備考2022屆中考數(shù)學(xué)全國題匯編3+解直角三角形及應(yīng)用

備考2022屆中考數(shù)學(xué)全國精選題匯編專題3解直角三角形及應(yīng)用

數(shù)學(xué)考試

注意事項：

1、填寫答題卡的內(nèi)容用2B鉛筆填寫

2、提前xx分鐘收取答題卡

第回卷客觀題

第0卷的注釋

閱卷入

一、單選題（共3題；共6分）

得分

1.（2分）（2021?貴州）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,

使點B落在點B的位置，連接BB,，過點D作DE,BB',交BB'的延長線于點E,則BE

的長為（）

A.V3-1B.2V3-2C.|V3D.

【答案】A

【解析】【解答】設(shè)BE,CD交于點F,

由題意：AB=AB',Z.BAB'=60°

ABB'是等邊三角形

乙ABB'=60°

四邊形ABCD為正方形

Z.ABC="=90°

.?.ZCBF=90°-60o=30°,

DE±BB'

??.Z.E=90°

又vZ.DFE=Z.CFB

???Z.EDF=Z.CBF=30°

設(shè)EF=x

EFEF今

則DnFc=^ZEDF-=—=2EF=2X

2

FC=DC-DF=2-2x

FC

BF=-----TTFTF=2FC=4—4%

sin乙CBF

BE=BF+EF=4—3%

B1E=BE-BBr=4-3x-2=2-3x

FC_V3

tanzCBF=BC=~3

2—2%-/3

~2~=~3

解得：x=l-^

:.B'E=2—3x(1—)=yf3—1

故答案為：A

【分析】設(shè)BE,CD交于點F,證明△ABB'是等邊三角形，可得NABB'=60。，利用正方形的性

質(zhì)求出/CBF=30。，利用三角形內(nèi)角和可求出NEDF=NCBF=30。，設(shè)EF=X,利用解直角三角形

求出DF、FC、BF,從而求出BE,B'E,利用tanzCBF=琳=*建立方程，求出x值即可求出結(jié)

DC3

論.

2.（2分）（2021?畢節(jié)）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD.其中AD//BC,^ABC=45°,

^DCB=30°,斜坡AB長8m.則斜坡CD的長為（）

D

A.6\[2mB.8y[2mC.心底mD.V3m

【答案】B

【解析】【解答】解：過點A作AELBC于點E,過D作DFLBC于點F,

,.,AD//BC

/.^DAE4-/.AEF=180°

/.Z.DAE=90°

...則四邊形AEFD是矩形,

DF=AE

在RtAABE中，AB=8,^ABC=45°

?*,AE=8cos45°=8x苧=4am

?'?DF=4V2zn

在RtACDF中，DF=4V2m,zBCD=30°

?*-CD=2DF=8V2m

故答案為：B.

【分析】過點A作AELBC于點E,過D作DFLBC于點F,證明四邊形AEFD是矩形，可得

DF=AE,在RtAABE中，利用AE=AB-cos/ABC,求出AE即得DF,在RtACDF中，ABCD=

30°,可得CO=2DF,據(jù)此即得結(jié)論.

3.（2分）（2021?玉林）如圖，4ABC底邊BC上的高為比，△PQR底邊QR上的高為h2,

則有（）

5

5

/55。入nsy

BCQR

A.h1=九2B.九1Vh2

C.h1>h2D.以上都有可能

【答案】A

【解析】【解答】解：分別過點A作AELBC于點E,PFJ_QR于點F,如圖所示,

由題意得：AE=hltPF=h2fAC=5,PR=5,4PRQ=125。/。=55°,

???乙PRF=55°,

，zC=Z.PRF=55°,

AE='=AC?sinzC=5-sin55。，PF=h2=PR-sin^PRF=5?sin55°,

=出；

故答案為：A.

【分析】分別過點A作AE±BC于點E,PF±QR于點F,可得AE=h1=AC-sinzC=

5sin55°,PF=電=PR?sin乙PRF=5sin55°,可得結(jié)果.

閱卷入

二、填空題（共3題；共4分）

得分

4.（1分）（2021?南通）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處,

它沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45。方向上的B處，此時B處與燈塔P

的距離為海里（結(jié)果保留根號）.

【答案】25V6

【解析】【解答】解：如圖，作PC_LAB于點C,

在RSAPC中，AP=50海里，ZAPC=90°-60°=30°,

，AC=^AP=25海里，PC=<502-252=2573海里，

在RtAPCB中，PC=25遍海里，ZBPC=90°-45°=45°,

，PC=BC=25V3海里，

,PB=J(25V3)2+(25V3)2=25V6海里，

故答案為：25V6.

