41 數(shù)列的概念（八大題型）

4．1數(shù)列的概念【題型歸納目錄】題型一：數(shù)列的有關(guān)概念和分類題型二：由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式題型三：數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型四：遞推公式的應(yīng)用題型五：前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)的關(guān)系題型六：數(shù)列單調(diào)性的判斷題型七：求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)題型八：周期數(shù)列【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、數(shù)列的概念數(shù)列概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；（2）定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)．?dāng)?shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，…；排在第位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)．其中數(shù)列的第1項(xiàng)也叫作首項(xiàng)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是兩個(gè)不同的概念．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)．類比集合中元素的三要素，數(shù)列中的項(xiàng)也有相應(yīng)的三個(gè)性質(zhì)：（1）確定性：一個(gè)數(shù)是否數(shù)列中的項(xiàng)是確定的；（2）可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)；（3）有序性：數(shù)列中的數(shù)的排列是有次序的．?dāng)?shù)列的一般形式：數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成：，或簡(jiǎn)記為．其中是數(shù)列的第項(xiàng)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：與的含義完全不同，表示一個(gè)數(shù)列，表示數(shù)列的第項(xiàng)．知識(shí)點(diǎn)二、數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，…是無(wú)窮數(shù)列根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列．?dāng)[動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)三、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第項(xiàng)與之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）并不是所有數(shù)列都能寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；（2）一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的．如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項(xiàng)公式可以是，也可以是．（3）數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng)．（4）數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列的前項(xiàng)和：指數(shù)列的前項(xiàng)逐個(gè)相加之和，通常用表示，即；與的關(guān)系當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故．知識(shí)點(diǎn)四、數(shù)列的表示方法通項(xiàng)公式法（解析式法）：數(shù)列通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系．給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)．反之，根據(jù)通項(xiàng)公式，可以判定一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)．列表法相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項(xiàng)，用表示第二項(xiàng)，……，用表示第項(xiàng)，……，依次寫(xiě)出得數(shù)列．12…………圖象法：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)數(shù)列的圖形．具體方法：以項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)．所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)．遞推公式法遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法．如：數(shù)列：，1，5，9，13，…，可用遞推公式：，表示．?dāng)?shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，可用遞推公式：，，表示．知識(shí)點(diǎn)五、數(shù)列與函數(shù)（1）數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上．?dāng)?shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù)，如果（）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列，，，…，，…；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值，序號(hào)是自變量，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系．給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)．反之，根據(jù)通項(xiàng)公式，可以判定一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)．（3）數(shù)列的圖象是落在軸右側(cè)的一群孤立的點(diǎn)數(shù)列的圖象是以項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)的一系列孤立的點(diǎn)，這些點(diǎn)都落在函數(shù)的圖象上．因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸的右側(cè)，從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)．（4）跟不是所有的函數(shù)都有解析式一樣，不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式．【方法技巧與總結(jié)】1、判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（2）作商比較法：ⅰ．當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列；ⅱ．當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（3）結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷：寫(xiě)出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去．2、求數(shù)列最大（?。╉?xiàng)的方法（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．（2）利用，求數(shù)列中的最大項(xiàng)；利用，求數(shù)列中的最小項(xiàng)．當(dāng)解不唯一時(shí)，比較各解大小即可確定．題型一：數(shù)列的有關(guān)概念和分類例1．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列1，0，，與，，0，1是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第k項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列0，2，4，6，可記為【答案】C【解析】對(duì)A，數(shù)列可為常數(shù)數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)B，一個(gè)遞減，一個(gè)遞增，不是相同數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)D，數(shù)列中的第一項(xiàng)不能用表示，D錯(cuò)誤.故選：C例2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可表示為集合B．?dāng)?shù)列，，，與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列，可記為【答案】C【解析】由數(shù)列定義知A錯(cuò)；B中排列次序不同，錯(cuò)誤；C中第項(xiàng)為，正確；D中，錯(cuò)誤.故選：C例3．（2023·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式的形式是唯一的D．?dāng)?shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通項(xiàng)公式【答案】A【解析】對(duì)于A，由數(shù)列定義知，A正確；對(duì)于B，數(shù)列只有5項(xiàng)，該數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，也可以為，該數(shù)列通項(xiàng)公式不唯一，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，D錯(cuò)誤.故選：A變式1．（2023·廣東廣州·高二廣州市第九十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）①數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，3，5，1是同一數(shù)列；②數(shù)列0，1，2，3...的一個(gè)通項(xiàng)公式為；③數(shù)列0，1，0，1…沒(méi)有通項(xiàng)公式；④數(shù)列是遞增數(shù)列A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【答案】B【解析】數(shù)列有順序，①錯(cuò)誤；逐個(gè)代入檢驗(yàn)，可知數(shù)列前幾項(xiàng)滿足通項(xiàng)公式，②正確；就是③的一個(gè)通項(xiàng)公式，③錯(cuò)誤；設(shè)，則，所以，，所以④正確.故選：B.變式2．（2023·陜西渭南·高二校考階段練習(xí)）下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是（

