北京市2022屆高考數(shù)學(xué)仿真預(yù)測壓軸試卷

2022年北京市高考數(shù)學(xué)仿真預(yù)測壓軸試卷

一.選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）

1.(4分)已知集合A=-X-2,0},)

A.AI-1M2}B.{x\(^fic2}C.{x|D.{x|x..0}

2.(4分)已知(l—i)2z=3+2i,則z=()

33.3

A.-l--iB.-1+-ZC.——+1D.

2222

3.（4分）“a>0”是“函數(shù)/（%）=辦+63工0）單調(diào)遞增”的（)

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：。7，）是（

)

22

5.（4分）已知雙曲線C:5-工=l（a>0）的離心率為2,左、右焦點分別為耳，F(xiàn),點A在

a~3

雙曲線C上，若△A耳心的周長為10,則△A耳心的面積為（）

A.V15B.2715C.15D.30

6.（4分）在A4BC中，若角3是A與C的等差中項，則cos3=（）

7.（4分）已知函數(shù)/（x）=sin（s-馬3>0）在區(qū)間［0,二］上的最大值為則實數(shù)。的

643

取值個數(shù)最多為（）

A.1B.2C.3D.4

8.（4分）“百日沖刺”是各個學(xué)校針對高三學(xué)生進行的高考前的激情教育，它能在短時間

內(nèi)最大限度激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取

得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學(xué)生來講，其增加分數(shù)的空間尤其大.現(xiàn)有

某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了一

個經(jīng)過時間r（3噫1100）（單位：天），增加總分數(shù)/⑺（單位：分）的函數(shù)模型：

/（?）=--一，k為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且

1+砥+1）

/（60）=-P.現(xiàn)有某學(xué)生在高考前100天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計

6

此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為（）（依61。1.79）

A.440分B.460分C.480分D.500分

9.（4分）圓Y+y2-2x—2y-2=0上至I」直線3x+4.y+c=0距離為1的點恰有一個，貝ijc=（

）

A.3B.8C.3或-17D.一22或8

10.（4分）已知數(shù)列｛〃,,｝的前"項之和S“=〃2+l,則q+o,=（）

A.6B.7C.8D.9

二.填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

11.（5分）（d+2）（］-Ip的展開式的常數(shù)項是一.

X

12.（5分）已知點M（與，%）（%>0）是拋物線<7:丫2=4》上一點，以M為圓心，，?為半徑

的圓M與拋物線C的準線相切，且與x軸的兩個交點的橫坐標之積為5,則圓M的方程

為—，若過拋物線C的焦點尸作圓"的切線交拋物線于A,3兩點，則||AF|“BF|=—

13.（5分）已知向量1+5+5=0,|a|=1,\bHc\=2,則無5+5-^+小方=.

14.（5分）sin（--）=.

6----

15.（5分）如圖，在矩形ABC。中，BC=2AB=2,N為8c的中點，將AA8N沿4V翻折

成任平面ABC。），M為線段BQ的中點，則在AABN翻折過程中給出以下四個

結(jié)論：

①與平面B、AN垂直的直線必與直線CM垂直；

②線段CM的長為爭

③異面直線CM與N4所成角的正切值為走：

3

④當三棱錐D-ANB、的體積最大時，三棱錐D-ANBt外接球的表面積是.

其中正確結(jié)論的序號是—.（請寫出所有正確結(jié)論的序號）

16.（13分）在AABC中，角A,B?C所對的邊長為a,b,c,/?=a+1,c=a+2.

（I）若2sinC=3sinA,求AABC的面積；

（II）是否存在正整數(shù)“，使得AABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說

明理由.

17.（13分）如圖，在多面體A88EF中，平面平面A8C。，底面A8CD為直角

梯形，AD//BC,ABYBC,AB=AD=-BC=2,他與EF平行并且相等，

2

AF=叵BF=272.

（1）證明：CD工BF；

（2）在線段CE上是否存在點M,使得二面角F-BD-M的平面角余弦值為且？若存在,

3

求出生的值；若不存在，說明理由.

CE

18.（14分）甲、乙兩隊進行排球比賽，每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3

局即獲勝，比賽結(jié)束）.比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3:0或3:1取勝

的球隊積3分，負隊積0分；以3:2取勝的球隊積2分，負隊積1分，已知甲、乙兩隊比賽，

甲每局獲勝的概率為』.

3

(1)甲、乙兩隊比賽1場后，求甲隊的積分X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)甲、乙兩隊比賽2場后，求兩隊積分相等的概率.

