高級運籌學(xué)課件

層次分析法(AHP)

AHP(AnalyticHierarchyProcess)方法，又稱為層次分析法或多層次權(quán)重解析方法，是20世紀70年代初期由美國著名運籌學(xué)家、匹茲堡大學(xué)薩蒂(T·L·Saaty)教授首次提出來的。該方法是定量和定性分析相結(jié)合的多目標決策方法，能夠有效地分析目標準則體系層次間的非序列關(guān)係，有效地綜合測度決策者的判斷和比較。由於系統(tǒng)、簡潔、實用，在社會、經(jīng)濟、管理等許多方面，得到越來越廣泛的應(yīng)用。

**1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出能夠反映系統(tǒng)內(nèi)在聯(lián)繫的遞階層次結(jié)構(gòu)模型。將具有共同屬性的元素歸併為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個層次。同一層次的元素既對下一層次元素起著制約作用，同時又受到上一層次元素的制約。這樣，構(gòu)造了遞階層次結(jié)構(gòu)模型。AHP的層次結(jié)構(gòu)，既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般來說，可以將層次分為三種類型：

①最高層。只包含一個元素，表示總目標層。

②中間層。包含若干層元素，表示實現(xiàn)總目標所涉及到的各子目標，稱目標層。

③最低層。表示實現(xiàn)各決策目標的可行方案，稱為方案層。

*1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

層次結(jié)構(gòu)中相鄰兩層次元素之間的關(guān)係用直線標明，稱為作用線，元素之間不存在關(guān)係，就沒有作用線。如果某一元素與相鄰下一層次所有元素均有關(guān)系，則稱此元素與下一層次存在完全層次關(guān)係；如果某元素僅與相鄰下一層次部分元素存在關(guān)係，則稱為不完全層次關(guān)係。在實際操作中，模型的層次數(shù)由系統(tǒng)的複雜程度和決策的實際需要而定，不宜過多。每一層次元素一般不要超過9個，過多的元素會給主觀判斷比較帶來困難。構(gòu)造一個合理而簡潔的層次結(jié)構(gòu)模型，是AHP方法的關(guān)鍵。

G…………C1C2……Cs總目標第1層子目標第n層子目標方案層*1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

[例1]構(gòu)建科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型。決策往往涉及眾多因素：成果貢獻、人才培養(yǎng)、可行性、發(fā)展前景四個目標。和這四個目標相關(guān)的因素又有以下幾個：

①實用價值。研究成果給社會帶來的效益，包括經(jīng)濟效益和社會效益。實用價值與成果貢獻、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景等目標都有關(guān)系。

②科技水準。課題在學(xué)術(shù)上的理論價值以及在同行中的領(lǐng)先水準?？萍妓疁手苯雨P(guān)係到成果貢獻、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景。

③優(yōu)勢發(fā)揮。課題發(fā)揮本單位學(xué)科及人才優(yōu)勢程度，體現(xiàn)與同類課題比較的有利因素。與人才培養(yǎng)、課題可行性、發(fā)展前景均有關(guān)系。

④難易程度。指課題本身的難度以及課題組現(xiàn)有人才、設(shè)備條件所決定的成功可能性。與課題可行性、發(fā)展前景相關(guān)聯(lián)。

⑤研究週期。課題研究預(yù)計所需時間，與可行性直接相關(guān)。

⑥財政支持。是指課題的經(jīng)費、設(shè)備以及經(jīng)費來源。與課題可行性、發(fā)展前景直接相關(guān)?？蒲姓n題決策，就是綜合上述各種目標和因素，確定各個課題的相對優(yōu)劣次序，以供優(yōu)選課題和安排科研力量參考。為此，建立科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型。模型從上到下，分為四個層次，層次之司的關(guān)聯(lián)情況均以作用線標明。

*1.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

綜合評價科研課題A課題1……成果貢獻B1人才培養(yǎng)B2可行性B3發(fā)展前景B4實用價值C1科技水平C2優(yōu)勢發(fā)揮C3難易程度C4研究周期C5財政支持C6經(jīng)濟效益C11社會效益C12課題N*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

