《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》單元課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

一、單元內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實(shí)際問題中

發(fā)揮重要作用.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線.

本單元的教學(xué)設(shè)計(jì)是圍繞著兩大基本初等函數(shù)展開，進(jìn)一步理解函數(shù)模型是描述客觀世界

中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.結(jié)合實(shí)際問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的文化內(nèi)涵，體會(huì)建

立數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。通過多元化的評(píng)價(jià)，讓學(xué)生感受建立數(shù)學(xué)模型的魅力.

具體來看，本章包括五節(jié)內(nèi)容：4.1指數(shù)，4.2指數(shù)函數(shù)，4.3對(duì)數(shù)，4.4對(duì)數(shù)函數(shù)，4.5

函數(shù)的應(yīng)用（二）.這一結(jié)構(gòu)體系體現(xiàn)了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象及其應(yīng)用的基本思路和方法.本單元

的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如下：

本章教學(xué)約需13課時(shí)，大致分配如下：

（1）4.1指數(shù).本節(jié)含2課時(shí)：n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕；無理數(shù)指數(shù)累及其運(yùn)算性質(zhì).

（2）4.2指數(shù)函數(shù).本節(jié)含2課時(shí)：指數(shù)函數(shù)的概念；指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).

（3）4.3對(duì)數(shù).本節(jié)含2課時(shí)：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；對(duì)數(shù)的運(yùn)算.

（4）4.4對(duì)數(shù)函數(shù).本節(jié)含3個(gè)課時(shí)：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；不同函

數(shù)增長的差異.

（5）4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）.本節(jié)含4個(gè)課時(shí)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解；用二分法求方程

的近似解；函數(shù)模型應(yīng)用（1）：用函數(shù)模型解決實(shí)際問題；函數(shù)模型的應(yīng)用（2）：選擇函數(shù)

模型解決實(shí)際問題.

（6）小結(jié).本節(jié)含2個(gè)課時(shí)：回顧4.1指數(shù)，4.2指數(shù)函數(shù)，4.3對(duì)數(shù)和4.4對(duì)數(shù)函數(shù)，

梳理其知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)典型題型進(jìn)一步的鞏固訓(xùn)練；回顧4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)，梳理其知識(shí)結(jié)

構(gòu)，對(duì)典型題型進(jìn)一步的鞏固訓(xùn)練.

2.內(nèi)容解析

(1)內(nèi)容的本質(zhì)：

(i)為研究指數(shù)函數(shù)，需要把整數(shù)指數(shù)累推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)累，從而為研究指數(shù)函數(shù)和對(duì)

數(shù)函數(shù)奠定基礎(chǔ).

(ii)指數(shù)函數(shù)是刻畫呈指數(shù)增長或衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型，是解決實(shí)際問題的重要工

具，同時(shí)，指數(shù)函數(shù)為今后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)以及等比數(shù)列的性質(zhì)做準(zhǔn)備.

(iii)對(duì)數(shù)是指數(shù)基中指數(shù)的一種等價(jià)表示形式，利用指對(duì)數(shù)互換理解并推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算

性質(zhì).

(iv)將對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)建立聯(lián)系，體會(huì)從不同的函數(shù)模型理解同一變化規(guī)律的實(shí)際

問題，體會(huì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).

(v)函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用：結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的兩種理解思路，二分法求方程的近似解；函數(shù)的

外部應(yīng)用：函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程.

(2)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)都是學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)函數(shù)概念和掌握了函數(shù)性質(zhì)基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，

是兩個(gè)很重要的基本初等函數(shù)之一，學(xué)生需要通過觀察、分析、探究等一系列的思維活動(dòng)，由

具體的問題和圖象進(jìn)行歸納、演繹，并通過抽象概括或推理得出其本質(zhì)，從而得到有關(guān)概念和

性質(zhì)，其中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法.

具體如下：

(i)4.1指數(shù)：指數(shù)累的推廣實(shí)質(zhì)是將指數(shù)的范圍進(jìn)行逐步推廣，使其對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有

意義，推廣的思想方法與數(shù)系擴(kuò)充的思想基本一致，就是將優(yōu)的指數(shù)x的范圍逐步推廣到全體

實(shí)數(shù)，而在推廣過程中要使指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得到保持.在推廣的過程中體現(xiàn)了由特殊到一般、由

具體到抽象、用有理數(shù)指數(shù)累逼近無理數(shù)指數(shù)基的極限思想，并從數(shù)和形兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)到無理

數(shù)指數(shù)累是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，進(jìn)而理解無理數(shù)指數(shù)基.

(ii)4.2指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)是刻畫呈指數(shù)增長或衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型，其概念的

教學(xué)，應(yīng)該在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)揭示指數(shù)增長或衰減的規(guī)律.應(yīng)按“事實(shí)一概念”的路

徑，即學(xué)生要經(jīng)歷“背景一研究對(duì)象一對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)一定義”的過程.學(xué)生在經(jīng)歷這個(gè)過程

而形成指數(shù)函數(shù)的概念.在了解指數(shù)函數(shù)的背景后，再描點(diǎn)作出指數(shù)函數(shù)的圖象，從而概括指

數(shù)函數(shù)的性質(zhì).在指數(shù)函數(shù)定義和性質(zhì)形成的過程中體現(xiàn)了抽象與概括、特殊與一般、數(shù)形結(jié)

合等思想.

(iii)4.3對(duì)數(shù)：對(duì)數(shù)是指數(shù)累中指數(shù)的一種等價(jià)表示形式，已知底數(shù)和幕，求指數(shù)，明

確引入對(duì)數(shù)的必要性，再通過指數(shù)基運(yùn)算推導(dǎo)對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì).在研究對(duì)數(shù)的概念和對(duì)數(shù)的運(yùn)

算性質(zhì)時(shí)，運(yùn)用了指對(duì)數(shù)互換、對(duì)數(shù)運(yùn)算是指數(shù)運(yùn)算的一種逆運(yùn)算，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)降低

了運(yùn)算的級(jí)別，簡化了運(yùn)算，體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的思想.

(iv)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)可以從不同的角度刻畫同一個(gè)問題的變化規(guī)律,

是基本初等函數(shù)的再拓廣，是研究函數(shù)路徑“背景一一概念一一圖象與性質(zhì)一一應(yīng)用”的再

強(qiáng)化.在引入對(duì)數(shù)函數(shù)的概念上，運(yùn)用了特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想，從而邏輯推理出對(duì)數(shù)

函數(shù)的概念；在探究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，與指數(shù)函數(shù)類似，描點(diǎn)作圖，概括對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，

體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并體會(huì)同底的指對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，進(jìn)一步理解指對(duì)數(shù)運(yùn)算的

互換和逆運(yùn)算的思想.

（V）4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）：函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用的研究路徑是“函數(shù)零點(diǎn)的概念一一函數(shù)

零點(diǎn)存在定理一一應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)性質(zhì)判定方程的解”，在函數(shù)的零點(diǎn)與方程的

解的轉(zhuǎn)換過程中，逐步滲透化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.在了解函數(shù)的零

點(diǎn)的兩種理解思路的基礎(chǔ)上，再探究用二分法求方程的近似解，即滲透了逼近的思想和算法思

想，又讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括的過程，進(jìn)一步強(qiáng)化函數(shù)與方程的思想.

