【模擬測試】數(shù)學(xué)高考檢測試卷及答案解析

高考模擬測試數(shù)學(xué)試題

(滿分150分，時間：120分鐘)

一、選擇題(每小題5分).

1.已知集合用={x，-2x-8V。},N={x|lnx>0},則Mp|N=()

A.1x|-4<x<1}B.|x|-2<x<l}C.卜［1<%<2}D.1x|l<x<4}

2.已知復(fù)數(shù)z=1j,則|Z|=()

A.0B.V2C.2D.-2

3.將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)都伸長到原來的兩倍，得到函數(shù)g(x)=cos2x的圖象，則/(%)是

()

A.周期為2%的偶函數(shù)B.周期為2萬的奇函數(shù)

TT

C.周期為k的偶函數(shù)D.周期為王的奇函數(shù)

22

x+2y-2>0

4.若實數(shù)X,y滿足<2x-y-4<0,貝！jz=x-2y的最小值為()

y<2

A—6B.-1C.2D.6

(叫

5.已知tana——=2,貝i]tana=

14)

11

A.B.——C.3D.-3

33

71

6.過點P作圓0：x2+V=i的兩條切線,切點分別是A,B,若乙4尸8=一,則方?麗二()

3

B.1「上也

A.J---D.

~2222

7.恩格爾系數(shù)(坳ge-sCo助?cie”)是食品支出總額占個人消費支出總額的比重.居民可支配收入是居民可用于

最終消費支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為我國2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)

和居民人均可支配收入的折線圖.

恩格爾系數(shù)

31.50%

31.00%

30.50%

30.00%

29.50%

29.00%

28.50%

28.00%

201220132014201520162017201820192020

居民人均可支配收入

35000

30000

1

25000

—4

20000

15000

10000

5000

0

201220132014201520162017201820192020

給出三個結(jié)論:

①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；

②一個國家的恩格爾系數(shù)越小，說明這個國家越富裕；

③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越小.

其中正確的是()

A.①B.②C.①②D.②③

8.如圖所示，已知拋物線，2=2px(〃>0)的焦點為尸，點A(七,3)是拋物線上一點，過A作拋物線準(zhǔn)線

的垂線，垂足為“，HF交拋物線于點B,且班=2而，則。=()

A.2B.y/3C.V2D.1

9.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬物的本源，因此極為重視數(shù)的理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的

沙?；蛐∈樱⑺鼈兣帕谐筛鞣N形狀進(jìn)行研究.形數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點陣所對應(yīng)的點數(shù)，是畢哥

拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一.如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個數(shù)，若三角形數(shù)組成數(shù)列｛q｝,四

邊形數(shù)組成數(shù)列｛d｝,記%=—1—,則數(shù)列｛%｝的前10項和為（）

J

9D10-20

A.—B.—D.——

101111

10.如圖所示，在棱長為2的正方體ABC?！狝4G。中，點E，F(xiàn)，G,H,/.J分別是棱4瓦，

AR,DR,CD,BC,的中點，現(xiàn)在截面瓦G/〃/內(nèi)隨機取一點M，則此點滿足|AM+|MG|<4

A百口6■?！杆膎百萬

x\.--D.1"k_x.U.,

9969

11.已知雙曲線三一春?=1（。>°/>°）的左、右焦點分別為"，尸2,過點片且斜率為4的直線/與雙

曲線的右支交于點A,且是以區(qū)工為底邊的等腰三角形，則該雙曲線的離心率為（）

A.2+V2B.2+V7C.2+20D.2+2近

12.若對任意xe（O,yo）,不等式-lnx>0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

（1n）fl>/、

A.[--,ejB.C.，ejD.（e,+ooj

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/（x）=lnx—f的單調(diào)遞增區(qū)間為.

14.已知一個球的半徑與一個等邊圓柱（過軸的截面是正方形）的底面半徑相等，則該圓柱的表面積與球的表

面積的比值是.

15.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，具有重大意義的是卷下第26題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)

之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”是中國最早一元線性同余方程組問題，如圖為由該算

法演變而來的一個程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是.

其中P三/w(mod〃)表示尸被〃除余

16.費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于半時，費馬

點與三角形三個頂點的連線構(gòu)成的三個角都為胃.已知點P為△相。的費馬點，角A,B,。的對邊分

別為b,c,若?054=2$皿(。一"卜0$8,且〃=(a—c>+6,則P3+PB-PC+PC的

值為.