AHP方法採用優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案優(yōu)劣程度的指標。優(yōu)先權(quán)重是一種相對度量數(shù)，表示方案相對優(yōu)劣的程度，其數(shù)值介於0和

1之間。在給定的決策準則之下，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。方案層各方案關(guān)於目標準則體系整體的優(yōu)先權(quán)重，是通過遞階層次從上到下逐層計算得到。這個過程稱為遞階層次權(quán)重解析過程。

[例2]設(shè)有3個物體，它們的重量分別為g1，g2，g3。為了測出各物體的重量，現(xiàn)將每一物體與其它物體重量兩兩比較：第i個物體重量與其它物體重量相比較，得到3個重量比值gi/g1

，gi/g2，gi/g3

(i=1,2,3)。構(gòu)成一個3行3列的矩陣A，稱為3個物體重量的判斷矩陣。

*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

設(shè)3個物體重量組成的向量為

根據(jù)線性代數(shù)知識，3是矩陣A的最大特徵值，G是矩陣A屬於特徵值3的特徵向量。因此，物體測重問題就轉(zhuǎn)化為求判斷矩陣的特徵值和對應(yīng)的特徵向量，3個物體的重量，就是判斷矩陣最大特徵值3的特徵向量的各個分量。*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

判斷矩陣

產(chǎn)生問題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣的最大特徵值是否存在，是否為單根?

元素aij＞0（稱為正矩陣），i,j=1,2,3，並且滿足下列三個條件：

標度定

義含

義1同樣重要兩元素對某準則同樣重要3稍微重要兩元素對某準則，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對某準則，一元素比另一元素明顯重要7強烈重要兩元素對某準則，一元素比另一元素強烈重要9極端重要兩元素對某準則，一元素比另一元素極端重要2,4,6,8相鄰標度中值表示相鄰兩標度之間折衷時的標度上列標度倒數(shù)反比較元素i對元素j的標度為aij，反之為l/aij*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

實際中，判斷矩陣的構(gòu)造採用Saaty引用的1-9標度方法，各級標度含義如下表。

1-9標度法則符合人的認識規(guī)律，有一定科學(xué)依據(jù)。從人的直覺判斷能力看，在區(qū)分事物數(shù)量差別時，習(xí)慣使用相同、較強、強、很強、極端強等判斷語言。根據(jù)心理學(xué)實驗表明，多數(shù)人對不同事物在相同準則上的差異，其分辨能力介於5-9級之間，1-9標度反映了多數(shù)人的判斷能力。Saaty將l-9標度方法和其他標度方法進行對比，大量模擬實驗證明，1-9標度是可行的，與其它標度方法比較，能更有效地將思維判斷數(shù)量化。

CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a33*1.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特徵向量

[例3]設(shè)有3個元素A1，A2，A3，現(xiàn)在構(gòu)造關(guān)於準則Cr的判斷矩陣

*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定義1:設(shè)如果滿足下列二個條件：則稱A

為互反矩陣。

定義2:設(shè)如果滿足下列三個條件：則稱A

為一致性矩陣。*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定理1(Perron):設(shè)則：①A

有最大的正特徵值

max，並且

max是單根，其餘特徵值的模均小於

max

定理2:設(shè)A

是互反矩陣。②A

的屬於

max的特徵向量X＞0

①若

max是A

的最大特徵值，則

max≥m

②若

1,

2,…,

m

是A的特徵值，則③A是一致性矩陣的充分必要條件是

max=m

*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性定理2:設(shè)A

是一致性矩陣，則：①一致性正矩陣是互反正矩陣；

②A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致性矩陣；③A的每一行均為任意指定一行的正數(shù)倍數(shù)；④A的最大特徵值

max=m，其餘特徵值均為0

；⑤若A的屬於

max的特徵向量為

產(chǎn)生問題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣具有互反性，但是不一定具有一致性，即不一定滿足*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

儘管判斷矩陣不具有完全的一致性，仍希望它的最大特徵值

max略大於階數(shù)m，其餘特徵值接近於零，稱之為滿意的一致性。這樣，計算出的層次單排序結(jié)果才是合理的。因此，必須對判斷矩陣的一致性進行檢驗，使之達到滿意的一致性標準。

