工程制圖基礎課件

制圖基本知識和技能1.1制圖的基本規(guī)定

1.1.1圖紙幅面和格式

1.圖紙幅面

2.圖框格式

3.標題欄

1.1.2比例

1.1.3字體

1.漢字

2.拉丁字母和希臘字母

3.數(shù)字

1.1.4圖線及畫法

1.圖線形式及應用

2.圖線畫法

1.1.1圖紙幅面和格式幅面代號A0A1A2A3A4B×L841×1189594×841420×594297×420210×297e2010c105a25圖紙基本幅面代號和尺寸1.圖紙幅面尺寸2.圖框格式圖框線周邊紙邊界線標題欄BL圖框格式不留裝訂邊圖框格式留裝訂邊3.標題欄國標中推薦的標題欄1801612161610101212161212165087=(56)182046.5=(26)1212(單位名稱)(圖樣名稱)(圖樣代號)重量比例階段標記共張第張工藝審核批準設計標記處數(shù)分區(qū)簽名(簽名)更改文件(簽名)(年月日)(年月日)年月日(材料標記)標準化1.1.2比例原值比例優(yōu)先使用1:1放大比例優(yōu)先使用5:12:15×10n:12×10n:11×10n:1可使用4:12.5:14×10n:12.5×10n:1縮小比例優(yōu)先使用1:21:51:101:2×10n1:5×10n1:1×10n可使用1:1.51:2.51:31:41:1.5×10n1:2.5×10n1:3×10n1:4×10n國標規(guī)定的比例比例是指圖形與其實物相應要素的線性尺寸之比1.1.3字體字體的總要求：字體端正筆畫清楚間隔均勻排列整齊字體的號數(shù)：即字體的高度，1.8，2.5，3.5，5，7，10，14，20mm。漢字：長仿宋體，字寬是字高的2/3左右。書寫要點：橫平豎直注意起落結構均勻填滿方格字母與數(shù)字示例字母與數(shù)字示例1.1.4圖線及其畫法圖線名稱圖線型式主要用途粗實線細實線波浪線雙折線虛線細點畫線粗點畫線雙點畫線4~6

1

3可見輪廓線，可見棱邊尺寸線、尺寸界線、剖面線斷裂的邊界線斷裂處的分界線不可見輪廓線，不可見棱邊對稱線、中心線有特殊要求的表面的表示線假想投影輪廓線、中斷線圖線應用舉例圖線的畫法圖線應用的正誤對比正確錯誤1.1.5尺寸注法1.基本規(guī)則

機件的真實大小應以圖樣上所注的尺寸數(shù)值為依據(jù)，與圖樣的大小及繪圖的準確度無關。圖樣中(包括技術要求和其它說明)的尺寸，以毫米為單位時，不需標注計量單位的代號或名稱；如采用其它單位,則必須注明相應的計量單位的代號或名稱。圖樣中所標注的尺寸，為該圖樣所示機件的最后完工尺寸，否則應另行說明。機件的每一尺寸，一般只標注一次，并應標注在反映該結構最清晰的圖形上。2.尺寸的組成R10Φ1875201860一個完整的尺寸由尺寸界線、尺寸線和尺寸數(shù)字組成。尺寸界線尺寸線尺寸數(shù)字1.2繪圖工具和儀器的使用圖板與丁字尺1.2.1圖板、丁字尺、三角板丁字尺的用法丁字尺的尺頭靠緊圖板導邊，上下移動畫水平線。三角板的用法三角板與丁字尺配合使用，可以畫15o整數(shù)倍的各種角度。1.2.2圓規(guī)和分規(guī)分規(guī)主要用于量取尺寸和截取線段1.2.3鉛筆

鉛筆常削成圓錐形和矩形，圓錐形用于畫細線和寫字，矩形用于繪制粗實線。1.3幾何作圖1.3.1線段的等分AB線段的5等分1.3.2圓周等分及圓內(nèi)接正多邊形FMEBGA圓內(nèi)接五邊形作圖方法作圖步驟

以N為圓心，NO為半徑畫圓弧交圓于F、G，連接FG與ON相交點M。以M為圓心過點A作圓弧，交水平直徑于H，再以A為圓心過H作圓弧，交外接圓于B、E。分別以B、E為圓心，弦長BA為半徑作圓弧，與外接圓交于點C、D；連接A、B、C、D、E五點即作出正五邊形。ONHCD1.3.3斜度和錐度αLltTDαlLd斜度：直線（或平面）相對于另一直線（或平面）的傾斜程度即（T－t）/l=T/L=tanα錐度：正圓錐底圓直徑與其高度之比。即D/L=(D-d)/l=2tanα斜度和錐度的標注及畫法αhαh1:6606020201等分6等分RRKRR2RR1

