工程制圖基礎(chǔ)課件

第1章制圖基本知識和技能1.1制圖的基本規(guī)定1.2繪圖工具和儀器的使用1.3幾何作圖1.4平面圖形的畫法及尺寸標(biāo)注1.5繪圖方法和步驟1.1制圖的基本規(guī)定

1.1.1圖紙幅面和格式

1.圖紙幅面

2.圖框格式

3.標(biāo)題欄

1.1.2比例

1.1.3字體

1.漢字

2.拉丁字母和希臘字母

3.數(shù)字

1.1.4圖線及畫法

1.圖線形式及應(yīng)用

2.圖線畫法

1.1.1圖紙幅面和格式幅面代號A0A1A2A3A4B×L841×1189594×841420×594297×420210×297e2010c105a25圖紙基本幅面代號和尺寸1.圖紙幅面尺寸2.圖框格式圖框線周邊紙邊界線標(biāo)題欄BL圖框格式不留裝訂邊圖框格式留裝訂邊3.標(biāo)題欄國標(biāo)中推薦的標(biāo)題欄1801612161610101212161212165087=(56)182046.5=(26)1212(單位名稱)(圖樣名稱)(圖樣代號)重量比例階段標(biāo)記共張第張工藝審核批準(zhǔn)設(shè)計標(biāo)記處數(shù)分區(qū)簽名(簽名)更改文件(簽名)(年月日)(年月日)年月日(材料標(biāo)記)標(biāo)準(zhǔn)化1.1.2比例原值比例優(yōu)先使用1:1放大比例優(yōu)先使用5:12:15×10n:12×10n:11×10n:1可使用4:12.5:14×10n:12.5×10n:1縮小比例優(yōu)先使用1:21:51:101:2×10n1:5×10n1:1×10n可使用1:1.51:2.51:31:41:1.5×10n1:2.5×10n1:3×10n1:4×10n國標(biāo)規(guī)定的比例比例是指圖形與其實物相應(yīng)要素的線性尺寸之比1.1.3字體字體的總要求：字體端正筆畫清楚間隔均勻排列整齊字體的號數(shù)：即字體的高度，1.8，2.5，3.5，5，7，10，14，20mm。漢字：長仿宋體，字寬是字高的2/3左右。書寫要點：橫平豎直注意起落結(jié)構(gòu)均勻填滿方格字母與數(shù)字示例字母與數(shù)字示例1.1.4圖線及其畫法圖線名稱圖線型式主要用途粗實線細(xì)實線波浪線雙折線虛線細(xì)點畫線粗點畫線雙點畫線4~6

1

3可見輪廓線，可見棱邊尺寸線、尺寸界線、剖面線斷裂的邊界線斷裂處的分界線不可見輪廓線，不可見棱邊對稱線、中心線有特殊要求的表面的表示線假想投影輪廓線、中斷線圖線應(yīng)用舉例圖線的畫法圖線應(yīng)用的正誤對比正確錯誤1.1.5尺寸注法1.基本規(guī)則

機(jī)件的真實大小應(yīng)以圖樣上所注的尺寸數(shù)值為依據(jù)，與圖樣的大小及繪圖的準(zhǔn)確度無關(guān)。圖樣中(包括技術(shù)要求和其它說明)的尺寸，以毫米為單位時，不需標(biāo)注計量單位的代號或名稱；如采用其它單位,則必須注明相應(yīng)的計量單位的代號或名稱。圖樣中所標(biāo)注的尺寸，為該圖樣所示機(jī)件的最后完工尺寸，否則應(yīng)另行說明。機(jī)件的每一尺寸，一般只標(biāo)注一次，并應(yīng)標(biāo)注在反映該結(jié)構(gòu)最清晰的圖形上。2.尺寸的組成R10Φ1875201860一個完整的尺寸由尺寸界線、尺寸線和尺寸數(shù)字組成。尺寸界線尺寸線尺寸數(shù)字1.2繪圖工具和儀器的使用圖板與丁字尺1.2.1圖板、丁字尺、三角板丁字尺的用法丁字尺的尺頭靠緊圖板導(dǎo)邊，上下移動畫水平線。三角板的用法三角板與丁字尺配合使用，可以畫15o整數(shù)倍的各種角度。1.2.2圓規(guī)和分規(guī)分規(guī)主要用于量取尺寸和截取線段1.2.3鉛筆

鉛筆常削成圓錐形和矩形，圓錐形用于畫細(xì)線和寫字，矩形用于繪制粗實線。1.3幾何作圖1.3.1線段的等分AB線段的5等分1.3.2圓周等分及圓內(nèi)接正多邊形FMEBGA圓內(nèi)接五邊形作圖方法作圖步驟