三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾,,,且滿足2s“=32一1(〃wN*).

(1)求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛(2〃-1)為｝的前〃項和.

18.2021年春節(jié)，由賈玲導(dǎo)演的春節(jié)檔電影《你好，李煥英》總票房已突破50億元，影片的感人情節(jié)引起

同學(xué)們廣泛熱議.開學(xué)后，某校團(tuán)委在高三年級中(其中男生200名，女生150名)，對是否觀看該影片進(jìn)行

了問卷調(diào)查，各班男生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為A組，各班女生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為5組，得到如圖的莖葉圖.已知

全年級恰有3個班級觀看該影片的人數(shù)超過40.

［組8組

86501678

■1120113378

54223

(I)根據(jù)莖葉圖繪制2x2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)？

(n)若先從A組人數(shù)超過20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù)，再從3組人數(shù)少于20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)

據(jù)，求抽到的這兩個數(shù)據(jù)來自同一個班的概率.

參考數(shù)據(jù)及公式如下：

2

P(K>k]0.10.050.0250010.0050.001

k2.7063.84150246.6357.87910.828

n(ad-be)"

,n-a+b+c+d

(a+0)(c+d)(a+c)(0+d)

19.如圖所示，在四棱錐P—A3C。中，PZ)_L底面ABCD,四邊形ABCO為矩形，8=2,

PD=AD=42>E為。。的中點.

(I)求證：AE_L平面P3D；

(H)求點A到平面PBE的距離.

27

Y

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：—+y=l(a>8>0)的左、右焦點分別為K，F(xiàn)”M為

2

a~b

橢圓。上一點，線段〃片與圓相切于該線段的中點，且△“打工的面積為2.

(1)求橢圓。方程；

(U)過點八的直線/與橢圓。交于A,B兩點、,且NAO5=90。，求AAQB的面積.

21.已知函數(shù)/(x)=e*+at,g(x)=f(x)-f(-X)(aG2?).

(1)若直線卜=履與曲線/(幻相切，求Z—a的值；

(11)若8(幻存在兩個極值點為，%，且求a的取值范圍.

X,-x2e

請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

■rr

22.在極坐標(biāo)系Qr中，射線/的極坐標(biāo)方程為6=彳(夕20),曲線C的極坐標(biāo)方程為

p2-4psin6?=r2-4(r>0),且射線/與曲線C有異于點。的兩個交點P,Q.

(1)求「的取值范圍；

11

(2)求同+畫的取值范圍?

［選修4-5：不等式選講】

23.已知函數(shù)/(x)=|x+2|T，zx-2|(aeR).

⑴當(dāng)。=2時，解不等式

出當(dāng)工W—2,2］時，求證：/(x)+/(-%)<().

答案與解析

一、選擇題(每小題5分).

1.已知集合"={xM-2x-8<。},N={x|lnx>。},則MCN=()

A.{x|-4<x<l}B.{x|-2<x<l}C.{x［l<x<2}D.{x［l<x<4}

［答案］D

［解析］

［分析］求出集合M、N,利用交集的定義可求得集合McN.

［詳解］M={x|-2<x<4},N={x|x>l},

McN={x［l<x<4}.

故選：D.

［點睛］關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)集合的問題，解題的關(guān)鍵是要正確求出集合并熟練掌握交集的定義.

2.己知復(fù)數(shù)2=-則忖=()

A.0B.72C.2D.-2

［答案］B

［解析］

［分析］利用復(fù)數(shù)除法求出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)模的意義得解.

2i2/(1+/)-2+2/

［詳解(j)(l+i廣f=-1+Z,則Z=-l+z,

所以|z1=7(-1)2+12=V2.

故選：B

3.將函數(shù)/(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)都伸長到原來的兩倍，得到函數(shù)g(x)=cos2x的圖象，則/(x)是

()

A.周期為2〃的偶函數(shù)B.周期為2〃的奇函數(shù)

TT7T

C.周期為一的偶函數(shù)D.周期為一的奇函數(shù)

22

［答案］C

［解析］

［分析］根據(jù)三角函數(shù)圖像變換求得/（X）,由此確定正確選項.

［詳解］將函數(shù)/3）圖象上所有點的橫坐標(biāo)都伸長到原來的兩倍，

得到函數(shù)g（x）=cos2x的圖象，

24TT

則/（x）=cos4x,故它是周期為」的偶函數(shù).

