]都有f(x)＜c2成立，求c的范圍；

(3)若方程f(x)＝c2有三個根，求c的取值范圍．解析：(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b＝3(2x2＋2ax＋b)．因為函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時取到極值，所以，解得f′(x)＝3(2x2－6x＋4)＝6(x－2)(x－1)．當(dāng)x<1時，f′(x)>0；當(dāng)1<x<2時，f′(x)<0；當(dāng)x>2時，f′(x)>0，所以此時1與2都是極值點，因此，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.(2)由(1)知函數(shù)y＝f(x)在x＝1處取到極大值f(1)＝5＋8c，在x＝2處取到極小值f(2)＝4＋8c.因為f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，所以當(dāng)x∈[0,3]時，函數(shù)y＝f(x)的最大值是f(3)＝9＋8c，所以要使對于于任意的x∈[0,3]都有f(x)＜c2成立，需要f(3)＝9＋8c＜c2，c2－8c－9＞0，解得c＜－1或c＞9.

(3)由(1)(2)知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，1)上是增函數(shù)，在(1,2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)，

y＝f(x)在x＝1處取到極大值f(1)＝5＋8c，在x＝2處取到極小值f(2)＝4＋8c，

f(1)>f(2)．所以要使方程f(x)＝c2有三個根，需要f(2)＜c2＜f(1)，即4＋8c＜c2＜5＋8c，解得運用函數(shù)與方程思想解決不等式應(yīng)用問題

平面內(nèi)邊長為a的正三角形ABC，直線DE∥BC，交AB、AC于D、E，現(xiàn)將△ABC沿ED折成60°的二面角，求DE在何位置時，折起后A到BC的距離最短，最短距離是多少？思路點撥：本題首先借助于幾何作圖找出折起來后A到BC的距離，然后選定合理變量建立距離的目標(biāo)函數(shù)．解析：如圖所示，A沿DE折起到A′，過A作AG⊥BC于G，交DE于F，連結(jié)A′F、A′G，∵△ABC為正三角形，DE∥BC，∴AF⊥DE，A′F⊥DE，同時，G、F分別為BC、DE的中點，∴DE⊥平面A′FG，BC⊥平面A′FG，∴∠A′FG是二面角A′－ED－B的平面角．由題知∠A′FG＝60°，∴A′G為所求．在△A′FG中，設(shè)FG＝x，則A′F＝a－x.由余弦定理得A′G2＝A′F2＋FG2－2A′F·FG·cos60°跟蹤訓(xùn)練

4．統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函解析式可以表示為

(0<x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米．

(1)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地的耗油量最少？最少為多少升？解析：(1)當(dāng)x＝40時，汽車從甲地到乙地行駛了＝2.5小時，要耗油故當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升．

(2)當(dāng)速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