以N為圓心，NO為半徑畫圓弧交圓于F、G，連接FG與ON相交點M。以M為圓心過點A作圓弧，交水平直徑于H，再以A為圓心過H作圓弧，交外接圓于B、E。分別以B、E為圓心，弦長BA為半徑作圓弧，與外接圓交于點C、D；連接A、B、C、D、E五點即作出正五邊形。ONHCD1.3.3斜度和錐度αLltTDαlLd斜度：直線（或平面）相對于另一直線（或平面）的傾斜程度即（T－t）/l=T/L=tanα錐度：正圓錐底圓直徑與其高度之比。即D/L=(D-d)/l=2tanα斜度和錐度的標(biāo)注及畫法αhαh1:6606020201等分6等分RRKRR2RR1

用已知半徑的圓弧光滑連接（即相切）兩已知線段（或圓?。┓Q為圓弧連接。起連接作用的圓弧稱為連接弧，切點稱為連接點。由于連接弧的半徑和被連接的兩線段已知，所以，圓弧連接的關(guān)鍵是確定連接弧的圓心和連接點。R1R2R1.3.4圓弧連接圓弧連接的基本作圖原理O圓弧連接的畫法（一）圓弧連接的畫法（二）1.4平面圖形的畫法及尺寸標(biāo)注R104.1平面圖形的尺寸分析定形尺寸：是確定平面圖形中幾何要素的形狀和大小的尺寸定位尺寸：是確定平面圖形中幾何要素的位置的尺寸1.4.2平面圖形的線段分析已知線段：根據(jù)圖形中所標(biāo)注的尺寸可以直接畫出的直線或曲線中間線段：除圖形所標(biāo)注尺寸外還需要一個連接關(guān)系才能畫出的線段連接線段：根據(jù)兩個連接關(guān)系才能畫出的線段Φ40Φ2010308R90R35R3010901.4.3平面圖形的作圖步驟Φ19Φ1114(6)(49)80Φ14Φ26R52R30R5.5手柄的作圖步驟Φ111480Φ19Φ14Φ2652R(52-5.5)30R(50+30)1.4.4平面圖形的尺寸標(biāo)注Φ40Φ2010308R90R35R301090第2章點、直線和平面的投影

2.2點的投影

2.3直線的投影

2.4求線段實長及對投影面的傾角

2.5兩直線的相對位置2.6平面的投影

2.1投影法的基本知識2.1投影法的基本知識

2.1.1投影法概念

2.1.2投影法的分類

2.1.3正投影法的基本性質(zhì)

2.1.1投影法的概念投影面Pa

投影投射線bS

投影中心A

空間點B

將光線通過物體向選定的平面投影，并在該平面上得到物體影子的方法稱為投影法。

2.1.2投影法的分類

1.中心投影法

投射線匯交于一點。

2.平行投影法

投射線互相平行。

（1）斜投影

投射線與投影面傾斜的平行投影。

（2）正投影

投射線與投影面垂直的平行投影。1.中心投影法HS2.平行投影法----斜投影H2.平行投影法----正投影90°H

2.1.3正投影法的基本性質(zhì)

1.

實形性

當(dāng)線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭巍?/p>

2.

積聚性

當(dāng)線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。

3.

類似性

當(dāng)線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。1.實形性CDEBAHabedc當(dāng)線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或?qū)嵭巍dca（b）CDEBAH2.積聚性當(dāng)線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。3.類似性CDEedcBAabH當(dāng)線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。2.2點的投影2.2.1點在兩投影面體系中的投影2.2.2點在三投影面體系中的投影2.2.3兩點的相對位置和重影點2.2.1點在兩投影面體系中的投影5.點在其他分角的投影3.點的兩面投影圖2.兩投影面體系的建立4.兩投影面體系中點的投影規(guī)律1.點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置1.點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置HVOXa

aA2.兩投影面體系的建立XO

兩投影面體系由V面和H面二個投影面構(gòu)成。V面和H面將空間分成四個分角。處在前、上側(cè)的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。正立投影面投影軸VH水平投影面3.點的兩面投影圖HVOXaAa

點的二面投影圖是將空間點向二個投影面作正投影后，將二個投影面展開在同一個面后得到的。點A的正面投影點A的水平投影XHVOa

aax兩面投影圖的畫法HHVOXa

aAax

展開時，規(guī)定V面不動，H面向下旋轉(zhuǎn)90

。用投影圖來表示空間點，其實質(zhì)是在同一平面上用點在二個不同投影面上的投影來表示點的空間位置。通常不畫出投影面的范圍XOa

aax4.兩投影面體系中點的投影規(guī)律HVOXa

aAaxXOa

aax

點的V面投影與H面投影之間的連線a‘a(chǎn)垂直于投影軸0X

；點的一個投影到0X投影軸的距離等于空間點到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離，即a'ax=Aa，aax=Aa'。

