對數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用1．函數(shù)f〔x〕是定義在〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f〔x〕=log2x〔1〕求當(dāng)x＜0時，求函數(shù)f〔x〕的表達(dá)式〔2〕假設(shè)g〔x〕=2x〔x∈R〕集合A={x|f〔x〕≥2}，B={x|g〔x〕≥16或}，試判斷集合A和B的關(guān)系．2．函數(shù)f〔x〕=loga〔x+2〕，〔1〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕的圖象經(jīng)過M〔7，2〕點(diǎn)求a的值；〔2〕假設(shè)a=3，x∈〔1，25]，求值域，并解關(guān)于x的不等式f〔x〕≤﹣1．〔3〕函數(shù)f〔x〕的反函數(shù)過定點(diǎn)P求P點(diǎn)坐標(biāo)．3．〔1〕設(shè)不等式2〔〕2+9+9≤0時，求的最大值和最小值．〔2〕設(shè)f〔x〕=|lgx|，a、b是滿足的實(shí)數(shù)，其中0＜a＜b①求證：a＜1＜b；②求證：2＜4b﹣b2＜3．4．函數(shù)f〔x〕=loga〔x+1〕，g〔x〕=loga〔1﹣x〕〔a＞0，且a≠1〕，且h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕．〔1〕求函數(shù)h〔x〕的定義域；〔2〕判斷函數(shù)h〔x〕的奇偶性，并說明理由；〔3〕求不等式f〔x〕＞g〔x〕的解集．5．函數(shù)f〔x〕=．〔1〕當(dāng)m=7時，求函數(shù)f〔x〕的定義域；〔2〕假設(shè)關(guān)于x的不等式f〔x〕≥2的解集是R，求m的取值范圍．6．函數(shù)f〔x〕=log4〔ax2+2x+3〕〔1〕假設(shè)f〔1〕=1，求f〔x〕的單調(diào)區(qū)間；〔2〕是否存在實(shí)數(shù)a，使f〔x〕的最小值為0？假設(shè)存在，求出a的值；假設(shè)不存在，說明理由．7．函數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x都有f〔2﹣x〕+f〔2+x〕=0成立．〔1〕求實(shí)數(shù)m的值；〔2〕當(dāng)x∈〔b，a〕時，f〔x〕的取值范圍恰為〔1，+∞〕，求實(shí)數(shù)a，b的值．8．函數(shù)f〔x〕=〔a＞1〕．〔1〕求f〔x〕的定義域、值域，并判斷f〔x〕的單調(diào)性；〔2〕解不等式f﹣1〔x2﹣2〕＞f〔x〕．9．設(shè)f〔x〕=ln〔|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3〕〔m∈R〕〔Ⅰ〕當(dāng)m=1時，求函數(shù)f〔x〕的定義域；〔Ⅱ〕假設(shè)當(dāng)1，f〔x〕≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．10．設(shè)函數(shù)f〔x〕=lg，其中a∈R，m是給定的正整數(shù)，且m≥2．如果不等式f〔x〕＞〔x﹣1〕lgm在區(qū)間[1，+∞〕上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．對數(shù)函數(shù)綜合應(yīng)用參考答案與試題解析1．函數(shù)f〔x〕是定義在〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f〔x〕=log2x〔1〕求當(dāng)x＜0時，求函數(shù)f〔x〕的表達(dá)式〔2〕假設(shè)g〔x〕=2x〔x∈R〕集合A={x|f〔x〕≥2}，B={x|g〔x〕≥16或}，試判斷集合A和B的關(guān)系．解：〔1〕∵函數(shù)f〔x〕為奇函數(shù)∴f〔﹣x〕=﹣f〔x〕∵當(dāng)x＞0時，f〔x〕=log2x∴當(dāng)x＜0時，f〔x〕=﹣f〔﹣x〕=﹣log2〔﹣x〕〔2〕∵log2x≥2，解得﹣≤x＜0或x≥4∴集合A={x|x≥4或﹣}，依題意2x≥16，解得x≥4或x≤﹣4，≤2x≤1解得﹣≤x≤0∴集合B={x|x≥4或﹣}，∴A是B的真子集；2．函數(shù)f〔x〕=loga〔x+2〕，〔1〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕的圖象經(jīng)過M〔7，2〕點(diǎn)求a的值；〔2〕假設(shè)a=3，x∈〔1，25]，求值域，并解關(guān)于x的不等式f〔x〕≤﹣1．〔3〕函數(shù)f〔x〕的反函數(shù)過定點(diǎn)P求P點(diǎn)坐標(biāo)．