第9講-導(dǎo)數(shù)壓軸小題10種題型(2)(解析版)公開課

微信公眾號：數(shù)學(xué)講義試卷囡囡老師微信jiaoyu376word版下載QQ群：4575125381/34第9講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)壓軸小題10類（2）【題型一】導(dǎo)數(shù)中的“距離”1：利用同底指數(shù)和對數(shù)關(guān)于y=x對稱關(guān)系（原函數(shù)與反函數(shù)）【典例分析】設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，與直線相交于，關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，根據(jù)切線與平行得到，得到答案.【詳解】如圖所示：與直線相交于，關(guān)于的對稱點(diǎn)在上.則設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故恒成立，即恒成立.的導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)兩條切線與平行時(shí)，都有，到直線的距離為.故，當(dāng)，時(shí)等號成立.故選：.【變式演練】1.已知,為自然對數(shù)的底數(shù)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于對稱.令，切線方程為，和直線之間的距離為，故的最小值為，此時(shí)，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與最值問題，考查互為反函數(shù)的兩個函數(shù)間的最值問題.首先觀察要求最小值的式子，第一個部分可以看作兩個互為反函數(shù)的函數(shù)和函數(shù)，這兩個函數(shù)圖像關(guān)于對稱，可以利用導(dǎo)數(shù)求得對應(yīng)圖像上兩點(diǎn)的距離的最小值.2.若直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線為，曲線在點(diǎn)處的切線為，則下列結(jié)論：①，使；②當(dāng)時(shí)，取得最小值；③的最小值為2；④．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．① B．①②③C.①②④D.②③④【答案】C【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求得兩條切線方程，令,可知，故存在零點(diǎn)，①正確；，通過求導(dǎo)討論單調(diào)性可知有最小值，進(jìn)而可以判斷最小值范圍，②正確，③錯誤；通過判斷與大小可判斷出④正確.【詳解】由直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)可知：曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，可知切線：.曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率.令，則，令，，由零點(diǎn)存在定理，使，即，使，即，故①正確.，令，由同理可知有，使，令，在處取最小值，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，故②正確.是對勾函數(shù)，在上是減函數(shù)，，故③錯誤.，，故④正確.故選：C.3.已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段的長度的最小值為A． B． C． D．【答案】A【分析】將的最小值，轉(zhuǎn)化為到圓心的最小距離再減去半徑來求得的最小值.設(shè)出函數(shù)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，求得圓心的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得這個表達(dá)式的最小值，再減去求得的最小值.【詳解】依題意，圓心為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式得，設(shè)，，令解得，由于，可知當(dāng)時(shí)，遞增，時(shí)，，遞減，故當(dāng)時(shí)取得極大值也是最大值為，故，故時(shí)，且，所以，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，且，即，單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值也是最小值為，故的最小值為，此時(shí).故選A.【題型二】導(dǎo)數(shù)中的“距離”2：構(gòu)造型距離【典例分析】已知實(shí)數(shù)滿足，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知得點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，的幾何意義就是直線到曲線上點(diǎn)的距離最小值的平方，由此能求出的最小值.【詳解】實(shí)數(shù)滿足，，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，的幾何意義就是直線到曲線上點(diǎn)的距離最小值的平方，考查曲線平行于直線的切線，，令，解得，切點(diǎn)為，該切點(diǎn)到直線的距離，就是所求的直線與曲線間的最小距離，故的最小值為.故選：D【變式演練】1.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】將題目所給方程，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，而題目所求表示為的最小值，利用平移求切線的方法，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求得的最小值.解：∵，∴點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，∴要使最小，當(dāng)且僅當(dāng)過曲線上的點(diǎn)且與平行時(shí)．∵，由得，；由得．∴當(dāng)時(shí)，取得極小值．由，可得（負(fù)值舍去）∴點(diǎn)到直線的距離為，故選：A．2.設(shè).，則的最小值為A． B．1 C． D．2【答案】C【詳解】由題可得：設(shè)，所以為上任意一點(diǎn)到上任一點(diǎn)及拋物線焦點(diǎn)的距離之和，所以距離表達(dá)式為,令，，顯然在遞減，遞增所以，故最小值為3.已知實(shí)數(shù)滿足，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】點(diǎn)看作曲線上點(diǎn)P；點(diǎn)看作直線上點(diǎn)Q；則為,由，所以，選A.