2.2.2點在三投影面體系中的投影1.三投影面體系的建立2.點的三面投影圖3.點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系4.三投影面體系中點的投影規(guī)律5.特殊點的投影1.三投影面體系的建立HVXOZYW

三投影面體系由V、H、W三個投影面構(gòu)成。H、V、W面將空間分成八個分角，處在前、上、左側(cè)的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。2.點的三面投影圖HVXZYWOA

點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，將三個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定V面不動，H面向下旋轉(zhuǎn)90

，W面向右旋轉(zhuǎn)90

。a

aa

Ha

aa

VWXOZYWYHa

aa

XOZYWYH通常不畫出投影面的范圍HVXZYWOayaxazxyza

aa

Ha

aa

VWXOZYWYHaxayazay3.點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

若把三個投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸，則點的空間位置可用其（X、Y、Z）三個坐標(biāo)來確定，點的投影就反映了點的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對應(yīng)關(guān)系。yAxAzA4.三投影面體系中點的投影規(guī)律HVXZYWOayaxazxyza

aa

a

aa

XOZYWYHaxayazay

點的V面投影與H面投影之間的連線垂直于0X軸，即a‘a(chǎn)⊥0X；點的V面投影與W面投影之間的連線垂直0Z軸，即a’a“⊥0Z；點的H面投影到0X軸的距離及點的W面投影到0Z軸的距離兩者相等，都反映點到V面的距離。長對正高平齊寬相等5.特殊位置點的投影OXb

bc

cHVOXCc

ca

bBb

Aaa

a

投影面上的點

投影軸上的點

與原點重合的點例1

已知點A的正面與側(cè)面投影，求點A的水平投影。ZYHXYWOa

a

a2.1.3兩點的相對位置和重影點1.兩點的相對位置2.重影點XOZY1.兩點的相對位置a

a

ab

b

bBA

兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大小）來確定的。X坐標(biāo)值大的點在左；Y坐標(biāo)值大的點在前；Z坐標(biāo)值大的點在上。XZYWYHOa

a

ab

bb

2.重影點cc

(d

)da(b)a

b

AB

若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。XYHZYWOc

(d)

b

a(b)a

cda

b

c

d

判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。

例2已知A點在B點的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A點的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

121062.3直線的投影

2.3.1直線的三面投影

2.3.2直線對投影面的相對位置

2.3.3直線上的點OXZY2.3.1直線的三面投影ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYYa

bb

空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。2.3.2直線對投影面的相對位置

1.投影面平行線

平行于某一投影面，與另外兩個投影面傾斜的直線

(1)

水平線

(2)

正平線

(3)

側(cè)平線

2.投影面垂直線

垂直于某一投影面的直線

(1)

鉛垂線

(2)

正垂線

(3)

側(cè)垂線

3.一般位置直線

與三個投影面都傾斜的直線

水平線

—平行于水平投影面的直線XZYOaa

b

a

bb

Xa

b

a

b

OzYHYW

ba

AB投影特性：1.a

b

OX;a

b

OYW2.ab=AB3.反映

、

角的真實大小XZYO正平線—平行于正面投影面的直線

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：1、ab

OX;a

b

OZ2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實大小aa

b

a

b

bXZYO側(cè)平線—平行于側(cè)面投影面的直線XZOYHYWa

b

bab

a

AB投影特性：1、a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實大小aa

b

a

b

bOXZYZb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、ab

積聚成一點

2、a

b

OX;a

b

OY

3、a

b

=a

b

=AB鉛垂線—垂直于水平投影面的直線ABb

a(b)a

a

b

正垂線—垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性：1、a

b

積聚成一點

2、ab

OX;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABABzXa

b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a側(cè)垂線—垂直于側(cè)面投影面的直線OXZYAB投影特性：1、a

b

積聚成一點

2、

ab

OYH;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABba

a

b

ab

ZXa

b

b

aOYHYWa

bOXZY

一般位置直線ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYHYWa

bb

投影特性：1、ab、

a

b

、a

b

均小于實長

2、ab、a

b

、a

b

均傾斜于投影軸

3、不反映

、

、

實角直線上的點具有兩個特性：

1從屬性若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。

2定比性屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=a

c

:

c

b

=a

c

:

c

b

利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點或判斷已知點是否在側(cè)平線上。

2.3.3直線上的點ABbb

aa

XOcc

Ccb

Xa

abcc

例3已知線段AB的投影圖，試將AB分成1：2兩段，求分點C的投影。O

例4已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHVO直線的跡點XAb

aa

m

Nn

bBMmnOVHa

b

bam

mnm

XO

直線與投影面的交點稱為跡點。它是屬于直線上的特殊點，既是直線上的點又是投影面上的點。

一般位置線段在投影圖上反映不出線段的實長及對投影面的傾角。

1.幾何分析

2.作圖要領(lǐng)