函數(shù)的外部應(yīng)用即函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“直線上升”“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)

增長”的差異，同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生如何從實(shí)際情境中用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過分析問題、

構(gòu)建模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果，以達(dá)到分析和解決問題的能力，體現(xiàn)了建立函數(shù)模型解決實(shí)

際問題的數(shù)學(xué)思想，即數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

（3）知識(shí)的上下位關(guān)系：

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是兩大基本初等函數(shù)之一，在高中數(shù)學(xué)課程中，《課標(biāo)（2017年版）

2020年修訂》把指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)容安排在必修課程“主題二函數(shù)”中，把“函數(shù)的

概念與性質(zhì)”、“事函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)”“三角函數(shù)”“函數(shù)應(yīng)用”視為一個(gè)整體.從

整體上看，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一章之前所學(xué)的是函數(shù)的概念與性質(zhì)，這樣集中安排函

數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)有利于函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用、函數(shù)知識(shí)的系統(tǒng)構(gòu)建；從章節(jié)內(nèi)部來看，教材是按照

“背景一概念一圖象和性質(zhì)一應(yīng)用”的邏輯呈現(xiàn)，通過經(jīng)典的年增長率和碳14的年衰減率變

化進(jìn)行引入，讓學(xué)生感知指數(shù)增長和指數(shù)衰減，以說明引入指數(shù)函數(shù)的必要性，在探究指數(shù)函

數(shù)的概念和圖象及性質(zhì)的基礎(chǔ)上，再結(jié)合指對(duì)數(shù)互換再探究對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和圖象及性質(zhì)這是

“來龍”；將抽象的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中以解決指數(shù)爆炸和對(duì)數(shù)增長的問題，這是“去脈”，

同時(shí)指數(shù)函數(shù)也是后續(xù)研究數(shù)列問題的重要載體.

具體如下：

（i）4.1指數(shù)：學(xué)生在初中階段接觸過整數(shù)指數(shù)累及其運(yùn)算性質(zhì)，為了研究實(shí)數(shù)指數(shù)累,

就要先定義n次方根的概念，從而得根式的性質(zhì)，進(jìn)而引入分?jǐn)?shù)指數(shù)幕及其運(yùn)算性質(zhì)，合二

為一得有理數(shù)指數(shù)塞及其運(yùn)算性質(zhì)；無理數(shù)指數(shù)塞及其運(yùn)算性質(zhì)是上一節(jié)內(nèi)容的延伸，從而建

立實(shí)數(shù)指數(shù)幕，并研究其運(yùn)算，為指數(shù)函數(shù)且arl）的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

（ii）4.2指數(shù)函數(shù)：學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過增加量和增長率的相關(guān)概念，為了研究

指數(shù)增長和指數(shù)衰減模型，需先抽象概括指數(shù)函數(shù)的概念，在刻畫其本質(zhì)特征：在自變量增加

1個(gè)單位，即自變量從與變化到與+1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值之比冬季=。為常數(shù).了解指數(shù)函數(shù)

/Uo）

模型是刻畫增長率（衰減率）為定值這一變化規(guī)律的基本事實(shí)后，借助研究事函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，研

究指數(shù)函數(shù)這一基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而強(qiáng)化指數(shù)描述的變化規(guī)律，進(jìn)一步理解函數(shù)

的概念，并利用指數(shù)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.為后續(xù)學(xué)習(xí)指對(duì)數(shù)互換，指數(shù)函數(shù)與對(duì)

數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)提供了理論基礎(chǔ).

(iii)4.3對(duì)數(shù)：在器a，=N中，已知底數(shù)a和累N,求指數(shù)x,顯然這種運(yùn)算與指數(shù)基的

值及底數(shù)的值緊密聯(lián)系，這就是要引入的對(duì)數(shù)，即指數(shù)運(yùn)算的一種逆運(yùn)算，從而說明引入對(duì)數(shù)

的必要性；結(jié)合指數(shù)表達(dá)與對(duì)數(shù)表達(dá)的互換，探究對(duì)數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，探究

對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì).這為接下來要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)函數(shù)打下基礎(chǔ).

(iv)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)可以從不同角度刻畫同一問題的變化規(guī)律，進(jìn)

一步強(qiáng)化理解指對(duì)數(shù)互換的應(yīng)用；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：與指數(shù)函數(shù)類似，用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖

象探究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并用所得到的性質(zhì)進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.在了解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖

象和性質(zhì)后，結(jié)合指對(duì)數(shù)互換，并建立與指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的聯(lián)系，按照函數(shù)的三要素來

認(rèn)識(shí)他們之間的關(guān)系，其中指數(shù)函數(shù)的定義域是對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的值域是對(duì)數(shù)函數(shù)

的定義域，從而理解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；不同函數(shù)增長的差異：對(duì)比增加量和增

長率的差異，理解“指數(shù)爆炸”的含義，并結(jié)合指對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，從而再理解“對(duì)數(shù)增

長”的含義，進(jìn)而理解“對(duì)數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的增長差異.這部分的內(nèi)容也

為后續(xù)的數(shù)學(xué)建模積累了必要的數(shù)學(xué)模型，為解決簡單的實(shí)際問題做好準(zhǔn)備.

(v)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)：前面的第二章“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”已經(jīng)

初步建立了方程的根一方面可以理解為函數(shù)的零點(diǎn)，另一方面還可以理解為函數(shù)的圖象與x軸

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用，利用所學(xué)過的函數(shù)研究一般方程的解提供了類比學(xué)習(xí)的依

據(jù)；用二分法求方程的近似解是函數(shù)與方程的延續(xù)，加強(qiáng)了函數(shù)的應(yīng)用，拓展了方程的思想方

法.同時(shí)前面的學(xué)習(xí)的第三章“函數(shù)的應(yīng)用(一)”已經(jīng)初步了解了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(外部應(yīng)

用)，結(jié)合本章學(xué)習(xí)的指對(duì)數(shù)函數(shù)，可以建立實(shí)際問題的函數(shù)模型，并通過函數(shù)模型反映實(shí)際

問題的變化規(guī)律，從而分析和解決實(shí)際問題，使學(xué)生進(jìn)一步理解指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，學(xué)會(huì)選

擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.這為后續(xù)的怎樣用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際

問題打好了基礎(chǔ).

(4)育人價(jià)值：

(i)4.1指數(shù)：引入一種新的數(shù)，就要研究它的運(yùn)算：定義一種運(yùn)算，就要研究它的運(yùn)算

律.定義運(yùn)算是數(shù)系擴(kuò)充中的核心問題，其基本原則是“使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保持不變”，它

反映了數(shù)學(xué)推廣過程的一個(gè)重要特性：使得在原來的范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成

立.所以將整數(shù)指數(shù)幕推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)幕的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)思想方法的前

后一致性和邏輯的連貫性，以培育學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性的育人價(jià)值.

(ii)4.2指數(shù)函數(shù)：在引入指數(shù)函數(shù)的概念時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問題的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)

應(yīng)用價(jià)值.從旅游人次的增長問題和碳14的衰減問題這兩個(gè)實(shí)例引入指數(shù)函數(shù)的概念，這兩

個(gè)問題，一個(gè)是增長問題，另一個(gè)是衰減問題，通過實(shí)例，有利于學(xué)生更好地感受指數(shù)函數(shù)模

型，促進(jìn)學(xué)生了解中國文化、關(guān)心社會(huì)，通過實(shí)際問題滲透數(shù)學(xué)思想方法和彰顯人文價(jià)值，引

導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、數(shù)學(xué)的思維思考世界、數(shù)學(xué)的語言(指數(shù)增長、指數(shù)衰減)

表達(dá)世界.

