江西省九江市2023年第一次高考模擬統(tǒng)一考試理科數(shù)學試題（解析版）

九江市2023年第一次高考模擬統(tǒng)一考試

數(shù)學試題（理科）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意：1.答題前，考生務必將自己的學號、姓名等項內(nèi)容填寫在答題卡上.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.3.考試結束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第Ⅰ卷（選擇題60分）一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則(A)A. B. C. D.解：，，故選A.2.復數(shù)滿足，則的虛部為（A）A. B. C. D.解:，虛部為，故選A.3.若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為(D)A. B. C. D.解：由約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示.易知目標函數(shù)的最大值在處取得，.故選D.4.巴塞爾問題是一個著名的級數(shù)問題，這個問題首先由皮耶特羅·門戈利在1644年提出，由\t"/item/%E5%B7%B4%E5%A1%9E%E5%B0%94%E9%97%AE%E9%A2%98/_blank"萊昂哈德·歐拉在1735年解決.歐拉通過推導得出：.某同學為了驗證歐拉的結論，設計了如右算法計算的值來估算，則判斷框填入的是(D)A. B.C. D.解：由程序框圖可知，最后一次進入判斷框時，，執(zhí)行最后一次循環(huán)體，，，輸出sum，故選D.5.設等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（B）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解：若，，則為遞減數(shù)列.若為遞增數(shù)列，則，，.所以“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選B.6.已知是邊長為的等邊三角形，且其頂點都在球的球面上.若球的表面積為，則到平面的距離為（B）A. B. C. D.解:，球的半徑，設的外心為，從而，所求距離，故選B.7.已知函數(shù)的定義域為，若為偶函數(shù)，且，，則(A)A. B. C. D.解：由，令得.令，得，，.因為為偶函數(shù)，，即，曲線關于直線對稱.又，圖像關于點中心對稱，的周期.，，.故選A.8.已知雙曲線()，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點作軸的垂線交于點，若與的面積相等(為坐標原點)，則的離心率為（C）A. B. C. D.解:與的面積相等，為的中點，故為等腰直角三角形，,，，即，，，故選C.9.在正方體中，點為棱上的動點，則與平面所成角的取值范圍為（C）A. B. C. D.解：設，連接，平面，即為與平面所成角.設，，，，，故選C.10.已知為單位向量，則向量與夾角的最大值為(A)A. B. C. D.解：設，則，令，，，當且僅當時取等號，向量與夾角的最大值為.故選A.11.為了學習、宣傳和踐行黨的二十大精神，某班組織全班學生開展了以“學黨史、知國情、圓夢想”為主題的黨史暨時政知識競賽活動.已知該班男生20人，女生30人，根據(jù)統(tǒng)計分析，男生組成績和女生組成績的方差分別為.記該班成績的方差為，則下列判斷正確的是（D） A. B. C. D.解:記男生組成績和女生組成績的平均分分別為，則，，,，，，故選D.12.若對，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是(C)A. B. C. D.解：由已知得：，，.令，則，求導得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時；當時，.,，，由及的圖象可知，恒成立，即成立，而，，故選C.二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則7.解：依題意得，解得，.14.2022年11月8日，江西省第十六屆運動會在九江市體育中心公園主體育場開幕，這是九江市舉辦的規(guī)模最大、規(guī)格最高的綜合性體育賽事.賽事期間，有3000多名志愿者參加了活動.現(xiàn)將4名志愿者分配到跳高、跳遠2個項目參加志愿服務活動，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則“恰好有一個項目分配了3名志愿者”的概率為.解：.15.已知函數(shù)()的最小正周期為，的圖像關于點對稱，.若在上存在最大值2，則實數(shù)的最小值是.解：，，，即，又，，，時，，畫圖可知：，解得，即.16.已知點分別是拋物線和圓上的動點，點到直線的距離為，則的最小值為.解：圓的標準方程為，，拋物線的焦點為，準線方程為，，，即的最小值為.三、解答題:本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知，.(1)求角的值；(2)求邊上高的最大值.解:(1)由，得………1分由正弦定理，得………3分又，………4分即………5分，………6分(2)解法一：設邊上高為，由余弦定理,得………7分即………8分，，即，當且僅當時，等號成立………10分………11分又，，邊上高的最大值為………12分解法二：設邊上高為，由正弦定理得，，………7分………8分因為，，………10分，，，………11分又，，邊上高的最大值為………12分18.