巧用各種運動求曲率半徑(發(fā)表于物理教學(xué)探討)公開課

PAGEPAGE3巧用巧用各種運動求曲率半徑浙江省諸暨中學(xué)侯位鋒曲率半徑在數(shù)學(xué)上有嚴格的意義和表達式，而曲率半徑的計算需要用到高等數(shù)學(xué)的知識。在中學(xué)階段，我們可巧用各種運動來求曲率半徑，具體舉例如下。1．利用平拋運動Oθθvvyv0xy(xOθθvvyv0xy(x，y)θAO′解析：可以構(gòu)建一個初速度為v0的平拋運動，建立拋出點為坐標(biāo)原點，初速度方向為x軸的坐標(biāo)系（如圖所示）．則x=v0t，y=gt2．拋物線的軌跡方程為式中．拋物線上任一點A的速度，設(shè)A點的曲率半徑為ρ，則，又因，所以，化簡此式得到：．2．利用勻速率運動題目：四質(zhì)點A、B、C、D在同一平面上運動。每時刻，A速度總對準B，速度大小為常量u，B速度總對準C，速度大小同為u，C速度總對準D，速度大小同為u，D速度總對準A，速度大小同為u。某時刻，A、B、C、D恰好逆時針方向按序位于各邊長為l的的正方形四個頂點上，試求此時A的運動軌道在此位置的曲率半徑ρ。ABCDllllu△uu△t△θ解析：經(jīng)過△t時間，A、B、C、D位置變化如圖所示。A的速度變化是△u，方向與u垂直，△u＝u△θ，又因u△t＝l△θ，則A的加速度為ABCDllllu△uu△t△θ又因A做勻速率運動，無切向加速度，a心＝a，根據(jù)ρ＝u2/a心，所以ρ＝l。3．利用勻速直線運動與勻速圓周運動的合運動題目：半徑為R的輪子在水平直線MN上方純滾動，輪子邊緣上任意點P的運動軌跡不妨稱為上滾輪線。如圖所示，將上滾輪線繞MN向下翻轉(zhuǎn)180°，成為下滾輪線。下滾輪線可看成R輪子在下方沿直線MN純滾動時輪子邊緣點P的軌跡。RRRPMN求此軌跡最低點的曲率半徑ρ。解析：點P的運動可以看成是水平方向的勻速運動設(shè)速度為v0，與豎直平面內(nèi)的勻速圓周運動（角速度為ω）的合運動。根據(jù)純滾動可知ω＝v0/R而當(dāng)P點運動到軌跡最低點時，速度（對地）2v0，向心加速度為a心＝v02/R又因ρ＝（2v0）2/a心，ρ＝4R。同樣方法其實可以求出任一點的曲率半徑。即用上面方法可以求出滾輪線上任一點的曲率半徑。用勻速直線運動和勻速圓周運動的合運動還可以來求等距螺旋線的曲率半徑。4．利用勻速直線運動與簡諧運動的合運動OxyPθvxvyva心題目：如圖所示一余弦曲線y＝AOxyPθvxvyva心解析：設(shè)質(zhì)點在x方向做勻速直線運動，速度大小為v0，y方向做簡諧運動y＝Acosv0t，則質(zhì)點運動的軌跡為y＝Acosx。則vx＝v0ax＝0vy＝－v0Asinv0tay＝－v02Acosv0t當(dāng)質(zhì)點運動到P點時，當(dāng)0＜x＜π/2時根據(jù)圖線的對稱性，則可得余弦曲線任一點的曲率半徑。5．利用勻速直線運動和一般變速直線運動的合運動題目：求解曲線y=ex的曲率半徑隨x的分布ρ（x）。解析：設(shè)質(zhì)點沿y=ex軌道運動過程中，x方向分運動為x＝vt，即勻速直線運動。y方向分運動為y＝evt，則vx＝v，vy＝vevtOvyvxua＝ayaOvyvxua＝aya心xxyy1θθ如圖所示，則a心＝acosθ＝ayvx/u＝v3evt/uρ＝u2/a心，ρ＝u3/v3evt，又u＝則ρ＝（1+e2x）3/2ex6．利用簡諧運動和簡諧運動的合運動題目：求橢圓上，任意一點的曲率半徑。解析：可以構(gòu)建一個這樣一個運動，水平方向做簡諧運動，振幅為a，恢復(fù)力Fx=–k1x，x=acost，vx=–asint，所以，OyxθvvxvyO′FyFXθA（x，y）又因、，則k1=m．豎直方向也做簡諧運動，振幅為b，恢復(fù)力Fy=–k2yOyxθvvxvyO′FyFXθA（x，y）．如圖所示在橢圓上取一點A（x，y），物體運動到該點的速度，在該點物體受到的向心力，又因Fx=–mx，F(xiàn)y=–my，所以．設(shè)A點的曲率半徑為ρ，則，即，又、，則，所以，則。7．利用勻變速曲線運動與勻速圓周運動的合運動題目：半徑為r的圓盤以角速度ω轉(zhuǎn)動，現(xiàn)與水平面成α角以速度v拋出圓盤，圓盤運動時圓盤面保持豎直。求當(dāng)圓盤上升到最大高度時，盤上最高點運動軌跡的曲率半徑。解析：圓盤上各點的運動可以看作是圓盤圓心的斜拋運動和繞圓盤的勻速圓周運動。由題意可知，圓盤中心在最高點的速度為vcosα，繞盤中心可以順時針或逆時針轉(zhuǎn)，則最高點的速度為vA＝vcosα±ωr，最高點的加速度為aA＝aAO+aO，其中aAO為最高點相對于盤中心的加速度，大小為ω2r，方向豎直向下，aO為盤中心相對地的加速度，大小為g，方向豎直向下，由此可得aA＝ω2r+g，因此可得盤上最高點的運動軌跡的曲率半徑為ρ＝vA2/a心，則ρ＝（vcosα±ωr）2/（ω2r+g）同理可得圓盤上各點運動軌跡的曲率半徑。8．利用勻速圓周運動和勻速圓周運動的合運動rROO′題目：如圖所示固定環(huán)R=4rROO′解析：滾輪線上各點的運動可以看成是繞圓心O′的勻速圓周運動和圓心O′繞圓心O的勻速圓周運動的合運動。設(shè)小環(huán)自轉(zhuǎn)角速度為ω1、線速度為v，小環(huán)圓心繞大環(huán)圓心轉(zhuǎn)動的角速度為ω0，根據(jù)運動關(guān)聯(lián)則，rω1＝（R－r）ω0，所以ω1＝（R－r）ω0/r，又滾輪線曲率半徑最大處在弧中段，此點線速度大小為v1＝2v，加速度方向有O指向O′，大小為a＝rω12－（R－r）ω02