【分析】如圖，作PCJ_AB于點C,在RtAAPC中，求出/APC=9()o-60o=30。，WAC=\AP=

25海里，由勾股定理求出PC=25百海里，由于△PCB為等腰直角三角形，可得PC=BC=258海

里，利用勾股定理求出PB即可.

5.(1分)(2021?婁底)高速公路上有一種標(biāo)線叫縱向減速標(biāo)線，外號叫魚骨線，作用是為了提醒駕

駛員在開車時減速慢行.如圖，用平行四邊形ABCD表示一個“魚骨”，AB平行于車輛前行方向，

BE1AB.^CBE=a,過B作4。的垂線，垂足為A(A點的視覺錯覺點)，若sina=

0.05MB=300mm,則44'=mm.

【答案】15

【解析】【解答】解：如圖所示，

VAB1AD且四邊形ABCD為平行四邊形，

AB1BC，/-A'BC=Z.ABC4-Z.A'BA=90°,

又：BELAB,

?*.^ABE=^ABC+za=90°,

Z.A'BA=Z.a,

I

?AA

**sinZ-ArBA=sina==0.05，

又「AB=300mm,

???AA!=AB-sin^ArBA=300x0.05=15mm.

故答案為：15.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求出乙4'BA=za,由于sin/4B4=sina=M=0.05,即可求

AB

出結(jié)論.

6.（2分）（2021?衢州）圖1是某折疊式靠背椅實物圖，圖2是椅子打開時的側(cè)面示意圖，椅面CE

與地面平行，支撐桿AD,BC可繞連接點O轉(zhuǎn)動，且OA=OB,椅面底部有一根可以繞點H轉(zhuǎn)動

的連桿HD,點H是CD的中點，F(xiàn)A,EB均與地面垂直，測得FA=54cm,EB=45cm,

AB=48cm.

G

圖1圖2圖3

（1）（1分）椅面CE的長度為cm.

（2）（1分）如圖3,椅子折疊時;連桿HD繞著支點H帶動支撐桿AD,BC轉(zhuǎn)動合攏，椅面和

連桿夾角乙CHD的度數(shù)達(dá)到最小值30。時，A,B兩點間的距離為cm（結(jié)果精確到

0.1cm）.（參考數(shù)據(jù)：sinl5°?0.26,cosl5°?0.97,tanl5°?0.27）

【答案】（1）40

（2）12.5

【解析】【解答］解：（1）過點C作CM垂直AF,垂足為M,

圖2

?.?椅面CE與地面平行，

AMFCAFB,

.CM_FM_FA-EBCM_54-45

*'FA48-54

解得：CM=8cm,

?.CE=AB-CM=48-8=40cm；

故答案為：40；

(2)在圖2中，

,/OA=OB,椅面CE與地面平行，

，乙BCE=LADM,

AM=BE,Z.AMD=乙BEC=90°,

??△AMD=△BEC,

???DM=CE,

?\MC=ED=Bcm，

CD=48—8—8=32cm,

?；H是CD的中點，

CH=HD="D=16

???椅面CE與地面平行，

*'?△CODBOA,

?CO_CD_32_2

?*BO=AB=48=39

圖3中，過H點作CD的垂線，垂足為N,

圖3

CH=HD=3CD=16,"HD=30°,

，乙CHN=乙DHN=15°,

CD=2CWsinl5°=8.32cm,

.CO_CD2_8.32

,,OB=AB^3=~AB'

解得：AB=12.48x12.5cm，

故答案為：12.5.

【分析】（1）過點C作CM垂直AF,垂足為M,利用椅面CE與地面平行，可證得

△MFC^AAFB,利用相似三角形的性質(zhì)可求出CM的值，利用CE=AB-CM,可求出CE的長.

（2）利用AAS可證得△AMD四△BEC,利用全等三角形的性質(zhì)，可證得DM=CE,MC=ED=8,同

時可求出CD的長；再利用線段中點的定義求出CH的長；然后證明ACODs^BOA,利用相似三

角形的性質(zhì)可求出CO與BO的比值；圖3中，過H點作CD的垂線，垂足為N,利用解直角三角

形求出CD的長，由此可求出AB的長.

第回卷主觀題

第0卷的注釋

閱卷人

三、解答題供16題；共80分）

得分

7.(5分)(2021?泰州)如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角a=30。的斜坡AB步

行50nl至山坡B處，乘直立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道CD至山頂D處，

此時觀測C處的俯角為19°30\索道CD看作在一條直線上.求山頂D的高度.(精確到1m,

【答案】解：過點C作CELDG于E,CB的延長線交AG于F,設(shè)山頂?shù)乃诰€段為DG,如圖所

不

在RtABAF中，a=30。，AB=50m

則BF=AB-sina=50x方=25(m)

?.CF=BC+BF=30+25=55(m)

在RSDCE中，ZDCE=19°30',CD=180m

，DE=CD?sin^DCE?180x0.33?59(m)

???四邊形CFGE是矩形

.*.EG=CF

；.DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)

即山頂D的高度為114m.