）①數(shù)列與數(shù)列是同一數(shù)列；②數(shù)列的第項(xiàng)是；③數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān).A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【解析】對(duì)于①，數(shù)列與數(shù)列的順序不一樣，故不是同一數(shù)列；對(duì)于②，數(shù)列的第項(xiàng)，即把代入，故數(shù)列的第項(xiàng)是；對(duì)于③，根據(jù)數(shù)列的定義，數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān)；故選：B變式3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列說(shuō)法：①元素有三個(gè)以上的數(shù)集就是一個(gè)數(shù)列；②數(shù)列1，1，1，1，…是無(wú)窮數(shù)列；③每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式；④根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，只能寫(xiě)出唯一的通項(xiàng)公式；⑤數(shù)列可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．其中正確的有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①，數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，而數(shù)集的元素?zé)o順序性，①不正確；對(duì)于②，由無(wú)窮數(shù)列的意義知，數(shù)列1，1，1，1，…是無(wú)窮數(shù)列，②正確；對(duì)于③，不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)，如按精確度為得到的不足近似值，依次排成一列得到的數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式，③不正確；對(duì)于④，前4項(xiàng)為1，1，1，1的數(shù)列通項(xiàng)公式可以為，等，即根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式可以不唯一，④不正確；對(duì)于⑤，有些數(shù)列是有窮數(shù)列，不可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，⑤不正確，所以說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是1.故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴(yán)格按照定義進(jìn)行判斷．（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性時(shí)一定要確保每一項(xiàng)均大于（或均小于）后一項(xiàng)，不能有例外．題型二：由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式例4．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）根據(jù)下面圖形排列的規(guī)律，繼續(xù)畫(huà)下去，在括號(hào)里填上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，并寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)

(2)

【解析】（1）有，，，故；（2），，，故.例5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）觀察下面數(shù)列的變化規(guī)律，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并寫(xiě)出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)（