(iii)4.3對(duì)數(shù)：在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，先有對(duì)數(shù)，然后才有指數(shù)累，后來，隨著數(shù)學(xué)公理

化體系的逐步完善，一般安排先學(xué)習(xí)指數(shù)幕，再學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)，在指數(shù)幕概念及運(yùn)算的基礎(chǔ)上，引

入對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算，這也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也更比較自然.另外對(duì)于自然數(shù)e不僅是

數(shù)學(xué)史上，甚至是人類科學(xué)史上最偉大的兩個(gè)數(shù)(另一個(gè)是兀)，以e為底的指數(shù)函數(shù)可以描

述科技、經(jīng)濟(jì)以及社會(huì)生活中眾多增長或衰減的變化規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值.

(iv)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)：為了讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)也能感受到對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，并

建立與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，我們從另一個(gè)角度繼續(xù)研究碳14衰減的問題，讓學(xué)生進(jìn)一步感受其

中的函數(shù)模型.同時(shí)，還需關(guān)注與實(shí)際問題的聯(lián)系，通過具體的實(shí)際問題來體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法

和價(jià)值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值.同時(shí)也能充分發(fā)揮對(duì)數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、

數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的作用.

(v)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)：函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用，側(cè)重于函數(shù)與方程的互相關(guān)系，突出用

函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法(二分法)，幫助學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)方程，了解用二分

法求方程近似解的思路、步驟和算法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；函數(shù)的外部應(yīng)用，側(cè)重于用函數(shù)構(gòu)

建數(shù)學(xué)模型的基本過程，突出用“指數(shù)型”函數(shù)和“對(duì)數(shù)型”函數(shù)模型發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、

分析和解決問題的過程和方法，意在從現(xiàn)實(shí)背景體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值.

(5)教學(xué)重點(diǎn)：

(i)4.1指數(shù)：指數(shù)累的推廣，指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì).

(ii)4.2指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)的概念的形成，指數(shù)函數(shù)描述的變化規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的圖

象和性質(zhì).

(iii)4.3對(duì)數(shù)：對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互換以及對(duì)數(shù)的性質(zhì)；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

(iv)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

(v)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之

間的聯(lián)系，函數(shù)零點(diǎn)存在定理以及用二分法求方程的近似解的思路與步驟；選擇合適的函數(shù)類

型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的一般過程.

(6)課時(shí)教學(xué)安排：

在單元教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)注重局部范圍內(nèi)的知識(shí)系統(tǒng)化特征，在教學(xué)整體觀的指導(dǎo)下，將教學(xué)

諸要素有序化規(guī)劃，以優(yōu)化教學(xué)效果，并有利于學(xué)生構(gòu)建條理清楚、層次分明的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu).

“4.1指數(shù)”一節(jié)，包含的內(nèi)容有：n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)累，無理數(shù)指數(shù)累及其運(yùn)算性質(zhì).

其中n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)暴包括了n次方根的定義、根式的定義、根式的性質(zhì)、正數(shù)的分?jǐn)?shù)指

數(shù)幕的意義及其運(yùn)算性質(zhì)，無理數(shù)指數(shù)塞及其運(yùn)算性質(zhì)包括了無理數(shù)指數(shù)累是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)、

無理數(shù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).這些內(nèi)容在教科書中呈現(xiàn)的順序是：n次方根的定義一根式的定義一

根式的性質(zhì)一例1—正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義一正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)易的意義一正數(shù)的分?jǐn)?shù)

指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)一例2、例3、例4和練習(xí)一正數(shù)的無理數(shù)指數(shù)累是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)一正數(shù)

的無理數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)一練習(xí).把這些內(nèi)容作為一個(gè)單位，可以得到如下框圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行劃分，同時(shí)給出課時(shí):

第一部分：n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)累（1課時(shí)）

第二部分：無理數(shù)指數(shù)幕及其運(yùn)算性質(zhì)（1課時(shí)）

“4.2指數(shù)函數(shù)”一節(jié)，包含的內(nèi)容有：指數(shù)函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).這些

內(nèi)容在教科書中呈現(xiàn)的順序是：問題1（游客人次逐年增長問題）一指數(shù)增長（增長率為定值）

一問題2（碳14衰減問題和半衰期的概念）一指數(shù)衰減（衰減率為定值）一指數(shù)函數(shù)的概念

一例1、例2和練習(xí)一閱讀材料（倍增期的概念）一描點(diǎn)畫指數(shù)函數(shù)y=2、的圖象一探究畫指

數(shù)函數(shù)y的圖象一探究選取底數(shù)”（〃＞0且awl）的若干個(gè)不同的值的指數(shù)函數(shù)圖象一歸納

出指數(shù)函數(shù)y=/（a＞（）且awl）的圖象一概括出指數(shù)函數(shù)），=優(yōu)（。＞0且"1）的性質(zhì)一例3、例4

和練習(xí)一信息技術(shù)應(yīng)用（探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）.把這些內(nèi)容作為一個(gè)單元，可以得到如下框

圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行劃分，同時(shí)給出課時(shí)：

第一部分：指數(shù)函數(shù)的概念（1課時(shí)）

第二部分：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1課時(shí)）

“4.3對(duì)數(shù)”一節(jié)，包含的內(nèi)容有：對(duì)數(shù)的概念，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).這些內(nèi)容在教科書中

呈現(xiàn)的順序是：已知底數(shù)和嘉的值求指數(shù)一對(duì)數(shù)的概念一對(duì)數(shù)的符號(hào)一常用對(duì)數(shù)（自然對(duì)數(shù)）

一指對(duì)數(shù)互換一對(duì)數(shù)的性質(zhì)一例1、例2和練習(xí)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)一例3、例4一換底公式一

例5和練習(xí)一閱讀與思考（對(duì)數(shù)的發(fā)明）.把這些內(nèi)容作為一個(gè)單元，可以得到如下框圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行劃分，同時(shí)給出課時(shí)：

第一部分：對(duì)數(shù)的概念（1課時(shí)）

第二部分：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（1課時(shí)）

“4.4對(duì)數(shù)函數(shù)”包含的內(nèi)容有：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).這些內(nèi)容在

教科書中呈現(xiàn)的順序是：思考（死亡時(shí)間x是否為碳14含量y的函數(shù)）一邏輯推理出對(duì)數(shù)式

x=log"、“『y,yG（0,l］滿足函數(shù)的定義一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一例1（概念應(yīng)用）、例2（模型應(yīng)用）

€

一練習(xí)（強(qiáng)化概念，理解模型）一描點(diǎn)畫對(duì)數(shù)函數(shù)y=bg2x的圖象一探究畫對(duì)數(shù)函數(shù)>

的圖象一探究選取底數(shù)。（a>0且af1）的若干個(gè)不同的值的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象一歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)

y=k）g“x（a>0且awl）的圖象一概括出對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“>。且。WD的性質(zhì)一例3、例4一指對(duì)

數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)一練習(xí)一探究與發(fā)現(xiàn)（互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象間的關(guān)系）一指數(shù)函數(shù)與

線性函數(shù)增長差異一對(duì)數(shù)函數(shù)與線性函數(shù)的增長差異一“直線上升"''對(duì)數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”

的含義一練習(xí).把這些內(nèi)容作為一個(gè)單元，可以得到如下框圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行劃分，同時(shí)給出課時(shí):

第一部分：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念（1課時(shí)）

第二部分：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1課時(shí)）

第三部分：不同函數(shù)增長的差異（1課時(shí)）

“4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）”包含的內(nèi)容有：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解，用二分法求方程的近

似解，函數(shù)模型的應(yīng)用.這些內(nèi)容在教科書中呈現(xiàn)的順序是：函數(shù)的零點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)存在定理

一例1、練習(xí)一二分法求方程的近似解一例2、練習(xí)一閱讀與理解（中外歷史上的方程求解）

一例3（指數(shù)增長模型）一例4（指數(shù)衰減模型）一練習(xí)（指數(shù)與對(duì)數(shù)互換）一例5、例6（對(duì)

數(shù)增長、直線上升、指數(shù)爆炸）一練習(xí).把這些內(nèi)容作為一個(gè)單元，可以得到如下框圖.