用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點相對于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。

3.直角三角形的四個要素

實長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。2.4一般位置線段的實長及對投影面的傾角幾何分析

|zA-zB

|ABABbb

aa

CXO

|zA-zB|Xa

ab

b

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|abO

例5已知線段的實長AB以及ab和a’，求它的正面投影a’b’。aXa

bAOBb0bb0bb0b’

b’

2.5兩直線的相對位置（1）兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。反之，若兩直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行。（2）平行兩線段之比等于其投影之比。Xb

aa

d

bbcc

ABCDXb

a

abdc

d

c1.平行兩直線OO2.相交兩直線

兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點屬于兩直線。反之，若兩直線在同一投影面上的投影相交，且交點屬于兩直線，則該兩直線相交。b

Xa

abk

c

d

dckXBDACKbb

aa

c

cdd

k

kOO3.交叉兩直線

凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。XOBDACbb

aa

c

cdd

211

(2

)21b

Xa

abc

d

dc11

(2

)2Od

a

c

b

oYWYHZXa

ac

d

dcbb

例6判斷兩直線的相對位置判斷重影點的可見性XOBDACbb

aa

c

cdd

(3

)4

1(2)43341

2

12

判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

1(2)例7判斷兩直線重影點的可見性O(shè)4.

垂直兩直線的投影AHBCacbcXb

a

c

ba

互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時，則兩直線在投影面上的投影必定互相平行。反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定平行。Obb

a

aOfe

ef

X例8過點A作EF線段的垂線AB。例9求點E到水平線AB的距離。XOa’b’abe’ed’dyD-yE所求距離例10作三角形ABC，

ABC為直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。b

bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCc

nm

a

aXmn

O2.6平面的投影2.6.1平面的表示法1.

幾何元素表示平面用幾何元素表示平面有五種形式：（1）不在一直線上的三個點；（2）一直線和直線外一點；（3）相交兩直線；（4）平行兩直線；（5）任意平面圖形。2.平面的跡線表示法平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面用跡線來表示是用其具有積聚性的一條邊線來表示。1.幾何元素表示法a

ab

c

bcb

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

d用幾何元素表示平面有五種形式：（1）不在一直線上的三個點；（2）一直線和直線外一點；（3）相交兩直線；（4）平行兩直線；（5）任意平面圖形。2.跡線表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW2.6.2各種位置平面的投影特性1.投影的垂直面(1)鉛垂面(2)正垂面(3)側(cè)垂面2.投影的平行面(1)水平面(2)正平面(3)側(cè)平面3.一般位置平面鉛垂面投影特性：1、

水平投影abc積聚為一條直線

2、正面投影

a

b

c

、

側(cè)面投影a

b

c

為

ABC的類似形

3、

abc與OX、OY的夾角反映

、

角的真實大小VWHPPHABCacb

a

b

a

b

bacc

c

鉛垂面跡線表示VWHPPH

PHPVPW

正垂面投影特性：1、正面投影a

b

c

積聚為一條直線

2、水平投影abc、側(cè)面投影a

b

c

是ABC的類似形

3、a

b

c

與OX、OZ的夾角反映α、

角的真實大小VWHQQV

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B正垂面的跡線表示VWHQQVαγQV側(cè)垂面投影特性：1、側(cè)面投影a

b

c

積聚為一條直線

2、水平投影abc、正面投影a

b

c

為

ABC的類似形

3、a

b

c

與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實大小VWHSWSCa

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

側(cè)垂面的跡線表示VWHSHSZXOYHSHYαβ水平面VWHCABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

投影特性：

1.a

b

c

、a

b

c

積聚為一條線積聚為一直條線，具有積聚性

2.水平投影abc反映

ABC實形

正平面VWHc

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性：

1.abc

、a

b

c

積聚為一條直線，具有積聚性

2.正平面投影a

b

c

反映

ABC實形

側(cè)平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

投影特性：

1.abc

、a

b

c

積聚為一直條線，具有積聚性

2.側(cè)平面投影a

b

c

反映

ABC實形

一般位置平面a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB投影特性

1.abc、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形

2.不反映

、

、

的真實角度

2.6.3平面上的點和直線（1）平面上的直線

直線在平面上的幾何條件是：①通過平面上的兩點；②通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。（2）平面上的點點在平面上的幾何條件是：點在平面內(nèi)的某一直線上。在平面上取點、直線的作圖，實質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。1.平面上取直線和點（1）