設(shè)判斷矩陣A的全部特徵值為：

1=

max，

2，

，

m

由於A是互反矩陣，aii=1，(i=1，2，

，m)。由矩陣理論有

為達到滿意一致性，除了

max之外，其餘特徵值儘量接近於零。取作為檢驗判斷矩陣一致性指標。

階數(shù)12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性C.I越大，偏離一致性越大。反之，偏離一致性越小。判斷矩陣的階數(shù)m越大，判斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大，反之，偏離一致性越小。當(dāng)階數(shù)m≤2時，C.I=0，判斷矩陣具有完全一致性。因此，必須引入平均隨機一致性指標R.I，隨判斷矩陣的階數(shù)而變化，如下表。這些R.I值是用隨機方法構(gòu)造判斷矩陣，經(jīng)過500次以上的重複計算，求出一致性指標，並加以平均而得到的。

一致性指標C.I與同階平均隨機一致性指標R.I的比較值，稱為一致性比率*1.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性用一致性比率C.R檢驗判斷矩陣的一致性，當(dāng)C.R越小時，判斷矩陣的一致性越好。一般認為，當(dāng)C.R≤0.1時，判斷矩陣符合一致性標準，層次單排序的結(jié)果是可以接受的。否則，需要修正判斷矩陣，直到檢驗通過。判斷矩陣的一致性檢驗步驟是：

第一步：求出一致性指標

第二步：查表得到平均隨機一致性指標R.I

第三步：計算一致性比率

當(dāng)C.R≤0.1時，接受判斷矩陣，否則，修改判斷矩陣

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解判斷矩陣A=(aij)m×m是決策者主觀判斷的描述，求解判斷矩陣並不要求過高的精度。有根法、和法及冪法，冪法適於在電腦上運算。

（1）根法

第一步：計算A的每一行元素之積Mi

第二步：計算Mi的m次方根ai

第三步：對向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特徵值對應(yīng)的特徵向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特徵值

max*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法取算述平均值：

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特徵值及其對應(yīng)的特徵向量，並進行一致性檢驗。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（2）和法

第一步：判斷矩陣A的元素按列作歸一化處理得到矩陣Q

第二步：將矩陣Q的元素按行相加，得到向量a

第三步：對向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特徵值對應(yīng)的特徵向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特徵值

max*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法取算述平均值：

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特徵值及其對應(yīng)的特徵向量，並進行一致性檢驗。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗。

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計算

第一步：k=0，任取初始正向量

第二步：k=1，迭代計算定理：設(shè)則，其中E=(1,1,…,1)T，C為常數(shù)

第k+1步：迭代計算（k=0,1,2,3,…）*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計算

第三步：精度檢查，當(dāng)|mk+1-mk|<

，轉(zhuǎn)入第四步；否則令k=k+1，轉(zhuǎn)入第二步

第四步：求最大特徵值和對應(yīng)的特徵向量

kX(k)Y(k)011111118.00008.50001.34290.941210.158023.73122.57660.489110.69060.131133.03672.10830.429810.69430.141543.09612.18480.440610.70570.142353.12292.20180.443110.70500.141963.11952.19830.442610.70470.141973.11892.19800.442610.70470.141983.11892.19800.442610.70470.1419*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特徵值及其對應(yīng)的特徵向量，並進行一致性檢驗。精度=0.0001

解：任取初始正向量

當(dāng)k=7時，|m8－m7|=|3.1189－3.1189|=0＜0.0001，迭代終止。得到

*1.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A不滿足一致性檢驗。

*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式G…………C1C2……Cs總目標第1層子目標第2層子目標方案層……第n層子目標┆*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式第一層n1個子目標關(guān)於總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量（第一層子目標判斷矩陣最大特徵值對應(yīng)的特徵向量）第二層n2個子目標關(guān)於總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量

第二層n2個子目標關(guān)於第一層第1個元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個子目標關(guān)於第一層第2個元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個子目標關(guān)於第一層第n1個元素優(yōu)先權(quán)重向量*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式第三層n3個子目標關(guān)於總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量