用已知半徑的圓弧光滑連接（即相切）兩已知線段（或圓?。┓Q為圓弧連接。起連接作用的圓弧稱為連接弧，切點稱為連接點。由于連接弧的半徑和被連接的兩線段已知，所以，圓弧連接的關鍵是確定連接弧的圓心和連接點。R1R2R1.3.4圓弧連接圓弧連接的基本作圖原理O圓弧連接的畫法（一）圓弧連接的畫法（二）1.4平面圖形的畫法及尺寸標注R104.1平面圖形的尺寸分析定形尺寸：是確定平面圖形中幾何要素的形狀和大小的尺寸定位尺寸：是確定平面圖形中幾何要素的位置的尺寸1.4.2平面圖形的線段分析已知線段：根據(jù)圖形中所標注的尺寸可以直接畫出的直線或曲線中間線段：除圖形所標注尺寸外還需要一個連接關系才能畫出的線段連接線段：根據(jù)兩個連接關系才能畫出的線段Φ40Φ2010308R90R35R3010901.4.3平面圖形的作圖步驟Φ19Φ1114(6)(49)80Φ14Φ26R52R30R5.5手柄的作圖步驟Φ111480Φ19Φ14Φ2652R(52-5.5)30R(50+30)1.4.4平面圖形的尺寸標注Φ40Φ2010308R90R35R301090

點、直線和平面的投影2.1投影法的基本知識

2.1.1投影法概念

2.1.2投影法的分類

2.1.3正投影法的基本性質

2.1.1投影法的概念投影面Pa

投影投射線bS

投影中心A

空間點B

將光線通過物體向選定的平面投影，并在該平面上得到物體影子的方法稱為投影法。

2.1.2投影法的分類

1.中心投影法

投射線匯交于一點。

2.平行投影法

投射線互相平行。

（1）斜投影

投射線與投影面傾斜的平行投影。

（2）正投影

投射線與投影面垂直的平行投影。1.中心投影法HS2.平行投影法----斜投影H2.平行投影法----正投影90°H

2.1.3正投影法的基本性質

1.

實形性

當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。

2.

積聚性

當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。

3.

類似性

當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。1.實形性CDEBAHabedc當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。edca（b）CDEBAH2.積聚性當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。3.類似性CDEedcBAabH當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。2.2點的投影2.2.1點在兩投影面體系中的投影2.2.2點在三投影面體系中的投影2.2.3兩點的相對位置和重影點2.2.1點在兩投影面體系中的投影5.點在其他分角的投影3.點的兩面投影圖2.兩投影面體系的建立4.兩投影面體系中點的投影規(guī)律1.點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置1.點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置HVOXa

aA2.兩投影面體系的建立XO

兩投影面體系由V面和H面二個投影面構成。V面和H面將空間分成四個分角。處在前、上側的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。正立投影面投影軸VH水平投影面3.點的兩面投影圖HVOXaAa

點的二面投影圖是將空間點向二個投影面作正投影后，將二個投影面展開在同一個面后得到的。點A的正面投影點A的水平投影XHVOa

aax兩面投影圖的畫法HHVOXa

aAax

展開時，規(guī)定V面不動，H面向下旋轉90

。用投影圖來表示空間點，其實質是在同一平面上用點在二個不同投影面上的投影來表示點的空間位置。通常不畫出投影面的范圍XOa

aax4.兩投影面體系中點的投影規(guī)律HVOXa

aAaxXOa

aax

點的V面投影與H面投影之間的連線a‘a(chǎn)垂直于投影軸0X

；點的一個投影到0X投影軸的距離等于空間點到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離，即a'ax=Aa，aax=Aa'。

2.2.2點在三投影面體系中的投影1.三投影面體系的建立2.點的三面投影圖3.點的三面投影與直角坐標的關系4.三投影面體系中點的投影規(guī)律5.特殊點的投影1.三投影面體系的建立HVXOZYW

三投影面體系由V、H、W三個投影面構成。H、V、W面將空間分成八個分角，處在前、上、左側的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。2.點的三面投影圖HVXZYWOA

點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，將三個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定V面不動，H面向下旋轉90

，W面向右旋轉90

。a

aa

Ha

aa

VWXOZYWYHa

aa

XOZYWYH通常不畫出投影面的范圍HVXZYWOayaxazxyza

aa

Ha

aa

VWXOZYWYHaxayazay3.點的三面投影與直角坐標的關系

若把三個投影面當作空間直角坐標面，投影軸當作直角坐標軸，則點的空間位置可用其（X、Y、Z）三個坐標來確定，點的投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存在著對應關系。yAxAzA4.三投影面體系中點的投影規(guī)律HVXZYWOayaxazxyza

aa

a

aa

XOZYWYHaxayazay

點的V面投影與H面投影之間的連線垂直于0X軸，即a‘a(chǎn)⊥0X；點的V面投影與W面投影之間的連線垂直0Z軸，即a’a“⊥0Z；點的H面投影到0X軸的距離及點的W面投影到0Z軸的距離兩者相等，都反映點到V面的距離。長對正高平齊寬相等5.特殊位置點的投影OXb

bc

cHVOXCc

ca

bBb

Aaa

a

投影面上的點

投影軸上的點

與原點重合的點例1

已知點A的正面與側面投影，求點A的水平投影。ZYHXYWOa

a

a2.1.3兩點的相對位置和重影點1.兩點的相對位置2.重影點XOZY1.兩點的相對位置a

a

ab

b

bBA

兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近（或坐標大?。﹣泶_定的。X坐標值大的點在左；Y坐標值大的點在前；Z坐標值大的點在上。XZYWYHOa

a

ab

bb

2.重影點cc

(d

)da(b)a

b

AB

若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。XYHZYWOc

(d)

b

a(b)a

cda

b

c

d

判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。

例2已知A點在B點的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A點的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