【解析】【分析】過點C作CEDG于E,CB的延長線交AG于F,設(shè)山頂?shù)乃诰€段為DG,在

RtBAF中，可求出BF=AB.sina=25(m),從而可得CF=BC+BF=55m,在RtDDCE中，可求

出DE=CDsinNDCE之

59m,由矩形的性質(zhì)可得EG=CF,利用DG=DE+EG=DE+CF即可求出結(jié)論.

8.(5分)(2021?湘西)有詩云：東山雨霽畫屏開，風(fēng)卷松聲入耳來.一座樓閣鎮(zhèn)四方，團結(jié)一心建家

鄉(xiāng).1987年為慶祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公園內(nèi)修建了一座三層樓高的“一

心閣”民族團結(jié)樓閣.芙蓉學(xué)校數(shù)學(xué)實踐活動小組為測量“一心閣”CH的高度，在樓前的平地上A

處，觀測到樓頂C處的仰角為30。，在平地上B處觀測到樓頂C處的仰角為45。，并測得A、

B兩處相距20m,求“一心閣”CH的高度.（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,

V3=1.73）

【答案】解：由題意得：Z-CHA=90°,zCB//=45°,z/l=30°,AB=20m,

.\CH=BH,

設(shè)CH=BH=xm,則有AH=（20+x）m,

CH=AH-tan30°,即x=^（20+x），

解得：x?27.5,

CH=27.5m.

【解析】【分析】由題意得CH=BH,設(shè)CH=BH=xm,則有AH=（20+x）m,由CH=AH-tan30°

列出方程，求出x值即可.

9.（5分）（2021?南縣）“2021湖南紅色文化旅游節(jié)--重走青年毛澤東游學(xué)社會調(diào)查之路”啟動儀式

于4月29日在安化縣梅城鎮(zhèn)舉行，該鎮(zhèn)南面山坡上有一座寶塔，一群愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生在研學(xué)之余對

該寶塔的高度進行了測量.如圖所示，在山坡上的A點測得塔底B的仰角NBAC=13。，塔頂D的仰

角NDAC=38。，斜坡AB=50米，求寶塔BD的高（精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sinl30~0.22,cosl3°?0.97,tanl3°?0.23,sin38°~0.62,cos38°~0.79,tan38°~0.78）

【答案】解：在RSABC中，sin/BAC=器,cosZBAC=,

BC=AB?sinZBAC=AB?sin13°~50x0.22=11（米）；

AC=AB?cosZBAC=AB?cosl3°=50x0.97=48.5（米）；

在RSADC中，tanZDAC=%，

.,.CD=AC?tanZDAC=AC?tan38°~48.5x0.78-37.83（米）；

ABD=CD-BC?37.83-11=26.83-27（米），

答：寶塔BD的高約為27米.

【解析】【分析】首先在RtABC中，利用三角函數(shù)的概念可得BC、AC的值，然后在R14ADC中，

利用三角函數(shù)的概念求出CD的值，接下來根據(jù)BD=CD-BC計算即可.

10.（5分）（2021?襄陽）如圖，建筑物BC上有一旗桿AB,從與BC相距20m的D處觀測旗

桿項部4的仰角為52。，觀測旗桿底部B的仰角為45。，求旗桿AB的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后

一位.參考數(shù)據(jù)：sin52°?0.79,cos52°?0.62,tan52°?1.28,\[2?1.41）.

【答案】解：在Rt△BCD中，：tan^BDC=,

BC=CD-tanz.BDC=20xtan45°=20m,

.,AC

在Rt△ACD中，tanZ-ADC=>

AC=CD-tan乙4DC=20xtan52°?20x1.28=25.6m.

AB—AC—BC—5.6m.

答：旗桿AB的高度約為5.6m.

【解析】【分析】在RtABCD中，利用解直角三角形求出BC的長，在RtAACD中，利用解直角三

角形求出AC的長；然后根據(jù)AB=AC-BC,可求出AB的長.

11.（5分）（2021?郴州）如圖，莽山五指峰景區(qū)新建了一座垂直觀光電梯.某測繪興趣小組為測算電梯

AC的高度，測得斜坡AB=105米，坡度i=l：2,在B處測得電梯頂端C的仰角a=45。，求觀光

電梯AC的高度.