根據(jù)上面的框圖，可以對(duì)單元內(nèi)容進(jìn)行劃分，同時(shí)給出課時(shí)：

第一部分：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（1課時(shí)）

第二部分：用二分法求方程的近似解（1課時(shí)）

第三部分：函數(shù)模型的應(yīng)用（二）（1）：用函數(shù)模型解決實(shí)際問題（1課時(shí)）

第四部分：函數(shù)模型的應(yīng)用（二）（2）：選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題（1課時(shí)）

二、單元目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

第1課時(shí)：〃次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

（1）理解〃次方根與根式的概念；掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)罐和根式之間的互化；

（2）掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)；

第2課時(shí)：無理數(shù)指數(shù)累及其運(yùn)算性質(zhì)

（1）通過“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”求得無理數(shù)的近似值；

（2）掌握運(yùn)用實(shí)數(shù)指數(shù)基運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡計(jì)算的方法.

第3課時(shí)：指數(shù)函數(shù)的概念

（1）通過實(shí)際問題提煉出指數(shù)函數(shù)的概念；

（2）理解指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的取值范圍；

第4課時(shí)：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）運(yùn)用描點(diǎn)法畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，運(yùn)用圖象來研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

（2）能通過數(shù)形結(jié)合，解決定點(diǎn)、單調(diào)性等問題；

第5課時(shí)：對(duì)數(shù)的概念

（1）理解對(duì)數(shù)的概念，了解對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算的互逆關(guān)系，及常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)；

（2）掌握對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

第6課時(shí)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算

（1）通過指數(shù)愚的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)出對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；

（2）掌握對(duì)數(shù)換底公式，能夠用換底公式化簡問題；

第7課時(shí)：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

（1）理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；

（2）能通過指數(shù)函數(shù)底數(shù)取值范圍的要求，歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍.

第8課時(shí)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）經(jīng)歷用類比的方法畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

（2）掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，初步學(xué)會(huì)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的問題；理解反

函數(shù)的概念.

第9課時(shí)：不同函數(shù)增長的差異

（1）結(jié)合具體的函數(shù)圖象，總結(jié)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長差異.

（2）通過圖象，了解“直線上升”“對(duì)數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義.

第10課時(shí)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

（1）了解函數(shù)零點(diǎn)的概念；能夠結(jié)合具體的方程（如一元二次方程），說明方程的根、

函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)三著之間的關(guān)系；

（2）理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理；了解函數(shù)圖象連續(xù)不斷的意義及作用，知道函數(shù)零點(diǎn)存在

定理只是函數(shù)存在零點(diǎn)的一個(gè)充分條件，了解函數(shù)零點(diǎn)可能不止一個(gè)；

（3）能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，及所在區(qū)間.

第11課時(shí)：用二分法求方程的近似解

（1）通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用

方法；

（2）能借助計(jì)算工具、信息技術(shù)用二分法求方程的近似解，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的

聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用；

（3）通過讓學(xué)生概括二分法的思想和步驟，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力，培養(yǎng)學(xué)生探究問

題的能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和創(chuàng)新能力.

第12課時(shí)：函數(shù)模型的應(yīng)用（二）（1）：用函數(shù)模型解決實(shí)際問題

（1）會(huì)通過具體的函數(shù)模型分析實(shí)際問題；

（2）能夠?qū)栴}進(jìn)行分析，建立合適的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)不同數(shù)學(xué)模型的契合度進(jìn)行比較，

擇優(yōu)選擇。

第13課時(shí)：函數(shù)模型的應(yīng)用（二）（2）：選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題

（1）能將具體的實(shí)際問題化歸為函數(shù)問題；

（2）能通過分析函數(shù)圖象及表格數(shù)據(jù)了解相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的變化

差異，正確選擇合適的函數(shù)模型解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).

2.目標(biāo)解析

4.1指數(shù)(〃次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)累，無理數(shù)指數(shù)累及其運(yùn)算性質(zhì))

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)理解〃次方根的概念及其性質(zhì)；通過探究得到質(zhì)的性質(zhì)；理解〃次方根與分?jǐn)?shù)指

數(shù)毒的關(guān)系；掌握有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)；通過“用有理數(shù)指數(shù)幕逼近無理數(shù)指數(shù)幕”思想

了解無理數(shù)指數(shù)累，體會(huì)其中的極限思想；

(2)通過具體的實(shí)例的歸納，由具體到抽象，由特殊到一般，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)事與〃次方

根的關(guān)系：分?jǐn)?shù)指數(shù)幕是n次方根的一種表示形式，兩者是統(tǒng)一的.通過根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累的

互化，鞏固、加深對(duì)于根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)募的理解；

(3)通過類比教材中的模式，觀察5夜的不足近似值和過剩近似值，進(jìn)一步鞏固無理數(shù)指

數(shù)塞的概念，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；

4.2指數(shù)函數(shù)(指數(shù)函數(shù)的概念，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì))

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)能結(jié)合教科書中游客增長的問題1和碳14衰減的問題2,通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其中具體的

增長或衰減的規(guī)律，并從中體會(huì)實(shí)際問題中的變量間的關(guān)系.在了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義的基

礎(chǔ)上，知道指數(shù)函數(shù)的含義和表示，清楚其定義域和底數(shù)。的取值范圍；

(2)能根據(jù)函數(shù)解析式或利用計(jì)算工具計(jì)算出指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)變量的一些對(duì)應(yīng)值并列表,

然后描點(diǎn)或利用信息技術(shù)畫出指數(shù)函數(shù)的圖象，或能根據(jù)函數(shù)解析式直接利用信息技術(shù)畫出指

數(shù)函數(shù)的圖象；結(jié)合函數(shù)圖象，歸納這些圖象的共同特征，探索并總結(jié)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特

殊點(diǎn)，并結(jié)合函數(shù)解析式驗(yàn)證所總結(jié)的函數(shù)單調(diào)性和特殊點(diǎn)；

(3)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，體會(huì)"概念-圖象-性質(zhì)”的研究具體函數(shù)的一般思路；在由

具體實(shí)例抽象為具體函數(shù)、再由具體函數(shù)概括為指數(shù)函數(shù)的過程，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；結(jié)合由

函數(shù)圖象直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，提升直觀想象素養(yǎng).

