2024年浙江省杭州市第二中學(xué)高三上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024年浙江省杭州市第二中學(xué)高三上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．新聞出版業(yè)不斷推進供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給，實現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況，則下列說法錯誤的是（）A．2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B．2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C．2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D．2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一2．已知盒中有3個紅球，3個黃球，3個白球，且每種顏色的三個球均按，，編號，現(xiàn)從中摸出3個球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好不同時包含字母，，的概率為（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A． B． C． D．4．曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．85．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年7．已知集合，則=A． B． C． D．8．已知是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．10．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，以（為坐標原點）為直徑的圓交雙曲線于兩點，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.14．已知F為雙曲線的右焦點，過F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且（O為坐標原點），則C的離心率為________.15．若，則=____，=___.16．正方體的棱長為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當(dāng)弦的長度最大時,的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4—5；不等式選講．已知函數(shù)．(1)若的解集非空，求實數(shù)的取值范圍；(2)若正數(shù)滿足，為（1）中m可取到的最大值，求證：．18．（12分）管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，）.（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.19．（12分）已知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為．（1）當(dāng)時，求的零點；（2）當(dāng)時，證明：．20．（12分）已知，均為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.21．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：.（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，求取得最大值時直線的直角坐標方程.22．（10分）在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且軸，直線交軸于點，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，且滿足，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù)，逐個選項驗證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項A正確；對于選項B：，正確；對于選項C：，故C不正確；對于選項D：，正確.選C.【點睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析，題目較為簡單.2、B【解析】

首先求出基本事件總數(shù)，則事件“恰好不同時包含字母，，”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母，，”，記事件“恰好不同時包含字母，，”為，利用對立事件的概率公式計算可得；【詳解】解：從9個球中摸出3個球，則基本事件總數(shù)為（個），則事件“恰好不同時包含字母，，”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母，，”記事件“恰好不同時包含字母，，”為，則.故選：B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了排列組合的知識，解答的關(guān)鍵在于正確理解題意，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過累加法求解即可．【詳解】數(shù)列滿足：，，可得以上各式相加可得：，故選：．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列累加法以及通項公式的求法，考查計算能力．4、B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為，所以，故，解得，又切線過點，所以，解得，所以，故選：B【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.5、B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．6、D【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項．【詳解】解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，，．，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：．【點睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題．7、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．8、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則，直接計算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】

轉(zhuǎn)化，為，利用復(fù)數(shù)的除法化簡，即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足：所以故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

連接，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.【詳解】連接，則，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.11、B【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)恰有三個零點，即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，則或，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以0或是函數(shù)y的極值點，函數(shù)的極值為：，函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是：.故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點個數(shù)的問題，難度不大.12、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用，考查計算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14、2【解析】

求出焦點到漸近線的距離就可得到的等式，從而可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，由得，∴，，∴．故答案為：2.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是求出焦點到漸近線的距離，從而得出一個關(guān)于的等式．15、12821【解析】

令，求得的值.利用展開式的通項公式，求得的值.【詳解】令，得.展開式的通項公式為，當(dāng)時，為，即.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數(shù)有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運用表示出，即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接，如下圖所示：設(shè)球心為,則當(dāng)弦的長度最大時，為球的直徑，由向量線性運算可知正方體的棱長為2，則球的半徑為1，，所以，而所以，即故答案為：.【點睛】本題考查了空間向量線性運算與數(shù)量積的運算，正方體內(nèi)切球性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】試題分析：（1）討論三種情況去絕對值符號，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，，所以，因為，要證，只需證，即證，只需證即可得結(jié)果.試題解析：（1）去絕對值符號，可得所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．（2）由（1）知，，所以．因為，所以要證，只需證，即證，即證.因為，所以只需證，因為，∴成立，所以解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy設(shè)：證明：x+y-2xy==令，∴原式====當(dāng)時，18、（1）；（2）.【解析】

（1）過作的垂線，垂足為，易得，進一步可得；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可.【詳解】（1）如圖，過作的垂線，垂足為，在直角中，，，所以，同理，.（2）設(shè)，則，令，則，即.設(shè)，且，則當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值，所以.因為，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道中檔題.19、（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

當(dāng)時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，計算即為導(dǎo)函數(shù)的零點；

當(dāng)時，分類討論x的范圍，可令新函數(shù)，計算新函數(shù)的最值可證明．【詳解】(1)的定義域為當(dāng)時，，，易知為上的增函數(shù)，又，所以是的唯一零點；(2)證明：當(dāng)時，，①若，則，所以成立，②若，設(shè)，則，令，則，因為，所以，從而在上單調(diào)遞增，所以，即，在上單調(diào)遞增；所以，即，故.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性，零點的求法．注意分類討論和構(gòu)造新函數(shù)求函數(shù)的最值的應(yīng)用．20、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）由進行變換，得到，兩邊開方并化簡，證得不等式成立.（2）將化為，然后利用基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1），兩邊加上得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴.（2）.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【點睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21、（1）曲線，曲線.（2）.【解析】

（1）用和消去參數(shù)即得的極坐標方程；將兩邊同時乘以，然后由解得直角坐標方程.（2）過極點的直線的參數(shù)方程為，代入到和：中，表示出即可求解.【詳解】解：由和，得，化簡得故：將兩邊同時乘以，得因為，所以得的直角坐標方程.（2）設(shè)直線的極坐標方程由，得，由，得故當(dāng)時，取得最大值此時直線的極坐標方程為：，其直角坐標方程為：.【點睛】考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程