（參考數(shù)據(jù)：yj2~1.41,V3~1.73,22.24.結(jié)果精確到0.1米）

莽山五指峰景區(qū)摩天嶺垂直電梯

【答案】解：過B作BM，水平地面于M,BNLAC于N,如圖所示:

則四邊形AMBN是矩形，

，AN=BM,BN=MA,

?.?斜坡AB=105米，坡度i=l：2=,

.?.設(shè)BM=x米，則AM=2x米，

，AB=>JBM2+AM2=Jx2+（2x）2=V5x=105,

.'.x=21V5,

，AN=BM=21V5（米），BN=AM=42V5（米），

在RtABCN中，NCBN=a=45。，

/.△BCN是等腰直角三角形，

.\AN=BN=42V5（米），

；.AC=AN+CN=21V5+42V5=63V5-141.1（米）,

答：觀光電梯AC的高度約為141.1米.

【解析】【分析】過B作BM冰平地面于M,BNAC于N,則四邊形AMBN是矩形，得至AN=

BM,BN=MA,由坡度可設(shè)8乂=*米，則AM=2x米，根據(jù)勾股定理以及AB的值可得X,進而

得到AN、BN,易知△BCN是等腰直角三角形，則AN=BN,然后根據(jù)AC=AN+CN進行計算.

12.（5分）（2021?張家界）張家界大峽谷玻璃橋是我市又一聞名中外的五星景點.某校初三年級在一次

研學(xué)活動中，數(shù)學(xué)研學(xué)小組設(shè)計以下方案測量橋的高度.如圖，在橋面正下方的谷底選一觀測點

A,觀測到橋面B,C的仰角分別為30。,60。，測得BC長為32。米，求觀測點A到橋面BC

的距離.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：遮“1.73）

A

由圖可知：48=30。,AM〃CD

.?.NB=NBAM=30。，ZDCA=ZCAM=60°

，Z.CAB=/-CAM-/.BAM=60°-30°=30°

乙B=LBAC

CA^CB=320m

在RtMC。中，Z.DCA=60°

?,sin/-DCA=,即sinZ.60°=22n

AO=孚x320p竽x3202277（米）

答.觀測點A到橋面BC的距離是277米.

【解析】【分析】過點4作AD_LBC交BC的延長線于點D,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

B=BAM=30°,DCA=CAM=60°,從而求出NC/B=—zB4M=30。，即得/B=/BAC,

由等角對等邊可得CA=CB=320,在Rt△ACD中，由sin/DC力=空求出AD即可.

13.（5分）（2021?內(nèi)江）在一次課外活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹CD的高度.如圖所示，測

得斜坡BE的坡度i=1:4,坡底AE的長為8米，在B處測得樹CD頂部D的仰角為

30。，在E處測得樹CD頂部D的仰角為60°,求樹高CD.（結(jié)果保留根號）

【答案】解：作BFJ.CC于點P,設(shè)。尸=x米,

在RtADBF中，tanzDFF=,

???第4且AE=8

???AB=2

：.CF=AB=2

在直角ADCE中，DC=%4-CF=(2+x)米,

在直角ADCE中，tan"EC=^，

???EC=點焉=坐。+2)米-

,：BF-CE=AE,即V3x-^(x+2)=8.

解得：x=4-\/3+1，

則CD=4V3+1+2=(4V5+3)米.

答：CD的高度是(4V3+3)米.

【解析】【分析】過點B作BF_LDC于點F,設(shè)DF=x米，利用解直角三角形表示出BF的長，再根

據(jù)AB與AE的比值可求出AB的長，再表示出DC的長；再利用解直角三角形表示出EC的長，根

據(jù)BF-CE=AE,建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到CD的長.

14.（5分）（2021?威海）在一次測量物體高度的數(shù)學(xué)實踐活動中，小明從一條筆直公路上選擇三盞高

度相同的路燈進行測量.如圖，他先在點8處安置測傾器，于點A處測得路燈MN頂端的仰角為

10°,再沿8N方向前進10米，到達(dá)點。處，于點C處測得路燈PQ頂端的仰角為27。.若測傾

器的高度為L2米，每相鄰兩根燈柱之間的距離相等，求路燈的高度（結(jié)果精確到0.1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sinl0°?0.17,cosl0°?0.98,tanl0°?0.18,sin270=0.45,cos27°?

由題意可得，AB=CD=EQ=FN=L2,ZPEC=ZMFA=90°,ZMAF=10°,ZPCE=27°,AC=10,

AE=BQ=EF=QN,

設(shè)路燈的高度為xm,則MN=PQ=xm,MF=PE=x?1.2,

在Rt^AFM中，ZMAF=10°,MF=x-1.2,tanZMAF=瞽,

0x—1.2

tanlOFA

x—1.2

??FAtanlO0

1x—1.2_x-1.2

???AE=^AF=

tanlO0—2tanl00'

.,.CE=AE-AC=送襦一口

在RfCEP中，/PCE=27°,CE=益一10,tan"CE=住，

x-12

?tan27°=y.7

2tanl0°

解得x=13.4,

.??路燈的高度為13.4m.