平面上取直線

取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。a

b

c

abcd

de

eABCEDFff

（2）

平面上取點ABCDEa

b

c

abcd

de

e

取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線例11已知

ABC給定一平面，（1）判斷點K是否屬于該平面。（2）已知平面上一點E的正面投影e’作出水平投影。k

ka

b

c

abcdd

e

e11

XO例12已知平面P上K點的正面投影k’，求作水平投影k。XOPVPHPXk’n’nmmk2.平面上的特殊位置直線VHPPVPH（1）平面上投影面平行線—既在平面上又平行于投影面的直線。在一個平面上對V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質(zhì)，又與所屬平面保持從屬關(guān)系。水平線正平線例13a

b

c

bacm

n

nm已知

ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。例14已知點E

在

ABC平面上，且點E距離H面15，距離V面10，試求點E的投影。Xa

b

c

bacmnm

n

rsr

s

1015e

e（2）平面上投影面的最大斜度線

平面對投影面的最大斜度線必定垂直于平面上對該投影面的平行線；最大斜度線在該投影面上的投影必定垂直于平面上該投影面平行線的同面投影。

最大斜度線對投影面的角度最大。最大斜度線的幾何意義:用來測定平面對投影面的角度HPCD

aE1

S

AE例15求

ABC平面與水平投影面的夾角α

。beα

BEd

de

ea

b

c

abc例16過正平線作平面與水平投影面成60°abeff

e

eff

e

60°bbb

a

aabAB本章小結(jié)

1.熟練掌握點在第一分角中的投影規(guī)律及點的投影與該點直角坐標(biāo)的關(guān)系；掌握兩點的相對位置及重影點可見性的判別。

2.熟練掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法；掌握直線上的點的投影特性及定比關(guān)系；掌握兩直線平行、相交、交叉三種相對位置的投影特性，熟練掌握用直角三角形法求一般位置直線段實長及其對投影面傾角的方法，并能靈活運用直線的實長、投影、直線與投影面傾角三者之間的關(guān)系。掌握直角的投影定理及其應(yīng)用。

3.熟練掌握各種位置平面的投影特性及作圖方法,掌握平面內(nèi)的點和直線的幾何條件及作圖方法。了解平面內(nèi)投影面平行線及投影面最大斜度線的投影特性和作圖方法。121第3章直線與平面、

平面與平面的相對位置

3.1平行問題3.1平行問題3.2相交問題3.3垂直問題3.4綜合問題分析1223.1平行問題3.1.1直線與平面平行3.1.2平面與平面平行1233.1.1直線與平面平行

若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。PCDBA124例1試判斷直線AB是否平行于平面CDE。fg

f

gb

a

abc

e

d

edc結(jié)論：直線AB不平行于定平面XO125例2過點K作一水平線AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

af

fbc

e

d

edk

kcXO1263.1.2平面與平面平行

若平面內(nèi)的兩相交直線對應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個平面平行。PSEFDACB127f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行XO例3試判斷兩平面是否平行128例4已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXO129例5試判斷兩平面是否平行結(jié)論：兩平面平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO1303.2相交問題3.2.1積聚性法3.2.2輔助平面法131交點與交線的性質(zhì)

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與平面的共有點。兩平面的交線是直線，它是兩個平面的共有線。求線與面交點、面與面交線的實質(zhì)是求共有點、共有線的投影。PABKDBCALKEF1323.2.1積聚性法

當(dāng)直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可在直線的另一個投影上找到。VHPHPABCacbkNKM133直線可見性的判別b

ba

acc

m

mn

k

n

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接判別直線的可見性--觀察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前134XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6鉛垂線AB與一般位置平面ΔCDE相交，求交點并判別可見性。135（2）兩平面相交f

k

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm

l

n

bacc

a

b

XOfk136平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO137平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLXOb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

138過AB作平面P垂直于H投影面3.2.2輔助平面法DECP12KBA1392PH1

作題步驟：1、過AB作鉛垂平面P。2、求P平面與ΔCDE的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與AB的交點K。XOa

b

bacd

e

edc

12

kk

140直線AB與平面ΔCDE相交，判別可見性。(

)a

b

bace

edc

d

124

（

）kk

XO3

342

1

141以正垂面為輔助平面求線面交點1

2

QV21步驟：1、過EF作正垂平面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與EF的交點K。f

e

efba

acb

c

k

k142

利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。FBCALKED兩一般位置平面相交求交線的方法1431、用直線與平面求交點的方法求出兩平面的兩個共有點K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