），7，12，（

），22，27，…；(2)，，（

），，，，（

），…；(3)1，，（

），2，，（

），，…；(4)，，（

），，…．【解析】（1）因?yàn)椋?，原?shù)列為2，7，12，17，22，27，…，相鄰兩項(xiàng)的差都是5，故.（2）由，原數(shù)列可化為，，，，，，，…，可得.（3）由，，原數(shù)列可化為，，，，，，，得.（4）因?yàn)樵瓟?shù)列可化為，，，，…，所以.例6．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）觀察以下各數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，并對(duì)每一個(gè)數(shù)列各寫(xiě)出一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)2，4，______，8，10，12；(2)2，4，______，16，32，______，128，______；(3)______，4，3，2，1，______，，______；(4)______，4，9，16，25，______，49.【解析】（1）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律可知其是偶數(shù)數(shù)列，于是空格填，符合的通項(xiàng)為；（2）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律發(fā)現(xiàn)后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的倍，故三個(gè)空分別填，符合的通項(xiàng)為；（3）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律發(fā)現(xiàn)后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)少，故三個(gè)空分別填，符合的通項(xiàng)為；（4）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律可知其是每個(gè)正整數(shù)的平方，故兩個(gè)空分別填，符合的通項(xiàng)為.變式4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并在橫線上和括號(hào)中分別填上第項(xiàng)的圖形和點(diǎn)數(shù)．(1)(2)(3)【解析】（1）設(shè)第項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為，，，，，該數(shù)列的第項(xiàng)為，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的圖形如下圖所示：（2）設(shè)第項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為，，，，，該數(shù)列的第項(xiàng)為，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的圖形如下圖所示：（3）設(shè)第項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)為，，，，，該數(shù)列的第項(xiàng)為，數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的圖形如下圖所示：變式5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出以下各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，并根據(jù)你寫(xiě)的通項(xiàng)公式求出各數(shù)列的第10項(xiàng).(1)；(2).【解析】（1）由知，第一項(xiàng)分母為2，第二項(xiàng)分母，第三項(xiàng)分母，依次規(guī)律，第n項(xiàng)分母為，所以通項(xiàng)公式，故.（2）先不考慮符號(hào)，第一項(xiàng)1，第二項(xiàng)3，第三項(xiàng)5，第四項(xiàng)7，故第n項(xiàng)，再考慮符號(hào)，可得.故.變式6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)，，，，，…；(2)1，，，，，…；(3)6，66，666，6666，66666，…；(4)2，0，2，0，2，…．【解析】（1）該數(shù)列的分子成公差為2的等差數(shù)列，分母成公比為2的等比數(shù)列，則（2）該數(shù)列是正負(fù)交錯(cuò)的擺動(dòng)數(shù)列，被開(kāi)方次數(shù)依次遞增，故（3）9，99，999…的一個(gè)通項(xiàng)公式為則6，66，666…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（4）1，1，1，1，1，…．的一個(gè)通項(xiàng)公式為，則2，0，2，0，2，…．的一個(gè)通項(xiàng)公式為.變式7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)0，1，0，1，…；(2)7，77，777，7777，…；(3)，，，，…；(4)，，，，…．【解析】（1）根據(jù)所給數(shù)列可得，.（2）根據(jù)所給數(shù)列可得，（3）根據(jù)所給數(shù)列可得，（4）根據(jù)所給數(shù)列可得，【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的解題思路（1）先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等．（2）分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對(duì)應(yīng)序號(hào)間的函數(shù)解析式．（3）對(duì)于正負(fù)交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對(duì)值，再用或處理符號(hào)．（4）對(duì)于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等．題型三：數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例7．（2023·河南周口·高二統(tǒng)考期末）將等差數(shù)列按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)陣.根據(jù)這個(gè)排列規(guī)則，數(shù)陣中第20行從左至右的第5個(gè)數(shù)是.【答案】583【解析】記每一行的第1個(gè)數(shù)組成數(shù)列則累加得所以則第20行從左到右的第5個(gè)數(shù)是故答案為：583例8．（2023·福建莆田·高二莆田二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列1，2，，，，…，則是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)．【答案】8【解析】原數(shù)列前幾項(xiàng)可以看為，，，，，根據(jù)此規(guī)律可得數(shù)列通項(xiàng)公式為.令，則.故答案為：8.例9．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市阿城區(qū)第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）1766年，德國(guó)有一位名叫提丟斯的中學(xué)數(shù)學(xué)老師，把數(shù)列0，3，6，12，24，48，96，……經(jīng)過(guò)一定的規(guī)律變化，得到新數(shù)列：，，1，，，，10，……，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，新數(shù)列的各項(xiàng)恰好為太陽(yáng)系行星與太陽(yáng)的平均距離，并據(jù)此發(fā)現(xiàn)了“天王星”、“谷神星”等行星，這個(gè)新數(shù)列就是著名的“提丟斯波得定則”．根據(jù)規(guī)律，新數(shù)列的第8項(xiàng)為．【答案】/【解析】原數(shù)列，從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的兩倍，所以其第項(xiàng)為，新數(shù)列，是將原數(shù)列的對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：先加，然后除以所得，所以，新數(shù)列的第項(xiàng)為.故答案為：變式8．（2023·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校╈巢瞧鯏?shù)列的前7項(xiàng)是1，1，2，3，5，8，13，則該數(shù)列的第10項(xiàng)為．【答案】55【解析】1，1，2，3，5，8，13，21，，則從三項(xiàng)起，每一項(xiàng)均為前2項(xiàng)的數(shù)字之和，，，故則該數(shù)列的第10項(xiàng)為55.故答案為：55．變式9．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“開(kāi)心辭典”中有這樣的問(wèn)題：給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的第幾個(gè)數(shù)，現(xiàn)給出一組數(shù)：，它的第個(gè)數(shù)是【答案】/【解析】可寫(xiě)為：，第個(gè)數(shù)為，則第個(gè)數(shù)為.故答案為：.變式10．（2023·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）數(shù)列，，，，，，，，，，，…，則該數(shù)列的第28項(xiàng)為．【答案】【解析】由題可知，數(shù)列的各項(xiàng)分母為的有個(gè)，因?yàn)椋詳?shù)列的第28項(xiàng)為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．（2）判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無(wú)解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．題型四：遞推公式的應(yīng)用例10．（2023·黑龍江佳木斯·高二校考期中）已知數(shù)列中，，，則其第3項(xiàng)為．【答案】【解析】因?yàn)椋?，故，所?故答案為：例11．（2023·湖北恩施·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，，則．【答案】2022【解析】因?yàn)椋?，所以，所以是常?shù)列，又，所以．故答案為：2022.例12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【解析】因，，則，，.故答案為：.變式11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）2500多年前的古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究數(shù)時(shí)，喜歡把數(shù)描述成沙灘上的小石子．他們發(fā)現(xiàn)1，3，6，10，15，…這些數(shù)量的石子，都可以排成三角形（如圖），并稱這樣的數(shù)為“三角形數(shù)”，記圖中小圓的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，試寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系．【解析】依題意，可知，，，，，，而且，由圖可知，在第個(gè)“三角形數(shù)”圖案的下面添加個(gè)小圓，即得到第個(gè)“三角形數(shù)”圖案，因此，為數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系．【方法技巧與總結(jié)】遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可以逐次寫(xiě)出數(shù)列的所有項(xiàng)．題型五：前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)的關(guān)系例13．（2023·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】時(shí)，，時(shí)，，不適合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例14．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式．(1)；(2)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，又滿足，故；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故例15．（2023·甘肅臨夏·高二臨夏中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)求，；(2)求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，則；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式.變式12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，問(wèn)是否存在正整數(shù)，使得成立，并說(shuō)明理由．【解析】（1）由可得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也符合上式，所以（2），因此，故，故當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，，因此不存在正整數(shù)，使得成立.變式13．（2023·高二單元測(cè)試）數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值；(3)設(shè)函數(shù)是與n的最大者，求的最小值．【解析】（1）由，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，因?yàn)?，所以，所以，則，以上各式相乘得：，所以，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以；（2），故當(dāng)或時(shí)，取得最小值，所以；（3），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)椋?變式14．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）由，得，即，解得：(舍或.（2）由，得，即或（舍）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．驗(yàn)證時(shí)上式成立，．變式15．（2023·全國(guó)·高二周測(cè)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】∵，∴當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，∴.又∵當(dāng)時(shí)，，∴，滿足.∴.變式16．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)數(shù)列滿足，則（