第三層n3個子目標關(guān)於第二層第1個元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個子目標關(guān)於第二層第2個元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個子目標關(guān)於第二層第n2個元素優(yōu)先權(quán)重向量*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式第n層nn個子目標關(guān)於總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量

第n層nn個子目標關(guān)於第n-1層第1個元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個子目標關(guān)於第n-1層第2個元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個子目標關(guān)於第n-1層第nn-1個元素優(yōu)先權(quán)重向量*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

二、AHP方法的基本步驟①建立層次結(jié)構(gòu)模型：對決策對象調(diào)查研究，將目標體系所包含的因素劃分為不同層次。

②構(gòu)造判斷矩陣：按照層次結(jié)構(gòu)模型，從上到下逐層構(gòu)造判斷矩陣。每一層元素都以相鄰上一層次各元素為準則，按1-9標度方法兩兩比較構(gòu)造判斷矩陣。也可以用其他改進的標度方法構(gòu)造。③層次單排序及一致性檢驗：求解判斷矩陣最大特徵值和對應(yīng)的特徵向量，經(jīng)過歸一化處理，即得層次單排序權(quán)重向量。層次單排序要進行一致性檢驗，檢驗不合格的要修正判斷矩陣，直到符合滿意的一致性標準。

④層次總排序。層次總排序是從上到下逐層進行的。在實際計算中，一般按表格形式計算較為簡便。*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

[例4]某市中心有一座商場，由於街道狹窄，人員車輛流量過大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政府決定解決這個問題，經(jīng)過有關(guān)專家會商研究制定出三個可行方案：

c1：在商場附近修建一座環(huán)形天橋；

c2：在商場附近修建地下人行通道；

c3：搬遷商場。決策的總目標是改善市中心交通環(huán)境。根據(jù)當(dāng)?shù)氐木唧w條件和有關(guān)情況,專家組擬定五個目標作為對可行方案的評價準則：

b1：通車能力；

b2：方便群眾；

b3：基建費用不宜過高；

b4：交通安全；

b5：市容美觀。試對該市改善市中心交通環(huán)境問題作出決策分析。

*1.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

[解]用AHP方法對此問題作出決策分析

(1)構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型

改善交通環(huán)境A總目標準則層方案層通車能力B1方便群眾B2基建費用B3交通安全B4市容美觀B5天橋C1地道C2搬遷C3*(2)層次單排序及其一致性檢驗①第一層：對於總目標A，準則層各準則構(gòu)造判斷矩陣A(1)，求解最大特徵值及其對應(yīng)的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量(權(quán)重)所以，判斷矩陣A(1)滿足一致性檢驗。

*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應(yīng)的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A1(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B1(通車能力)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應(yīng)的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A2(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B2(方便群眾)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應(yīng)的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A3(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B3(基建費用)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應(yīng)的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A4(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B4(交通安全)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對於各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特徵值及其對應(yīng)的特徵向量，並進行一致性檢驗。最大特徵值特徵向量所以，判斷矩陣A5(2)滿足一致性檢驗。

●對於準則B5(市容美觀)：*(2)層次單排序及其一致性檢驗●第二層權(quán)重向量（此時為層次總排序）這說明三個可行方案的排序結(jié)果是C1＞C2＞C3，即是修建天橋是最滿意方案，其次是修建地下人行通道，最次是搬遷商場。

*習(xí)題一

1、某單位需要建立一個蓄水池，有南區(qū)方案和北區(qū)方案，按照投資合理、效益顯著、運行可靠、管理方便的原則選擇最優(yōu)方案，各項比較準則所需的相關(guān)資料如下，試用確定最佳方案。

目標方案A工程投資B1工程效益B2施工條件B3開挖量C11地基條件C12施工條件C12進水C21管理條件C22影響環(huán)境C23蓄水量C24施工條件C31南區(qū)方案D1北區(qū)方案D2*判斷矩陣：

