勾股定理預(yù)習(xí)資料

勾股定理預(yù)習(xí)資料一、 概述：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長度的平方（也可以理解成兩個(gè)長邊的平方相減與最短邊的平方相等），這就叫做勾股定理。即勾的長度的平方加股的長度的平方等于弦的長度的平方。如果用a,b,c分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊，那么廣-TOC\o"1-5"\h\z勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，它是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。 .二、 內(nèi)容：直角三角形（等腰直角三角形也算在內(nèi)）兩勾直角邊（即“勾"“股”短的為勾，長的為股）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長口 >的平方。 ，股圖1—5三、 歷史幾個(gè)文明古國都先后研究過這條定理，遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和尼羅河泛濫后測(cè)量土地時(shí)，也應(yīng)用過勾股定理。我國也是最早了解勾股定理的國家之一。三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家就提出“勾三、股四、弦五”，它被記載于《周髀算經(jīng)》中。畢達(dá)哥拉斯定理是一個(gè)基本的幾何定理，傳統(tǒng)上認(rèn)為是由古希臘的畢達(dá)哥拉斯所證明。在中國，《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理證明，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理做出了詳細(xì)注釋，又給出了另外一個(gè)證明。埃及稱為埃及三角形。任何一個(gè)學(xué)過代數(shù)或幾何的人，都會(huì)聽到畢達(dá)哥拉斯定理.這一著名的定理，在許多數(shù)學(xué)分支、建筑以及測(cè)量等方面，有著廣泛的應(yīng)用.古埃及人用他們對(duì)這個(gè)定理的知識(shí)來構(gòu)造直角.他們把繩子按3,4和5單位間隔打結(jié)，然后把三段繩子拉直形成一個(gè)三角形.他們知道所得三角形最大邊所對(duì)的角總是一個(gè)直角（3+4,5）。畢達(dá)哥拉斯定理；給定一個(gè)直角三角形，則該直角三角形斜邊的平方，等于同一直角三角形兩直角邊平方的和。反過來也是對(duì)的；如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則該三角形為直角三角形。雖然這個(gè)定理以后來的希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（大約公元前540年）的名字命名，但有證據(jù)表明，該定理的歷史可以追溯到華達(dá)哥拉斯之前1000年的古巴比倫的漢漠拉比年代.把該定理名字歸于畢達(dá)哥拉斯，大概是因?yàn)樗谝粋€(gè)對(duì)自己在學(xué)校中所寫的證明作了記錄.畢達(dá)哥拉斯定理的結(jié)論和它的證明，遍及于世界的各個(gè)大洲、各種文化及各個(gè)時(shí)期.事實(shí)上，這一定理的證明之多，是其他任何發(fā)現(xiàn)所無法比擬的。四、 作用與影響

⑴勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個(gè)對(duì)象一一數(shù)與形的第一定理。⑵勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，從而深刻揭示了數(shù)與量的區(qū)別，即所謂“無理數(shù)〃與有理數(shù)的差別，這就是所謂第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。⑶勾股定理開始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明與推理的科學(xué)。包括著名的費(fèi)爾馬大定理，另一方面也為不⑷勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導(dǎo)到各式各樣的不定方程，包括著名的費(fèi)爾馬大定理，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個(gè)范式。五、證明方法【證法1】（課本的證明）a、b，斜邊長為c，再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a+b，所以面積相等.即, ,1 .1,a2+b2+4x—ab=c2+4x—ab2 2 ，整理得a2+b2=c2.【證法2】（鄒元治證明）B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于2ab.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上C、B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C9abHFabBAaERtAHAE絲RtAC9abHFabBAaE?.?ZAHE=ZBEF.?/ZAEH+ZAHE=90°,?.?ZAEH+ZBEF=90°.?.?ZHEF=180°—90°=90°..??四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的正方形.它的面積等于c2. b?/RtAGDH絲RtAHAE,

?.?ZHGD=ZEHA.ZHGD+ZGHD=90°,?.?ZEHA+ZGHD=90°.又ZGHE=90°,?.?ZDHA=90°+90°=180°.???ABCD是一個(gè)邊長為a+b的正方形，它的面積等于?+b*..（a+b）2=4x—ab+c2?? 2 . ??a2+b2=c2.【證法3】（趙爽證明）以a、b為直角邊（b>a）,以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于2?.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.?/RtADAH絲RtAABE,?.?ZHDA=ZEAB.?/ZHAD+ZHAD=90°,?.?ZEAB+ZHAD=90°,???ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2.?/EF=FG=GH=HE=b—a,ZHEF=90°.???EFGH是一個(gè)邊長為b—a的正方形，它的面積等于(-a農(nóng)4x^ab+(b-a*=c22??a2+b2=c2.【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）baAbEaB以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于2ab.把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.DbaAbEaBRtAEAD?ZRtAEAD?ZADE=ZAED+ZAED+ZBEC.ZADE=90°,ZBEC=90°.?.?ZDEC=180°—90°=90°.?.?ADEC是一個(gè)等腰直角三角形，^2它的面積等于2c.

又ZDAE=90°,ZEBC=90°,?.?AD〃BC?1（ \?.?ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于2也+"—(a+b)2=2xLab+—c22 2 2a2+b2=c2.【證法5】（梅文鼎證明）做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P.D、E、F在一條直線上，且RtAGEF絲RtAEBD,?.?ZEGF=/BED,?//EGF+/GEF=90°,?../BED+/GEF=90°,?../BEG=180°—90°=90°.又?.?AB=BE=EG=GA=c,?.?ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形./ABC+/CBE=90°.?/RtAABC絲RtAEBD,/ABC=/EBD.?.?/EBD+/CBE=90°.即 /CBD=90°.又.../BDE=90°,/BCP=90°,BC=BD=a.?.?BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S,貝IJ1a2+b2=S+2x—ab,2CCC1 ，c2=S+2x—ab2 ,

【證法6】（項(xiàng)明達(dá)證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過點(diǎn)Q作QP#BC,交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BMXPQ,垂足為M；再過點(diǎn)F作FNXPQ,垂足為N.ZBCA=90°,QP〃BC,?.?ZMPC=90°,?/BMXPQ,?.?ZBMP=90°,?.?BCPM是一個(gè)矩形，即ZMBC=90°.?/ZQBM+ZMBA=ZQBA=90°，ZABC+ZMBA=ZMBC=90°，?.?ZQBM=ZABC，又ZBMP=90°，ZBCA=90°，BQ=BA=c，?RtABMQ絲RtABCA.同理可證RtAQNF絲RtAAEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）?【證法7】（歐幾里得證明）做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上BF、CD.過C作CL±DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.?/AF=AC，AB=AD，ZFAB=ZGAD，?.?AFAB絲AGAD，心1a2?.?AFAB的面積等于2，AGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，?.?矩形ADLM的面積=a2.同理可證，矩形MLEB的面積連結(jié)?.?正方形ADEB的面積連結(jié)=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積c2=a2+b2，艮Pa2+b2=c2.

【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點(diǎn)C作CDLAB，垂足是D.C從而有BC2=BD?AB.在C從而有BC2=BD?AB.ZADC=ZACB=90°，ZCAD=ZBAC，?.?AADCsAACB.AD:AC=AC:AB，艮PAC2=AD?AB.同理可證，ACDBsAACB，...AC2+BC2=（AD+DB）?AB=AB2，艮口a