121062.3直線的投影

2.3.1直線的三面投影

2.3.2直線對投影面的相對位置

2.3.3直線上的點OXZY2.3.1直線的三面投影ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYYa

bb

空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。2.3.2直線對投影面的相對位置

1.投影面平行線

平行于某一投影面，與另外兩個投影面傾斜的直線

(1)

水平線

(2)

正平線

(3)

側平線

2.投影面垂直線

垂直于某一投影面的直線

(1)

鉛垂線

(2)

正垂線

(3)

側垂線

3.一般位置直線

與三個投影面都傾斜的直線

水平線

—平行于水平投影面的直線XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

OzYHYW

ba

AB投影特性：1.a

b

OX;a

b

OYW2.ab=AB3.反映

、

角的真實大小XZYO正平線—平行于正面投影面的直線

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、ab

OX;a

b

OZ2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實大小aa

b

a

b

bXZYO側平線—平行于側面投影面的直線XZOYHYWa

b

bab

a

AB投影特性：1、a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實大小aa

b

a

b

bOXZYZb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、ab

積聚成一點

2、a

b

OX;a

b

OY

3、a

b

=a

b

=AB鉛垂線—垂直于水平投影面的直線ABb

a(b)a

a

b

正垂線—垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性：1、a

b

積聚成一點

2、ab

OX;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABABzXa

b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a側垂線—垂直于側面投影面的直線OXZYAB投影特性：1、a

b

積聚成一點

2、

ab

OYH;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

bOXZY

一般位置直線ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYHYWa

bb

投影特性：1、ab、

a

b

、a

b

均小于實長

2、ab、a

b

、a

b

均傾斜于投影軸

3、不反映

、

、

實角直線上的點具有兩個特性：

1從屬性若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。

2定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=a

c

:

c

b

=a

c

:

c

b

利用這一特性，在不作側面投影的情況下，可以在側平線上找點或判斷已知點是否在側平線上。

2.3.3直線上的點ABbb

aa

XOcc

Ccb

Xa

abcc

例3已知線段AB的投影圖，試將AB分成1：2兩段，求分點C的投影。O

例4已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHVO直線的跡點XAb

aa

m

Nn

bBMmnOVHa

b

bam

mnm

XO

直線與投影面的交點稱為跡點。它是屬于直線上的特殊點，既是直線上的點又是投影面上的點。

一般位置線段在投影圖上反映不出線段的實長及對投影面的傾角。

1.幾何分析

2.作圖要領

用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對于該投影面的坐標差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。

3.直角三角形的四個要素

實長、投影長、坐標差及直線對投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。2.4一般位置線段的實長及對投影面的傾角幾何分析

|zA-zB

|ABABbb

aa

CXO

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|abO

例5已知線段的實長AB以及ab和a’，求它的正面投影a’b’。aXa

bAOBb0bb0bb0b’

b’

2.5兩直線的相對位置（1）兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。反之，若兩直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行。（2）平行兩線段之比等于其投影之比。Xb

aa

d

bbcc

ABCDXb

a

abdc

d

c1.平行兩直線OO2.相交兩直線

兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點屬于兩直線。反之，若兩直線在同一投影面上的投影相交，且交點屬于兩直線，則該兩直線相交。b

Xa

abk

c

d

dckXBDACKbb

aa

c

cdd

k

kOO3.交叉兩直線

凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。XOBDACbb

aa

c

cdd

211

(2

)21b

Xa

abc

d

dc11

(2

)2Od

a

c

b

oYWYHZXa

ac

d

dcbb

例6判斷兩直線的相對位置判斷重影點的可見性XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)43341

2

12

判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)例7判斷兩直線重影點的可見性O4.

垂直兩直線的投影AHBCacbcXb

a

c

ba

互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相平行。反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定平行。Obb

a

aOfe

ef

X例8過點A作EF線段的垂線AB。例9求點E到水平線AB的距離。XOa’b’abe’ed’dyD-yE所求距離例10作三角形ABC，

ABC為直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。b

bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCc

nm

a

aXmn

O2.6平面的投影2.6.1平面的表示法1.