答:路燈的高度為13.4m.

【解析】【分析】根據(jù)題意，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，計算得到答案即可。

15.（5分）（2021?銅仁）如圖，在一座山的前方有一棟住宅，已知山高AB=120m,樓高CD=

99m,某天上午9時太陽光線從山頂點A處照射到住宅的點E外.在點4處測得點E的俯角

AEAM=45°,上午10時太陽光線從山頂點A處照射到住宅點F處，在點A處測得點F的俯

角LFAM=60°,已知每層樓的高度為3m,EF=40m,問：以當(dāng)天測量數(shù)據(jù)為依據(jù)，不考慮季

節(jié)天氣變化，至少要買該住宅的第幾層樓，才能使上午10時太陽光線照射到該層樓的外墻？

（V3?1.73）

【答案】解：設(shè)FD=x,貝I」ME=AB-EF-FD=12040-x=80-x,

VZEAM=45°,MA_LCM,

...△EAM為等腰直角三角形，其三邊之比為1：1：V2,

?.AM=ME=80-x,

VZFAM=60°,MA1MF,

.?.△AMF為30。,60°,90。直角三角形，

tan/FAM=tan600==V3，

MF=\[3AM=>/3(80-x),

又MF=MD-DF=AB-DF=120-x,

V3(80-x)=120-x,

解得x=60-20V3?25.4米，

???每層樓的高度為3米，

,25.4+3=8,47>8,

答：至少要買該住宅的第9層樓，才能使上午10時太陽光線照射到該層樓的外墻.

【解析】【分析】設(shè)FD=x，則ME=AB-EF-FD=120-40-x=80-x,可求出IEAM為等腰直角三角形，從

而得出AM=ME=80-x,可求出AMF為直角三角形且MFA=30°,可求出MF=V5AM=6（80-

x）,由于MF=M。一。尸=4B-CP=120—%,據(jù)此建立方程，求出x值，再除以每層樓的高度

3米，將結(jié)果與8米進行比較即可.

16.（5分）（2021?宿遷）一架無人機沿水平直線飛行進行測繪工作，在點P處測得正前方水平地面上

某建筑物AB的頂端A的俯角為30。，面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端B的俯角為

45°,己知建筑物AB的高為3米，求無人機飛行的高度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：V2=

1.414,V3?=1.732).

【答案】解：如圖，延長PQ,BA,相交于點E,

///////////////Btill

由題意可得：ABJ_PQ,NE=90。,

又?.?NBQE=45°,

；.BE=QE,

設(shè)BE=QE=x,

VPQ=5,AB=3,

PE=x+5,AE=x—3,

ZE=90°,

.".sinZAPE=囂，

VZAPE=30°,

.,.tan300=噂，

x+53

解得：x=4V3+7R4,

答：無人機飛行的高度約為14米.

【解析】【分析】延長PQ,BA,相交于點E,由BQE=45°可得BE=QE,設(shè)BE=QE=x,可

得PE=5+x,AE=x-3,由APE=30°,可得tan30°===烏可得結(jié)果.

%+53

17.（5分）（2021?朝陽）一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高，在G處放置一個小

平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在尸點時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時測得尸G=

3m,這位同學(xué)向古樹方向前進了9m后到達(dá)點。在。處安置一高度為1m的測角儀CD,此時測得

樹頂A的仰角為30。，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF=1.5m,點B,D,G,尸在同一水平直

線上，且43,CD,￡尸均垂直于8尸，求這棵古樹A8的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結(jié)

果保留根號）

則CH=BD,BH=CD=lm,

由題意得：DF=9m,

，DG=DF-FG=6(m),

在RtAACH中，ZACH=30°,

VtanZACH=得=tan300=孚，

；.BD=CH=V3AH,

VEF1FB,AB±FB,

.,.ZEFG=ZABG=90°.

由反射角等于入射角得NEGF=ZAGB,

/.△EFG^AABG,

.EF_FG

,,AB=BG'

pn_3

即AH+1-73/1H+6，

解得：AH=（8+4V3）m,

，AB=AH+BH=（9+4通）m,

即這棵古樹的高AB為（9+4V3）m.