模糊集合2.0引論一、模糊集合產(chǎn)生的原因

1、現(xiàn)實世界中存在大量的模糊現(xiàn)象和模糊概念。如“青年人”、“高個子”等。

2、研究模糊性具有重要的現(xiàn)實意義。如“做化學(xué)實驗”、“炒萊”等。

3、資訊科學(xué)和人工智慧的發(fā)展促進了模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。如“電視圖像的調(diào)節(jié)”等。人腦思維活動的特點之一：就是能對模糊事物進行識別和判斷。如：要找一個人，只知道他是“高個子，大鬍子”，無須知道他的身高究竟具體是多少米，以及臉上有多少根鬍子、平均有多粗。二、模糊性與隨機性的區(qū)別

1、模糊性：事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合給出的概念不明確。

2、隨機性：事物的概念本身是明確的，只是發(fā)生的條件不充分，使條件與事物的發(fā)生無因果關(guān)係，從而事物的發(fā)生與否表現(xiàn)出不確定性，但有統(tǒng)計規(guī)律。三、起源

1965年，(美)著名控制論教授紮德(L.A.Zadeh)發(fā)表論文“模糊數(shù)學(xué)(fuzzy)”。

給定量研究客觀世界中的模糊性開闢了新途徑。*2.1模糊集合的定義

一、普通集合論知識：確定概念→普通集合→特徵函數(shù)

1、集合的概念：符合某個確定概念的對象的全體。常用字母A、B、C

等表示。因此，確定概念可用集合來表示，集合是確定概念的外延。

2、論域：某議題範圍內(nèi)被討論的全部對象。常用字母U、V、X、Y

等表示。論域中的每個對象叫元素。常用字母a、b、c、d

等表示。如：{中南大學(xué)的學(xué)生}就可以成為一個論域。

⑴有限論域：元素個數(shù)為有限個或可列個的論域。

⑵無限論域：元素個數(shù)為無限個的論域。

3、論域中的子集：論域U中某一部分元素組成的全體叫論域U中的一個集合。

用A、B、

等表示。如論域U={中南大學(xué)的學(xué)生}，則A={中南大學(xué)的男學(xué)生}就是論域U中的一個集合。二、模糊子集的定義：模糊概念→模糊集合→隸屬函數(shù)給定論域

U，稱A是論域

U上的模糊子集(記為?)：如果對x∈U，都有一個確定的數(shù)

A(x)∈[0,1]與之對應(yīng)。此時，映射

A(x)：U[0,1]x

A(x)

A(x)稱為

A的隸屬函數(shù)；數(shù)

A(x)稱為論域U中的元素x對模糊子集A的隸屬度，表示x屬於A的程度。

特例：當(dāng)

A(x)=0、1時，模糊子集?蛻化為普通集合A；

?的隸屬函數(shù)

A(x)蛻化為A特徵函數(shù)CA(x)，即

*

例2-1組成一個100人的評比小組，對五種商品X1,X2,X3,X4,X5進行評比。結(jié)果是：認為商品X1“品質(zhì)好”的有81人，占81%=0.81；認為商品X2“品質(zhì)好”的有53人，占53%=0.53；認為商品X3“品質(zhì)好”的有100人，占100%=1；認為商品X4“品質(zhì)好”的有0人，占0%=0；認為商品X5“品質(zhì)好”的有24人，占24%=0.24。對論域U={X1,X2,X3,X4,X5}(有限論域)中的每一個元素均規(guī)定了一個隸屬度：

X1→0.81，X2→0.53，X3→0.1，X4→0

，X5→0.24

它們確定了U中的一個模糊子集A，表示商品“品質(zhì)好”這一模糊概念。

*

例2-2考查某商店商品銷售利潤的經(jīng)濟效益論域U=[0，k](無限論域)表示該商品銷售利潤額的範圍，則表示商品銷售利潤的“經(jīng)濟效益好”這一模糊概念的模糊子集?，用以下隸屬函數(shù)表示：

其中，n為同期商品銷售額，m為銷售利潤效益最好時刻的利潤率。

*

例2-3取年齡為論域U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”，表示它們的兩模糊子集記為Y與O，其隸屬函數(shù)定義為：