【題型三】導(dǎo)數(shù)中的“距離”3：其他距離【典例分析】已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值．詳解：設(shè)，則，，，∴，令，則，，∴是上的增函數(shù)，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，，∴的最小值是．【變式演練】1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C．7 D．【答案】B【分析】設(shè)t為在上的零點(diǎn)，可得，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上，根據(jù)的幾何意義，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得答案.【詳解】設(shè)t為在上的零點(diǎn)，則，所以，即點(diǎn)在直線，又表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，則，即，令，可得，因?yàn)?，所以，得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)t=0是，，所以的最小值為.故選：B.2.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為__________.【答案】【分析】，看成點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，轉(zhuǎn)化為一個點(diǎn)在函數(shù)上，一個點(diǎn)在直線上，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的應(yīng)用可以求出，再利用取等號的條件求出【詳解】解：，則看成點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，其中點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)在直線上，由，得，令，則，，設(shè)，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值，點(diǎn)到直線的距離為，所以，過點(diǎn)且垂直直線的直線方程為，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為，故答案為：3.已知P是曲線上的點(diǎn)，Q是曲線上的點(diǎn)，曲線與曲線關(guān)于直線對稱，M為線段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】【分析】畫出函數(shù)及其關(guān)于對稱的曲線的簡圖，根據(jù)圖像，分別過P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點(diǎn)在圖中兩條虛線的中間線上，要中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小需要左邊最近，右邊最遠(yuǎn)，因此當(dāng)兩條虛線是如圖所示曲線的切線時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)分別是P，Q，此時(shí)P，Q的中點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離最小，利用相切求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得解．【詳解】,函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.。它的圖像及關(guān)于直線對稱的圖像如圖所示：分別過P，Q作的平行線，如圖虛線，由于中點(diǎn)在圖中兩條虛線的中間線上，要中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小需要左邊最近，右邊最遠(yuǎn)，因此當(dāng)兩條虛線是如圖所示曲線的切線時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)分別是P，Q，此時(shí)P，Q的中點(diǎn)M到原點(diǎn)O的距離最小.令，又P在y軸右側(cè)，；根據(jù)兩條曲線的對稱性，且P，Q處的切線斜率相等，點(diǎn)Q為點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)，可求得。因此PQ中點(diǎn)坐標(biāo)為：故答案為：【題型四】極值點(diǎn)偏移【典例分析】已知函數(shù)，若且，關(guān)于下列命題：正確的個數(shù)為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．f(0)=1f(1)=0，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，所以．即x軸是函數(shù)的漸近線，畫出草圖如下．．由圖可知（1）（4）錯，（2）（3）對．選B.【變式演練】1..已知方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，（），則下列不等式不成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點(diǎn)且橫坐標(biāo)分別為，（），利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得且有，令則，構(gòu)造中間函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而判斷的符號，即可確定A、B的正誤；構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，判斷C、D的正誤.【詳解】由題意，，即與在上有兩個交點(diǎn)且橫坐標(biāo)分別為，（），∵，而，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴的極小值也是最小值為，而，，，∴要使題設(shè)成立，則且有.令，則，∴，若且，∴∵，，∴，即在上單調(diào)遞減，∴，∴且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故在右側(cè)存在，使，即，若，∴，且恒成立，即，故A、B正確；令且，則，即，∴，，遞減；，，遞增；∴，故單調(diào)遞增，∴，即，易知C正確，D錯誤；故選：D2.已知，若，且，則與2的關(guān)系為A． B． C． D．大小不確定【答案】A【分析】先求導(dǎo)求出的極大值點(diǎn)為1，再比較和的大小得出，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減可得．【詳解】由題，,令則有，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以,在時(shí)取得極大值和最大值.