【解析】【分析】如圖，過點C作CHAB于點H,則CH=BD,BH=CD=1m,由銳角三角函數(shù)定義

求出BD=CH=V3AH,再證明EFGABG,得到喋=煞，求出AH=（8+4遍）m,即可求

ADDU

解。

18.（5分）（2021?綏化）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實

線所示，底座為△ABC，點B、C、D在同一條直線上，測得乙4cB=90。,乙4BC=60。,48=

32cm,/.BDE=75°，其中一段支撐桿CD=84cm,另一段支撐桿DE=70cm,求支撐桿上

的點E到水平地面的距離EF是多少？（用四舍五入法對結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sinl5。*

0.26,cosl5°?0.97,tanl5°?0.27,8?1.732）

【答案】解：過。作DM_LEF交于M,過。作DN_LB4交BA延長線于N,如下圖所

示：

〉

在RtABC中，Z.ABC=60°tAB=32,

由30。所對直角邊等于斜邊的一半可知，BC=16,

vDC=84,

???BD=BC+DC=100,

vZF=90°,zDMF=90°,

/.DM//FN,

???乙MDB=Z.ABC=60°,

在Rt△BDN中：sinzDB/V=sin60°=,代入數(shù)據(jù)：

/o

ON=寫x100=50V3，

vzF=NN=Z.DMF=90,

，四邊形MFND是矩形，

DN=MF=50>/3,

???乙BDE=75°,/,MDB=60°,

乙EDM=75°-60°=15°,

又已知DE=70,

在Rt△DME中：sinzEDM=，

???ME=sinz.EDMxDE=sinl5°xDE=0.26x70?18.2,

???EF=ME+MF=50g+18.2=104.8=105(cm),

故點E到水平地面的距離EF約為105cm.

【解析】【分析】首先證明四邊形FMDN為矩形，即可得到MF=DN,在直角三角形BDN中求出DN

的長度，在直角三角形MED中求出EM的長度，將EM和MF相加即可。

19.（5分）（2021?丹東）如圖，一架無人機在空中A處觀測到山頂B的仰角為36.87°,山頂B在水

中的倒影C的俯角為63.44°,此時無人機距水面的距離AD=50米，求點8到水面距離BM的

高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin36.87°?0.60,cos36.87°?0.80,tan36.87°?0.75,sin63.44°?

0.89,cos63.44°?0.45,tan63.44°?2.00)

B

-紅。

:'“63.44。

DM

【答案】解：過點A作4HJ.BM交于點H,由題意可得：AO=HM=50

B

H

：\/63.44°

DM

設(shè)BM=%,貝I]MC=BM=x

,/BH=BM-HM

ew=%-50

.,RH4

???在Rt△ABH中，AH=,）

tan36.8703、-50J

???HC=HM+MC

，HC=50+x

.?.在RtAAHC中，AH=,鴕4。?

tan63.44°2

?4/G50+%

??3（%-50）=-^—

解得x=110

即BM=110

【解析】【分析】過點A作AHJ.BM交于點H,由題意可得AC=HM=50,設(shè)BM=%，則

MC=BM=x,BH=x-50,在Rt△ABH中，AH=「察―，在RtaAHC中，

tan36.87°

4'=線根據(jù)AH=AH列出方程，解之即可，

tan63.44

20.（5分）（2021?常德）今年是建黨100周年，學(xué)校新裝了國旗旗桿（如圖所示），星期一該校全體

學(xué)生在國旗前舉行了升旗儀式.儀式結(jié)束后，站在國旗正前方的小明在A處測得國旗D處的仰角為

45°,站在同一隊列B處的小剛測得國旗C處的仰角為23。，已知小明目高AE=1.4米，距旗桿

CG的距離為15.8米，小剛目高BF=1.8米，距小明24.2米，求國旗的寬度CD是多少米？（最

后結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin23°?0.3907,cos23°*0.9205,tan23°?0.4245）

【答案】解：由題意得，四邊形GAEM、GBFN是矩形，

，ME=GA=15.8（米），F(xiàn)N=GB=GA+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=1.4（米），NG=BF=1.8

（米），

在RtADME中，"ME=90。//）5尸=45°

，/.EDM=45°

DM=ME=15.8（米）,

/.DG=DM+MG=15.8+1.4=17.2（米）；

在RIACNF中，乙CNF=90°/CFN=23°

tan23°=器，即CN=FN-tan23°=40x0.4245?17.0（米），

，CG=CN+NG=17.0+1.8=18.8（米），

/.CD=CG-DG18.8-17.2=1.6（米）

答：國旗的寬度CD是1.6米。

【解析】【分析】易證四邊形GAEM、GBFN是矩形，利用矩形的性質(zhì)可求出相關(guān)線段的長，可證得

△DME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出DM的長，即可求出DG的長；在

RSCNF中，利用解直角三角形求出CN的長，然后根據(jù)CG=CN+NG,求出CG的長；利用

CD=CG-DG,即可求出CD的長.