4.3對(duì)數(shù)(對(duì)數(shù)的概念，對(duì)數(shù)的運(yùn)算)

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)通過與指數(shù)式比較，掌握對(duì)數(shù)概念及其性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力，提升數(shù)學(xué)

抽象核心素養(yǎng)；

(2)探究對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，體會(huì)“歸納-猜想-證明”是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論、證明結(jié)論的完整

思維方法，讓學(xué)生體會(huì)回到最原始(定義)的地方是解決數(shù)學(xué)問題的有效策略.能通過例題與

習(xí)題的解答，鞏固所學(xué)的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，通過運(yùn)算能力，體會(huì)對(duì)數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算

素養(yǎng).

4.4對(duì)數(shù)函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不同函數(shù)增長的差異）

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）從另一個(gè)角度繼續(xù)研究教科書中碳14衰減的問題，不僅得到對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，還能

通過與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系更好地理解對(duì)數(shù)函數(shù)；

（2）學(xué)生類比研究指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的過程和方法，探究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；將

對(duì)數(shù)函數(shù)y=分為。＞1和0＜。＜1兩類進(jìn)行歸納，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；

（3）學(xué)生能知道同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，了解二者的定義域與值域的關(guān)

系；

（4）通過探究指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長的差異，對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異，理

解“對(duì)數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義.

4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）（函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解，用二分法求方程的近似解，函數(shù)模型的

應(yīng)用）

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）理解函數(shù)零點(diǎn)的概念；通過“探究”觀察對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值

之積的特點(diǎn)，導(dǎo)出連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法.能通過例1的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生

借助函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是否存在零點(diǎn),理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理；能通過例2的教學(xué)

繼續(xù)探索用二分法求方程近似解的思路,體會(huì)用二分法求方程近似解的一般過程與思想方法；

（2）能明確教科書例3、4中的數(shù)量關(guān)系，能利用已知函數(shù)模型進(jìn)行計(jì)算求解，從而解

決實(shí)際問題；能明確教科書例5中的數(shù)量關(guān)系，指出每個(gè)方案的函數(shù)模型，為將實(shí)際問題抽象

為數(shù)學(xué)問題并化歸為函數(shù)模型作準(zhǔn)備；

（3）能從教科書中的例題條件出發(fā)，根據(jù)“對(duì)數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的

含義，數(shù)形結(jié)合地辨別三種函數(shù)的增長差異，從而選擇不同的函數(shù)模型；

（4）在選擇或建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程中，圍繞“是什么數(shù)學(xué)問題”“選什

么函數(shù)模型”“為什么要選某個(gè)函數(shù)模型”“怎么解答實(shí)際問題”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)

學(xué)建模素養(yǎng).

三、單元教學(xué)問題診斷分析

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本函數(shù).在第三章“函數(shù)的概念和性質(zhì)”中研究函數(shù)

的一般方法的指引下，本大單元讓學(xué)生借助研究基函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)這兩類新的重要的基本初

等函數(shù)一一指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，認(rèn)識(shí)它們的變化規(guī)律，進(jìn)一步理解函數(shù)的概念，并利用這兩

類函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.以下針對(duì)本大單元的教學(xué)問題診斷的分析做具體地闡述:

1.問題診斷

（1）4.1指數(shù)

學(xué)生在初中階段經(jīng)歷了從正整數(shù)指數(shù)幕到整數(shù)指數(shù)幕的推廣過程，已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)幕

及其運(yùn)算性質(zhì)，積累了一定的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)，為本單元的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ).但學(xué)生往往

把注意力集中在具體運(yùn)算上，對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的原則、指數(shù)幕的含義和運(yùn)算性質(zhì)等缺乏必要的關(guān)注，

而本單元的內(nèi)容主要是“定規(guī)則”，著力點(diǎn)在指數(shù)事優(yōu)指數(shù)x的范圍擴(kuò)充后的意義，不僅抽象

而且邏輯性強(qiáng)，所以存在較大困難.

首先，學(xué)生不清楚從整數(shù)指數(shù)毒到有理數(shù)指數(shù)哥推廣的整體架構(gòu)，這樣他們對(duì)從哪里入手

推廣、按怎樣的邏輯順序展開，每個(gè)環(huán)節(jié)如何實(shí)施才能做到邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)榷紩?huì)比較茫然.也就是

說，學(xué)生對(duì)該做什么和如何做都不太清楚，從而造成被動(dòng)學(xué)習(xí).為了解決這個(gè)困難，教學(xué)中要

引導(dǎo)學(xué)生回顧從有理數(shù)到實(shí)數(shù)（主要是平方根和立方根）、正整數(shù)指數(shù)累到整數(shù)指數(shù)易的推廣

過程，通過適當(dāng)?shù)闹v解，為學(xué)生搭建適當(dāng)?shù)哪_手架，使他們?cè)谶m當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象下展開學(xué)習(xí)，從

而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.

其次，從根式的意義到有理數(shù)指數(shù)幕的含義的理解，其中涉及數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)方式的轉(zhuǎn)換，

轉(zhuǎn)換要滿足等價(jià)性，其抽象性、邏輯性都很強(qiáng)，需要較強(qiáng)的代數(shù)思維和邏輯推理能力，這對(duì)學(xué)

生具有挑戰(zhàn)性.教學(xué)中要注意通過類比數(shù)系的擴(kuò)充過程（特別是從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的擴(kuò)充過程，先

引入分?jǐn)?shù)單位，再定義分?jǐn)?shù)的意義，然后研究分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和運(yùn)算等過程），通過具體實(shí)例引導(dǎo)

學(xué)生理解定義/二舊7的合理性，并按照教學(xué)定義的完備性要求，給出完整的有理數(shù)指數(shù)幕

的定義，從而建立起理解有理數(shù)指數(shù)辱含義的基礎(chǔ).

第三，因?yàn)閷W(xué)生的運(yùn)算技能、代數(shù)思維等方面的欠缺，他們?cè)谶M(jìn)行根式，有理數(shù)指數(shù)累的

運(yùn)算等過程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.教學(xué)中要注意發(fā)揮這個(gè)內(nèi)容在提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)上的作

用，讓學(xué)生充分經(jīng)歷從具體實(shí)例到運(yùn)算法則的歸納過程，使他們?cè)诶斫飧降囊饬x、有理數(shù)指

數(shù)幕的含義基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)?shù)膹母降椒謹(jǐn)?shù)指數(shù)幕的解題訓(xùn)練，形成較好的運(yùn)算技能.

第四，無理數(shù)指數(shù)惠的含義涉及數(shù)列的極限，具有構(gòu)造性，也是本單元的一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn).教

學(xué)時(shí)要注意借鑒初中階段用有理數(shù)夾逼無理數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，通過信息技術(shù)手段提供直觀理解的支持,

幫助學(xué)生更好地體驗(yàn)無理數(shù)指數(shù)基的唯一確定性.

（2）4.2指數(shù)函數(shù)

由具體實(shí)例抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，不僅要能想到將問題1游客人次的變化用圖象直觀表

示，還要能結(jié)合圖象對(duì)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算后發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，并能根據(jù)問題1和問題2得到的兩

個(gè)解析式概括出統(tǒng)一的函數(shù)關(guān)系式丫=。'（。＞0且awl）.這些對(duì)學(xué)生思維能力的要求較高.教學(xué)

中，要給學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，并給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).在學(xué)生不能從問題1的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)

游客人次的變化規(guī)律時(shí)，要多引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出圖象進(jìn)行觀察，然后啟發(fā)學(xué)生對(duì)已

知數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，通過運(yùn)算得到每年與上年旅游人次的比例為常數(shù)，從而結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)變化規(guī)

律的本質(zhì).這里，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行哪些運(yùn)算才有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中缺乏的，教

學(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生注意“增加量”“增長率”的作用的強(qiáng)調(diào).再引導(dǎo)學(xué)生分析問題2的碳14衰

減問題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)概括出指數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)概念形成的過程.概念形成后，先讓

學(xué)生觀察其定義域的范圍；再拋出問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合定義域分析對(duì)底數(shù)。有何要求，最后通

過習(xí)題來強(qiáng)化學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的理解.