又當(dāng)趨近于正無窮時(shí),正向趨近于0,且,所以,如果存在使得,不失一般性令,則,，

對于任意的,分別取兩點(diǎn)、，現(xiàn)在比較和的大小.，

令分子部分為,.求導(dǎo)有,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),又，故單調(diào)遞增且大于0.所以,在上是單調(diào)增函數(shù),且,故,即，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞減且,所以在點(diǎn)的右側(cè)必能找到一點(diǎn),使得,且，故，令,則有，故選A．3.設(shè)且，若，則下列結(jié)論中一定正確的個數(shù)是①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】，即，令時(shí)，時(shí)，，，，故④對；令時(shí)，，，，即，故①對；又，故③對；構(gòu)造，遞減，時(shí)，，，，故故②對，所以正確的個數(shù)為，故選D.【題型五】嵌套函數(shù)求參【典例分析】已知函數(shù)，若曲線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的值域可以確定，然后換元令，進(jìn)而根據(jù)討論得出，代入可得，解出m，轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求值域的問題.【詳解】由題意，曲線上存在點(diǎn)，使得，所以．記，若，則，所以，不滿足，同理也不滿足，所以，所以，所以，所以記，則，記，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以的最大值為故選：D.【變式演練】1.設(shè)函數(shù)，若曲線上存在點(diǎn)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明.令函數(shù)，化為.令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.解：，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即函數(shù)的取值范圍為，，若上存在點(diǎn)，使得成立，則，.又在定義域上單調(diào)遞增.所以假設(shè)，則（c），不滿足.同理假設(shè)，也不滿足.綜上可得：.，.函數(shù)，的定義域?yàn)?，等價(jià)為，在，上有解即平方得，則，設(shè)，則，由得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，即（1），當(dāng)時(shí)，（e），則.則.故選：.2.已知函數(shù)，，記函數(shù)g(x)和h(x)的零點(diǎn)個數(shù)分別是M，N，則（）A．若M=1，則N≤2 B．若M=2，則N≥2C．若M=3，則N=4 D．若N=3，則M=2【答案】A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，分析其單調(diào)性和最值，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖像，根據(jù)題意函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)與的范圍有關(guān)，為簡單起見只討論的情況，逐一選項(xiàng)判斷即可得選項(xiàng).【詳解】，令單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，當(dāng)，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖像，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖像如下圖所示：記，則的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為和，對于A選項(xiàng)：若時(shí)，即有1個零點(diǎn)，即有1個交點(diǎn)，所以或，（1）當(dāng)時(shí)，有1個根，且，所以的根的情況是：在時(shí)，有2個根，在時(shí)，有1個根；（2）當(dāng)時(shí)，有1個根，，所以沒有根，所以若時(shí)，h(x)的零點(diǎn)個數(shù)或；所以，故A選項(xiàng)成立；對于B選項(xiàng)：若時(shí)，即有2個零點(diǎn)，即有2個交點(diǎn)，所以或，（1）當(dāng)時(shí)，有2個根，且，所以的根的情況是：在時(shí)，有2個根，當(dāng)時(shí)，有2個根，在或時(shí)，有1個根，當(dāng)時(shí)，沒有根；（2）當(dāng)時(shí)，有2個根，且或，所以沒有根，所以若時(shí)，h(x)的零點(diǎn)個數(shù)或或；所以，故B選項(xiàng)不正確；由圖示可知和不可能有3個零點(diǎn)，所以，若或這種情況不存在；所以當(dāng)時(shí)，若時(shí)，或；若時(shí)，或或；若或的情況不存在；和的情況與的情況類似，故選：A.3.已知函數(shù)，若有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.由，得.根據(jù)的解析式，分別求出的表達(dá)式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，綜上，對.有兩個零點(diǎn)，即方程有兩個根，即方程有兩個根，不妨設(shè).易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.令..令，，令.時(shí)，；時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的值域?yàn)?，即的取值范圍?故選：.【題型六】多參型1：復(fù)雜討論型【典例分析】已知、，且，對任意均有，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】推導(dǎo)出與符號相同，構(gòu)造函數(shù)，然后對四個選項(xiàng)中的條件逐一驗(yàn)證，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】，故與的符號相同，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，與的符號相同.，令，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，可得，，.，分以下四種情況討論：對于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則，若，若、、均為正數(shù)，①若，則，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；②若，則，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.③若、、都不相等，記，則當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.由上可知，，當(dāng)時(shí)，若使得恒成立，則，如下圖所示，所以，當(dāng)，時(shí)，且，時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立；對于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則，①若時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，其中，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，.當(dāng)時(shí)，由于，則，不合乎題意，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則，此時(shí)、、為正數(shù).①當(dāng)、、都不相等時(shí)，記，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；②若，則，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.