用歐拉方法和改進(jìn)的歐拉方法解決初值問(wèn)題

7.用改進(jìn)歐拉法解初值問(wèn)題紗 [￥=10x(1—y)0<x<1卜(0)=0取步長(zhǎng)后02保留五位有效數(shù)字.并口精確解尹=1-「卅項(xiàng)比較.解方法1*由題設(shè)，取步長(zhǎng)方=0.2*此時(shí)—y)歐拉預(yù)報(bào)一校正公式為：預(yù)報(bào)值yk+1=yk+hf(xk?yj校止值 兒十產(chǎn)兒十兒)+/(%，兒J]建立木題迭代公式為：=兒+=兒+2耳(1-幾)M+i=%+(1—叫)兒+孔+i_ (￡—012,3,4,5)(1一兒+JX0.2)=l-e_5x(K32=0.1813當(dāng)摘=0.2,^i=0.2,需尸0.4時(shí)，有y2=>'i+2簡(jiǎn)(1-卩)=0.52H=巧+(1—旺)戸+x2(1-J=0.2+0.8x0.2+0.4x0,48=0.552y(0.4)=l-e_Sxtu2=0.5507^x3=0.4?>2=0.552,x3=0.6時(shí)，有尹3=歹2+2x2(1-^2)=0.552+2x0.4(1-0.552)=0.9104旳=總+(1—甩)九+兀(1—人)=°昇+°一°-4)*0.552+0.6x(1-0,9104)=0.7850y(0.6)=l-e~5xO2(,=0.834'當(dāng)羽=06旳=0.7笳0廬4=0?呂時(shí)，有fy4=y3+2x^(1-y3)=0.785+2x0.6(1-0.785)=1.043卜4=碼+U—叫)兒十兀4(1一歹4)=0出十(1—+0.8x(1-1.043)=0.8796y(0.8)=l-e~^2=0.95S（5）當(dāng)X4=0.&卩4=0.8796/5=1.0時(shí)，有=兒+2x4（1一兒）=0.8796+2x0.8（1一0.8796）=1.0722丁1 -y5=x4+（x4一1）尹4+兀5尹5=0?8+（1-0.8）x0.8796+1.0x（1-1.0722）=0.9037^（1.0）=l-e_5xl°2=0.9933方法2.平均形式的公式：yP=yk+好（丑,兒）<、兒=兒+肘（心+1,兒）1yk+\= p+兒）（上=0,1,2,...〃_1）建立本題迭代公式： 彰尹廠兒+2耳（1一兒）*yc=yk+2xk+i（l-y）yk\i=~^yp+兒）（氐=o,i,2,3,4）（1）當(dāng)XQ=0r丁0=0,丸1=0.2時(shí)，有兒二兒+2%（1-九）=0yc二尹°+2西（1—尹戸）=0+2X0.2（1-0）=0.4北=￡。戸+兒）=2（°+°4）=0衛(wèi)22⑵ 當(dāng)尤1=0.2,yi=0.2,兀2=0.4時(shí)，有yp=y［十2兀］（1一”）=0.2+2x0.2x0.8=0.52（3）當(dāng)尢2=0*4,旳=0*552m=0.6時(shí)，有?4y=歹？十2卷(1一尹J=6552+2x0.4x0.448=0.9014?yc= +2x3(1-^^)=0.552+2x0.6x(1-0.9104)=0.6595(4) 當(dāng)為=。6旳=0*784沖=0.8時(shí)，有(yp=兒+2巧(1—兒)=05850+2x0.6x(1-0.785)=L043[yc二y3^-2x斗(1—y”)=0*7X5+2x0.8x(1—1.043)=0.7162(5)當(dāng)X4=0.4=0居796站=IX)時(shí)，有ryp=y4+2x4(l-y4)=0.3796+2x0.8x(1-0.8796)=1.0722yc=尹4+2吃(1—尹』=0.8796+2xkOx(1-1,0722)=0.7352訴 F兩種方法的結(jié)果基本一致.例題：用EuIet公式和改進(jìn)的EuleT公式分別‘求下列初值問(wèn)題的數(shù)值解（取步長(zhǎng)h=OJ計(jì)算yT=-2xy2....Iy(0)=l .解：由歐拉公式進(jìn)寸*ynH=y口十hf(xn,yn)=yn-2hxnyn2計(jì)算如.ddciin.comyL=yQ-2hxoy『=1-2-0,1?0■I2=1y2=y￡?2h星y/=1-2?0,1?0.1?l2=0,98y產(chǎn)旳一2hx2y孑=0.98-2?0.1?0.2?0?982=0.9416用改進(jìn)歐拉法的預(yù)?校公式計(jì)算如下：

兒~2