42

故選：C

x+2y-2>0

4.若實數(shù)X,y滿足<2x—y—4<0,則z=x-2y的最小值為（）

.”2

A.-6B.-1C.2D.6

［答案］A

［解析］

［分析］先畫出平面區(qū)域，然后結(jié)合圖形求最小值即可.

［詳解］作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

平移直線丁=,1-，z,由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過點C時，直線截距最大,

此時z最小,

-22

y=2fx=-2

由。c八得《c，即C（-2,2）,

x+2y-2=0y=2

此時z=—2—2x2=—6,

故選：A.

（乃）c

5.已知tana—=2,則tana=

I4j

11c

A.-B,—C.3D.-3

33

［答案］D

［解析］

［詳解］分析：利用兩角和的正切公式即可.

故選：D.

點睛：解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示.（1）當(dāng)“已知角”有兩個時，“所

求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；（2）當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”

與“己知角”的和或差的關(guān)系.

■JT

6.過點尸作圓0：V+y2=］兩條切線，切點分別是A,B,若=則次.麗=（）

_1173A/3

A.DR.Ur.----DN.

2222

［答案］A

［解析］

［分析］根據(jù)向量數(shù)量積的運算，結(jié)合圓的切線的幾何性質(zhì)，求得礪?礪的值.

［詳解］由題意可得：==ZA0B=~,

所以。4。月=1x1xcos—.

32

故選：A

7.恩格爾系數(shù)（E〃ge「sC。啰cie〃）是食品支出總額占個人消費支出總額的比重.居民可支配收入是居民可用于

最終消費支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為我國2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)

和居民人均可支配收入的折線圖.

201220132014201520162017201820192020

居民人均可支配收入

35000

30000

①恩格爾系數(shù)與居民人均可支配收入之間存負(fù)相關(guān)關(guān)系；

②一個國家的恩格爾系數(shù)越小，說明這個國家越富裕；

③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越小.

其中正確的是（）

A.①B.②C.①②D.②③

［答案］C

［解析］

［分析］通過對2013年至2019年全國恩格爾系數(shù)和居民人均可支配收入的折線圖的分析，了解兩者間的相關(guān)

性而作出判斷.

［詳解］由折線圖可知，恩格爾系數(shù)在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，

故兩者之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，結(jié)論①正確；

恩格爾系數(shù)越小，居民人均可支配收入越多，經(jīng)濟(jì)越富裕，結(jié)論②正確；

家庭收入越少，人們?yōu)榻鉀Q溫飽問題，收入的大部分用來購買食品，結(jié)論③錯誤.

故選：C

8.如圖所示，已知拋物線丁2=2〃彳（〃>0）的焦點為6，點4（為,3）是拋物線上一點，過A作拋物線準(zhǔn)線

的垂線，垂足為“，“F交拋物線于點B,且麗=2而，則〃=（）

A.2B.GC.V2D.1

［答案］B

［解析］

［分析］設(shè)B（x,y）,wl-^,3LFR,O1,由詼=2而化為坐標(biāo)關(guān)系即可求解'值.

［詳解］解:設(shè)8(x,y),wl-1,3LF1,o

因為H&=2B戶，所以（尤+言"-3）=2

解得工7?丁=1，

6

所以l=2p-g,所以〃=百，

6

故選：B.

9.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬物的本源，因此極為重視數(shù)的理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的

沙?；蛐∈?，并將它們排列成各種形狀進(jìn)行研究.形數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點陣所對應(yīng)的點數(shù)，是畢哥

拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一.如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個數(shù)，若三角形數(shù)組成數(shù)列｛《,｝,四

邊形數(shù)組成數(shù)列｛%｝,記或=葭=一'則數(shù)列｛%｝的前1。項和為（）

^n+\~an+\

［答案ID

I解析］

［分析］根據(jù)題中的信息分別求出再求出，，最后裂項求和即可.

Z7(+1|

［詳解］由題意可得，%=1+2+3H---=---,bn=1+3+5H-----F(2幾-1)=〃?，

c1__________1__________2___L)

所以"%(〃+1)(〃+2)〃(〃+1)1〃〃+4,

設(shè)數(shù)列匕｝的前〃項和為s“,

12n

所以S=2|1---1-----F???H---

"1223n〃+11

所以Eo=言

故選：D.