19.(15分)已知函數(shù)/(x)=-/+3*+9x+n.

(1)當。=-2時，求f(x)在x=2處的切線方程；

(2)若/*)在區(qū)間［-2,2］上的極小值為-5,求它在該區(qū)間上的最大值.

20.(15分)如圖，已知直線為橢圓G：］+y2=l與拋物線6:丁=22犬(〃>0)的公切

線，其中點A,3分別在CrQ上，線段OB交G于點

(I)求|QP|的取值范圍；

(II)記A43P的面積為S,求S的最小值.

21.(15分)若數(shù)列滿足：從第二項起的每一項不小于它的前一項的42eR)倍，則稱該數(shù)

列具有性質(zhì)P(A).

(1)己知數(shù)列一1,2-x,3—x具有性質(zhì)尸(4),求實數(shù)x的取值范圍；

(2)刪除數(shù)列￥,3工…，3",…中的第3項，第6項....第3〃項......余下的項

按原來順序組成一個新數(shù)列憶｝,且數(shù)列UJ的前n項和為T?,若數(shù)列｛7；｝具有性質(zhì)P(2),

試求實數(shù)，的最大值；

(3)記WX+〃，”+1+%〃+2+…+N),如果4>0(4=1,2,,2021),證明：

i=m

2(P1

”的充要條件是“存在數(shù)列｛x,J具有性質(zhì)P(1),且同時滿足以下三個條件：

A=l

(I)數(shù)列｛X,,｝的各項均為正數(shù)，且互異;

(II)存在常數(shù)A>0,使得數(shù)列｛x,J收斂于A；

20212020

(III)-x?.,=^akxn+k-a^xll+k(n=1,2,這里玉＞=0)”.

k=\&=0

2022年北京市高考數(shù)學(xué)仿真預(yù)測壓軸試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題，滿分40分，每小題4分)

1.解：?.?集合A={%|f一工一2剜)}={犬|-1y?2),

B={x\y=\/x}={x|x..0},

故選：c.

2.解：因為(l—i)2z=3+2i,

3+2/3+2z(3+2z)z-2+3/?3.

所以z=

(l-o2-2z-(-2z)-i~2-2

故選：B.

3.解；對于一次函數(shù)f(x)=ar+匕，(〃工0),

若函數(shù)單調(diào)遞增，則4>0,

反之，“。>0”能推出“函數(shù)f(x)=or+A單調(diào)遞增”，

故“a>0”是“函數(shù)/(x)=or+優(yōu)單調(diào)遞增”的充分必要條件,

故選：B.

4.解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為直四棱柱，底面四邊形A88為等腰梯形，

其中AB//C。，由三視圖可知，延長A￡)與后相交于一點，且A￡>_L3C,

且AB=2Vi,CD=叵,耳=1,等腰梯形的高為小4￡)2-(絲=J]_(曰尸=弓,

則該幾何體的體積V=L(應(yīng)+2^)x—xl=-.

222

故選：A.

5.解：雙曲線C:二-二=1(〃>0)的離心率為2,可得也*=2,解得a=l,

a'3a

因為點A在雙曲線C上，不妨設(shè)A在第一象限，△A耳工的周長為10,

|即|+|叼+|和|=10,|網(wǎng)-I和|=2,

所以三角形的邊長為IKE1=4,|A"=4,|Ag1=2,

所以三角形的面積為：1X2XV42-I2=VF5.

2

故選：A.

6.解：在AABC中，由角3是A與。的等差中項，

得28=A+C,又4+8+。=7，

所以3B—7t?則8=工，故cosB=—.

32

故選：A.

7.解函數(shù)/(x)=sin(0x-%)3>0)在區(qū)間[0,字上的最大值為色,

當處—工〉工，即“〉學(xué)時，/(x)的最大值為1=@,解得。=3,

46233

當?shù)取魏?，?<⑥,g時，f(x)的最大值為sin(等—令=],

令g(o)=sin(也一馬，〃(助=吆，作出圖象如圖所示，

463

由圖象可知，y=g(G)，y=%(0)的圖象有兩個交點4叫，yj,B(g,y2),

所以方程sin管—生)=/有兩個實根外，g,又g(|)=l>§=/z(|),所以幼<：<牡，

所以此時存在一個實數(shù)3=助滿足題意.

綜上所述，存在兩個正實數(shù)。滿足題意.

故選：B.