在指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，盡管學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過暴函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，但那是在給定的

五個(gè)具體的函數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行不完整、不系統(tǒng)的歸納，而且嘉函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)自行選擇具體的函

數(shù)，必要時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)進(jìn)行探索，通過畫出底數(shù)。取大量不同值時(shí)的圖象,

發(fā)現(xiàn)并歸納函數(shù)的單調(diào)性；在探索的基礎(chǔ)上將大量所做的圖象分為增長和衰減兩類，利用信息

技術(shù)分別研究兩類圖象函數(shù)值的變化，從而歸納。〉1時(shí)函數(shù)單調(diào)增，0＜。＜1時(shí)函數(shù)單調(diào)減.

(3)4.3對(duì)數(shù)

首先，學(xué)生難以理解對(duì)數(shù)與指數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系，在應(yīng)用對(duì)數(shù)概念進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，會(huì)出現(xiàn)符

號(hào)混亂的現(xiàn)象.這就要求教師在教學(xué)時(shí)首先要讓學(xué)生清楚指數(shù)式中哪個(gè)是指數(shù)，哪個(gè)是底數(shù),

再思考對(duì)數(shù)式中真數(shù)是指數(shù)式中的哪部分，避免當(dāng)題目換成其它字母時(shí)，學(xué)生就不清楚該如何

進(jìn)行指對(duì)互化，其次對(duì)于對(duì)數(shù)的性質(zhì)及零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)的理解，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考，引導(dǎo)

學(xué)生與指數(shù)式進(jìn)行聯(lián)系，并加以證明.

其次，熟悉對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，可以先類比指數(shù)運(yùn)算法則對(duì)照記憶，然后再強(qiáng)化法則使用的條

件，提醒學(xué)生注意對(duì)數(shù)式中每個(gè)字母的取值范圍，最后還要讓學(xué)生認(rèn)清對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可使高一

級(jí)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為低一級(jí)的運(yùn)算，從而簡化計(jì)算方法，加快運(yùn)算速度，顯示對(duì)數(shù)計(jì)算的優(yōu)越性.

(4)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)是高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的第三個(gè)基本初等函數(shù)，學(xué)生已經(jīng)具備了較好的函數(shù)認(rèn)知基

礎(chǔ)，且對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)已達(dá)到抽象概括階段(高中及以后)，能脫離具體和直觀對(duì)象，進(jìn)行抽象

化、符號(hào)化的概括與操作，即“集合對(duì)應(yīng)說”.為幫助學(xué)生理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，可從具體的

指數(shù)函數(shù)模型出發(fā)，例如，在碳14衰減問題中，由指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系，容易根據(jù)死亡生物體

內(nèi)碳14殘留量y經(jīng)運(yùn)算推理得到生物死亡時(shí)間x的關(guān)系式，但是反過來考慮，生物死亡時(shí)間x

是否為死亡生物體內(nèi)碳14殘留量y的一個(gè)函數(shù)呢？從而引出函數(shù)的三要素，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)

集AB的取值集合.為了說明函數(shù)的“集合對(duì)應(yīng)說”，可引導(dǎo)學(xué)生畫函數(shù)

y=J-,xe［0,+8)的圖象，利用信息技術(shù)中的PPT的動(dòng)態(tài)演示，一方面說明動(dòng)直線y=%

取滿了"?0，1］，另一方面說明圖象與動(dòng)直線始終有唯一交點(diǎn).由動(dòng)態(tài)圖展示讓學(xué)生很容易理

解》=108曲,)，,》?0,1］是滿足函數(shù)定義的任意性和唯一性這兩個(gè)關(guān)鍵要求.

V2

為了突破對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，同指數(shù)函數(shù)一樣，通過信息技術(shù)輔助畫出底數(shù)〃取大量不

同值時(shí)的圖象，發(fā)現(xiàn)并歸納函數(shù)的單調(diào)性；在探索的基礎(chǔ)上將大量所做的圖象分為對(duì)數(shù)增長和

對(duì)數(shù)減小兩類，利用信息技術(shù)分別研究兩類圖象函數(shù)值的變化，從而歸納。＞1時(shí)函數(shù)單調(diào)增，

0＜4＜1時(shí)函數(shù)單調(diào)減.

另外為了讓學(xué)生形象直觀的感受“指數(shù)爆炸”“直線上升”“對(duì)數(shù)增長”這些術(shù)語的含

義，可各個(gè)擊破，具體操作如下：先將指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長作差異對(duì)比，借助信息技術(shù)

的作圖軟件，逐步調(diào)節(jié)單位1的長度，學(xué)生直觀感受這兩個(gè)函數(shù)的增長差異越來越明顯，這正

說明了指數(shù)函數(shù)的增長由慢變快且越來越快的爆炸性增長的特點(diǎn)；再將對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的

增長作差異對(duì)比，同樣地，借助信息技術(shù)的作圖軟件，逐步調(diào)節(jié)單位1的長度，學(xué)生亦能直觀

感受這兩個(gè)函數(shù)的增長差異越來越明顯，這也正說明了對(duì)數(shù)函數(shù)的增長由快變慢且越來越慢的

對(duì)數(shù)增長的特點(diǎn).

(5)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)

函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的定義直接類比二次函數(shù)零點(diǎn)的定義，沒有必要作多余的解

釋，結(jié)合具體的函數(shù)，推導(dǎo)出一般函數(shù)零點(diǎn)的概念并得到相應(yīng)結(jié)論.對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)存在定理的

導(dǎo)出，可結(jié)合具體的二次函數(shù)的零點(diǎn)(變號(hào)零點(diǎn))附近處，結(jié)合數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)有下面結(jié)論：/(x)

穿過x軸=/(a)/(b)<0,然后要求學(xué)生利用這一結(jié)論盡可能多地畫出函數(shù)/(x)的圖象，不妨令

/⑷<0,/俗)>0時(shí)，畫/(x)的圖象，結(jié)合學(xué)生的作圖情況可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)/(X)有零點(diǎn)(可以不止

一個(gè))，從而形成函數(shù)零點(diǎn)存在定理.接下來，就是理解定理了，引導(dǎo)學(xué)生充分抓住定理中的

關(guān)鍵信息：“連續(xù)”、和“至少有一個(gè)”，對(duì)于前兩個(gè)關(guān)鍵詞，教師需要求學(xué)

生自己親自動(dòng)手嘗試畫出“不連續(xù)”、"/(.)/b)>0”的圖象情況，從而了解到零點(diǎn)存在定理

是函數(shù)有零點(diǎn)的充分條件，而非必要條件.對(duì)于最后一個(gè)關(guān)鍵詞，可以結(jié)合前面定理的導(dǎo)出時(shí)，

學(xué)生的作圖情況以及教師適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，充分理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理無法準(zhǔn)確判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問

題.對(duì)于零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，教師需利用好“例1”的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)單調(diào)性的加入可以

間接判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而形成零點(diǎn)存在且唯一定理.值得注意的是，同樣地，函數(shù)零點(diǎn)

存在且唯一定理也是函數(shù)有唯一零點(diǎn)的充分條件，而非必要條件.

