概率論全套課件

概率論:研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支.評(píng)價(jià):生活的真正指南.例:親子鑒定.若鑒定為無血親關(guān)係,正確率100%.若第一章隨機(jī)事件與概率鑒定為有,則為99.93%.確定性現(xiàn)象:有確定的變化規(guī)律,重複一組相同的條件,其結(jié)果是肯定的,事前是可以預(yù)言的.如:拋擲一枚硬幣必定下落.隨機(jī)現(xiàn)象:事前不可預(yù)言,重複一組相同的條件,每次結(jié)果未必相同,事前不能預(yù)言將出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.就一次試驗(yàn)而言,時(shí)而出現(xiàn)這個(gè)結(jié)果,時(shí)而出現(xiàn)那個(gè)結(jié)果,呈現(xiàn)出一種偶然性.如:硬幣落下後哪一面向上？如:多次重複拋擲,某一面向上出現(xiàn)一半左右.統(tǒng)計(jì)規(guī)律性:由於隨機(jī)現(xiàn)象事先無法判定將會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果,人們就以為它是不可捉摸的.其實(shí)通過大量的實(shí)踐可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.

歷史上,有很多學(xué)者為了考察某些問題的概率而做了大量的試驗(yàn),以觀察一些問題的實(shí)質(zhì).例如在拋硬幣試驗(yàn)中,有這樣三組數(shù)據(jù):試驗(yàn)者試驗(yàn)次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)頻率蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005§1.1隨機(jī)事件一隨機(jī)試驗(yàn)randomtest1可重複性;2具體結(jié)果的未知性;3所有結(jié)果的可預(yù)測(cè)性.滿足如下條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)例1拋擲一枚硬幣.例2

擲一枚均勻骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).例3

機(jī)器人投籃,直到投中為止.例4

射箭,觀察箭離靶心的距離.例5燈泡壽命.二樣本空間samplespace樣本空間(基本事件空間):試驗(yàn)每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本點(diǎn),用表示.樣本點(diǎn)(基本事件):全體樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合,稱為樣本空間.用表示.例4

射箭例5燈泡壽命例3投籃={1,2,3,……}例2

擲骰子={1,2,3,4,5,6}例1

拋硬幣={面值,圖案}三隨機(jī)事件randomevent僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱作基本事件.樣本空間的某個(gè)子集即由若干個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.一般用大寫字母A,B,C,D等表示.例1

拋出面值A(chǔ)={面值}例2

可以起飛A={5,6}例3投籃優(yōu)秀A={1,2,3}例4

射箭10環(huán)A=[0,a]例5燈泡長(zhǎng)命A=[3,)顯然隨機(jī)事件是由部分樣本點(diǎn)(基本事件)構(gòu)成的.每次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生.在所有的事件中,有兩個(gè)特殊的事件,分別稱為必然必然事件certainevent不可能事件impossibleevent事件和不可能事件.注:嚴(yán)格來講,必然事件與不可能事件反映了確定性現(xiàn)象,可以說它們不是隨機(jī)事件.但是把它們作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形而加以考慮,則不但合理,也為今後的研究提供了方便.從集合論角度理解,全集與空集也是子集.

為了用簡(jiǎn)單的事件來表達(dá)較為複雜的事件,有必要討1.關(guān)係

若事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生,則稱事件包含事件記為論事件間的關(guān)係和運(yùn)算.四事件的關(guān)係和運(yùn)算顯然,對(duì)任意事件A,有若則

若事件包含在事件中,而事件又包含在事件中,則稱事件A與事件B相等,記為即A與B有相同的樣本點(diǎn).顯然,互斥事件沒有公共樣本點(diǎn).互斥事件(互不相容):若事件A與事件B不能在一次試驗(yàn)中同時(shí)發(fā)生,則稱事件A與B是互斥的.如果一組事件中任意兩個(gè)事件都互不相容,顯然有:基本事件組兩兩互不相容.那麼稱這組事件兩兩互不相容.

關(guān)係間的圖示互斥

若事件滿足:事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)不發(fā)生,則稱事件為事件的對(duì)立事件,記為2.運(yùn)算

設(shè)為事件,定義下列事件.

事件的和

事件的積常簡(jiǎn)寫為顯然有:若則

事件的差

由定義容易得到下列關(guān)係是互斥事件是對(duì)立事件差事件可以表示為：

事件的運(yùn)算滿足下麵性質(zhì):⑴交換律⑵結(jié)合律⑶分配律⑷對(duì)偶律事件的和,積運(yùn)算可以推廣到有限個(gè)或可列個(gè)事件.相應(yīng)的對(duì)偶律形象地說,是把大帽子分配成小帽子,運(yùn)算符反向.例一箱產(chǎn)品中有95件正品和5件次品,從中取4次,每次取一件,以表示第次取到的是正品,試表達(dá)如下事件:1.取到的都是正品2.取到的恰有一件是次品3.取到的至少有一件是次品.解:1.取到的都是正品2.取到的恰有一件是次品3.取到的至少有一件是次品§1.2等可能概型對(duì)於一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),我們不僅要知道它可能出現(xiàn)哪些結(jié)果,更重要的是研究各種事件發(fā)生的可能性的大小,從而揭示其內(nèi)在規(guī)律性.比如在投擲一枚均勻的骰子試驗(yàn)中,擲出偶數(shù)點(diǎn)顯然比擲出6點(diǎn)發(fā)生可能性要大.概率就是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量表徵.對(duì)於事件A,用P(A)表示事件A發(fā)生的可能性大小,即A發(fā)生的概率probability.

例1:四貓性別B:有一只不一樣A:同品種C:兩公兩母本段我們從最古老的概率模型來探討概率的計(jì)算.一古典概率引例2:一手牌型最不可能A:同花色哪種最有可能?平均牌型B:4,3,3,3一長(zhǎng)一短C:5,3,3,2比較平均D:

4,4,3,2古典概型classicalprobabilitymodel2每個(gè)樣本點(diǎn)即基本事件以相等的可能性出現(xiàn),即:1試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集:從而如果事件A中包含了個(gè)個(gè)樣本點(diǎn),規(guī)定顯然有:在拋硬幣試驗(yàn)中,由於基本結(jié)果只有兩個(gè),而且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的,故該試驗(yàn)為古典概型.擲一枚均勻骰子,則樣本空間為且每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性均為,故該試驗(yàn)為古典概型.例1:四貓性別A:同品種B:有一只不一樣C:兩公兩母方法一:列舉以0記公貓,1記母貓,只要列舉四位二進(jìn)位數(shù).0000,0001,0010,00110100,0101,0110,01111000,1001,1010,10111100,1101,1110,1111方法二:排列組合？？？對(duì)稱時(shí)一定要注意,如果區(qū)別性別,則0011等重複計(jì)數(shù).正解:引例2:一手牌型最不可能A:同花色哪種最有可能？平均牌型B:4,3,3,3一長(zhǎng)一短C:5,3,3,2比較平均D:4,4,3,2比較得:結(jié)論:“平均”往往不是可能性最大的.例3摸球模型袋中有a只黑球b只白球.隨機(jī)摸取一只,記下顏色放回,再添加c只同色球.如此重複三次.求摸出的球顏色依次為白黑黑,黑白黑,黑黑白的概率.解:記所求三事件分別為A,B,C結(jié)論:與順序無關(guān).有放回:c=0無放回(抽籤模型):c=-1例4假設(shè)箱中共有n個(gè)球,其中m個(gè)是紅球,其餘是白球(0<m<n).現(xiàn)一個(gè)接一個(gè)地從箱中抽球,試求第k次抽到紅球的概率.解:對(duì)於有放回情形,顯然對(duì)於無放回情形,也即抽籤模型有同樣結(jié)果.這證明了抽籤與順序無關(guān).解法1設(shè)想將n個(gè)球一一編號(hào)區(qū)分樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)相當(dāng)於全排列有利場(chǎng)合數(shù)為先放好第k位,共有m種其餘個(gè)n-1個(gè)位置任意排解法2仍將n個(gè)球一一編號(hào)區(qū)分從n個(gè)不同的球中接連抽出k個(gè)球相當(dāng)於從n個(gè)不同元素中選k個(gè)元素的選排列共有種不同抽法有利場(chǎng)合的不同抽法為:第k次抽球抽到紅球的情形共有m種前k-1次抽法等於從n-1個(gè)元素中選k-1個(gè)的選排列解法3對(duì)於同顏色球不加區(qū)分設(shè)想有n個(gè)位置依次排成一列將n個(gè)球分別放進(jìn)n個(gè)格子(每格一球)只考慮紅球的位置則總共有種不同放法第k個(gè)位置必須是紅球則只要再挑m-1個(gè)位置放紅球總共有種放法求個(gè)人住不同房的概率.例5（分房問題）設(shè)有個(gè)人入住個(gè)房間,解設(shè)為個(gè)人的所有可能的入住方法,則而從N個(gè)房間中選出n個(gè)房間的選法總數(shù)為故所求問題的概率為指定的n個(gè)房間中各住一個(gè)人的所有可能的住法有n!種不相同的概率就可以從上面的公式中得以計(jì)算.此時(shí)取下表給出了當(dāng)取不同值時(shí)的概率反之,班中至少有兩個(gè)人同一天生日的概率為

相應(yīng)的概率為應(yīng)用生日問題:設(shè)一個(gè)班有n個(gè)人，則n個(gè)人的生日互20304050641000.4410.7060.8910.9700.9970.99999結(jié)論：占星術(shù)是偽科學(xué).課堂練習(xí)：p28(1).8解答:3至少有三道題全對(duì)意味著錯(cuò)誤不能分佈在四道題直接做比較麻煩,不建議死做1題錯(cuò),6種再將4道錯(cuò)題往裏放最後排除放在同一格子裏的2種情況共有2題錯(cuò),先選出錯(cuò)的兩題作為格子結(jié)論:幾何量之比.綠格面積圓面積圓心角周角在這類問題中,試驗(yàn)的可能結(jié)果是某區(qū)域中的一個(gè)點(diǎn),落在該區(qū)域任意位置都是等可能的.落在某子區(qū)域A的可能性與區(qū)域的測(cè)度Measure（長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比而與其位置及形狀無關(guān).設(shè)是可度量的（區(qū)間有長(zhǎng)度,平面情形具有面積,空可能性是相同的.事件是的一個(gè)子區(qū)域,並且也是可以度量的,則事件A發(fā)生的概率為:間情形具有體積）,並進(jìn)一步地假定每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的例1某碼頭只能停靠一只船,現(xiàn)已知某日會(huì)有兩只船解設(shè)甲船到達(dá)時(shí)刻為停靠4小時(shí),乙船情形⑴:乙船先到,甲船等待,則滿足情形⑵:甲船先到,乙船等待,則滿足到達(dá)且到達(dá)時(shí)間是在中任一時(shí)刻,已知一船需要停4小時(shí),另一只需要停6小時(shí),求一船需等待的概率.到達(dá)時(shí)刻為停靠6小時(shí).相應(yīng)的區(qū)域如圖所示:所以若以表示某船等待另一船這一事件,則即為圖中區(qū)域的面積,容易得到:從而,事件發(fā)生的概率為例2將一單位長(zhǎng)度的小棍隨機(jī)折成3段.求能構(gòu)成三角形的概率.解:如果設(shè)截成的三段長(zhǎng)度分別為x,y,z.則涉及三維,計(jì)算麻煩.設(shè)單位長(zhǎng)度的小棍左右端點(diǎn)座標(biāo)分別為0,1兩截點(diǎn)座標(biāo)分別為x,y由對(duì)稱性不妨設(shè)則三段長(zhǎng)度分別為由三角形兩邊之和大於第三邊得約束如下解得:比較面積得:11（,）例3蒲豐投針問題平面上畫著一些等距的平行線,間距為a.向此平面任意投擲一長(zhǎng)度為

的針.試求此針與任一平行線相交的概率.解:以x表示針的中點(diǎn)到最近的平行線的距離

表示針與平行線的交角以頻率近似代替P得

可算得歷史資料,a折算為13.1415929180834080.833331901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.137382.56001.01860Morgan3.1596253250000.81850WolfπnN針線比年份實(shí)驗(yàn)者貝特朗奇論:在單位圓內(nèi)隨機(jī)取一條弦,問其長(zhǎng)度超過該圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是多少?解法1以此端點(diǎn)做一個(gè)等邊三角形.顯然,只有穿過此三角形內(nèi)的弦才符合要求.而符合條件的弦的另一端正好占整個(gè)圓弧的1/3.並且,不論固定的那個(gè)端點(diǎn)在圓上的哪個(gè)位置,情況都是一樣的.所以結(jié)果為1/3.由於弦交圓於兩點(diǎn).我們先固定弦的一個(gè)端點(diǎn).解法2由於弦長(zhǎng)只和圓心到它的距離有關(guān).所以固定圓內(nèi)一條半徑.當(dāng)且僅當(dāng)圓心到它的距離小於1/2才滿足條件.並且,不論固定的是哪條半徑,情況都是一樣的.所以結(jié)果為1/2.弦被其中點(diǎn)唯一確定.當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)在半徑為1/2的圓解法3內(nèi)時(shí)才滿足條件.此小圓面積為大圓的1/4.所以結(jié)果為1/4.三個(gè)看似都有道理的解法卻得到了不同的結(jié)果,所以我們稱其為paradox.其實(shí),這些結(jié)果都是對(duì)的.因?yàn)樗鼈儝裼昧瞬煌牡瓤赡苄约俣?上均勻分佈.解法一假定弦的端點(diǎn)在圓上均勻分佈.解法二假定半徑在圓內(nèi)均勻分佈以及弦的中點(diǎn)在半徑解法三假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分佈.§1.3頻率與概率