所以/(60)=——kp—,則/kP^=1

l+/g(60+l)1+^616

-rzs.l+/g612.79

可得女=———X-----=0.465,

66

0.465186”

所以/(100)=-----------------x400?——=62,

1+7^(100+1)----------3

故估計此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為462,

比較四個選項可知，460分比較接近.

故選：B.

9.解:圓d+y2-2x-2y-2=0化為標準方程為(x-iy+(y-l)2=4,故圓心為(1,1),半

徑為2,

圓心(1,1)至IJ直線3x+4y+c=0距離為1的點恰有一個，

則圓心到直線的距離為r+1=3,

所以|3+4+C|=[21￡1=3,解得c=8或c=—22.

^775

故選：D.

10.解：1.?=H2+1,4=2,

a3=S3—S2=10—5=5.

則4+%=7.

故選：B.

二.填空題(共5小題，滿分25分，每小題5分)

11.解：?.?而項式，+2)(4-1)5=(/+2)?(尋二-。；

■7+c^7-c^7+c：7-1),

故它的展開式的常數(shù)項為C；-2=3,

故答案為3.

12.解：設(shè)圓〃與拋物線的準線切于點O,與x軸交于P,。兩點，如圖所示,

因為所以點尸為拋物線的焦點F,則P（1,O）,

又因為與x軸的兩個交點的橫坐標之積為5,

則。（5,0）,因為|MPb|MQ|=r,

所以X”=^^=3,）3=04x3=2上,

故用（3,2力），1="（3—1）2+（2舁03=4,

所以圓M的方程為：@-3）2+（＞-26）2=16；

設(shè)A（X[,y\）9B（X2,y2）,如圖所示,

貝=則陽B=-4，

所以直線A3的方程為＞=-弓（x-l）,

f叵八

聯(lián)立方程組"一丁D,可得14X+1-0,

y2=4x

所以玉+/=14,不毛=1,

2222

則14Pl?IBF\=7（x,-l）+y,.7（^-l）+y2

=7（^-1）2+4^2

-7（X,-1）+4X2

=ja+i）2、（々+1）2

=a+i）（w+1）

=石毛+石+9+1

=16.

故答案為：（x-3）2+（y-2后y=16；16.

13.解：由1+6+5=6得G+5=Y或a+c=-5或5+e=-a,

(a+b)2=(-c)2或3+c)2=(-6)2或(b+c)2=(-a)2,

又?.恒|=1,|5|=|司=2,:.5+2a-h=4,5+2a-c=4,8+2b-c=l,

11_7-9

a-b=——，ac=——，b-c=——，/.a-b+a-c-^-bc=——?

2222

故答案為：-2.

2

14.解：sin(--)=—sin—=--

662

故答案為：

2

15.解：如圖，取4用的中點為E,AD的中點為尸，連接硒，EM,FN,B、F,

則四邊形CVEM為平行四邊形，直線CM//平面AB|N,所以①正確；

CM=NE=Q+(gy=*,所以②正確；

因為CMUEN,異面直線CM與NBt的所成角為NENB、,tanNEA/耳=g,所以③錯誤；

當三棱錐。-AN片的體積最大時，平面AAN與底面A8CD垂直，可計算出=

22

ABt=l,AB；+BtD=AD,所以乙4耳。=90。，同理N/WD=90。，所以三棱錐。一ANg

外接球的球心為尸，半徑為1,外接球的表面積是4萬，④正確.

故答案為：①②④.

Bi

三.解答題（共6小題，滿分85分）

16.解：（，）,.,2sinC=3sinA,

根據(jù)正弦定理可得2c=3。，

*:b=a+\c=a+2,

67--4,b—5Jc=6,

在中，運用余弦定理可得cosC=d^上《42+52-62_1

2ab2x4x5-8

vsin2C+cos2C=1,

/.sinC=Jl-cos2c=

3a15將

2丁一4

(//)\-c>b>a,

「.AABC為鈍角三角形時，角。必為鈍角,

-a2+b2-c2a2+(a+1)2-(a+2)2

cosC=---------------=-----------------------------<0,

lab

a?—2a—3v0,

>0，

.\0<a<3>

???三角形的任意兩邊之和大于第三邊,

:.a+b>c9即。+。+1>。+2,BP<7>1,

「.1va<3,

????為正整數(shù)，

..a--2?