10.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCO-AUGA中，點E，F(xiàn),G,H,I,1分別是棱4與，

4。，DD{,CD,BC,BBl的中點，現(xiàn)在截面b內(nèi)隨機取一點M,則此點滿足|4N|+|力1區(qū)4

A6口6■兀「2n岳

9969

［答案］D

［解析］

［分析］連接AG交平面EFGH1J于。，則。為AG和G/的交點，設(shè)|0M|=x,用％表示|+|Mg歸4,

然后解出x的范圍，即可判斷點M軌跡，利用幾何概型概率的計算求出要求的概率.

［詳解］解：連接AG交平面瓦6〃1/于。，則。為AG和G/的交點，

由正方體的性質(zhì)可得AG1平面EFGHIJ，二ACf10M,

設(shè)|C>M=x,?:AO=OC\=6

|皿+|MCj=5+(/『+「+(⑹2=2&+3?4,即E，

滿足|AM+|MCJW4的點M的軌跡所圍成的面積為萬，

又截面EFGHIJ的面積為6x,xV2x^sin-=3V3,

23

故所求概率P=：=

3739

故選：D.

［點睛］關(guān)鍵點點睛：本題考查兒何概型概率的計算，解答的關(guān)鍵就是將問題轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域型兒何概型問題,

利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

H.已知雙曲線吞-￡=1（。＞0,。＞0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過點片且斜率為，的直線/與雙

曲線的右支交于點A,且AAK耳是以AB為底邊的等腰三角形，則該雙曲線的離心率為（）

A.2+72B.2+SC.2+272D.2+277

［答案］A

［解析］

［分析］由雙曲線的定義和三角形的余弦定理，可得a，c的關(guān)系，再由離心率公式可求解.

［詳解］解:由題意知，忻用=|A耳|=2c,

???直線/的斜率為斗，即tan/Af；用=*,，cosNAGE=

在人月月中，由余弦定理知，

3

|Ag「=|4月「+忻用2_2卜用Mg|.cosZA耳5=4＜?+4c2-2-2c-2c-^2c2,

：.\AF2\=y/2c,

由雙曲線的定義知，|AkH伍|=2c—0c=2a,

離心率e=_=----尸=2+^2.

a2-V2

故選：A.

［點睛］方法點睛：

(1)求雙曲線的離心率時，常將雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量〃為,c?的方程或不等式，利用

〃=。2-/和e=￡轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍.

a

(2)對于焦點三角形，要注意雙曲線定義的應(yīng)用，運用整體代換的方法可以減少計算量.

12.若對任意X6(0,物)，不等式四“，一111彳>0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.B.gz)C.e］D.(e,+8)

［答案］B

［解析］

［分析］令x=l，則ae">0,得。>()；當(dāng)xc(O,l)時，lnx<0,田/">xlnx恒成立；當(dāng)xe(l,+oo)時,

令g(x)=xlnx(x?l),求導(dǎo)分析單調(diào)性得e">x在］,+8)恒成立，通過分離參數(shù)即可求解參數(shù)范圍.

［詳解］解：令x=l,貝iJae">0，/.?>0.

不等式ae,LX-Inx>0恒成立u>axeax>xInx，

①當(dāng)xe(O,l)時，lnx<0,axe'">xInx恒成立；

②當(dāng)xe(l,+oo)時,令g(x)=xlnx(xNl),

g'(x)=l+lnx>0,g(x)在［l,+oo)單調(diào)遞增，

即*In*>x\nx等價于g(二)>g(x),

o/">x在］,+8)恒成立.

即ar>lnx,a>見二在恒成立.

人,/、Inxz、八…、1-Inx,、一,D

令/z(x)=---(x>l),則/z(x)=——7—=0，可得％=e,

xx

???/心）在（l,e）遞增，在（a+8）遞減，

?,，（X）max=，7（e）=-，：?。＞一，

ee

的取值范圍為

故選：B.

［點睛］方法點睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值（取值范圍）問題常用的方法：

（D函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利

用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/（x）=lnx—V的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（五、

［答案］0,—

I2）

［解析］

［詳解］由題意可得函數(shù)的定義域為（（）,+8）.

11_oV-2

V/（x）=lnx-x2,.-./（x）=--2x=-!—

XX

由/'（x）＞0可得1一2/＞0,解得0＜x＜等.故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0,白）.答案：（0,白）.