設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是樣本空間,是事件,設(shè)在N

次試驗(yàn)中,事件出現(xiàn)的次數(shù)為n

次,則稱n為頻數(shù)稱為事件在次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率,記為即定義:

歷史上,有很多學(xué)者為了考察某些問題的概率而做了試驗(yàn)者試驗(yàn)次數(shù)正面出現(xiàn)次數(shù)頻率蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005大量的試驗(yàn),以觀察一些問題的實(shí)質(zhì).例如在拋硬幣試驗(yàn)中,有這樣三組數(shù)據(jù):

通過這一組數(shù)據(jù)可以看到:當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)越大,則事件在次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率越接近某一個(gè)常數(shù),它反映了事件在大量重複試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率具有一種穩(wěn)定性.由於事件發(fā)生的可能性大小與其頻率大小有如此密切的關(guān)係,加之頻率又有穩(wěn)定性,故而可通過頻率來定義概率.這就是:概率的統(tǒng)計(jì)定義:實(shí)際應(yīng)用中,往往就簡(jiǎn)單地把頻率當(dāng)概率用.發(fā)生的頻率隨著的增大將穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù),就稱該常數(shù)為事件發(fā)生的概率,記為對(duì)於任何一個(gè)事件若事件在次重複試驗(yàn)中所例1在拋硬幣試驗(yàn)中，以表示出現(xiàn)正面朝上這一事件,則由上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到事件發(fā)生的概率為例2為了設(shè)計(jì)某路口向左拐彎的汽車侯車道.在每天交1頻率601231420164等候天數(shù)總和6543210等候車輛數(shù)通最繁忙的時(shí)間（上午9時(shí)）在該路口觀察候車數(shù),共觀察了60天,得數(shù)據(jù)如下:試求某天上午9時(shí)在該路口至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎解設(shè)事件表示“至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎”這一故可近似地認(rèn)為至少有5輛汽車在等候左轉(zhuǎn)彎的概率為的概率.事件,在60次觀察中,事件發(fā)生的頻率§1.4概率的公理化定義

概率的統(tǒng)計(jì)定義具有一定的應(yīng)用價(jià)值,但在理論上有嚴(yán)重的缺陷,也不利於一般概率問題的計(jì)算.古典概型和幾何概型的計(jì)算公式雖然解決了這兩種概型中事件的概率的計(jì)算問題,但並不是普遍適用的.下麵我們引入概率的公理化定義,並導(dǎo)出基本的概率計(jì)算公式.先來看古典概率和幾何概率的共性:2、規(guī)範(fàn)性

若為兩兩互不相容事件,則1、非負(fù)性3、有限可加性對(duì)於任一隨機(jī)事件,賦予唯一一個(gè)實(shí)數(shù)若滿足以下三條公理：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為公理3完全可加性(可列可加性)公理1非負(fù)性：公理2規(guī)範(fàn)性：是一列兩兩互不相容的隨機(jī)事件則稱為事件A的概率

由定義,不難得到如下性質(zhì):性質(zhì)1證明:在公理3中取則所以又所以性質(zhì)2設(shè)為互不相容事件組,則有證明:在公理3中取則性質(zhì)3對(duì)立事件計(jì)算公式

證明:互斥,由性質(zhì)2由公理2得:且性質(zhì)4若則證明:由性質(zhì)2移項(xiàng)即得:由非負(fù)性即得:性質(zhì)5減法公式:證明:由性質(zhì)4注:此公式無任何條件限制.

設(shè)為任意兩個(gè)事件,則性質(zhì)6加法公式

現(xiàn)推導(dǎo)三個(gè)隨機(jī)事件的加法公式證明:由可加性和減法公式即得.再用一次加法公式以及分配律得將看作一個(gè)事件,由加法公式得再用一次加法公式並注意到整理即得由此可用數(shù)學(xué)歸納法證明一般加法公式:例1、設(shè)求解由加法公式得又:所以例2從1到9九個(gè)數(shù)字中有放回地取出個(gè)數(shù)字.求取出之?dāng)?shù)的乘積能被10整除的概率解：乘積能被10整除要求有5有偶數(shù)設(shè)A取到5,B取到偶數(shù),則所求為直接做不容易“沒有某些數(shù)字”很容易求因此從對(duì)立事件計(jì)算公式得：試證明:例3設(shè)事件概率都是,且證明:由結(jié)論的形式可想到用加法公式所以移項(xiàng)代入數(shù)據(jù)即得例4設(shè)事件同時(shí)發(fā)生必定導(dǎo)致事件A發(fā)生證明證明：由條件得則由結(jié)論形式可知要用到2次規(guī)範(fàn)性先將看成一個(gè)事件，用兩次加法公式上面的例子說明:若有事件則事件的發(fā)生一般會(huì)影響到事件的發(fā)生.的概率將會(huì)有所變化.一、條件概率設(shè)為兩個(gè)事件,稱已知A發(fā)生條件下B直觀地從幾何概率看:已知A發(fā)生,相當(dāng)於樣本空間縮小為A

發(fā)生的概率為B的條件概率,記為例1某袋中有紅球6個(gè),白球4個(gè),取二次球,每次取一解記分別表示第一、第二次取紅球的事件.由條注意到,此時(shí)且個(gè).求在第一次取到紅球的條件下,第二次也取到紅球的概率.件在第一次取紅球的條件下第二次取紅球的概率為:一般我們有定義1.2設(shè)為事件,則稱為在已知事件發(fā)生的條件下事件的條件概率.條件概率確實(shí)是一概率,不難驗(yàn)證滿足三條公理.即可以把無條件概率P(A)看作是特殊的條件概率.

即條件不能是概率為0的事件.有的書上簡(jiǎn)單地說成條件不能是不可能事件是錯(cuò)的.不可能事件概率一定為0,但概率為0的事件不一定是不可能事件.例2設(shè)有一批產(chǎn)品,其中95件正品,5件次品,連續(xù)取解設(shè)表示第一次取到的是正品,則

表示第二次取到的是次品,則二次,每次取一件,求在第一次取正品的條件,第二次取次品的概率.得顯然沒必要用公式做,直接可得.