用二分法求方程的近似解的難點(diǎn)是二分法的原理和思路，以及算法思想.為突破二分法的

原理，可引導(dǎo)學(xué)生作圖，直觀感受“穿根”和“不穿根”在圖象上的區(qū)別，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語

言，即代數(shù)式上的差異，明確“穿根”才可以使用二分法.對(duì)于二分法思路的突破，可按照“求

方程近似解一一求函數(shù)的零點(diǎn)一一縮小區(qū)間逼近零點(diǎn)一一二分法”的過程展開，重中之中就是

如何縮小區(qū)間，反復(fù)檢驗(yàn)端點(diǎn)的函數(shù)值是否異號(hào)，如此一來，自然會(huì)涉及到算法的優(yōu)化，所以

需要程序化來體現(xiàn)算法思想，讓學(xué)生通過二分法的學(xué)習(xí)，體會(huì)按照明確步驟解決問題的重要性.

函數(shù)的外部應(yīng)用，首先，學(xué)生在此之前已經(jīng)結(jié)合實(shí)例學(xué)習(xí)了幾類函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，

并應(yīng)用它們解決學(xué)科內(nèi)的一些問題和一些簡單的實(shí)際問題.但是面對(duì)較復(fù)雜的實(shí)際問題，如何

將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，特別是如何選擇函數(shù)模型來刻畫實(shí)際問題，大多數(shù)學(xué)生既缺乏這方面的

經(jīng)驗(yàn)，也缺乏數(shù)學(xué)抽象的能力，以及對(duì)不同函數(shù)模型增長差異的深刻認(rèn)識(shí).教學(xué)時(shí)可以多從以

下兩方面幫助學(xué)生克服困難：一是根據(jù)實(shí)際問題的條件建立等量關(guān)系，從而將實(shí)際問題抽象為

數(shù)學(xué)問題；二是從數(shù)和形出發(fā)，定性和定量地分析實(shí)際問題的變化規(guī)律，從而選擇合適的函數(shù)

模型；其次，在利用函數(shù)模型解決問題的過程中，大多數(shù)學(xué)生還沒有養(yǎng)成利用信息技術(shù)根據(jù)函

數(shù)模型進(jìn)行運(yùn)算求解的良好習(xí)慣.在教學(xué)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生使用信息技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算求解,

畫圖列表，多元聯(lián)系地表示數(shù)學(xué)對(duì)象并分析問題，從而逐步形成利用信息技術(shù)研究實(shí)際問題的

意識(shí).

2.教學(xué)難點(diǎn)

(1)4.1指數(shù)：建立指數(shù)累的推廣的整體架構(gòu)；根式性質(zhì)的理解；分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的理解、

有理數(shù)指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)及用有理數(shù)指數(shù)幕逼近無理數(shù)指數(shù)毒.

(2)4.2指數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)概念的形成過程，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；描點(diǎn)法畫指

數(shù)函數(shù)圖象，并抽象概括出指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

(3)4.3對(duì)數(shù)：對(duì)數(shù)概念的理解，指對(duì)數(shù)互換；利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)出對(duì)數(shù)的運(yùn)算

性質(zhì)和換底公式.

(4)4.4對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)概念形成的邏輯推理；對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納；對(duì)“指數(shù)爆

炸”“直線上升”“對(duì)數(shù)增長”的理解

(5)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)：函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)存在定理的導(dǎo)出和定理中的關(guān)

鍵詞的理解，用二分法求方程的近似解的思路和算法；函數(shù)的外部應(yīng)用，用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型

解決實(shí)際問題的基本過程.

四、教學(xué)支持條件分析

(1)4.1指數(shù)：

通過計(jì)算工具計(jì)算、展示及,5無等的不足近似值和過剩近似值夾逼血,50的過程，并利

用幾何畫板在數(shù)軸上進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示“不足近似值”和“過剩近似值”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)逼

近一個(gè)確定的點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)就是這個(gè)無理數(shù)指數(shù)基.由此讓學(xué)生學(xué)會(huì)其中的極限思想，并從

數(shù)和形兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)到5&是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，進(jìn)而理解無理數(shù)指數(shù)累.

(2)4.2指數(shù)函數(shù)：

利用信息技術(shù)中的Excle、函數(shù)作圖等軟件工具進(jìn)行計(jì)算、列表和作圖，以便于多元聯(lián)系

地表示指數(shù)函數(shù)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)中可能遇到的困難，更好地理解指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).

在指數(shù)函數(shù)的概念的教學(xué)中，利用信息技術(shù)可以很方便地將問題1中表格的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖象，

由圖象直觀地發(fā)現(xiàn)旅游人次的整體變化情況；然后利用信息技術(shù)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，通過計(jì)

算揭示圖象蘊(yùn)含的變化規(guī)律的本質(zhì).在指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的教學(xué)中，利用信息技術(shù)可以進(jìn)行

多種方式的研究，比如任意作出大量需要的函數(shù)圖象，通過觀察圖象歸納出不同圖象的共同特

征，進(jìn)而抽象出函數(shù)的性質(zhì)；又如建立函數(shù)的圖象和數(shù)表的聯(lián)系，通過跟蹤圖象上的點(diǎn)，數(shù)形

結(jié)合地發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象特征和性質(zhì).

(3)4.3對(duì)數(shù):

在說明自然對(duì)數(shù)e的時(shí)候，可以利用信息技術(shù)中Excle計(jì)算當(dāng)?=1,2,3,10,100,1000,10000,

100000,…時(shí)，對(duì)應(yīng)的+的值，從而發(fā)現(xiàn)其數(shù)值增長越來越慢.同時(shí)結(jié)合信息技術(shù)中幾何

畫板作出函數(shù)y=圖象，直觀感受這一變化規(guī)律，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)當(dāng)+8時(shí)，fl+4'

-＞定值，從而引入自然對(duì)數(shù)e.

(4)4.4對(duì)數(shù)函數(shù):

在說明x=log^y,ye(0,l]是滿足x是關(guān)于y的一個(gè)函數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分利用信息技術(shù)中的

PPT的動(dòng)態(tài)演示功能，在畫出函數(shù)y=[0,yo)的圖象后,一方面要說明動(dòng)直線

取滿了乂另一方面還要說明圖象始終與動(dòng)直線有唯一交點(diǎn).由動(dòng)態(tài)圖展示讓學(xué)生很容

易理解X=10gs“而是滿足函數(shù)定義的任意性和唯一性這兩個(gè)關(guān)鍵要求.

在描點(diǎn)畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，為了便于概括對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可以結(jié)合信息技術(shù)中的幾何畫

板來處理.一方面，計(jì)算函數(shù)y=k)g2x的自變量取值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值并列表，然后將所得有

序?qū)崝?shù)對(duì)描點(diǎn)并畫出函數(shù)的圖象，同理，作出函數(shù)y=log,x的圖象，跟蹤函數(shù)y=log2X圖象上

2

的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)關(guān)于X對(duì)稱的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)所有的對(duì)稱點(diǎn)均在函數(shù)y=log〃的圖象上，并由相互

對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系分析函數(shù)y=1。82工與y=log,x的關(guān)系；另一方面，在同一平面直角坐標(biāo)系

2

內(nèi)畫出。取任意值時(shí)函數(shù)y=log〃x的大量圖象，可以設(shè)置。的取值，然后通過控制。的連續(xù)變

化展示對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的分布情況；還可以逐個(gè)地取。的值，然后分別作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.