0150

100x0125

100x

若你的年齡x=30歲，則

2.2模糊子集的運算：?仍記為

A(除非特別申明)

1.關(guān)係運算：對論域U

⑴模糊空集

：對xU，均有

(x)=0⑵模糊全集E：對xU，均有

E(x)=1⑶模糊冪集(U)：U中的全體模糊子集(含普通子集)構(gòu)成的普通集合(其元素是模糊子集)。

⑷A=B：對xU，均有

A(x)=B(x)⑸A

B：對xU，均有

A(x)≤B(x)

2.並、交、餘運算：對論域U

⑴並(A∪B)：設(shè)A,B(U),對xU，則A∪B是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

A∪B(x)=Max{A(x),B(x)}=A(x)∨

B(x）

⑵交(A∩B)：設(shè)A,B(U),對xU，則A∩B是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

A∩B(x)=Min{A(x),B(x)}=A(x)∧

B(x）

⑶餘(Ac)：設(shè)A(U),對xU，則Ac是由下列隸屬函數(shù)確定的模糊子集

Ac(x)=1-A(x)

例2-4商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，表示“商品品質(zhì)好”這個模糊概念的模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，“商品品質(zhì)差”這個模糊概念的模糊子集為：B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。則：①表示“商品品質(zhì)或好或差”這個模糊概念的模糊子集為：

A∪B={0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}；

②表示“商品品質(zhì)又好又差”這個模糊概念的模糊子集為：

A∩B={0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}；

③表示“商品品質(zhì)不好”這個模糊概念的模糊子集為：

Ac={1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；**例2-5年齡論域U=[0,100]，給出兩個模糊概念“年輕”和“年老”,對應(yīng)的模糊子集Y與O,隸屬函數(shù)為

0150

100x0125

100x

則：表示“又老又年輕”這個模糊概念的模糊子集為O∪Y：隸屬函數(shù)為

0125

100x

50x*

3.運算性質(zhì)：

⑴對偶律：(

A∪B)c=Ac∩

Bc；(

A∩B)c=Ac∪

Bc⑵冪等律：A∪A=A；A∩A=A⑶交換律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A⑷結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

⑸分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)⑹吸收律：(A∪B)∩A=A；(A∩B)∪A=A⑺兩極律：A∪=A；A∩=

；A∪E=E；A∩E=A⑻還原律：(

Ac)c=A

⑼不滿足互補律：A∪Ac≠E，

A∩Ac≠

⑽偽補律：

A∪Ac(x)=A(x)∨Ac(x)≥?

；

A∩Ac(x)=A(x)∧Ac(x)≤?

例2-6設(shè)有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}

則：A∪Ac={0.81,0.53,1,1,0.76}≠E，並且其隸屬度均大於1/2A∩Ac={0.19,0.47,0,0,0.24}≠

，並且其隸屬度均小於1/2

*

4.幾種常用的模糊算子：須同時滿足對偶律、交換律、結(jié)合律、兩極律

⑴普通實數(shù)乘法

與最大∨算子M(

,∨)：

A∪B(x)=A(x)∨B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)⑵普通實數(shù)乘法

與有界和⊙算子M(

,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中有界和⊙：對a,b[0,1],有a⊙b=min{a+b,1}⑶普通實數(shù)乘法

與概率和△算子M(

,△)：

A∪B(x)=A(x)△B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中概率和△：對a,b[0,1],有a△b=a+b–a·b⑷有界積☆與有界和⊙算子M(☆,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；

A∩B(x)=A(x)☆

B(x)

其中有界積☆：對a,b[0,1],有a☆b=max{0,a+b–1}

例2-7設(shè)有模糊子集為：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。採用算子M(☆,⊙)，得：則：A∪B={0.81⊙0.05，0.53⊙0.21，1⊙0，0⊙0.36，0.24⊙0.57}={0.86，0.74，1，0.36，0.81}A∩B={0.81☆0.05，0.53☆0.21，1☆0，0☆0.36，0.24☆0.57}={0，0，0，0，0}