PVQV21k

kl

l2、連接兩個共有點，畫出交線KL。XO作題步驟1

2

144利用重影點判別可見性bacc

b

a

ll

nmm

n

kee

k

3

4

()34

21()1

2

XO兩平面相交，判別可見性145例7試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。ac

ba

cb

f

e

efk

kXO146分析FPCABEKH

過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。147作圖步驟m

n

h

hnmff

ac

ba

cb

e

ek

kPV1

12

21、過點K作平面KMN//

ABC平面。2、過直線EF作正垂平面P。3、求平面P與平面KMN的交線ⅠⅡ。4、求交線ⅠⅡ與EF的交點H。5、連接KH，KH即為所求。1483.3垂直問題3.3.1直線與平面垂直3.3.2平面與平面垂直1493.3.1直線與平面垂直VHPAKLDCBE

幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。150

定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO151

定理2（逆）：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO152a

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例8平面由

BDF給定，試過定點M作平面的垂線。153h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例9試過定點K作特殊位置平面的法線。154e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例10平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于定平面。155例11試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。n

nXO156平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為補(bǔ)角HPAKFDCBEf

分析157直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作圖過程1583.3.2兩平面垂直

幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB159

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB160g

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例12平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面161g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d結(jié)論：兩平面不平行。XO例13試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。1623.4綜合問題分析及解法3.4.1空間幾何元素定位問題3.4.2空間幾何元素度量問題163

平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個單個問題的投影特性、作圖原理與方法。而實際問題是綜合性的，涉及多項內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。求解綜合問題主要包括：空間幾何元素的定位問題（交點、交線）和空間幾何元素的度量問題（如距離、角度）。綜合問題解題的一般步驟：

1.分析題意

2.明確所求結(jié)果，找出解題方法

3.擬定解題步驟164例14已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與CD平行，并且與EF、GH均相交。c

g

h

e

f

d

cefghdXO3.4.1空間幾何元素定位問題165分析

所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF166作圖過程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

167例15試過定點A作直線與已知直線EF正交。a

efaf

e

XO168分析EQFAK過已知點A作平面與已知直線EF交于點K，連接AK，AK即為所求。169作圖過程2

1a

efaf

e

1

22

PVa

efaf

e

1

k

k21170例16求點C到直線AB的距離。c

a

b

cabXO171分析PABCK

過C點作直線AB的垂線CK一定在過C點并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過C點作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點K，最后求出垂線CK的實長即為所求。172作圖過程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離173例17求交叉直線AB和CD的公垂線。cc

a

b

abXOdd

3.4.1空間幾何元素度量問題174分析LKABDCGHEFP

過一條直線CD作平面P平行于另一條直線AB，在過點A作平面P的垂線AH，求出垂足點E；在平面P上過點E作直線EF∥AB與直線CD交于點K；過點K作直線KL∥AH交AB于L點，KL即為所求的公垂線。175作圖過程cc

a

b

abXOdd

gg1

122

hh343

4

eefkklfl176本章小結(jié)1.平行問題（1）熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；

（2）熟練掌握線、國平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。2.相交問題（1）熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。

（2）熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。

（3）掌握利用重影點判別投影可見性的方法。3.垂直問題

掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。4.綜合問題分析及解法（1）熟練掌握點、線、面的基本作圖方法；

（2）能對一般畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。177第4章投影變換

4.1概述4.2換面法1784.1概述

當(dāng)直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行或垂直）時，它們的投影反映線段的實長、平面的實形及其與投影面的傾角，當(dāng)它們處于垂直位置時，其中有一投影具有積聚性。當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時，則它們的投影就不具備上述的特性。投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以簡便地解決它們的定位和度量問題。179a

abb

a

abb

c

cdd

ba

ab

c

cdd

a

abb

c

ca

abb

兩點之間距離a

abb

c

c三角形實形a

abb

c

cdd

直線與平面的交點a

b

c

d

abcd

兩平面夾角1804.2換面法4.2.1換面法的基本概念4.2.2點的投影變換規(guī)律4.2.3直線的換面4.2.4平面的換面181

換面法就是保持空間幾何元素不動，用新的投影面替換舊的投影面，使新投影面對于空間幾何元素處于有利于解題的位置。VAHCBc

b

Xa

abcV1X1c1

b1

a1

182VAHCBc

b

Xa

abc4.2.1換面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H

體系變?yōu)閂1/H

體系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影體系的建立183（1）新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。（2）新投影面必須垂直于原投影體系中的某一個投影面。VAHCBc

b

Xa

abcV1X1c1

b1

a1

2.新投影面的選擇原則1844.2.2點的投影變換規(guī)律1.點的一次變換VHXHX1V1a1

a

Aa185186a1

a

XVHaVHXX1V1a1

V1a1

X1HV1a

Aa變換V面時點的投影作圖1872.點的投影變換規(guī)律a1

X1HV1a

XVHa（1）點的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。（2）點的新投影到新投影軸的距離等于點的舊投影到舊投影軸的距離。188VHXH1X1點在V/H1體系中的投影