幾何元素表示平面用幾何元素表示平面有五種形式：（1）不在一直線上的三個點；（2）一直線和直線外一點；（3）相交兩直線；（4）平行兩直線；（5）任意平面圖形。2.平面的跡線表示法平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面用跡線來表示是用其具有積聚性的一條邊線來表示。1.幾何元素表示法a

ab

c

bcb

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

d用幾何元素表示平面有五種形式：（1）不在一直線上的三個點；（2）一直線和直線外一點；（3）相交兩直線；（4）平行兩直線；（5）任意平面圖形。2.跡線表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW2.6.2各種位置平面的投影特性1.投影的垂直面(1)鉛垂面(2)正垂面(3)側垂面2.投影的平行面(1)水平面(2)正平面(3)側平面3.一般位置平面鉛垂面投影特性：1、

水平投影abc積聚為一條直線

2、正面投影

a

b

c

、

側面投影a

b

c

為

ABC的類似形

3、

abc與OX、OY的夾角反映

、

角的真實大小VWHPPHABCacb

a

b

a

b

bacc

c

鉛垂面跡線表示VWHPPH

PHPVPW

正垂面投影特性：1、正面投影a

b

c

積聚為一條直線

2、水平投影abc、側面投影a

b

c

是

ABC的類似形

3、a

b

c

與OX、OZ的夾角反映α、

角的真實大小VWHQQV

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B正垂面的跡線表示VWHQQVαγQV側垂面投影特性：1、側面投影a

b

c

積聚為一條直線

2、水平投影abc、正面投影a

b

c

為

ABC的類似形

3、a

b

c

與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實大小VWHSWSCa

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

側垂面的跡線表示VWHSHSZXOYHSHYαβ水平面VWHCABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

投影特性：

1.a

b

c

、a

b

c

積聚為一條線積聚為一直條線，具有積聚性

2.水平投影abc反映

ABC實形

正平面VWHc

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性：

1.abc

、a

b

c

積聚為一條直線，具有積聚性

2.正平面投影a

b

c

反映

ABC實形

側平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

投影特性：

1.abc

、a

b

c

積聚為一直條線，具有積聚性

2.側平面投影a

b

c

反映

ABC實形

一般位置平面a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB投影特性

1.abc、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形

2.不反映

、

、

的真實角度

2.6.3平面上的點和直線（1）平面上的直線

直線在平面上的幾何條件是：①通過平面上的兩點；②通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。（2）平面上的點點在平面上的幾何條件是：點在平面內(nèi)的某一直線上。在平面上取點、直線的作圖，實質上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。1.平面上取直線和點（1）

平面上取直線

取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。a

b

c

abcd

de

eABCEDFff

（2）

平面上取點ABCDEa

b

c

abcd

de

e

取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線例11已知

ABC給定一平面，（1）判斷點K是否屬于該平面。（2）已知平面上一點E的正面投影e’作出水平投影。k

ka

b

c

abcdd

e

e11

XO例12已知平面P上K點的正面投影k’，求作水平投影k。XOPVPHPXk’n’nmmk2.平面上的特殊位置直線VHPPVPH（1）平面上投影面平行線—既在平面上又平行于投影面的直線。在一個平面上對V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質，又與所屬平面保持從屬關系。水平線正平線例13a

b

c

bacm

n

nm已知

ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。例14已知點E

在

ABC平面上，且點E距離H面15，距離V面10，試求點E的投影。Xa

b

c

bacmnm

n

rsr

s

1015e

e（2）平面上投影面的最大斜度線

平面對投影面的最大斜度線必定垂直于平面上對該投影面的平行線；最大斜度線在該投影面上的投影必定垂直于平面上該投影面平行線的同面投影。

最大斜度線對投影面的角度最大。最大斜度線的幾何意義:用來測定平面對投影面的角度HPCD

aE1

S

AE例15求

ABC平面與水平投影面的夾角α

。beα

BEd

de

ea

b

c

abc例16過正平線作平面與水平投影面成60°abeff

e

eff

e

60°bbb

a

aabAB本章小結

1.熟練掌握點在第一分角中的投影規(guī)律及點的投影與該點直角坐標的關系；掌握兩點的相對位置及重影點可見性的判別。

2.熟練掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法；掌握直線上的點的投影特性及定比關系；掌握兩直線平行、相交、交叉三種相對位置的投影特性，熟練掌握用直角三角形法求一般位置直線段實長及其對投影面傾角的方法，并能靈活運用直線的實長、投影、直線與投影面傾角三者之間的關系。掌握直角的投影定理及其應用。

3.熟練掌握各種位置平面的投影特性及作圖方法,掌握平面內(nèi)的點和直線的幾何條件及作圖方法。了解平面內(nèi)投影面平行線及投影面最大斜度線的投影特性和作圖方法。