所以，D選項(xiàng)錯誤.故選：B.【變式演練】1.設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)，函數(shù)，.若存在，使成立，則的取值范圍為_________.【答案】【分析】由區(qū)間的表示可知,令，存在，使成立等價(jià)于，求導(dǎo)后判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號，即可討論出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求出的取值范圍.【詳解】∵存在，使成立，∴，得；令；∴；∵，，，令，即時(shí)，遞增；時(shí)，遞減；①若，即在上單調(diào)遞減；∴，對恒成立；②若，即，在上先遞減后遞增；∴，∴，，即，綜上的取值范圍為.故答案為：.2.對任意的，不等式恒成立，則的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)不等式恒成立，構(gòu)造，有，利用二階導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再討論、時(shí)的單調(diào)性，進(jìn)而確定在上的最小值及對應(yīng)m、n的關(guān)系式，將與所得關(guān)系式轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切的問題，求的最小值即可.【詳解】令，則，即，∴單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，而當(dāng)時(shí)，，故不滿足；當(dāng)時(shí)，若得，即，∴時(shí)，，即遞減；當(dāng)時(shí)，，即遞增；若令，即，則：①當(dāng)，即，恒成立；∴情況下最小，即直線與曲線相切，而，∴時(shí)，，有，，則；當(dāng)，即，，得，∴情況下最小，即直線與曲線相切，而，∴時(shí)，，有，，則；∴綜上：，即的最小值為.故答案為：.3.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)絕對值的幾何意義，有，且，故，化簡得，，令，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.【題型七】多參型2：凸凹翻轉(zhuǎn)型【典例分析】已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】C【分析】等價(jià)于，令，，分別求，的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可求得有最大值，有最小值，根據(jù)題意，即求，代入為，等價(jià)于，令，即求的最大的正整數(shù).對求導(dǎo)求單調(diào)性，可知單調(diào)遞減，代入數(shù)值計(jì)算即可求出結(jié)果.解：由題干條件可知：等價(jià)于，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有最大值.令，，則，當(dāng)時(shí)，此題無解，所以，則，當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有最小值.若成立，只需，即，即，兩邊取對數(shù)可得：.時(shí)，等式成立，當(dāng)時(shí)，有，令，本題即求的最大的正整數(shù).恒成立，則在上單調(diào)遞減，，，，所以的最大正整數(shù)為9.。故選：C.【變式演練】1.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，得，變形為，令，，求導(dǎo)求最值得,結(jié)合取等條件求出x,y即可【詳解】設(shè)，，則，令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,則在單調(diào)遞增單調(diào)遞減，令，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由題意，，，，,故x+y=2。故選A2.已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)定義，令，可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并令，解得，且根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得在處取得最大值。所以可得，進(jìn)而根據(jù)極限值情況可得m的取值范圍?！驹斀狻苛睿苫癁?，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，先增后減，即從負(fù)無窮增大到，然后遞減到，而函數(shù)是時(shí)由正無窮遞減到0，然后又逐漸增大，所以，即所以選B【題型八】多參型3:比值代換等代換【典例分析】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），則實(shí)數(shù)的可能的取值是（）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，求出的取值范圍，進(jìn)而可得的取值范圍，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.解：，令，又，，且，令，則，再令，在上單調(diào)遞增。又，在上，；在上，，則在上，；在上，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，或或所以結(jié)合選項(xiàng)，可知答案選B.故選：B【變式演練】1.對任意的正數(shù)，都存在兩個不同的正數(shù)，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得，設(shè)，則，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，故當(dāng)時(shí)，存在兩個不同的實(shí)數(shù)，使成立，即對任意的實(shí)數(shù)，都存在兩個不同的實(shí)數(shù)，使得成立．故選A2.若正實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)的最大值為______.【答案】【分析】根據(jù)題意，先求出函數(shù)的零點(diǎn)，，然后換元，轉(zhuǎn)化為求的最大值，求導(dǎo)取得其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求t的最大值，再令，再根據(jù)單調(diào)性求最大值，最后求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)令所以零點(diǎn)的最大值就相當(dāng)于求的最大值令，所以函數(shù)是單調(diào)遞減的，當(dāng)t取最小值時(shí)，f(t)取最大值又因?yàn)?，a+b=1所以令，令，解得，此時(shí)遞增。，解得，此時(shí)遞減，所以此時(shí)故答案為3.若存在兩個正實(shí)數(shù)x，y使等式成立，（其中）則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.【答案】【詳解】，，設(shè)，設(shè)，那么，恒成立，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在時(shí)，取得最大值，，即，解得：或，寫出區(qū)間為，故填：.【題型九】多參型4：韋達(dá)定理型【典例分析】已知在上恰有兩個極值點(diǎn)，，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間有兩個零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得以及，求出的表達(dá)式，將用表示，表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，令，得，由題意知在上有兩個根，，∴，得．由根與系數(shù)的關(guān)系得，由求根公式得，∵，∴，∵，∴．則，令，則．設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，∴，且，∴，故選：D.