X1H1Va1XVHa

aa1a

Aa189VXHa2a

aa1

XVHX1HV13.點的兩次變換V1X1X2H2V1H2X2a2a1

a

Aa1901914.2.3直線的換面1.將一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€VHXAaBb

abV1X1a1

b1

a1

b1

X1V1Hbab

a

XVH192

例1把一般位置直線AB變?yōu)镠1投影面平行線

b

a

baXHVXH1Va1b1

193VHXa

Aab

BbH1X1X1H1Va1

b1

XVHa

aa1

2.將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€b

b194

3.將一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€XHa

Aab

bBVV1X1H1a2b2a1

b1

195將一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

196a

aXb

bcc

思考題1如何求點C到直線AB的距離？XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

提示197a

aXb

bcdc

d

思考題2如何求兩直線AB與CD間的距離？XH1V1a

aXVHb

ba2b2XHV1a1

b1

V提示198X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1

a1

d1

c1

11

21

21b

abdca

XVHd

c

2

1

1222

例2求兩直線AB與CD的公垂線。

H2199a

c

XVHb

bac4.2.3平面的換面VHXcba

b

CAc

Badd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1V

db1a1c1d11.將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?00k1X1H1Vb1a1c1d1s1a

c

b

bacdd

ss'

例3求點S到平面ABC的距離201a

c

b

bacenk

e

nd

dX1VH1b1a1c1d1k1ke1

例4已知E到平面ABC的距離為N，求E點的正面投影e

。202HXVCAc

b

a

B2.將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻鎄1V1c1

b1

a1

V1c1

b1

a1

X1203a1

c1

b1

X1bcab

a

c

XVHa

c

b

XX1V1c1

b1

a1

bca204a

c

XVHb

bacd

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H13.將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?/p>

205

例5已知點E在平面ABC上，距離A、B為15，求E點的投影。a

c

XVHb

bacd

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2X2V2H11515ee

e1e2

206本章小結(jié)（1）掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。（2）掌握用換面法求圖形實形及其對投影面的傾角基本作圖方法。（3）掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量問題。207第5章曲線與曲面

5.1曲線

5.2曲面2085-1螺旋線1圓柱螺旋線的形成

當(dāng)一個動點沿著一直線等速移動，而該直線同時繞與它平行的一軸線等速旋轉(zhuǎn)時，動點的軌跡就是一根圓柱螺旋線。2

圓柱螺旋線的畫法209螺旋線的畫法2105-2正螺旋柱狀面1正螺旋柱狀面的形成正螺旋柱狀面的兩條曲導(dǎo)線皆為圓柱螺旋線，連續(xù)運動的直母線始終垂直于圓柱軸線。2正螺旋柱狀面的畫法（1）畫出兩條曲導(dǎo)線（圓柱螺旋線）；（2）作出直母線的兩面投影；（3）作出該曲面上各素線的投影。3正螺旋柱狀面的應(yīng)用的例子211

2正螺旋柱狀面的畫法2123正螺旋柱狀面應(yīng)用的例子螺旋扶手螺旋樓梯2135-3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面

1單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的形成

單葉雙曲回轉(zhuǎn)面是由直母線繞與它交叉的軸線旋轉(zhuǎn)而形成。2單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的畫法（1）畫出回轉(zhuǎn)軸及直導(dǎo)線的兩面投影；（2）作出輪廓線頂圓和底圓的兩面投影：（3）作出若干素線及外視轉(zhuǎn)向線的投影。214

2單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的畫法

2155-4柱狀面1柱狀面的形成

一直母線沿兩條曲導(dǎo)線連續(xù)運動，同時始終平行于一導(dǎo)平面，這樣形成的曲面稱為柱狀面2柱狀面的畫法（1）畫出兩條曲導(dǎo)線的兩面投影；（2）作出直母線的兩面投影：（3）作出該曲面上各素線的投影。2162柱狀面的畫法2175-5錐狀面1錐狀面的形成

一直母線沿一直導(dǎo)線和曲導(dǎo)線連續(xù)運動，同時始終平行于一導(dǎo)平面，這樣形成的曲面稱為錐狀面。2錐狀面的畫法（1）畫出一直導(dǎo)線和曲導(dǎo)線的兩面投影；（2）作出直母線的兩面投影：（3）作出該曲面上各素線的投影。2182錐狀面的畫法2195-6雙曲拋物面