設(shè)為事件,且由條件概率定義乘法定理變形後有若,互換得綜合得一般地對(duì)任意n個(gè)事件且有注:例3（機(jī)遇相等問題）解以表示第人摸到獎(jiǎng)券這一事件,則由乘法公式得求第4個(gè)人摸到的概率.設(shè)有十人摸一張有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券,第四人摸到的事件為注:以後可直接用抽籤與順序無關(guān)得出結(jié)論.例4設(shè)一種玻璃杯,第一次落地而打破的概率為若第一次落地未打破,第二次落地打破的概率為第二次仍未打破,第三次落地打破的概率為求連續(xù)落地三次,杯子未打破的概率.解設(shè)分別是表示第一、二、三次杯子落地而被打破的事件,則由條件得所以注:解:以A表示甲勝出,以表示甲第i輪勝出,則例5兩名射手輪流向同一目標(biāo)射擊,甲命中率為,乙命中率為.甲先開始.誰先命中誰得勝.問甲,乙獲勝的概率各為多少？由幾何級(jí)數(shù)求和公式時(shí)得以B表示乙勝出,直接由對(duì)立事件計(jì)算公式得由對(duì)稱性,如果乙先射擊,則顯然,先發(fā)制人有利.二隨機(jī)事件的獨(dú)立性1.獨(dú)立性的意義

問題的引出:設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是相應(yīng)的樣本空間,

是兩個(gè)事件.在前面的眾多例子中,我們看到,在一般情況下,事件的發(fā)生都會(huì)對(duì)事件的發(fā)生產(chǎn)生影響,但某些情況下,事件的發(fā)生與的發(fā)生沒有任何影響.用數(shù)學(xué)公式來反映的話即為:例6一袋中裝有個(gè)4白球,2個(gè)黑球,從中有放回取兩次,解以表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的又由條件概率公式每次取一個(gè).求在第一次取到的是白球的條件下,第二次取到的也是白球的概率.是白球,則有即:

上式表明:事件的發(fā)生對(duì)事件的發(fā)生沒有任何影響.再由條件概率公式:實(shí)際上,由於該問題是一個(gè)放回抽樣問題,常識(shí)告訴我們,事件不應(yīng)該對(duì)事件產(chǎn)生影響.由上式:得:由此引出相互獨(dú)立的定義定義1.3對(duì)任意事件A,B,若則稱事件A,B相互獨(dú)立.事件的相互獨(dú)立與事件的互不相容是兩個(gè)不同的概念.沒有必然聯(lián)繫.對(duì),下列命題哪些是正確的？①若,則一定獨(dú)立②若,則有可能獨(dú)立③若,則一定獨(dú)立④若,則一定不獨(dú)立只有②是正確的.顯然:即必然事件或不可能事件與任一事件A相互獨(dú)立.定理1.1如果,那麼事件A與B相互獨(dú)立的充要條件是如果,那麼事件A與B相互獨(dú)立的充要條件是定理1.2下列四個(gè)命題等價(jià)1事件與相互獨(dú)立2事件與相互獨(dú)立3事件與相互獨(dú)立4事件與相互獨(dú)立即,這四組事件獨(dú)立性一致.證明：1→2→4→3→1,只證1→2.其餘類似證明.因?yàn)槭录嗀與B相互獨(dú)立,所以欲證事件的獨(dú)立性可以推廣到有限個(gè)事件上,引進(jìn)獨(dú)立和兩兩獨(dú)立的概念.定義:對(duì)於任意三個(gè)事件A,B,C,如果四個(gè)等式都成立,那麼稱事件A,B,C相互獨(dú)立.注:1如果只滿足前三個(gè)等式,那麼稱事件A,B,C定義設(shè)為事件組,且任取有則稱為獨(dú)立事件組.兩兩獨(dú)立2可由歸納法推廣到n個(gè)事件的相互獨(dú)立.3獨(dú)立事件組“戴若干帽子”的結(jié)論依然成立.4具體應(yīng)用問題中,獨(dú)立性根據(jù)實(shí)際情況判斷.例7 某項(xiàng)工作交由三個(gè)人獨(dú)立完成,設(shè)這三個(gè)完成的解設(shè)分別表示第一,第二,第三人完成該工再設(shè)事件表示工作被完成,則因又概率分別為求該項(xiàng)工作被完成的概率.作,則所以所以例8設(shè)某臺(tái)設(shè)備由六部件組成,已知該設(shè)備出故障解設(shè)表示各部件正常,表示設(shè)備正常,又每個(gè)部件都出故障.又,每個(gè)部件工作出故障的可能性為求設(shè)備正常工作的概率.則有例9已知每個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率為解事件“混合後的血清中含有肝炎病毒”等價(jià)於“100個(gè)且他們是否含有肝炎病毒是相互獨(dú)立的.今混合100個(gè)人的血清,試求混合後的血清中含有肝炎病毒的概率人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”.設(shè)事件表示“第個(gè)人的血清中含有肝炎病毒”,則所求概率為:即混合後的血清中含有肝炎病毒的概率為0.33.

此例說明,小概率事件在多次的重複試驗(yàn)中會(huì)有較大可能出現(xiàn).三獨(dú)立性在可靠性問題中的應(yīng)用一個(gè)產(chǎn)品的可靠性用可靠度來刻劃,所謂可靠度指的是產(chǎn)品能正常工作的概率.說白了,就是產(chǎn)品是好的概率.以下討論中,假定系統(tǒng)中的各個(gè)元件能否正常工作是相互獨(dú)立的.1串聯(lián)系統(tǒng):全好才好.2並聯(lián)系統(tǒng):全壞才壞.3混聯(lián)繫統(tǒng):分解成子系統(tǒng).4橋式系統(tǒng):比較複雜,要用到後面的知識(shí).混聯(lián)橋式課堂練習(xí):p2918,20思考題:射擊問題

n名射手輪流向同一目標(biāo)射擊,命中率均為p.誰先命中誰得勝,都不中則再比下一輪.求排位k者獲勝的概率並討論時(shí)的極限意義.解:由前面兩名射手的射擊問題可得結(jié)論：瞎貓碰到死耗子Bernoulli試驗(yàn):只關(guān)心某個(gè)事件是否發(fā)生.n重Bernoulli試驗(yàn):把Bernoulli試驗(yàn)獨(dú)立地重複做n次.

在重Bernoulli試驗(yàn)中,我們感興趣的是,在試驗(yàn)中事件正好發(fā)生次的概率,即問題描述為:

設(shè)為重Bernoulli試驗(yàn),事件是一次試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果,記事件在n重Bernoulli試驗(yàn)中出現(xiàn)次則問題轉(zhuǎn)化為求概率

分析設(shè)若在前次試驗(yàn)中出現(xiàn)的是後次試驗(yàn)中出現(xiàn)的是則相應(yīng)的概率為注意到在次試驗(yàn)中出現(xiàn)個(gè)其餘為的組合共有個(gè),所以原問題的概率為：由於上述問題與事件的具體內(nèi)容無關(guān),僅與試驗(yàn)次數(shù)及相關(guān),故一般我們簡(jiǎn)記成:其中表示事件在重試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù).而這恰好是二項(xiàng)展開式中的一項(xiàng),故稱為二項(xiàng)概率.例1:圍棋番棋比賽.見22頁,例1.23結(jié)論:多局賽制對(duì)高手有利.注:三局兩勝制實(shí)際比賽中,連贏兩局不再比三局,在貝努裏概型計(jì)算中是拆成勝勝負(fù)與勝勝勝.例2設(shè)某種杯子,摔破的概率為0.4,連續(xù)摔7個(gè)杯子,解此問題是的Bernoulli試驗(yàn),由條件求恰好摔破3個(gè)杯子的概率.由二項(xiàng)概率公式得相應(yīng)的概率為:例3某社區(qū)有10部電梯,每部電梯發(fā)生故障的概率為解此問題是的二項(xiàng)概率,則問題為0.2,求在同一時(shí)刻有三部電梯發(fā)生故障的概率.求概率由二項(xiàng)概率公式得