解：〔1〕函數(shù)f〔x〕的圖象經(jīng)過M〔7，2〕點(diǎn)，那么有l(wèi)oga〔7+2〕=2，解得：a=3，〔2〕假設(shè)a=3，函數(shù)f〔x〕=log3〔x+2〕，當(dāng)x∈〔1，25]時，3＜x+2≤27，∴1＜log3〔x+2〕≤3，即y∈〔1，3]，所以函數(shù)f〔x〕的值域?yàn)椤?，3]．又不等式f〔x〕≤﹣1?不等式log3〔x+2〕≤log3?0＜x+2≤?﹣2＜x≤﹣．∴不等式的解為：﹣2＜x≤﹣．〔3〕函數(shù)f〔x〕=loga〔x+2〕，當(dāng)x=﹣1時，y=0，依題意，點(diǎn)〔﹣1，0〕在函數(shù)f〔x〕=loga〔x+2〕的圖象上，那么點(diǎn)〔0，﹣1〕在函數(shù)f〔x〕=loga〔x+2〕的反函數(shù)的圖象上那么P點(diǎn)的坐標(biāo)為〔0，﹣1〕．3．〔1〕設(shè)不等式2〔〕2+9+9≤0時，求的最大值和最小值．〔2〕設(shè)f〔x〕=|lgx|，a、b是滿足的實(shí)數(shù)，其中0＜a＜b①求證：a＜1＜b；②求證：2＜4b﹣b2＜3．解：〔1〕、∵不等式2〔〕2+9+9≤0，∴，∴．∴．∴=〔log2x﹣1〕?〔log2x﹣3〕=〔log2x〕2﹣4log2x+3=〔log2x﹣2〕2﹣1．故當(dāng)log2x=2時，的最小值是﹣1；當(dāng)log2x=0時，的最大值是3．〔2〕、①證明：∵f〔x〕=|lgx|，f〔a〕=f〔b〕，∴|lga|=|lgb|．∵0＜a＜b，y=lgx是增函數(shù)，∴﹣lga=lgb，故a＜1＜b．②證明：∵﹣lga=lgb，∴，∴ab=1，∵0＜a＜b，∴．∵，∴，∴．∴，∴，∵b＞1，∴2＜4b﹣b2＜3．4．函數(shù)f〔x〕=loga〔x+1〕，g〔x〕=loga〔1﹣x〕〔a＞0，且a≠1〕，且h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕．〔1〕求函數(shù)h〔x〕的定義域；〔2〕判斷函數(shù)h〔x〕的奇偶性，并說明理由；〔3〕求不等式f〔x〕＞g〔x〕的解集．解：〔1〕f〔x〕+g〔x〕=loga〔x+1〕+loga〔1﹣x〕．假設(shè)要上式有意義，那么，即﹣1＜x＜1．所以所求定義域?yàn)閧x|﹣1＜x＜1}〔2〕由于h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕，那么h〔﹣x〕=f〔﹣x〕+g〔﹣x〕=loga〔﹣x+1〕+loga〔1+x〕=h〔x〕．所以h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕是偶函數(shù)．〔3〕f〔x〕＞g〔x〕，即loga〔x+1〕＞loga〔1﹣x〕．當(dāng)0＜a＜1時，上述不等式等價于解得﹣1＜x＜0．當(dāng)a＞1時，原不等式等價于，解得0＜x＜1．綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|﹣1＜x＜0}；當(dāng)a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}．5．函數(shù)f〔x〕=．〔1〕當(dāng)m=7時，求函數(shù)f〔x〕的定義域；〔2〕假設(shè)關(guān)于x的不等式f〔x〕≥2的解集是R，求m的取值范圍．解：〔1〕由題設(shè)知：當(dāng)m=5時：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下三個不等式組解集的并集：，或，或，解得函數(shù)f〔x〕的定義域?yàn)椤博仭?，?〕∪〔4，+∞〕；〔2〕不等式f〔x〕≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R時，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|〔x+1〕﹣〔x﹣2〕|=3，∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等價于m+4≤3，∴m的取值范圍是〔﹣∞，﹣1]．6．函數(shù)f〔x〕=log4〔ax2+2x+3〕〔1〕假設(shè)f〔1〕=1，求f〔x〕的單調(diào)區(qū)間；〔2〕是否存在實(shí)數(shù)a，使f〔x〕的最小值為0？假設(shè)存在，求出a的值；假設(shè)不存在，說明理由．解：〔1〕∵f〔x〕=log4〔ax2+2x+3〕且f〔1〕=1，∴l(xiāng)og4〔a?12+2×1+3〕=1?a+5=4?a=﹣1可得函數(shù)f〔x〕=log4〔﹣x2+2x+3〕∵真數(shù)為﹣x2+2x+3＞0?