）A．7 B． C． D．【答案】C【解析】令，可得，令，可得，兩式相減可得，所以.故選：C.變式17．（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，由，，兩式相減得，此時(shí)，，也滿足，所以的通項(xiàng)公式為.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】已知求出依據(jù)的是的定義：，分段求解，然后檢驗(yàn)結(jié)果能否統(tǒng)一形式，能就寫(xiě)成一個(gè)，否則只能寫(xiě)成分段函數(shù)的形式．題型六：數(shù)列單調(diào)性的判斷例16．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則數(shù)列是（

）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．不確定【答案】A【解析】由題意可知，即從第二項(xiàng)起數(shù)列的每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)大，所以數(shù)列是遞增數(shù)列；故選：A例17．（2023·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，數(shù)列為遞增數(shù)列，充分性成立；當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，，恒成立，又，，必要性不成立；“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.例18．（2023·海南儋州·高二?？计谥校┫铝袛?shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是（）A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．故選：C．變式18．（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【解析】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價(jià)于“對(duì)任意恒成立”，得，即對(duì)任意恒成立，故，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A.變式19．（2023·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知，，若數(shù)列滿足，對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，為遞減數(shù)列，則，可得.故選：C變式20．（2023·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故選：C【方法技巧與總結(jié)】1、判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（2）作商比較法：ⅰ．當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列；ⅱ．當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．題型七：求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)例19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，試問(wèn)數(shù)列有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．【解析】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．于是，數(shù)列的第8項(xiàng)和第9項(xiàng)為最大項(xiàng)，且，即最大項(xiàng)為.例20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列的單調(diào)性，并判斷該數(shù)列是否有最大項(xiàng)與最小項(xiàng)．【解析】因?yàn)?，所以，又，所以?dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，又，所以存在最大項(xiàng)，不存在最小項(xiàng).綜上可得當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，存在最大項(xiàng)，不存在最小項(xiàng).例21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(1)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)．(2)這個(gè)數(shù)列有沒(méi)有最小的項(xiàng)？如果有，是第幾項(xiàng)？【解析】（1）由題設(shè)，，，，.（2）由，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)開(kāi)口向上且對(duì)稱軸為，所以有最小項(xiàng)，為第四項(xiàng).變式21．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷該數(shù)列是否有最大項(xiàng)．若有，指出第幾項(xiàng)最大；若沒(méi)有，試說(shuō)明理由．【解析】因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，．所以數(shù)列有最大項(xiàng)，第8項(xiàng)和第9項(xiàng)最大．變式22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求該數(shù)列前30項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)．【解析】，，而，，若要最大，則需要取最小正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最大，若要最小，則需要取最大負(fù)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最小．所以該數(shù)列前30項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.變式23．（2023·天津河北·高二天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴數(shù)列為遞增數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，則有：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，故，即；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，故，即；綜上所述：實(shí)數(shù)c的取值范圍是.故選：B.變式24．（2023·天津武清·高二天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考期末）若數(shù)列滿足，若恒成立，則的最大值（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】由于，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，又，以上兩式相減可得，得，上式對(duì)也成立，所以恒成立即為恒成立，由為遞增數(shù)列，得的最小值為，所以，即的最大值為.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】可以利用不等式組，找到數(shù)列的最大項(xiàng)；利用不等式組，找到數(shù)列的最小項(xiàng)．題型八：周期數(shù)列例22．（2023·福建·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，數(shù)列滿足，，可得，所以數(shù)列構(gòu)成以3項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，則.故選：A.例23．（2023·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足且，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】由題意數(shù)列滿足，則，故由，得，由此可知數(shù)列的周期為4，故，故選：B例24．（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎獰o(wú)窮正整數(shù)數(shù)列滿足，則的可能值有（