【變式演練】1.已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求導(dǎo)得（），由于函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，根據(jù)，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)，通過利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，，所以方程有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因?yàn)?設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.2.已知函數(shù)（其中，），當(dāng)時(shí)恒成立，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】將拆分為、分別研究單調(diào)性，令可得，討論該方程、情況下參數(shù)a、b、c的關(guān)系或范圍，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求目標(biāo)式的范圍.【詳解】令，則，∴時(shí)，時(shí)，∴在上遞減，在上遞增，故，若，則在上遞減，在上遞增，令，即，，1、即時(shí)，在上的兩個零點(diǎn)為，同時(shí)它們恰好為的零點(diǎn)，∴，即，又，則，此時(shí)，，令，則，∴遞減且時(shí)，則，故.2、，即時(shí)，在上，此時(shí)只需即即可.此時(shí)，，令，則，即在遞減，∴，而，故.綜上，【題型十】多參型5：“二次”最值型【典例分析】已知函數(shù)，若時(shí)，恒有，則的最大值為A． B． C． D．【答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)并帶入已知不等式中，將不等式恒成立問題由構(gòu)造新函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)利用分類討論求最小值即可求出ab的不等式關(guān)系，進(jìn)而表示，再令并構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，由題可知，對，恒有成立，令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減；所以，故，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故，綜上所述，的最大值為.故選：C【變式演練】1.已知不等式（，且）對任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化條件得，求出的最小值后即可得，可得，最后求出的最大值即可得解.【詳解】由題意得恒成立，令，則，若，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以最小值為.，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，即的最大值為.。故選：B.2.已知函數(shù)，若，則ab的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出的圖像，結(jié)合圖像，根據(jù)，求得的取值范圍.令，將用表示，由此求得的表達(dá)式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，令，解得.所以.令，由圖可知.，所以.所以.構(gòu)造函數(shù)（稍微放大的范圍）..令，，所以在上遞減.而.由于，所以，，，所以.，故存在，使.所以在上遞增，在上遞減.所以對于來說，最小值只能在區(qū)間端點(diǎn)取得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最小值為.故選：B3.已知函數(shù)．若不等式對恒成立，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過將不等式變形，即需要證明在上恒成立，再通過對求導(dǎo)，找出求出的最大值，再證明大于等于零在上恒成立即可【詳解】解法1：令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，無最大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，∴，即，，，，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，；當(dāng)時(shí)，，可得時(shí)，取得最小值，上的最小值為，故選B．解法2，作出的圖象，易知是凸函數(shù)，曲線與軸交于點(diǎn)，即，要滿足題意，則時(shí)，用零點(diǎn)比大小模型，，則，故選B．【課后練習(xí)】1.對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若滿足①；②當(dāng)，且時(shí)，都有；③當(dāng)，且時(shí)，都有，則稱為“偏對稱函數(shù)”．現(xiàn)給出四個函數(shù)：；；則其中是“偏對稱函數(shù)”的函數(shù)個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】因?yàn)闂l件②，所以與同號，不符合②，不是“偏對稱函數(shù)”；對于；，滿足①②，構(gòu)造函數(shù)，，在上遞增，當(dāng)，且時(shí)，都有，，滿足條件③，是“偏對稱函數(shù)”；對于，，滿足條件①②，畫出函數(shù)的圖象以及在原點(diǎn)處的切線，關(guān)于軸對稱直線，如圖，由圖可知滿足條件③，所以知是“偏對稱函數(shù)”；函數(shù)為偶函數(shù)，，不符合③，函數(shù)不是，“偏對稱函數(shù)”，故選C.2.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為__________．【答案】【解析】實(shí)數(shù)滿足，可得，分別令，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)與的點(diǎn)之間的距離的最小值，，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)為，則，解得，可得切點(diǎn)，切點(diǎn)到直線的距離.的最小值為，故答案為.3.已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)（為自然對數(shù)的底），則線段的長度的最小值為______．【答案】【詳解】圓心，先求的最小值，設(shè)，所以以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，當(dāng)垂直切線時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)，函數(shù)圖象上任意點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于點(diǎn)到切線的距離即，所以的最小值是，故答案為.4..已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【分析】先由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合等式，得出，由此得出關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)解，利用參變量分離法得出在有實(shí)根，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在區(qū)間有交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可.【詳解】易知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則存在，使得不等式成立，所以，，得.①假設(shè)，則，不合乎題意；②假設(shè)，則，不合乎題意；③假設(shè)，則，合乎題意.由上可知，關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)解，由