投影變換

*4.1概述

*

當直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行或垂直）時，它們的投影反映線段的實長、平面的實形及其與投影面的傾角，當它們處于垂直位置時，其中有一投影具有積聚性。當直線或平面和投影面處于一般位置時，則它們的投影就不具備上述的特性。投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以簡便地解決它們的定位和度量問題。*a

abb

a

abb

c

cdd

ba

ab

c

cdd

a

abb

c

ca

abb

兩點之間距離a

abb

c

c三角形實形a

abb

c

cdd

直線與平面的交點a

b

c

d

abcd

兩平面夾角*4.2換面法4.2.1換面法的基本概念4.2.2點的投影變換規(guī)律4.2.3直線的換面4.2.4平面的換面*

換面法就是保持空間幾何元素不動，用新的投影面替換舊的投影面，使新投影面對于空間幾何元素處于有利于解題的位置。VAHCBc

b

Xa

abcV1X1c1

b1

a1

4.2.1換面法的基本概念*VAHCBc

b

Xa

abca1

c1

b1

V1X1X1V/H

體系變?yōu)閂1/H

體系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影體系的建立*（1）新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。（2）新投影面必須垂直于原投影體系中的某一個投影面。VAHCBc

b

Xa

abcV1X1c1

b1

a1

2.新投影面的選擇原則4.2.2點的投影變換規(guī)律*1.點的一次變換VHXHX1V1a1

a

Aa**a1

a

XVHaVHXX1V1a1

V1a1

X1HV1a

Aa變換V面時點的投影作圖*2.點的投影變換規(guī)律a1

X1HV1a

XVHa（1）點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。（2）點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影軸的距離。點在V/H1體系中的投影

*VHXH1X1X1H1Va1XVHa

aa1a

Aa3.點的兩次變換*VXHa2a

aa1

XVHX1HV1V1X1X2H2V1H2X2a2a1

a

Aa*4.2.3直線的換面*1.將一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€VHXAaBb

abV1X1a1

b1

a1

b1

X1V1Hbab

a

XVH

例1把一般位置直線AB變?yōu)镠1投影面平行線

*b

a

baXHVXH1Va1b1

2.將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€*VHXa

Aab

BbH1X1X1H1Va1

b1

XVHa

aa1

b

b

3.將一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€*XHa

Aab

bBVV1X1H1a2b2a1

b1

*將一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

*a

aXb

bcc

思考題1如何求點C到直線AB的距離？XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

提示*a

aXb

bcdc

d

思考題2如何求兩直線AB與CD間的距離？XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

V提示*X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1

a1

d1

c1

11

21

21b

abdca

XVHd

c

2

1

1222

例2求兩直線AB與CD的公垂線。

H2*a

c

XVHb

bac4.2.3平面的換面VHXcba

b

CAc

Badd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1V

db1a1c1d11.將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?k1X1H1Vb1a1c1d1s1a

c

b

bacdd

ss'

例3求點S到平面ABC的距離*a

c

b

bacenk

e

nd

dX1VH1b1a1c1d1k1ke1

例4已知E到平面ABC的距離為N，求E點的正面投影e

。2.將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?HXVCAc

b

a

BX1V1c1

b1

a1

V1c1

b1

a1

X1*a1

c1

b1

X1bcab

a

c

XVHa

c

b

XX1V1c1

b1

a1

bca*a

c

XVHb

bacd

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H13.將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?/p>

*

例5已知點E在平面ABC上，距離A、B為15，求E點的投影。a

c

XVHb

bacd

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H11515ee

e1e2

本章小結*（1）掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。（2）掌握用換面法求圖形實形及其對投影面的傾角基本作圖方法。（3）掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量問題。

*一問題的提出二新投影面的選擇原則三點的換面法規(guī)律四換面法的四個基本問題

五換面法的應用

換面法*5.2換面法一問題的提出

如何求一般位置直線的實長？

如何求平面的真實大?。拷鉀Q方法：更換投影面

換面法：物體本身在空間的位置不動,更換投影面,使幾何元素相對新的投影面處于特殊位置，使解題簡化。

平行于新的投影面

垂直于新的投影面*ABaba'b'HV二新投影面的選擇原則1.新投影面必須對空間物體處于最有利的解題位置2.新投影面必須垂直于一個原投影面

平行于新的投影面

垂直于新的投影面P1a1b1*HAa'V

axa

xP1x1⒈點的一次換面

舊投影體系

VHX—

新投影體系P1HX1—A點的兩個投影：a，a'A點的兩個投影：a，a1⑴新投影體系的建立三點的換面法規(guī)律

VHxP1Hx1a'aa1

a1ax1*⑵新舊投影之間的關系

aa1

X1

a'ax=a1ax1一般規(guī)律：

點的新投影和它有關的原投影的連線必垂直于新投影軸。

點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。

VHXP1HX1a'aa1axax1HAa'V

axa

xP1x1

a1ax1*⑶求新投影的作圖方法

VHXP1HX1

由點的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。a

a1a'