(本小題滿分12分)如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點.(1)求證：平面平面；DABCHDBFC(2)為線段上一點，若二面角的余弦值為，求線段的長DABCHDBFC解:(1)，，，平面，平面………1分又平面，………2分由直角梯形，，，，，得………3分又，平面，平面………4分又平面，平面平面………5分(2)取的中點，連接，，BDHFCEzyx，，又平面平面，平面,BDHFCEzyx為的中點，為的中點，，又，………6分故以所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，設，則………7分設平面的一個法向量為，，，，，令，得，，即………9分平面的一個法向量為………10分，解得或(舍)………11分即為的中點，故線段的長為………12分19.(本小題滿分12分)飛行棋是一種競技游戲，玩家用棋子在圖紙上按線路行棋，通過擲骰子決定行棋步數(shù).為增加游戲樂趣，往往在線路格子中設置一些“前進”“后退”等獎懲環(huán)節(jié)，當骰子點數(shù)大于或等于到達終點的格數(shù)時，玩家順利通關.已知甲、乙兩名玩家的棋子已經(jīng)接近終點，其位置如圖所示：終點終點后退3步甲乙前進1步(1)求甲還需拋擲2次骰子才順利通關的概率；(2)若甲、乙兩名玩家每人最多再投擲3次，且第3次無論是否通關，該玩家游戲結束.設甲、乙兩玩家再投擲骰子的次數(shù)為，分別求出的分布列和數(shù)學期望.解:(1)甲第1次拋擲未到達終點，其點數(shù)應小于4………1分若第1次擲出的點數(shù)為1，根據(jù)游戲規(guī)則，棋子前進1步后可再前進1步，到達距離終點差2步的格子，第2次擲出的點數(shù)大于1，即可順利通關，其概率為………2分若第1次擲出的點數(shù)為2，棋子到達距離終點差2步的格子，第2次擲出的點數(shù)大于1，即可順利通關，其概率為…………3分若第1次擲出的點數(shù)為3，根據(jù)游戲規(guī)則，棋子到達距離終點差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次擲出的點數(shù)大于3，可順利通關，其概率為………4分故甲拋擲2次骰子順利通關的概率為………5分(2)依題意得……7分………10分123123，………12分20.(本小題滿分12分)MNABPF1F2xNyNON如圖，已知橢圓()的左右焦點分別為，，點為上的一個動點(非左右頂點)，連接并延長交于點，且的周長為，MNABPF1F2xNyNON面積的最大值為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)若橢圓的長軸端點為，且與的離心率相等，為與異于的交點，直線交于兩點，證明：為定值.解:(1)的周長為，由橢圓的定義得，即………1分又面積的最大值為2，，即………2分，，，解得………3分橢圓的標準方程為………4分(2)由(1)可知，，………5分設，，，點在曲線上，………6分依題意，可設直線，的斜率分別為，則的方程分別為，，于是………7分聯(lián)立方程組，消去整理，得，，………8分………9分同理可得：………10分，………11分為定值………12分21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)().(1)求證：曲線在處的切線斜率恒大于0；(2)討論極值點的個數(shù).解:(1)(),………1分令()，則，，易知在上單調(diào)遞增，且………2分當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增………3分，，即曲線在處的切線斜率恒大于0………4分(2)令(),則，顯然在上單調(diào)遞增，由，得………5分當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，………6分①當時，，，，在上單調(diào)遞增，無極值點………7分②當時，，，，所以存在唯一的，使得，即………8分當時，，即，單調(diào)遞增；當時，，即，單調(diào)遞減.是的極大值點………9分又，由(1)知，且當時，，，，，即，，所以存在唯一的，使得，即………10分當時，，即，單調(diào)遞減；當時，，即，單調(diào)遞曾，是的極小值點………11分綜上所述，當時，無極值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點.………12分請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.(本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以為極點軸的正半軸為極軸建立極坐標系直線的極坐標方程為(為直線的傾斜角).(1)求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；(2)設，直線與曲線相交于兩點，求的最大值.解:(1)由，得………1分由，，得直線的直角坐標方程為………2分由(為參數(shù))，兩式相除得………3分，整理得曲線的普通方程為()………4分(2)解法一：直線經(jīng)過點，的參數(shù)方程為(為參數(shù))，代入中，得………5分由，得………6分，………7分………8分,，，，當且僅當時，等號成立………9分故的最大值為………10分解法二：直線經(jīng)過點，………5分由切割線定理得……