1雙曲拋物面的形成

一直母線沿兩交叉直導(dǎo)線連續(xù)運動，同時始終平行于一導(dǎo)平面，其運動軌跡稱為雙曲拋物面。2雙曲拋物面的畫法（1）畫出兩條直導(dǎo)線的兩面投影；（2）作出直母線的兩面投影：（3）作出該曲面上各素線的投影。3雙曲拋物面的截交線2202雙曲拋物面的畫法2213雙曲拋物面的截交線

222本章結(jié)束第6章立體的投影及表面交線6.1基本體的投影6.2平面與立體相交6.3立體與立體相交6.1基本體的投影

按照一定規(guī)則形成的簡單立體稱為基本體，基本體分為平面立體和曲面立體兩類。6.1.1三面投影與三視圖6.1.3曲面立體6.1.2平面立體6.1.1三面投影與三視圖主視圖俯視圖左視圖XYWYHZO三視圖的位置關(guān)系和投影規(guī)律長高寬寬上上下下左左右右前前后后主、俯視圖

長對正主、左視圖

高平齊俯、左視圖

寬相等6.1.2平面立體

表面均為平面構(gòu)成的立體稱為平面立體，平面立體上相鄰兩表面的交線稱為棱線。常見的平面立體有棱柱、棱錐和棱臺等。棱柱棱錐2281.棱柱(1)棱柱的投影230(2)棱柱表面上取點a

a(a

)(b

)bb

2.棱錐(1)棱錐的投影s

Basa’c’b’cs

bCASb”(c”)a”s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

1

11

r

r(2)棱錐表面上取點2

2

23(3

)3

6.1.3曲面立體

表面由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱為曲面立體，常見的曲面立體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。

曲面可看作由一條母線按一定的規(guī)律運動所形成，運動的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，則形成回轉(zhuǎn)面。圓柱圓錐圓球1.圓柱

圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直線繞與它相平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。(1)圓柱的投影(2)圓柱表面上取點()A(D)CBc”2.圓錐

圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。(1)圓錐的投影(2)圓錐表面上取點輔助素線法輔助圓法3.圓球

球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。(1)圓球的投影(2)圓球表面上取點6.2平面與立體相交6.2.1平面與平面立體相交6.2.2平面與曲面立體相交

平面與立體相交在立體表面產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點是截平面與立體表面上的共有點，它既在截平面上又在立體表面上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形或多邊形。截平面截交線截交線的概念6.2.1平面與平面立體相交

由于平面立體是由平面圍成的,截交線是封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體表面的交線。求截交線的問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進(jìn)而簡化為求直線與平面交點的問題。例1三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。s’a’b’c’asbcs

a(c)b

BAⅠⅡⅢ1

2

3

1yy23

1

2

3例2求帶切口三棱錐的投影s'ss"b'c'c"b"a"a'bca1"yyyy14"44'233'2'1'3"2"解題步驟1分析截交線的正面投影已知，水平投影和側(cè)面投影未知；2求出截交線上的折點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；4整理輪廓線。例3求立體截切后的投影23541

11

6

6

5

4

3

2

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）6.2.2平面與曲面立體相交

曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。1.平面與圓柱相交

截平面平行于軸線，交線為平行于軸線的兩條平行直線截平面傾斜于軸線，交線為橢圓截平面垂直于軸線，交線為圓平面與圓柱的截交線兩條平行直線垂直于軸線的圓橢圓例4求斜切圓柱的截交線11'1"4"3"2'2"26543ⅦⅧⅥⅤⅢⅣⅠⅡ3‘(4‘)5‘6'5"6"解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ；3求出若干個一般點Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。877'8'7"8"作圖步驟：

（1）根據(jù)截平面位置與曲面立體表面的性質(zhì)、判別截交線的形狀和性質(zhì)。

（2）求出截交線上的特殊點。

（3）根據(jù)需要求出若干個一般點。

（4）光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性。

（5）最后，補(bǔ)全可見與不可見部分的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線。

特殊點：是指繪制曲線時有影響的各種點。極限位置點曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點。轉(zhuǎn)向輪廓點曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，它們是區(qū)分曲線可見與不可見部分的分界點。特征點曲線本身具有特征的點，如橢圓長短軸上四個端點。結(jié)合點截交線由幾部分不同線段組成時結(jié)合處的點。例5求切口圓柱的水平投影和側(cè)面投影。解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干個一般點Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例6求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影。解題步驟1分析截交線的水平投影為圓的一部分，側(cè)面投影為矩形；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；4整理輪廓線。ⅠⅡⅢⅣ例7求截切圓柱截交線的投影。3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"2.平面與圓錐相交圓橢圓兩條相交直線雙曲線拋物線解題步驟例8已知圓錐與正垂面P相交，求截交線的投影。1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出一般點Ⅴ；4光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。例9求正平面與圓錐的截交線。解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影已知，正面投影為雙曲線并反映實形；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般點ⅣⅤ；4