）個(gè)A．2 B．4 C．6 D．9【答案】C【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，于是，依題意，若，有，則，即是遞減數(shù)列，由于是無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列，則必存在，使得與矛盾，因此，即，于是數(shù)列是周期為2的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)，由，得，即，從而，所以的可能值有6個(gè).故選：C變式25．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以．故選:D．變式26．（2023·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考期中）數(shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，，，，則是以4為周期的周期函數(shù)，所以，故選：C.變式27．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┮阎跀?shù)列中，，，則數(shù)列的周期為

（

）A．3 B．6 C．9 D．15【答案】B【解析】由聯(lián)想到兩角和的正切公式，把換為，則，，，；所以，即.所以數(shù)列的周期為6.故選：B.變式28．（2023·北京東城·高二東直門(mén)中學(xué)?？计谥校?shù)列滿足,若．則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，……，故為周期?shù)列，最小正周期為4，，故故選：D變式29．（2023·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，所以是周期?的數(shù)列，故.故選：B【方法技巧與總結(jié)】列舉法【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（

）A．125 B．135 C．145 D．155【答案】D【解析】由題意可得：，所以.故選：D.2．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，，，…，，以上各式相加可得，，.故選：B3．（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┰O(shè)數(shù)列滿足，則（

）．A．4 B．4 C． D．【答案】D【解析】由，則，則，，則.故選：D.4．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】觀察可知，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故選：D.5．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）數(shù)列中，，，則（

）A．77 B．78 C．79 D．80【答案】D【解析】依題意，，所以，由，解得.故選：D6．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，，，所以?shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，又，所以，故選：D.7．（2023·江蘇·高二海安市曲塘中學(xué)?？计谥校┯浾麛?shù)的最大公約數(shù)為，例如，．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．50 B．75 C．100 D．1275【答案】B【解析】依題意，，以此類推……，可知當(dāng)時(shí)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.故選：B8．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．2或3 D．4【答案】C【解析】；；，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)或.故選：C二、多選題9．（2023·江蘇蘇州·高二校考階段練習(xí)）某地年月日至年月日的新冠肺炎每日確診病例變化曲線如下圖所示．若該地這段時(shí)間的新冠肺炎每日的確診人數(shù)按日期先后順序構(gòu)成數(shù)列，的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為【答案】BC【解析】由每日確診病例變化曲線圖可知：數(shù)列一開(kāi)始是先遞增到，再遞減至，即數(shù)列不是遞增數(shù)列，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，因?yàn)槟暝氯諞](méi)有確診病例，所以，數(shù)列不是遞增數(shù)列，B選項(xiàng)正確．由每日確診病例變化曲線圖可知：數(shù)列的最大項(xiàng)是第項(xiàng)，即是最大項(xiàng)，故C選項(xiàng)正確．由每日確診病例變化曲線圖可知：第天以后，每天還是有確診病例，故數(shù)列的最大項(xiàng)不是．故選：BC．10．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·高二嘉積中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，若，則下列是數(shù)列的項(xiàng)的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，且，則，，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，故選：ABD.11．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，，得，，故A正確；又，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故B正確；，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，故D正確．故選：ABD．12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題意，，故A正確，，故C正確；，，，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．，故B錯(cuò)誤；，故D正確．故選：ACD．三、填空題13．（2023·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）數(shù)列

的一個(gè)通項(xiàng)公式為.【答案】【解析】可化為，所以分子部分為，分母部分為，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，則，則.故答案為：14．（2023·遼寧大連·高二育明高中?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.