該問題可以進(jìn)一步延伸為:某社區(qū)有200部電梯,每部電梯發(fā)生故障的概率為0.02,電梯發(fā)生故障時(shí),物業(yè)管理部門需要派出一名維修工人進(jìn)行修理.要保證電梯發(fā)生故障時(shí),物業(yè)管理部門一定有維修工人可以派遣,則一個(gè)最可靠的方法是,為每一部電梯都安排一個(gè)維修人員.但實(shí)際上,沒有一個(gè)物業(yè)管理部門會(huì)這樣做.現(xiàn)在的問題是,如果我們要求以95%的把握保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時(shí),物業(yè)部門有維修人員可以派遣,則應(yīng)該聘用多少名維修人員？

若數(shù)表示聘用的維修人員數(shù),則發(fā)生故障的電梯臺(tái)數(shù)不超過問題為即要找到適當(dāng)?shù)氖股鲜匠闪?若用公式進(jìn)行計(jì)算,則問題是比較複雜的.在下一章中,我們尋找更好的方法來解決該問題.§1.6全概率公式與貝葉斯公式引例:求進(jìn)校園銷售的自行車的不合格率.直接按古典概率定義,很難得到數(shù)據(jù).如果投放學(xué)校的自行車有三種型號(hào)分別記為則表示市場(chǎng)佔(zhàn)有率.以B表示不合格的自行車則表示各型號(hào)自行車的不合格率.這兩組數(shù)據(jù)容易得到.能否由這兩組數(shù)據(jù)算出自行車的不合格率？由可加性得再由乘法定理由條件概率公式得如果,已知買到了不合格的自行車,要看是哪種型號(hào)的自行車可能性大,也就是要比較可見與兩個(gè)因素,市場(chǎng)佔(zhàn)有率和自身的不合格率有關(guān).這種思路,就是本節(jié)要學(xué)的全概率公式與貝葉斯公式.將自行車設(shè)定為n種,很容易推到一般情況.完備事件組1設(shè)是的一組事件若滿足下列兩條件2則稱是樣本空間的一個(gè)劃分或一個(gè)完備事件組.

這是一個(gè)完備事件組.例設(shè)而注:完備事件組是樣本空間的一個(gè)劃分.圖示如下.全概公式貝葉斯公式定理1.3設(shè)是一完備事件組,且則對(duì)任一事件有證明同引例,略.解:先普及曆法.400年一週期.任取一年,求該年有53個(gè)周日的概率.若已知該年有53個(gè)周日,求該年是閏年的概率.例1曆法問題方法一古典概型每逢4的倍數(shù)閏,一共有100個(gè)每逢100的倍數(shù)不閏,一共有4個(gè)每逢400的倍數(shù)閏,一共有1個(gè)400年中共有100-4+1=97個(gè)閏年.方法二利用全概公式

表示平年,則構(gòu)成一劃分

表示有53個(gè)星期天如果已知該年有53個(gè)星期天,求該年是閏年的概率.則由已知條件得例2已知肝炎發(fā)病率為萬分之四.用某法檢查肝炎.患者陽性率為95%,正常人陰性率為90%.求反應(yīng)為陽性者確實(shí)得了肝炎的概率.解設(shè)A為反應(yīng)為陽性,為反應(yīng)為陰性,B為被診斷者患肝炎.先求陽性率反應(yīng)陽性實(shí)際得病這一概率非常小.是否可以不管？事實(shí)上高危人群.倍,例3設(shè)有三箱產(chǎn)品,其中甲箱有產(chǎn)品120件,次品率⑴隨機(jī)取一箱,再取一件,取到的是次品;⑵開箱後混放,從中取一件,取到的是次品.解設(shè)表示從甲、乙、丙三箱中取產(chǎn)品,表⑴乙箱有100件,次品率丙箱有200件,次品率求以下概率:示取到的是次品,則由全概率公式⑵由於第二個(gè)問題是開箱後混放產(chǎn)品,故取到各箱產(chǎn)品的概率就不同了,此時(shí)產(chǎn)品總數(shù)為420件,所以再由全概率公式得例4某工廠有三個(gè)車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品,第一車間的次品率為0.05,第二車間的次品率為0.03,第三車間的次品率為0.01,各車間的產(chǎn)品數(shù)量分別為2500,2000,1500件.出廠時(shí),三車間的產(chǎn)品完全混合,現(xiàn)從中任取一產(chǎn)品,求該產(chǎn)品是次品的概率.若已知抽到的產(chǎn)品是次品,求該產(chǎn)品是一車間的概率.解:設(shè)為取到第i個(gè)車間的產(chǎn)品,B為取到次品由全概率公式得:由貝葉斯公式得:注:一定要寫清事件,公式,不得只寫算式.全概率公式和貝葉斯公式是概率論中的兩個(gè)重要公式,有著廣泛的應(yīng)用.若把事件理解為‘原因’,而把B理解為‘結(jié)果’,則是原因引起結(jié)果B出現(xiàn)的可能性,是各種原因出現(xiàn)的可能性.全概率公式表明綜合引起結(jié)果的各種原因,反映了結(jié)果出現(xiàn)的可能性的大??；而貝葉斯公式則反映了當(dāng)結(jié)果出現(xiàn)時(shí),它是由原因引起的可能性的大小,故常用於可靠性問題.如:可靠性壽命檢驗(yàn),可靠性維護(hù),可靠性設(shè)計(jì)等.例5某機(jī)器由A,B,C三類元件構(gòu)成,其所占比例分別為0.1,0.4,0.5,且其發(fā)生故障的概率分別為0.7,0.1,0.2.現(xiàn)機(jī)器發(fā)生了故障,問應(yīng)從哪個(gè)元件開始檢查？類；C為元件是C類,則解:設(shè)D為發(fā)生故障；A為元件是A類；B為元件是B由貝葉斯公式首次命中時(shí)已投籃的次數(shù).在燈泡壽命問題中,我們關(guān)心燈泡使用的小時(shí)數(shù).對(duì)於這類隨機(jī)現(xiàn)象,其試驗(yàn)結(jié)果顯然可以用數(shù)值來描述,並且隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值.而有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象,也常常能聯(lián)繫數(shù)值來描述.由此引入隨機(jī)變數(shù)的概念.§2.1

隨機(jī)變數(shù)例1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為拋硬幣試驗(yàn),我們以符號(hào)表示出出現(xiàn)正面,出現(xiàn)反面.現(xiàn)的是正面,符號(hào)表示出現(xiàn)的是反面,為了更好的刻畫這類隨機(jī)試驗(yàn),我們引入量化指標(biāo):例2設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為一次打靶試驗(yàn),其基本結(jié)果是中與擊中目標(biāo),未擊中目標(biāo).不中.同樣可以引入量化指標(biāo):例3設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)為一次考試試驗(yàn),其基本結(jié)果是通過考試通過,考試未通過.與未通過.同樣可以引入量化指標(biāo):