*2.4模糊集合與普通集合的關(guān)係：模糊集合是普通集合的推廣

1.模糊子集A的

水準截集A

給定模糊子集A(U)，對[0,1]，稱普通集合A

={x|xU,且

A(x)≥}為模糊子集A的

水準截集。

即：A

由U中哪些隸屬度大於或等於

的元素組成，其特徵函數(shù)為：*1

，

0

，

A(x)xoA

U1

例2-8五種商品{X1,X2,X3,X4,X5}，“品質(zhì)好”的模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，進一步研究：有50%以上的人認為“品質(zhì)好”，稱為“合格”，則“合格”商品的集合為

A0.5={X1,X2,X3}，=0.5

有80%以上的人認為“品質(zhì)好”，稱為“優(yōu)良”，則“優(yōu)良”商品的集合為

A0.8={X1,X3}，=0.8

A0.5與A0.8

均是A按一定水準

確定的普通子集(截集)。

2.水準截集A

的性質(zhì)

①(A∪B)

=A

∪B

；

②

(

A∩B)

=A

∩B

；

③設(shè)

1,2[0,1]，且

1≤2，則A1

A2

*3.模糊子集A的核A1、支撐架SuppA、邊界SuppA-A1①A的核

A1={x|A(x)≥1}；

②A的支撐架SuppA

={x|A(x)＞0}

；

③A的邊界SuppA-A1={x|0＜

A(x)＜1};④A0={x|A(x)≥0}=U

例2-9五種商品論域U={X1,X2,X3,X4,X5}，模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，則

A的核

A1={X3}；

A的支撐架SuppA

={X1,X2,X3,X5}；

A的邊界SuppA-A1={X1,X2,X5};A0={X1,X2,X3,X4,X5}=U

A(x)xoA114.由A

生成的模糊子集設(shè)A(X)，其

水準截集為A

，*

，

0

，

1，

0，

分解定理：

或用隸屬函數(shù)

結(jié)論：任何模糊數(shù)學(xué)問題，均可通過分解定理用經(jīng)典集合論方法處理；從概念上講，模糊數(shù)學(xué)是經(jīng)典數(shù)學(xué)的推廣和發(fā)展；

A(x)xoA

U12.5實數(shù)域上的模糊集

論域X=R=(-∞,+∞)上的模糊子集A的隸屬函數(shù)稱為模糊分佈。

1.戒上型：

*1

，x＜a

0

，x≥a

①降半矩形分佈

②降半

分佈

,x＞a

1,x≤a

，其中k＞0

③降半正態(tài)分佈

,x＞a

1,x≤a

④降半柯西分佈

,x＞a

1,x≤a

,其中k,

＞0

⑤降半梯形分佈

0,x≥a1

1,x＜a2

,a2＜x≤a1

2.戒下型：

*0

，x≤a

1

，x＞a

①升半矩形分佈

②升半

分佈

0,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

③升半正態(tài)分佈

0,x≤a

,x＞a

④升半柯西分佈

0,x≤a

,x＞a

,其中k,

＞0

⑤升半梯形分佈

0,x≤a1

1,x＞a2

,a1＜x≤a2

3.對稱型：

*①矩形分佈

②尖

分佈

③正態(tài)分佈

④柯西分佈

⑤梯形分佈

0

，x≤a-b

1

，a-b＜x≤a+b

0

，x＞a+b

,x≤a

,x＞a

，其中k＞0

0,x≤a-a2

,a-a2＜x≤a-a11,a-a1＜x≤a+a1

,a+a1＜x≤a+a2

0,x＞a+a2

由擴張原理有

*

解：U={0,2,4,6,8,10}，V={a,b,c,d}

a

，x=0,2,4b

，x=6,8

c

，x=10

模糊關(guān)係

3.1模糊關(guān)係的定義

從普通集合A到普通集合B的一個模糊關(guān)係R是指：以笛卡爾積

A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}為論域的一個模糊子集

R，

記作R：AB，或R∈(A×B)

其隸屬函數(shù)為

R(a,b)，稱為(a,b)具有模糊關(guān)係R的程度。

R：A×B[0,1](a,b)A(a,b)