14.已知一個球的半徑與一個等邊圓柱（過軸的截面是正方形）的底面半徑相等，則該圓柱的表面積與球的表

面積的比值是.

一3

［答案L

2

［解析］

［分析］設(shè)等邊圓柱（底面直徑和高相等的圓柱）的底面半徑1，即可求得圓柱的表面積與球的表面積的比值.

［詳解］解：由題意可得：等邊圓柱（底面直徑和高相等的圓柱）的底面半徑與球的半徑相等，設(shè)為1,

所以等邊圓柱的表面積為：6兀,

球的表面積為：47.

所以等邊圓柱的表面積與球的表面積之比為3:2.

3

故答案為：一.

2

15.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，具有重大意義的是卷下第26題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)

之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”是中國最早一元線性同余方程組問題，如圖為由該算

法演變而來的一個程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是.

其中三雙mod〃)表示P被〃除余加

［答案］6

［解析］

［分析］根據(jù)程序框圖，對每一步進(jìn)行計算直到得到結(jié)果為止.

［詳解］模擬程序的運行，可得

〃=3,i=1

〃=7,1=2

不滿足判斷框條件，〃=11,i=3

不滿足判斷框條件，〃=15,/=4

不滿足判斷框條件，〃=19,i=5

不滿足判斷框條件，〃=23,i=6

滿足判斷框條件，故輸出的i的值為6.

故答案為：6.

16.費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角形三個內(nèi)角都小于g時，費馬

27r

點與三角形三個頂點的連線構(gòu)成的三個角都為5.已知點P為AABC的費馬點，角A,B,C的對邊分

別為。，b,c,若cosA=2sin。一［cosB,S.h2=(a-c)2+6,則的

值為.

［答案］6

［解析］

［分析］化簡COSA=2sin(Cq卜OS8求得3=(,結(jié)合余弦定理以及尸=(。一cf+6求得ac,利用三

角形的面積列方程，化簡求得

［詳解］;cosA=2sin(C-弓■卜osB,

cosA=21^^sinC-gcosCcosB,即cosA=GsinCcosB-cosCcosB，

,**A+B+C=,

:.cosA=-cos(B+C)=—cosBcosC+sinBsinC,

?*--cosBcosC+sinBsinC=>/3sinCcosB—cosCcosB,即sinBsinC=GsinCeos3，

?八八sinBr-

sinC0,tanB=----=v3，

cosB

Be(O,7r)fA5=y,

由余弦定理知，cos8=a+c-b=

lac2

b2=(a—c)2+6,

??ac=6,

?*.SABC=—PA-PBsin-1—PB-PCsin---1—PA-PCsin—=—acsinB=-x6xsin————，

iABC2323232232

PAPB+PBPC+PAPC=6.

故答案為：6

［點睛］三角恒等變換是化簡己知條件常用的方法，在解決與三角形有關(guān)的問題時，要注意結(jié)合余弦定理、正

弦定理、三角形的面積公式.

三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛對｝的前〃項和為S”,且滿足25,,=3%-1(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛(2〃-l)a?｝的前〃項和Tn.

［答案］⑴a“=3"-1;（2）7；=（〃-1）x3"+1.

［解析］

［詳解］試題分析：（1）當(dāng)〃=1時，得4=1；當(dāng)〃22時，得&=3,所以數(shù)列｛4｝是以1為首項，3為

an-\

公比的等比數(shù)列，即可得到a?=3"-'.

（2）由（1）得（2〃-1）氏=（2〃-1）3"T,利用乘公比錯位相減法，即可求解數(shù)列的前w項和.

試題解析：

（1）當(dāng)〃=1時，2q=3q—l,q=l；

當(dāng)〃22時，2S“=3an-1,①

2s“_|=3%-1，②

a

a3

①一②得，2an=3an-34T，n=3%,=,

an-\

數(shù)列｛%｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以?！?3"T.

（2）由（1）得（2〃一1）?！?（2〃—1）3"T,

7；,=1X30+3X3'+5X32+...+（2/?-1）X3,-1,①

37；,=1x3'+3x3?+...+（2〃-3）x3"T+（2〃—l）x3",②

①-②，得—2雹=l+2（3i+32+33+3+3"T）—（2〃—l）x3"

3-V

=l+2x-p^-—（2〃-1）x3"=-2（〃-1）x3"-2.