在上面的三個(gè)例子中,對(duì)只有兩個(gè)基本結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),我們可用兩個(gè)取值來加以刻畫.並且這樣的刻畫具有一種共性.例4設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示射擊試驗(yàn),以表示首次命中時(shí)所進(jìn)行過的射擊次數(shù).則的取值為例5設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)表示重Bernoulli試驗(yàn),以表示事

將上面的問題一般化,我們引入:件在次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù),則的取值為定義2.1RandomVariable

給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),是其樣本空間,如果對(duì)中的每一個(gè)樣本點(diǎn),有一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng),那麼把稱為一維隨機(jī)變數(shù).常用大寫字母等來表示.這個(gè)定義域?yàn)闃颖究臻g的單值實(shí)值函數(shù)例6:擲一枚均勻骰子，其樣本空間為定義隨機(jī)變數(shù):由於關(guān)心的角度不同，我們用不同的對(duì)應(yīng)關(guān)係得到不同的隨機(jī)變數(shù)定義不涉及概率的概念,常寫為,而對(duì)實(shí)數(shù)域上任意數(shù)定義表明隨機(jī)變數(shù)是樣本點(diǎn)的函數(shù),它的集,集合表示一個(gè)隨機(jī)事件,我們常簡(jiǎn)單表示為如在擲硬幣試驗(yàn)中,擲出正面這個(gè)隨機(jī)事件可表示為,,,等等.相應(yīng)的概率應(yīng)該記為因?yàn)椴恢乱鸹煜?我們簡(jiǎn)記為比如:§2.2概率函數(shù)定義:設(shè)是上的隨機(jī)變數(shù),若的全部可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)(即的全部可能取值可一一列舉出來)注:由定義可知,若樣本空間是離散的,則定義在

上的任何單值實(shí)函數(shù)都是離散型隨機(jī)變數(shù).反之不然.則稱為離散型隨機(jī)變數(shù).如射箭的例子中,我們可以將離靶心的距離對(duì)應(yīng)環(huán)數(shù).設(shè)離散型隨機(jī)變數(shù)的值域?yàn)槭录母怕视洖楦鶕?jù)概率的定義與性質(zhì),滿足12當(dāng)滿足這兩個(gè)條件時(shí),稱為隨機(jī)變數(shù)的概率函數(shù)或分佈律.為某離散型隨機(jī)變數(shù)的分佈律.反之,任意一個(gè)滿足以上二性質(zhì)的數(shù)列,都可以作這為我們求某些特殊級(jí)數(shù)的和提供了便利.通常,我們把分佈律用如下表格表示：求的概率.假設(shè)罰球命中率為0.9,各次罰球是相互獨(dú)立的.引例:三分球犯規(guī),罰球3次.隨機(jī)事件表示得k分.上一章中有一例子我們用隨機(jī)變數(shù)來改寫一下.表達(dá)既清晰又簡(jiǎn)單.例:三分罰籃隨機(jī)變數(shù)表示得分,則的分佈律為:顯然比寫成四個(gè)等式要簡(jiǎn)潔直觀.如果我們需要求得分或至少得兩分的概率,那麼,用隨機(jī)變數(shù)形式表示出來就是可見,分佈律完全刻劃了離散型隨機(jī)變數(shù)取值的規(guī)律.這樣,對(duì)於離散型隨機(jī)變數(shù),只要知道它的一切可能取值和取這些值的概率,也就是說知道了它的分佈律,就掌握了這個(gè)離散型隨機(jī)變數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.例1設(shè)袋中有5球,編號(hào)為從袋中隨機(jī)地解以表示取到球的編號(hào),則的取值為因1同理,取一球,以表示取到的球的編號(hào),求的分佈.號(hào)球只有一個(gè),故及從而隨機(jī)變數(shù)的分佈律為

若如果隨機(jī)變數(shù)的分佈律為:§2.3常用離散型隨機(jī)變數(shù)10-1分佈則稱服從0-1分佈.記為只有成功和失敗兩種對(duì)立結(jié)局的試驗(yàn)稱做貝努利試驗(yàn).的概率.例如產(chǎn)品抽樣驗(yàn)收:抽到不合格品為成功,抽到合格品為失敗;射擊:命中為成功,脫靶為失敗;擲骰子:擲出6為成功,擲出1到5為失敗……貝努利試驗(yàn)成功的次數(shù)服從0-1分佈,參數(shù)為成功2二項(xiàng)分佈如果隨機(jī)變數(shù)的分佈律為則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分佈,記為:1)獨(dú)立重複試驗(yàn)成功次數(shù)的分佈設(shè)是n

重貝努利試驗(yàn)成功的次數(shù),則參數(shù)p是每次試驗(yàn)成功的概率．例如n次獨(dú)立重複射擊命中的次數(shù)服從二項(xiàng)分佈,參數(shù)p是每次射擊的命中率.2)自有限總體的還原抽樣(有放回的摸球)設(shè)總體X

含N個(gè)個(gè)體,其中M個(gè)具有某種特徵A.設(shè)X是n次還原抽樣具有特徵A的個(gè)體出現(xiàn)的次數(shù),則其中如果是不還原抽樣呢?那我們有如下超幾何分佈.3超幾何分佈自有限總體的不還原抽樣（無放回的摸球）設(shè)總體X

含N個(gè)個(gè)體,其中M個(gè)具有某種特徵A.設(shè)X是n次不還原抽樣具有特徵A的個(gè)體出現(xiàn)的次數(shù),則約定:當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分佈來近似計(jì)算.當(dāng)N很大時(shí),實(shí)際應(yīng)用時(shí)只要,可以用例1從積累的資料看,某條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中,一級(jí)品率為90%.今從某天生產(chǎn)的1000件產(chǎn)品中,隨機(jī)地抽取20件作檢查.試求:(1)恰有18件一級(jí)品的概率;(2)一級(jí)品不超過18件的概率.解設(shè)X表示“20件產(chǎn)品中一級(jí)品的個(gè)數(shù)”.由於,因此可以近似地認(rèn)為(1)所求概率為(2)所求概率為

例2設(shè)有保險(xiǎn)公司的某保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保,每個(gè)解以隨機(jī)變數(shù)表示在未來一年中這1000個(gè)投保人死人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005,且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨(dú)立的.試求在未來一年中這1000個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過10個(gè)人的概率.亡的人數(shù),則相應(yīng)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟾怕视稍谏鲜街兄苯佑?jì)算是比較

設(shè)當(dāng)很大很小且適中時(shí)有在上例中,取則有困難的,為此我們引入一個(gè)簡(jiǎn)便的計(jì)算方法——即二項(xiàng)分佈的逼近.即在未來一年中這1000個(gè)投保人死亡人數(shù)不超過10個(gè)人的概率為0.986.定理2.1:Poisson定理設(shè),.對(duì)於任意一個(gè)非負(fù)整數(shù)k,有證由推得定理2.1中的極限值滿足:因此,它是某個(gè)隨機(jī)變數(shù)的概率函數(shù).