XVHaa'X1P1V

a1axaxax1ax1更換V面更換H面*HAa'V

ax

a

x⒉點的二次換面先把V面換成平面P1，P1H，得到中間投影體系P1HX1—再把H面換成平面P2，P2

P1，得到新投影體系P1P2X2—⑴新投影體系的建立按次序更換P1x1a1ax1

X2P2a2ax2

*⑵點的二次換面作圖X1HP1X2P1P2

作圖規(guī)則

a2a1

X2

軸

a2ax2

=aax1a1

ax1ax2

aVHa'X

ax

a2*四換面法的四個基本問題1.把一般位置直線變成投影面平行線空間分析：用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。例：求直線AB的實長及與H面的夾角a'b'abXVHX1HP1思考：換H面行否？ABaba'b'HVP1a1b1

a1b1*abHa'b'XVBAP1X12.把一般位置直線變成投影面垂直線空間分析：

一次換面把直線變成投影面平行線,二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。

a1b1a2b2

a'b'abXVHX1H1P1P1P2X2作圖：X2P2

a2=b2a1b1*3.把一般位置平面變成投影面垂直面空間分析：如果把平面內(nèi)的一條直線變成投影面垂直線，則平面變成投影面垂直面，因此在平面內(nèi)作一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后，變成投影面垂直線，平面變成投影面垂直面。a'b'c'abcdVHABCDXd'P1X1c1b1a1

d1*c1a1d1b1HP1X1作圖過程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD★將AD變換成投影面垂直線例：把三角形ABC變成投影面垂直面a'b'c'acbXVHd'd*空間分析：變換一次投影面,把一般位置平面變成輔助投影面P1的垂直面；選取輔助投影面P2進行二次換面，再把投影面P1的垂直面變換成輔助投影面P2的平行面。c2c1a1

b1X1HP1X2P1P2b2a24.把一般位置平面變成投影面平行面aba'c'b'XVHc作圖：AB是水平線*距離d'dd1X1HP1X2P1P2a2

b2

d2

c2

c1

例1：求點C到直線AB的距離，并求垂足D。

c'b'a'cabXVH

a1b1五換面法的應用空間分析：求C點到直線AB的距離，就是求垂線CD的實長。當直線AB垂直投影面時，CD平行投影面，反映實長。PABDCca

b

d作圖*空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實大（60°），因此需將AB與C點所確定的平面變換成投影面平行面。例2過C點作直線CD與AB成60o角。X1HP1X2P1P2aba'c'b'XVHc作圖：c2●●●c1●a1

b1●b2●a2●d2●d●d'd1*(1)空間分析：

求C點關于AB的對稱點C１’則C１D的連線與AB的交點Ｋ即為所求。例3在直線AB上確定一點K，使其到C、D兩點的距離之和為最短。b'a'abd●●●d'c'dc●VHX●●ABDK●●CC1(2)空間分析：由圖可知直線AB與點C和點D不共面,必須把點D旋轉到平面ABC上,再求直線AB,CD12的交點K,即為所求。作圖：將直線AB變換成投影面垂直線。*d'c'b'a'abdc●●●●VHX例3在直線AB上確定一點K，使其到C、D兩點的距離之和為最短。a1b1●c1H1V1X1●a2b2●d21●c2●d22k1kk'd12●d1X2P1P2小結

*一問題的提出二新投影面的選擇原則三點的換面法規(guī)律四換面法的四個基本問題五換面法的應用

換面法:

曲線與曲面*5-1螺旋線*1圓柱螺旋線的形成

當一個動點沿著一直線等速移動，而該直線同時繞與它平行的一軸線等速旋轉時，動點的軌跡就是一根圓柱螺旋線。2

圓柱螺旋線的畫法螺旋線的畫法*5-2正螺旋柱狀面*1正螺旋柱狀面的形成正螺旋柱狀面的兩條曲導線皆為圓柱螺旋線，連續(xù)運動的直母線始終垂直于圓柱軸線。2正螺旋柱狀面的畫法（1）畫出兩條曲導線（圓柱螺旋線）；（2）作出直母線的兩面投影；（3）作出該曲面上各素線的投影。3正螺旋柱狀面的應用的例子

2正螺旋柱狀面的畫法*3正螺旋柱狀面應用的例子*螺旋扶手螺旋樓梯5-3單葉雙曲回轉面

*1單葉雙曲回轉面的形成

單葉雙曲回轉面是由直母線繞與它交叉的軸線旋轉而形成。2單葉雙曲回轉面的畫法（1）畫出回轉軸及直導線的兩面投影；（2）作出輪廓線頂圓和底圓的兩面投影：（3）作出若干素線及外視轉向線的投影。

2單葉雙曲回轉面的畫法

*5-4柱狀面*1柱狀面的形成

一直母線沿兩條曲導線連續(xù)運動，同時始終平行于一導平面，這樣形成的曲面稱為柱狀面2柱狀面的畫法（1）畫出兩條曲導線的兩面投影；（2）作出直母線的兩面投影：（3）作出該曲面上各素線的投影。2柱狀面的畫法*5-5錐狀面*1錐狀面的形成

一直母線沿一直導線和曲導線連續(xù)運動，同時始終平行于一導平面，這樣形成的曲面稱為錐狀面。2錐狀面的畫法（1）畫出一直導線和曲導線的兩面投影；（2）作出直母線的兩面投影：（3）作出該曲面上各素線的投影。2錐狀面的畫法*5-6雙曲拋物面

*1雙曲拋物面的形成

一直母線沿兩交叉直導線連續(xù)運動，同時始終平行于一導平面，其運動軌跡稱為雙曲拋物面。2雙曲拋物面的畫法（1）畫出兩條直導線的兩面投影；（2）作出直母線的兩面投影：（3）作出該曲面上各素線的投影。3雙曲拋物面的截交線2雙曲拋物面的畫法*3雙曲拋物面的截交線