﹣1＜x＜3∴函數(shù)定義域?yàn)椤博?，3〕令t=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4可得：當(dāng)x∈〔﹣1，1〕時，t為關(guān)于x的增函數(shù)；當(dāng)x∈〔1，3〕時，t為關(guān)于x的減函數(shù)．∵底數(shù)為4＞1∴函數(shù)f〔x〕=log4〔﹣x2+2x+3〕的單調(diào)增區(qū)間為〔﹣1，1〕，單調(diào)減區(qū)間為〔1，3〕〔2〕設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f〔x〕的最小值為0，由于底數(shù)為4＞1，可得真數(shù)t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真數(shù)t的最小值恰好是1，即a為正數(shù)，且當(dāng)x=﹣=﹣時，t值為1．∴??a=因此存在實(shí)數(shù)a=，使f〔x〕的最小值為0．7．函數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x都有f〔2﹣x〕+f〔2+x〕=0成立．〔1〕求實(shí)數(shù)m的值；〔2〕當(dāng)x∈〔b，a〕時，f〔x〕的取值范圍恰為〔1，+∞〕，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：〔1〕由條件得：∴〔m2﹣1〕x2=0對定義域內(nèi)的任意x成立∴m2﹣1=0∴m=1或m=﹣1當(dāng)m=1時不成立∴m=﹣1〔2〕由f〔x〕的取值范圍恰為〔1，+∞〕，當(dāng)0＜a＜1時，x∈〔b，a〕的值域?yàn)椤?，a〕，函數(shù)在x∈〔b，a〕上是減函數(shù)，所以，這是不可能的．當(dāng)a＞1時，x∈〔b，a〕的值域?yàn)椤瞐，+∞〕，所以，函數(shù)在x∈〔b，a〕上是減函數(shù)，并且b=3所以，，解得綜上：，b=38．函數(shù)f〔x〕=〔a＞1〕．〔1〕求f〔x〕的定義域、值域，并判斷f〔x〕的單調(diào)性；〔2〕解不等式f﹣1〔x2﹣2〕＞f〔x〕．解：〔1〕為使函數(shù)有意義，需滿足a﹣ax＞0，即ax＜a，又a＞1，∴x＜1，即函數(shù)定義域?yàn)椤博仭蓿?〕．又由＜logaa=1，∴f〔x〕＜1，∴函數(shù)的值域?yàn)椤博仭蓿?〕．設(shè)x1＜x2＜1，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣=＞loga1=0，即f〔x1〕＞f〔x2〕．∴f〔x〕在〔﹣∞，1〕上是減函數(shù)．〔2〕設(shè)y=，那么ay=a﹣ax，∴ax=a﹣ay，∴x=．∴f〔x〕=的反函數(shù)為f﹣1〔x〕=〔x＜1〕．由f﹣1〔x2﹣2〕＞f〔x〕，得f〔x2﹣2〕＞f〔x〕，∴解得﹣1＜x＜1．故所求不等式的解為{x|﹣1＜x＜1}．9．設(shè)f〔x〕=ln〔|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3〕〔m∈R〕〔Ⅰ〕當(dāng)m=1時，求函數(shù)f〔x〕的定義域；〔Ⅱ〕假設(shè)當(dāng)1，f〔x〕≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：〔I〕由題設(shè)知：|x﹣1|+|x﹣2|﹣3＞0，∴①，或②，或③．解①可得x＞5，解②可得x∈?，解③可得x＜0．不等式的解集是以下三個不等式組解集的并集，求得函數(shù)的定義域?yàn)椤博仭蓿?〕∪〔5，+∞〕．〔II〕不等式f〔x〕≥0即|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3≥0，即m≥．∵1，∴m≥==1+，即m≥1+．由于函數(shù)y=1+在[1，]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=1時，y取得最小值為2；當(dāng)x=時，y取得最大值為5，由題意可得，m大于或等于y的最大值5，故m的取值范圍是[5，+∞〕．10．設(shè)函數(shù)f〔x〕=lg，其中a∈R，m是給定的正整數(shù)，且m≥2．如果不等式f〔x〕＞〔x﹣1〕lgm在區(qū)間[1，+∞〕上有解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是a．解：不等式f〔x〕＞〔x﹣1〕lgm，即lg＞lgmx﹣1，∵常用對數(shù)的底10＞1，∴原不等式可化為1x+2x+3x+…+〔