設(shè)隨機(jī)變數(shù)的分佈律為則稱隨機(jī)變數(shù)服從參數(shù)為的泊松分佈,記為泊松分佈的計(jì)算:查表三p256-2574泊松分佈例3設(shè)求解查表得泊松定理告訴我們,二項(xiàng)概率可以用泊松分佈的概率函數(shù)值來近似.不過n應(yīng)儘量地大,否則近似效果不佳.例4設(shè)某社區(qū)有電梯200部,每臺(tái)電梯發(fā)生故障的可⑴在同一時(shí)刻恰好有5部電梯發(fā)生故障的概率;⑵在同一時(shí)刻至少有3部電梯發(fā)生故障的概率;⑶配備多少維修工人,使能以95%的概率,保證當(dāng)電梯解以表示在同一時(shí)刻發(fā)生故障的電梯數(shù),則由條件則所以能性為0.02,求發(fā)生故障時(shí),有維修工人進(jìn)行維修.得⑴查表得⑵⑶記配備的維修工人數(shù)為若有維修工人能進(jìn)行維修,則所以原問題由概率來反映,即為從而查表得故取即配備8名維修人員,便能以95%的概率,保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時(shí),一定有維修工人進(jìn)行維修.注:我們把源源不斷地出現(xiàn)在隨機(jī)時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)形成的“流”稱做隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流.例如,到達(dá)商店的顧客,某道口右轉(zhuǎn)車輛,打進(jìn)的電話數(shù),交通事故,重大刑事案件,設(shè)備的故障等等.以表示在長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的其中是單位時(shí)間出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的平均個(gè)數(shù),稱隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù),則服從參數(shù)為的泊松分佈.作質(zhì)點(diǎn)流的強(qiáng)度.五幾何分佈背景:投籃機(jī)器人（首次成功時(shí)的次數(shù)）設(shè)投籃命中率為p,各次投籃是相互獨(dú)立的.記首次命中時(shí)的投籃次數(shù)為X則則稱X服從參數(shù)為p的幾何分佈6均勻分佈7退化分佈課堂練習(xí)p52(4)2,3,88解答:設(shè)分別為X取奇數(shù)和偶數(shù)的概率,顯然解方程組得思考題:投籃機(jī)器人第二次成功時(shí)的次數(shù)為,求的分佈.解:若,則前次中只有一次成功且在任何一次.考慮箭在靶子上的位置,而這個(gè)位置是由兩個(gè)隨機(jī)變數(shù)（兩個(gè)座標(biāo)）來確定的.體型主要由身高和體重兩個(gè)指標(biāo)決定.等等.下麵我們先介紹二維隨機(jī)變數(shù)及其分佈,並推廣到n維.一聯(lián)合概率函數(shù)個(gè)樣本點(diǎn),有一對(duì)有序?qū)崝?shù)與它對(duì)應(yīng),的變數(shù)稱為二維隨機(jī)變數(shù).

設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是相應(yīng)的樣本空間,對(duì)中的每一那麼,就把這樣一個(gè)定義域?yàn)?取值為有序?qū)崝?shù)假定稱為二維隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合分佈律.由概率的定義不難得到:聯(lián)合概率函數(shù)常用分佈表的形式給出:注:不要轉(zhuǎn)置.一般雙下標(biāo)前行後列.對(duì)平面上任意一個(gè)集合D例1設(shè)袋中有5球,編號(hào)為今從袋中取二球解由條件,隨機(jī)變數(shù)的可能取值為因號(hào)當(dāng)先取號(hào)球,此時(shí)還剩4球,其中2號(hào)球有2個(gè),故（不放回）,分別以表示第一、二次取到的球的編號(hào),求的分佈律.球只有一個(gè),故相仿地,有由此得到分佈表二邊緣概率函數(shù)已知二維隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合分佈,如何求作為一維隨機(jī)變數(shù)的或的分佈？設(shè)的聯(lián)合概率函數(shù)為:則X遍取各個(gè)值的概率因此稱為X的邊緣概率函數(shù).驗(yàn)證:確實(shí)是一個(gè)概率函數(shù).因此同樣定義隨機(jī)變數(shù)的邊緣概率函數(shù).著加,求列和”.如果,的聯(lián)合分佈以表格形式給出,則求的邊緣分佈即“橫著加,求行和”;求的邊緣分佈即“豎例2設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)有概率函數(shù)求邊緣概率函數(shù).解對(duì)上表分別作行和及列和,得:由此得邊緣概率函數(shù)分別為:及例3箱子中有10件產(chǎn)品,其中2件是次品,每次從箱子中任取一件產(chǎn)品,共取2次,定義隨機(jī)變數(shù)如下:若第一次取出正品若第一次取出次品若第二次取出正品若第二次取出次品分別就下麵2種情況下求出二維隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合分佈及邊緣分佈⑴放回抽樣;⑵不放回抽樣解⑴放回抽樣時(shí),則有即有分佈表:.⑵不放回抽樣時(shí),則有即有分佈表:.相應(yīng)的邊緣分佈都為:由此可見,由聯(lián)合分佈可以得到邊緣分佈.反之不然.§2.5隨機(jī)變數(shù)的獨(dú)立性與條件分佈