*

立體的投影及表面交線6.1基本體的投影

按照一定規(guī)則形成的簡單立體稱為基本體，基本體分為平面立體和曲面立體兩類。6.1.1三面投影與三視圖6.1.3曲面立體6.1.2平面立體6.1.1三面投影與三視圖主視圖俯視圖左視圖XYWYHZO三視圖的位置關系和投影規(guī)律長高寬寬上上下下左左右右前前后后主、俯視圖

長對正主、左視圖

高平齊俯、左視圖

寬相等6.1.2平面立體

表面均為平面構成的立體稱為平面立體，平面立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立體有棱柱、棱錐和棱臺等。棱柱棱錐1.棱柱*(1)棱柱的投影*(2)棱柱表面上取點a

a(a

)(b

)bb

2.棱錐(1)棱錐的投影s

Basa’c’b’cs

bCASb”(c”)a”s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

1

11

r

r(2)棱錐表面上取點2

2

23(3

)3

6.1.3曲面立體

表面由曲面或曲面和平面構成的立體稱為曲面立體，常見的曲面立體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。

曲面可看作由一條母線按一定的規(guī)律運動所形成，運動的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素線。母線繞軸線旋轉，則形成回轉面。圓柱圓錐圓球1.圓柱

圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直線繞與它相平行的軸線旋轉而成。(1)圓柱的投影(2)圓柱表面上取點()A(D)CBc”2.圓錐

圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉而成。(1)圓錐的投影(2)圓錐表面上取點輔助素線法輔助圓法3.圓球

球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉而成。(1)圓球的投影(2)圓球表面上取點6.2平面與立體相交6.2.1平面與平面立體相交6.2.2平面與曲面立體相交

平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點是截平面與立體表面上的共有點，它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形或多邊形。截平面截交線截交線的概念6.2.1平面與平面立體相交

由于平面立體是由平面圍成的,截交線是封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求截交線的問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進而簡化為求直線與平面交點的問題。例1三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。s’a’b’c’asbcs

a(c)b

BAⅠⅡⅢ1

2

3

1yy23

1

2

3例2求帶切口三棱錐的投影s'ss"b'c'c"b"a"a'bca1"yyyy14"44'233'2'1'3"2"解題步驟1分析截交線的正面投影已知，水平投影和側面投影未知；2求出截交線上的折點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；4整理輪廓線。例3求立體截切后的投影23541

11

6

6

5

4

3

2

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）6.2.2平面與曲面立體相交

曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。1.平面與圓柱相交

截平面平行于軸線，交線為平行于軸線的兩條平行直線截平面傾斜于軸線，交線為橢圓截平面垂直于軸線，交線為圓平面與圓柱的截交線兩條平行直線垂直于軸線的圓橢圓例4求斜切圓柱的截交線11'1"4"3"2'2"26543ⅦⅧⅥⅤⅢⅣⅠⅡ3‘(4‘)5‘6'5"6"解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側面投影為圓；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ；3求出若干個一般點Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。877'8'7"8"作圖步驟：

（1）根據(jù)截平面位置與曲面立體表面的性質、判別截交線的形狀和性質。

（2）求出截交線上的特殊點。

（3）根據(jù)需要求出若干個一般點。

（4）光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性。

（5）最后，補全可見與不可見部分的輪廓線或轉向輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉向輪廓素線。

特殊點：是指繪制曲線時有影響的各種點。極限位置點曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點。轉向輪廓點曲線上處于曲面投影轉向輪廓線上的點，它們是區(qū)分曲線可見與不可見部分的分界點。特征點曲線本身具有特征的點，如橢圓長短軸上四個端點。結合點截交線由幾部分不同線段組成時結合處的點。例5求切口圓柱的水平投影和側面投影。解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側面投影為圓；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干個一般點Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例6求截切圓柱的水平投影和側面投影。解題步驟1分析截交線的水平投影為圓的一部分，側面投影為矩形；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；4整理輪廓線。ⅠⅡⅢⅣ例7求截切圓柱截交線的投影。3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"2.平面與圓錐相交圓橢圓兩條相交直線雙曲線拋物線解題步驟例8已知圓錐與正垂面P相交，求截交線的投影。1分析截交線的水平投影和側面投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出一般點Ⅴ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例9求正平面與圓錐的截交線。解題步驟1分析截交線的水平投影和側面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實形；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般點ⅣⅤ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。11’1”2”(3”)4”(5”)4’5’2’3’2453例10求帶缺口圓錐的水平投影和側面投影。11’1”2’(3’)2”3”234’(5’)4”5”546’66”3.平面與圓球相交平面與圓球相交,截交線為圓例11已知正垂面所截切球的正面投影,求其余兩面投影。例12求帶凹槽半球的水平投影和側面投影。例13分析并想象出圓球穿孔后的投影6.3立體與立體相交6.3.1概述6.3.2求作兩曲面立體的相貫線6.3.3相貫線的特殊情況6.1.1組合相貫線6.3.1