21.（5分）（2021?懷化）政府將要在某學(xué)校大樓前修一座大橋.如圖，宋老師測得大樓的高是20米，

大樓的底部D處與將要修的大橋BC位于同一水平線上，宋老師又上到樓頂A處測得B和C的俯角

4EAB，Z.EAC分別為67°和22。，宋老師說現(xiàn)在我能算出將要修的大橋BC的長了.同學(xué)們：你

知道宋老師是怎么算的嗎？請寫出計算過程（結(jié)果精確到0.1米）.其中sin67°x—,cos67°?

5I?3152

Q，tan67°x二,sin22°、石，cos22°=隹，tan22°?三

YJL3boJL。-

口加工、E

□\'”、、、一

20m_______、

Q7Tsec

【答案】解：如圖，：AE〃DB,

Ap------------------------------------E

D?C

.?.NABD=67°,NACD=22°,

VtanZABD=第，tanZACD=煞，

DDDC

20r20

.'.DB=F"=9今，DC=-=50,

T35

/.BC=DC-DB=50-孕匈.7（米）

【解析】【分析】由題意可得到/ABD和NACD的度數(shù)，再利用解直角三角形求出DB,DC的長；

然后根據(jù)BC=DC-DB,即可求出BC的長.

22.（5分）（202L南京）如圖，為了測量河對岸兩點A,B之間的距離，在河岸這邊取點C,D.測得

CD=80m,乙ACD=90°,乙BCD=45°,Z.ADC=19°17,,乙BDC=56°19',設(shè)A,B,

C,D在同一平面內(nèi)，求A,B兩點之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：tanl9oi7,20.35,tan56oi9,々

1.50.）

【答案】解：如圖，作BEJ_CD于E,作BFLCA交CA延長線于F.

,//FCD=90°,

.??四邊形CEBF是矩形，

VBE±CD,ABCD=45°,

.,.ZBCE=ZCBE=45°,

.\CE=BE,

二矩形CEBF是正方形.

設(shè)CE=BE=xm,

在RSBDE中，

BEx2

度=麗旃=藐石］/m,

CD=80m,

%4-o%=80,

解得x=48,

ACE=BE=48m,

???四邊形CEBF是正方形，

/.CF=BF=48m,

?.,在RtAACD中，AC=CD-tanz.XDC=80xtanl9017,#80x0.35=28m,

，AF=CF-AC=20m,

.?.在RtAABF中，AB=>JAF2+BF2=V202+482=52m,

AA,B兩點之間的距離是52m.

【解析】【分析】作BELCD于E,作BFLCA交CA延長線于F,易證矩形CEBF是正方形；設(shè)

CE=BE=xm,在RtABDE中，利用解直角三角形可表示出DE的長，根據(jù)CD=80建立關(guān)于x的方

程，解方程求出x的值，可得到CF的長；然后在RSACD中，利用解直角三角形求出AC的長，

根據(jù)AF=CF-AC,可求出AF的長；利用勾股定理求出AB的長.

閱卷入

四、綜合題（共8題；共80分）

得分

23.（10分）（2021?徐州）如圖，斜坡AB的坡角^BAC=13°,計劃在該坡面上安裝兩排平行的光

伏板.前排光伏板的一端位于點A,過其另一端D安裝支架DE,DE所在的直線垂直于水平線

AC,垂足為點F.E為DF與力B的交點.已知AD=100cm,前排光伏板的坡角WAC=28。.

參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,V3?1.73,76?2.45

三角函數(shù)銳角A13°28°32°

sinA0.220.470.53

cosi40.970.880.85

tanA0.230.530.62

（1）（5分）求力E的長（結(jié)果取整數(shù)）；

（2）（5分）冬至日正午，經(jīng)過點D的太陽光線與AC所成的角NCG4=32。.后排光伏板的前

端H在AB上.此時，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影響，則EH的最小值為多少（結(jié)

果取整數(shù)）？

【答案】（1）解：在RtAADF中，cos^DAF=

AF=ADcosZ.DAF

=100xcos28°

=100x0.88

二88cm

,.,Al?