一隨機(jī)變數(shù)的獨(dú)立性考察例3有放回抽樣的情形，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)一切i,j有引進(jìn)隨機(jī)變數(shù)獨(dú)立性的概念.這表明事件與是相互獨(dú)立的.由此定義:Independent設(shè)是二維離散型隨機(jī)變數(shù),其聯(lián)合概率函數(shù)為如果聯(lián)合概率函數(shù)恰為兩個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積,即對(duì)一切成立則稱隨機(jī)變數(shù)是相互獨(dú)立的問:隨機(jī)變數(shù)的獨(dú)立性與事件的獨(dú)立有什麼聯(lián)繫?定理2.2:隨機(jī)變數(shù)相互獨(dú)立的充要條件是:對(duì)實(shí)數(shù)域上任意兩個(gè)集合,總有定義:多個(gè)隨機(jī)變數(shù)的相互獨(dú)立如果隨機(jī)變數(shù)的聯(lián)合概率函數(shù)恰為n個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積,就稱這n個(gè)隨機(jī)變數(shù)相互獨(dú)立.例4設(shè)是二維隨機(jī)變數(shù),相應(yīng)的分佈律為判斷是否獨(dú)立.解因隨機(jī)變數(shù)的邊緣分佈分別為因?qū)λ噪S機(jī)變數(shù)是相互獨(dú)立的.例5設(shè)是二維隨機(jī)變數(shù),相應(yīng)的分佈律為判斷是否獨(dú)立.解因隨機(jī)變數(shù)的邊緣分佈分別為因所以隨機(jī)變數(shù)是不獨(dú)立的.注:當(dāng)隨機(jī)變數(shù)相互獨(dú)立時(shí),邊緣分佈可以決定聯(lián)合分佈.反之不然.因此不獨(dú)立時(shí),不要隨便乘.二條件概率函數(shù)一般情況下,二維隨機(jī)變數(shù)中的兩個(gè)隨機(jī)變數(shù)取值是相互影響的,比如身高和體重.現(xiàn)在通過條件概率來考察這種影響.比如在某個(gè)身高條件下,體重的分佈;或某個(gè)體重條件下,身高的分佈.設(shè)的聯(lián)合概率函數(shù)為:如果已知事件發(fā)生,其中j固定,那麼條件概率顯然有即是一個(gè)概率函數(shù).定義:設(shè)的聯(lián)合概率函數(shù)為:對(duì)於任意一個(gè)固定的j,稱為已知事件發(fā)生下,X的條件概率函數(shù).類似地,對(duì)於任意一個(gè)固定的i,稱為已知發(fā)生的條件下Y的條件概率函數(shù).注:當(dāng)X與Y取值有限且個(gè)數(shù)少的情況下，從表格計(jì)算很方便.相當(dāng)於乘法公式,有即已知一個(gè)隨機(jī)變數(shù)的分佈,以及另一個(gè)隨機(jī)變數(shù)在這個(gè)隨機(jī)變數(shù)遍取各個(gè)值時(shí)的條件分佈,可以決定聯(lián)合分佈.當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí),條件分佈等於無條件分佈.例6p39例2.5幾何分佈的無記憶性證明:例7p54(6)2.19解:聯(lián)合概率函數(shù)表格如下,只要填6個(gè)空擋.由已知條件可得:從而兩個(gè)空擋處是0.由X的邊緣分佈是求行和得到，我們有最後，由Y的邊緣分佈是求列和得到，我們有一、一維隨機(jī)變數(shù)函數(shù)的概率函數(shù)一維離散型隨機(jī)變數(shù)X的函數(shù)也是一維離散型隨機(jī)變數(shù).已知X的概率函數(shù).如何求其函數(shù)的概率函數(shù)？設(shè)離散型隨機(jī)變數(shù)X的概率函數(shù)為即有分佈律1表格法若為一已知函數(shù),則隨機(jī)變數(shù)的取值為：將從小到大排序如果有若干值相等,合併相應(yīng)的為一項(xiàng).例1設(shè)為離散型隨機(jī)變數(shù),概率函數(shù)為求隨機(jī)變數(shù)的分佈.所以所以例2設(shè)有分佈列求的分佈.解:2公式法已知,求的分佈,並證明步驟一由求得步驟二:對(duì)中的任一值,求出概率另類方法:描述設(shè)，設(shè)則X是n重貝努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),則n-X是n重貝努利試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù).則二、二維隨機(jī)變數(shù)的函數(shù)的分佈

設(shè)是二維離散型隨機(jī)變數(shù),其函數(shù)是一維離散型隨機(jī)變數(shù).已知的聯(lián)合概率函數(shù),如何求其函數(shù)的概率函數(shù)?1表格法求出諸從小到大排序如果有若干值相等,合併相應(yīng)的為一項(xiàng)例3設(shè)是二維離散型隨機(jī)變數(shù),分佈列為求:⑴⑵⑶的概率函數(shù).若要求的聯(lián)合分佈,表格中將U,V的值寫成向量.定理2.3設(shè)獨(dú)立同分佈(以後記成iid)independentidenticaldistribution,

記則注:以後用的更多的是將Y拆成定理2.4:(分佈的可加性)設(shè)X與Y相互獨(dú)立1當(dāng)時(shí),2當(dāng)時(shí),1的證明方法一:利用定理2.3拆X,Y

則1的證明方法二:公式法嚴(yán)格證明需說明獨(dú)立.2公式法步驟一由求出步驟二對(duì)中的任一值,求出概率.2的證明過程與1相似定理2.5p51直觀地看,將相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)分成兩部分分別求函數(shù),則兩新的隨機(jī)變數(shù)相互獨(dú)立.課堂練習(xí):p5528解:先求出的分佈,由定理2.5及已知條件,它們獨(dú)立同分佈,再求思考題:設(shè)隨機(jī)變數(shù)X,Y相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為p的幾何分佈.求X+Y的分佈.解:等式右端的事件的形式是一樣的.可見,只要對(duì)一切實(shí)數(shù)x給出概率則任何事件及它們的可列交、可列並的概率都可求得.從而並決定了隨機(jī)變數(shù)X的一切概率特徵.由此引入定義:

完全刻劃了隨機(jī)變數(shù)X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,為隨機(jī)變數(shù)的分佈函數(shù).定義3.1設(shè)是隨機(jī)變數(shù),稱定義域?yàn)榈膶?shí)值函數(shù)為強(qiáng)調(diào)是X的分佈函數(shù)，有時(shí)記成§3.1

分佈函數(shù)

求分佈函數(shù)解若則為不可能事件,因而若則所以例1設(shè)為隨機(jī)變數(shù),取值為相應(yīng)的分佈律如下若則所以同理,當(dāng)有當(dāng)從而的分佈函數(shù)為:離散型隨機(jī)變數(shù)的分佈律與分佈函數(shù)的互相轉(zhuǎn)換:向左看,累加;向上看,遞減.注:用概率函數(shù)來刻劃離散型隨機(jī)變數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性更有效,更直接.例2求區(qū)間上的亂數(shù)X的分佈函數(shù).解:0,1將實(shí)數(shù)軸分為三部分定理3.1分佈函數(shù)的性質(zhì)⑴有界⑵單調(diào)不減⑶極限性質(zhì)(4)右連續(xù)定理3.2對(duì)於任意一個(gè)隨機(jī)變數(shù)X，X的分佈函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是證明思路:必要性由夾逼性即得充分性證明要用到:定義3.2二維隨機(jī)變數(shù)的分佈函數(shù)二元實(shí)值函數(shù)給定一個(gè)二維隨機(jī)變數(shù),稱定義在整個(gè)平面的為隨機(jī)變數(shù)的分佈函數(shù),或稱為X與Y的聯(lián)合分佈函數(shù).其幾何意義為:

表示隨機(jī)點(diǎn)落在無界區(qū)域D中的概率.定理3.3聯(lián)合分佈函數(shù)的性質(zhì)1有界性2單調(diào)不減3極限性質(zhì)4右連續(xù)5代數(shù)式對(duì)任意的有§3.2概率密度函數(shù)考察區(qū)間上的亂數(shù)X的分佈函數(shù).除了兩個(gè)尖點(diǎn),函數(shù)的曲線很光滑.作的導(dǎo)函數(shù).改造成:由高數(shù)知識(shí):則稱為連續(xù)型隨機(jī)變數(shù),函數(shù)稱為相應(yīng)的概率密度函數(shù).定義3.3給定一個(gè)隨機(jī)變數(shù),如果存在一個(gè)定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)