概述

立體與立體相交在兩個立體表面產(chǎn)生的交線稱為相貫線。相貫線是兩曲面立體表面的共有線，相貫線上的點是兩曲面立體表面的共有點。不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩回轉體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線,特殊情況下為平面曲線或直線。相貫線性質圖例6.3.2求兩曲面立體的相貫線1.表面取點法

當相貫的兩立體表面的某一投影具有積聚性時，相貫線的一個投影必積聚在這個投影上，相貫線的其余投影可按著曲面立體表面取點的方法求出,這種求作相貫線的方法稱為表面取點法。例1已知兩圓柱的三面投影,求作其相貫線的投影。yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac分析求特殊點求一般點判別可見性完成相貫線

首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，進一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況（平面曲線或直線）。分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。根據(jù)兩立體的相對位置分析相貫線的對稱情況分析相貫線哪個投影是已知的，哪個投影是要求作的。分析求特殊點

確定相貫線投影范圍和變化趨勢的點稱為特殊點包括：

相貫線極限位置點

最左、最右、最前、最后、最高、最低各點；

曲面立體轉向輪廓線上的點

兩曲面立體上下、左右、前后轉向輪廓線上的各個點。表面取點法求作相貫線的一般步驟

（1）分析首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，進一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況（平面曲線或直線）。分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。分析相貫線哪個投影是已知的，哪個投影是要求作的。

（2）求特殊點。相貫線上的特殊點包括極限位置點、輪廓轉向點、曲線特征點和結合點四種。

（３）根據(jù)需要求出若干個一般點。

（４）判別可見性，順次光滑連接各點，作出相貫線。

（５）補全可見與不可見部分的輪廓線或轉向輪廓線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉向輪廓線。圓柱表面交線的三種情況

兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交兩正交圓柱相貫線的變化趨勢例2求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。

a“(b“)a'b'c“abcdd"d'e“(f“)efe'f'ghyyg“(h“)g'h'c'2.輔助平面法

假想用一個平面在相貫兩立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相貫的兩立體，分別在兩立體表面上產(chǎn)生截交線，兩截交線交點就是兩立體表面與輔助平面三者的共有點，即相貫線上的點。這個假想的平面是輔助平面。作出一系列的輔助平面，求出相貫線上一系列點的投影，依次光滑連接，即得相貫線的投影。

yyPW2PV24"yy4'PV1PW13"PV3PW35"11'1"2'

2"2453'35'例3求圓柱與圓錐正交時相貫線的投影。例4求水平圓柱與半球的相貫線的投影。a’a”ab’bb”QVQWcdPVPWefe’(f’)RVRWghg’(h’)例5求鉛垂圓臺與半球的相貫線的投影。PV2yy5"5'3'4'3543"1"12'1'2"2yy4"PH1PV3PV46.3.3相貫線的特殊情況

兩曲面立體相交，一般情況下相貫線為空間曲線，但特殊情況下可能是平面曲線或直線。兩個回轉體具有公共軸線時，其表面的相貫線為垂直軸線的圓外切于同一球面的圓錐、圓柱相交時，其相貫線為兩條平面曲線—橢圓兩圓錐共錐頂相貫線為相交兩直線兩圓柱軸線平行相貫線為平行兩直線6.3.4組合相貫線

三個或三個以上的立體相交在一起，稱為組合相貫。這時相貫線由若干條相貫線組合而成，結合處的點稱為結合點。處理組合相貫線，關鍵在于分析，找出有幾個兩兩曲面立體相交在一起，從而確定其有幾段相貫線結合在一起。例7求作物體相貫線的投影

本章小結1.掌握立體的投影特性和作圖方法及立體表面上取點、取線的方法。

2.掌握特殊位置平面與圓柱、圓錐、圓球相交，求表面交線的方法；掌握截交線的性質及求截交線的方法；

3.掌握兩回轉體表面相交時相貫線的性質及用表面取點法、輔助平面法求兩回轉體相貫線的原理、作圖方法；掌握相貫可見性的判別方法;了解和掌握相貫線的特殊情況和作圖。

組合體的視圖*

7.1組合體的基本知識*由基本形體疊加或切割而成的形體稱為組合體7.1.1組合體的組合形式*疊加切割1.組合形式2.組合體相鄰表面的連接方式*平齊相錯相切相交（1）相錯*相錯的兩表面結合處應畫線（2）平齊*平齊的兩表面結合處不應畫線（3）相交*相交的兩表面相交處應畫出交線（4）相切*相切的兩表面相切處不應畫線yy7.1.2形體分析法*

為了正確而迅速地繪制和閱讀組合體的視圖，在制圖課中，我們常把組合體假想分解為若干基本形體或組成部分，然后一一弄清它們的形狀、相對位置及連接方式，這種思考和分析的方法稱為形體分析法。底板肋板空心圓柱凸臺7.1.3線面分析法*

線面分析法就是把組合