在RtAAEF中，cosZ-EAF=詬

?AF8888

?,AE='^ZEAF=^135=0^7x91cm

（2）解：設(shè)DG交AB一直在點M,作ANLGD延長線于點N,如圖，

則乙AMN=Z.MAC+Z.MGA

，Z.AMN=13°+32°=45°

在RtAADF中，DF=AD-sin^DAF=100xsin28°=100x0.47=47cm

在RtADFG中，第=tanzDGF=tan32°=0.62

n/7

FG=3x75.8cm

???AG=AF+FG=88+75.8=163.8cm

VAN1GD

；?ZANG=90°

AN=AGxsin32°=163.8x0.53七86.8cm

在RtAANM中，.45。=留=需

...86.8ty

?AM=-k《123.1cm

??41

T

JEM=AM-AE=123.1-91=32.1cmx32cm

EH的最小值為32cm。

【解析】【分析】（1）在RtADF中，由coszlM/7=痣求出AF,在RtAEF中，由COSN￡4F=需

求出AE即可；

（2）設(shè)DG交AB一直在點M,作ANGD延長線于點N,由三角形外角的性質(zhì)可得乙4MN=

AC+^MGA=45°,利用解直角三角形分別求出DF、FG,由AG=AF+FG求出AG,由4N=

4Gxsin32。求出AN,在RtANM中，由sin45。=特=騁求出AM,利用EM=AM-AE求出EM

AMAM

即得結(jié)論.

24.（10分）（2021?荊門）某海域有一小島P,在以P為圓心，半徑r為10（3+次）海里的圓形海域

內(nèi)有暗礁.一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測得小島P位于北偏東60°的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛

20V2海里后到達(dá)B處，此時觀測小島P位于B處北偏東45°方向上.

（1）（5分）求A,P之間的距離AP；

（2）（5分）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險？請說明理由.如果有觸礁危險，那么

海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域?

【答案】（1）解：如圖1,PC1AB,交AB的延長線于C,

由題意知：Z.PAC=30°,Z.PBC=45°.

設(shè)PC=%：則BC=%,

._PC_x_73

tan3o0no=TTT；=—7=—=~5~,

AC2072+X3

解得x=10V2(V3+1)，

經(jīng)檢驗：x=10V2(V3+l)是原方程的根，且符合題意，

PA=2x=20V6+20V2

(2)解：?.?％-「=10近(遍+1)-10遍(遍+1)=10(8+1)(魚一百)<0,

x<r.

因此海監(jiān)船繼續(xù)向東航行有觸礁危險；

設(shè)海監(jiān)船無觸礁危險的新航線為射線BD.

以P為圓心，10(3+75)為半徑作圓，過B作圓P的切線BD,交。P于點D,

...NPDB=90°,

北

由(1)得：PB=V2x,

r10(3+73)_73

**?sin乙PBD而=缶=區(qū)

???ZPBD=60°,

/.ZCBD=15°,

?,?海監(jiān)船由B處開始沿南偏東小于75°的方向航行能安全通過這一海域

【解析】【分析】（1）作PCJ.4B,交AB的延長線于C,設(shè)PC=x,BC=x,由tan30。=

PC==四

x解出值即可;

冠—20y[2+x-丁X

（2）先判斷出海監(jiān)船繼續(xù)向東航行有觸礁危險；設(shè)海監(jiān)船無觸礁危險的新航線為射線BD,以P

為圓心，10（3+73）為半徑作圓，過B作圓P的切線BD,交OP于點D,可得IPDB=9O°,

由（1）得PB=e%,可得sin/PBD=磊=竺嗡③=空，據(jù)此可得PBD=60°,由「CBD=PBD-

PBC,求出〔CBD的度數(shù)即可.

25.（10分）（2021?安順）隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步，無人機被廣泛應(yīng)用到實際生活中，小星利用無

人機來測量廣場B.C兩點之間的距離.如圖所示，小星站在廣場的B處遙控?zé)o人機，無人機在A

處距離地面的飛行高度是41.6m,此時從無人機測得廣場C處的俯角為63°,他抬頭仰視無人

機時，仰角為a，若小星的身高BE-1.6m,EA-50m（點A,E,B,C在同一平面內(nèi)）.

q\

BC

（sin63°?0.89,cos63°?0.45,tan63°*1.96,sin27°80.45,cos27°?0.89,tan27°?0.51）

（1）（5分）求仰角a的正弦值；

（2）（5分）求B,C兩點之間的距離（結(jié)果精確到1?。?

【答案】（1）解：如圖，過A點作AD_LBC于D,過E點作EFJ_AD于F,

A—

-"--r丁■■.

/：V63°

/：\

BDC

Y/EBD=ZFDB=ZDFE=90°,

四邊形BDFE為矩形,

，EF=BD,DF=BE=1.6m,

，AF=AD-DF=41.6-1.6=40（m）,

在RtAAEF中,sinZAEF=釜=第=^，即sina=g.

答：仰角a的正弦值為1。

（2）解：在RtAAEF中，EF=7502-402=30m,

在RSACD中,ZACD=63°,AD=41.6m,

VtanZACD=罌，

，