對(duì)于同底的指對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的教學(xué)，同樣可以結(jié)合幾何畫板來處理，在同一直角坐

標(biāo)系中，畫出指數(shù)函數(shù)y=2*和對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2X,跟蹤函數(shù)y=2,圖象上的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)關(guān)

于y=x對(duì)稱的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)所有的對(duì)稱點(diǎn)均在函數(shù)y=1。心》的圖象上；同理，再選取底數(shù)為3、4

等的指對(duì)數(shù)函數(shù)，仍發(fā)現(xiàn)有同樣的結(jié)論.由此歸納出指數(shù)函數(shù)y=a'和對(duì)數(shù)函數(shù)y=log“x關(guān)于

y=x對(duì)稱，即互為反函數(shù)，最后再通過控制a的連續(xù)變化檢驗(yàn)這兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱情況.

在不同函數(shù)增長的差異一節(jié)中，信息技術(shù)起到至關(guān)重要的作用，可考慮從數(shù)和形這兩個(gè)不

同的角度分別體會(huì)函數(shù)的增長差異.通過Excel中表格的數(shù)據(jù)和作圖功能的圖象，以數(shù)形相結(jié)

合體現(xiàn)各個(gè)具體函數(shù)之間增長變化的差異.另外，還可以設(shè)置a,b,z的取值，利用幾何畫板中的

控制按鈕控制的連續(xù)變化展示對(duì)應(yīng)函數(shù))，=優(yōu),丫=1物2=丘的圖象的增長變化情況，以

說明參數(shù)的大小不影響函數(shù)間的增長速度的快慢，從而準(zhǔn)確地理解“指數(shù)爆炸”“直線上升”

“對(duì)數(shù)增長”術(shù)語的含義.

(5)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)

函數(shù)的內(nèi)部應(yīng)用，研究函數(shù)的零點(diǎn)問題的一種主要的思想方法就是數(shù)形結(jié)合，探究途徑是

特殊到一般，在教學(xué)過程中需要利用GeoGebra,Excel,圖形計(jì)算器等統(tǒng)計(jì)軟件來處理數(shù)據(jù)，畫

出函數(shù)圖象.在二分法的教學(xué)中，可融入信息技術(shù)，突出它的作用：一是利用信息技術(shù)作出函

數(shù)圖象，幫助學(xué)生直觀地確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間；二是信息技術(shù)為學(xué)習(xí)二分法提供了快速計(jì)算

的工具，有助于提高運(yùn)算的效率，減少人為重復(fù)的運(yùn)算；三是信息技術(shù)為學(xué)習(xí)二分法提供了驗(yàn)

證的工具，有助于檢驗(yàn)結(jié)論的正確性.

函數(shù)的外部應(yīng)用，為了幫助學(xué)生克服選擇實(shí)際問題的函數(shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解決

問題的困難，教學(xué)時(shí)應(yīng)用充分利用信息技術(shù)的計(jì)算、作圖、列表等功能，處理實(shí)際數(shù)據(jù)、便捷

地求解，讓學(xué)生將主要精力投入到定性和定量地分析問題上，針對(duì)不同函數(shù)模型動(dòng)態(tài)地研究其

變化規(guī)律.

五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

第1課時(shí)

1.課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

4.1.1n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)累

2.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

（1）理解〃次方根與根式的概念，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)累和根式之間的互化；

（2）掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

3.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：根式的概念；分?jǐn)?shù)指數(shù)易的概念；掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)暴運(yùn)算性質(zhì)；

難點(diǎn)：建立指數(shù)幕的推廣的整體架構(gòu)；根式性質(zhì)的理解；有理數(shù)指數(shù)事的運(yùn)算性質(zhì).

4.教學(xué)設(shè)計(jì)

教教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

學(xué)

環(huán)

節(jié)

引1、71次方根式教師通過

入【溫故】我們知道，如果尤2=%那么尤叫做a的平方根.例如，±2就引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)方

新是4的平方根.如果/=a＞那么x叫做a的立方根.如2就是8的立方根.類比平方根，導(dǎo)出

課類似地，由于（土2尸=16,我們把±2叫做16的4次方根.根、立方本節(jié)課的

【知新】一般地，如果/=a，那么％叫做a的幾次方根，其中，n根的概研究對(duì)

>1,且11￡1^*念，自主象，使學(xué)

得出n次生明確學(xué)

方根的概習(xí)目標(biāo)，

念并利用之

前學(xué)習(xí)形

成的思維

習(xí)慣，引

導(dǎo)學(xué)生進(jìn)

一步觀

察、研究

新2、ri次方根的性質(zhì)類比通過

課（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是平方根和熟悉的特

探一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí)，a的n次方根用符號(hào)版表示.立方根從例，加強(qiáng)

究例如牛32=2,V-32=-2,Va6=az.n為偶數(shù)對(duì)根式的

和n為奇理解，引

（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).數(shù)兩個(gè)方導(dǎo)形成根

這時(shí)，正數(shù)a的n次方根用孤表示，負(fù)的n次方根用-班表面討論n式的相關(guān)

示.兩者也可以合并成土質(zhì).次方根的性質(zhì).

例如16的4次方根有兩個(gè)，分別是:石=2和—V訪=一2.性質(zhì).

（3）負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

（4）0的任何次方根都是0,記作9=0.

3、根式

式子班叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

【思考】觀察（詼）”和

府，你認(rèn)為他們所代表的的含義是等價(jià)的嗎？為什么？

（Va）?l=a如：（石＞=5,（V4）6=4

（次/=2,（g）5=-3

nr-a..fa,n為奇數(shù)

1一珥n為偶數(shù)

如：V?=2,^（-3）5=-3,海=0

濘=2,,（-3）6=3,海=0

通過

例1求下列各式的值：從具分n為奇

⑴〃一8尸；(2)J(—10)2;體的例子數(shù)和偶數(shù)

(3)V(3-7i)4；(4)J(a—b)2總結(jié)府兩種情況

和（眄然討論，進(jìn)

的本質(zhì)，一步理解

從而得出n次方根

辨析結(jié)果的概念，

4、分?jǐn)?shù)指數(shù)黑結(jié)論形成嚴(yán)謹(jǐn)

【探究】根據(jù)〃次方根的定義和運(yùn)算，我們知道Wa1°=）（。2）5=。2=的分類思

aJ(a>0)想，提升

邏輯推理

Va12=^/(a3)4=a3=a~^(a>0)

學(xué)生的核心素

即當(dāng)根式的被開方數(shù)(看成寡的形式)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式

自主完成養(yǎng)

可以表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)寨的形式.

后老師請(qǐng)

【思考】當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式是否也能表示為分

學(xué)生口述

數(shù)指數(shù)箱的形式？

解題過程

事實(shí)上，任何一個(gè)根式都可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)呆的形式，例如：

or2__14/5通過練

Va2=a3(a>0),4b=成(b>0),Vc^=cl(c>0).

___m習(xí)，鞏固

一般地，冒布