17.解(1)證明：?;AB=2,BF=2,AF=2>Ji,

AB2+BF2=AF2,BF±AB,

又?.?平面平面平面M￡FC平面=BFu平面ABEF,

.?.8尸1.平面ABC。，又C￡>u平面

:.CD±BFi

(2)由(1)可知，5尸_L平面A3C￡>,且A8_L8C,

以3為坐標原點，以區(qū)4,BC,3尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間

直角坐標系，

則8(0,0,0),0(2,2,0),F(0,0,2),￡(-2,0,2),C(0,4,0),

BD=(2,2,0),BF=(0,0,2),

設(shè)萬=(x,y,z)是平面BDF的法向量，

則<=>《，令x=l,則萬=(1,—1,0),

n-BF=012z=0

設(shè)的=ACE=1(-2,-4,2)=(-22,42,2/1),

M(-22,4(1-2),22)

W=(-22,4(1-2),22),

設(shè)式=(x,y,z)是平面BDM的法向量,

n-BD=02x+2y=0

則_=

萬BM=0—2Ax+4(1—4)y+2%z=0

令x=l,則y=-l,z=^--,/.zn=(l,-l,——-),

?.?二面角F-BD-M的平面角余弦值為且，

3

2

|cos<n,/w>|=

閉?同國2+‘芬3

.?.「，,0=2

3CE3

故在線段C￡上是否存在點且空=2

CE3

E

18.解：（1）隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

P（x=o）=（景+c；.|《）W

P（X=DV.守?（那哈

尸（X=2Y**.|端

P(X=3)=C；.(|)2.發(fā)+(|戶吟

所以X的分布列為

X0123

P81616

98?8127

所以數(shù)學(xué)期望E（X）=02+1X*+2X'+3X"U.

981812781

（2）記“甲、乙比賽兩場后，兩隊積分相等”為事件A,

設(shè)第i場甲、乙兩隊積分分別為X,,匕，則X,=37，i=l,2,

因兩隊積分相等，所以X1+X2=K+%,即X1+X2=(3—XJ+(3—X2),貝I」X+X2=3,

所以P(A)

尸

=P(X1=0)P(X2=3)+P(X1=1)P(X2=2)+P(X,=2)P(X2=1)+P(XI=3)(X)=0)

1168161681611120

——sz______1______v_______1______V______1_______V___—_________

―92781818181279—6561

19.解：(1)當a=2時，/(X)=-X3+3X2+9A--2,

/'(x)=-3f+6x+9,切線的斜率為尸(2)=9,

又/(2)=-8+12+18-2=20,

.,?/(X)在x=2處的切線方程為y-20=9(x—2),即9x—y+2=0.

(2)令/(》)=-3》2+6》+9=0,得x=3(舍去)或x=-l.

列表如下：

X-2(-2,-1)-1(-1,2)2

fXx)—0+

/(X)a+2□a-5□a+22

由上表/(處在區(qū)間［-2,2］上的極小值為〃-5=-5,得a=0.

.,./(X)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為“+22=22.

20.解：(I)設(shè)尸(%,%),則有費?+%?=1,%o€(1,V2),

則IOP|=Jx。2+卜=J/?+1-4=卜+^~e(1,0),

當Pf0,時，

當P—,$―0時，

故|。尸|的取值范圍為(1,0)；

(II)由題意可知，直線他的斜率存在且不為0,

設(shè)直線的方程為＞^="+。(火工0),設(shè)4(X1,%),B(X2,y2),

y=kx+b

聯(lián)立方程組v.2,可得償+l)d+4碗+2〃-2=0,

—+V2=1

2

所以△=(4妨＞-4(2二+1)(2廿-2)=0,

解得從=2r+1,占=二|^L=3,

12k2+1h

聯(lián)立方程組J"，-1cx”,公f+2(kb-p)x+b2=0,

[y=2px

所以△=4(kh-〃)2-4k2b2=0,

解得p=2bk,X2=—―^=—?y2=2b,kOfi=2k,

2kk

所以1AS1=VFTT1與一天1=13-21=7^771竺+21,

bkbk

聯(lián)立方程組<萬+丁=?,可得(4公+l)x2=1,

y=2kx

2k

則X。

4—+1

2

k,2k

I--------+/7-.............

:2+-.4儲+1

2V2

所以點P到的距離為“

正+1

則琮+前"=

54‘462+；

2hh粳+；

所以S」|4&+，----------4K：1

2k而不收十；

因為4Z+L.4（當且僅當％=■!■時取等號）,

k2

令,二2k2,貝Uy=--------4)?——=2/+1

,2.+1.4/+；

故9=⑵+加=4/+4/+1

(t+l)(2r+!)+(2r+~t+-