所以＜=（“-1）x3"+1.

18.2021年春節(jié)，由賈玲導(dǎo)演的春節(jié)檔電影《你好，李煥英》總票房已突破50億元，影片的感人情節(jié)引起

同學(xué)們廣泛熱議.開學(xué)后，某校團(tuán)委在高三年級中（其中男生200名，女生150名），對是否觀看該影片進(jìn)行

了問卷調(diào)查，各班男生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為A組，各班女生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為5組，得到如圖的莖葉圖.已知

全年級恰有3個班級觀看該影片的人數(shù)超過40.

/組8組

86501678

4420113378

54223

(I)根據(jù)莖葉圖繪制2x2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)？

(II)若先從A組人數(shù)超過20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù)，再從3組人數(shù)少于20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)

據(jù)，求抽到的這兩個數(shù)據(jù)來自同一個班的概率.

參考數(shù)據(jù)及公式如下：

P(K2>k)0.10.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

K?n(ad

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

2

［答案］(I)表格見解析，沒有；(II)—.

［解析］

［分析］(I)繪制2x2列聯(lián)表，計算K2的值，由此判斷出沒有97.5%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān).

(II)利用古典概型計算公式，計算出所求概率.

［詳解］(I)根據(jù)莖葉圖繪制2x2列聯(lián)表如下，

觀看沒觀看合計

男生14060200

女生12030150

合計26090350

計算K2_350x(140x30-120x60)2

''260x90x200x150?4.0487<5.024,

所以沒有97.5%的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān).

(II)因為全年級恰有3個班級觀看該影片的人數(shù)超過40,

所以這三個班的男女生人數(shù)依次是：

“男22女23,男24女17,男25女18”或“男22女23,男24女18,男25女17”；

若先從A組人數(shù)超過20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù)，再從3組人數(shù)少于20的數(shù)據(jù)中隨機抽取一個數(shù)據(jù),

可能情況有3x9=27(種)，其中滿足抽到的這兩個數(shù)據(jù)來自同一個班的情況有2種，

所以所求的概率為P=2.

27

19.如圖所示，在四棱錐P—ABCZ)中，底面A8CO,四邊形A8CO為矩形，8=2,

PD=AD=叵,￡為。。的中點.

(I)求證：4￡_1平面正比＞;

(II)求點A到平面PBE的距離.

［答案］(I)證明見解析；(IDV2.

［解析］

［分析］(I)由尸。J_平面ABC。，可得PDLAE,再由矩形ABC。與邊長，可得由線面垂直

的判定定理可得AE_L平面PBD-.

/_匕-EPB

(H)通過等體積法求得點到平面距離，VA-EPB=V~ABE得一！0，即可求解.

\AEPB

［詳解］(I)證明：因為四邊形A3CD為矩形，所以24。七=/948=90°,

所以tan/E4￡＞=tanNA8￡)=2-，所以NE4D=NAB￡＞，

2

又NADB+乙鉆。=90°,所以NE4Z)+NAZ)B=90°,

所以AEL8D，又因為PD_L平面ABC。，AEu平面ABC。，所以PDLAE,

又BD,PDu平面PBD,所以AE_L平面

(H)由(I)可知，點P到平面ABE距離為P￡)=血，

又S&tsE=耳x2xy/2=6,

所以VA-EPB=^P-ABE=X夜*近一§,

由題意可知，JAD2+AB2=顯，

BE=NBC2+CE2=6'

PE=dPD?+DE?=g,

由（I）可知，PD±BD,所以PB=JPD?+BD?=+（娓￥=2人,

所以△EP8為等腰三角形，

取/>8的中點。，則EO-LPB,￡（）=yjpE2-PO2=1-

所以S&EPB=~X2^2X1=A/2,

2

所以點A到平面PBE的距離d=-=73-=&.

—SFPB-XV2

3403

［點睛］方法點睛：求點到面的距離常用方法：

1、等體積法；

2、直接作出點到平面的垂線，則該垂線段的長度就是所求的距離；

3、向量法：用向量距離公式求解.

22

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：鼻+齊=1(。＞人＞0)的左、右焦點分別為6，F(xiàn)］,M為

橢圓C上一點，線段“耳與圓/+＞2=1相切于該線段的中點，且△加耳鳥的面積為2.

(I)求橢圓。的方程；

(II)過點用的直線/與橢圓。交于A,B兩點,且NAO8=90°,求AAOB的面積.

［答案］(I)工+其=1；(II)迪.

425

［解析］

［分析］(I)設(shè)線段加4的中點為N,則由題意可得|g|=2,MF,1MF2,從而可得|M|=2a-2,再

由鳥的面積為2,可求出。=2,再利用勾股定理可求得c=2,從而可求出。，進(jìn)而可得橢圓。的

方程;

（2）先判斷出直線/的斜率不為0,則直線/的方程為x=my+0,A（%,y）,3（私必），再將直線方程

與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去x,整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，由N4A仍=90°可得

2

（l+/n）yly2+V2（m-l）（y1+y2）+4=0,從而可求出"的值，進(jìn)而可求AAQB的面積.

［詳解］解：（I）設(shè)線段加6的中點為N,則|ON|=1,又ON是三角形5乙的中位線，

所以眼用=2,MFtlMF2,

由橢圓的定義可知|5|=2。-2,因為三角形晰后的面積為S=g（22）x2=2a—2=2,

所以a=2,又因為舊鳥|==J（2a_20+22=2&，所以c=JL

則人=及，所以橢圓的方程為,+與=1；

（］|）當(dāng)直線/的斜率為0時，此時NAQB=180°,不合題意,

當(dāng)直線/的斜率不為。時，設(shè)直線/的方程為x=my+0,A（/y）,3（馬,必），

x=my+V2

聯(lián)立方程〈22消去x整理可得：（療+2）V+2夜陽-2=0,

XJ-I

U2

__20m—2

所以%+丫2%丫2

m2+2m2+2

所以X|X2=（my+何（my1及+++

因ZAOB=90°,所以。A_LO5,則為々+%%=。，

—4，"+4—2八KUI”2

即—；----+———=0,所以加一

m-+2m-+22

所以S-OB=曰。閭lx—必|=4,（凹+%）2-4"2=4J+-4-Z

ZZ2Vl-m苦+J2）7〃+2

2日口還

2國玲

工+25

2

［點睛］解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意:

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三

角形的面積等問題.

21.已知函數(shù)/3=6*+以，g(x)=/(x)-/(-x)(￡ZG/?).

(I)若直線y=H與曲線/(X)相切，求左一a的值；

(1【)若且(%)存在兩個極值點玉，%2,且烈止也J>-2,求a的取值范圍.

x}-x2e

'e+e”、

［答案］(I)攵—a=e：(II)----―,-lj.

［解析］

［分析］(I)設(shè)切點求導(dǎo)得斜率，利用切線列方程求解即可；

(II)g(x)存在兩個極值點再，工2,故導(dǎo)數(shù)為0存在兩不同根，判斷g(x)的奇偶性，可得玉=-&<0,

代入已知條件一2化簡求導(dǎo)并分析單調(diào)性即可求出X,范圍，從而求解參數(shù)a范圍.

xi-x2e

［詳解解：(I)設(shè)切點為(毛,%)，/(x)="+a,

:直線與曲線/(x)相切，

e*>+a=后，e，"+ax0=kx(),

攵)=0,

解得%=1,。=女(不成立，舍去)，

:.k-a=e；

(II)^(x)=ex-e~x+lax,g'(x)=e*+e-*+2a,

①當(dāng)aN-1時,g'(x)>2+2a>0,

g(x)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)無極值，不符合題意，舍去.

②當(dāng)。<一1時,g'(x)=ex+e'x+2a=0,

不妨設(shè)占<七，解得：/=ln卜a_Jcr卜4=In卜<+Na1-］.

可得函數(shù)g(X)在(-8,')單調(diào)遞增，在(%,%)單調(diào)遞減，在(占，+8)單調(diào)遞增，符合題意.

g(-x)=-g(x)，,g(x)為R上的奇函數(shù)，

"=-々<。，g(%)=g(-W)>。，

+廠)]>二/>。

...g(xl)-g(x2)=gfe)=￡1-￡1+2a=_Lr(e.t2y，>(*，

LV7v

x}-x2x2x2x2e

：.S_ef)一卜+e-二卜>0

令/?(x)=e*-e-*-卜+e-“%>0,

則h'(x)=--x(ex-e-x),：.h"(x)=-[(eA+e-x)x+(ex-e-x)],