若A=B

，則稱

R：A×A[0,1](a1,a2)A(a1,a2)

為A上的模糊關(guān)係。

例3-1設(shè)A={品質(zhì)好,品質(zhì)一般,品質(zhì)差}，B={價格高,價格中等,價格低}是兩個普通集合，則表示“質(zhì)價相符”這個模糊關(guān)係R，就是笛卡爾積A×B上的一個模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

*R價格高價格中等價格低品質(zhì)好10.70品質(zhì)一般0.810.5品質(zhì)差00.61

例3-3設(shè)X，Y為兩個坐標軸，則表示“x遠遠大於y”這個模糊關(guān)係R，就是笛卡爾積X×Y上的一個模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

*0,x≤y

,x＞y

若取x=101，y=1，則x遠遠大於y的程度是：

例3-2設(shè)A={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}，則表示這五種幾何圖形“相似關(guān)係”R，就是笛卡爾積A×A上的一個模糊子集，其隸屬函數(shù)為：

R直線園橢圓雙曲線拋物線直線100.10.20.3園010.90.50.4橢圓0.10.910.70.6雙曲線0.20.50.710.8拋物線0.30.40.60.81

3.2模糊矩陣一、概念

當(dāng)論域A、B為有限集時，模糊關(guān)係R可用矩陣表示，記為R=(rij),0≤rij≤1，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

例如:“質(zhì)價相符”這個模糊關(guān)係的模糊矩陣為：*

五種幾何圖形“相似”這個模糊關(guān)係的模糊矩陣為：

特例：當(dāng)隸屬度為0和1時，模糊矩陣變?yōu)槠胀ň仃?。?

二、幾種特殊的模糊矩陣：

①表示A×B上的“零關(guān)係”的零矩陣O：

*(a,b)A×B，

o(a,b)=0。即A與B中任意元素之間具有關(guān)係O的程度為0。

②表示A×A上的“恒等關(guān)係”的恒等矩陣I：

(a,b)A×A，當(dāng)a=b時,I(a,b)=1；當(dāng)a≠b時,I(a,b)=0。即A中任意元素自己與自己具有關(guān)係I的程度為1，與其餘元素具有關(guān)係I的程度為0。

③表示A×B上的“全稱關(guān)係”的全矩陣E：

(a,b)A×B，

E(a,b)=1。即A與B中任意元素之間具有關(guān)係E的程度均為1。

三、模糊矩陣的運算：設(shè)有模糊矩陣R=(rij)n×m

，S=(sij)n×m

①R與S的並：R∪S=(rij∨sij)；

②R與S的交：R∩S=(rij∧sij)；

③R的餘：Rc=(1-rij)；

④R與S相等：R=S，i,j，均有rij=sij

；

⑤R包含於S：R

S，i,j，均有rij≤sij

。

*例如：

*

四、模糊矩陣的運算性質(zhì)：

⑴冪等律：R∪R=R，R∩R=R；

⑵交換律：R∪S=S∪R，R∩S=S∩R；

⑶結(jié)合律：(R∪S)∪T=R∪(S∪T)，(R∩S)∩T=R∩(S∩T)；

⑷分配律：(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)，(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)；

⑸吸收律：(R∪S)∩S=S，(R∩S)∪S=S；

⑹兩極律：O∪R=R，O∩R=O，E∪R=E，E∩R=R；

⑺還原律：(Rc)c=R⑻R

S

R∪S=S，R∩S=R；

⑼R

S

Rc

Sc

；

⑽R1

S1,R2

S2

(R1∪R2)

(S1∪S2),(R1∩R2)

(S1∩S2)⑾O

RE

五、模糊矩陣R的

截矩陣R

：是一個普通矩陣設(shè)R=(rij)，對[0,1]，稱R

=(rij(

))為R的

截矩陣。

1,rij≥

0,rij＜

六、R

的運算性質(zhì)：

⑴對[0,1]，有R

S

R

S

；

⑵(R∪S)

=R

∪S

，(R∩S)

=R

∩S

。*

例3-4設(shè)有模糊矩陣：

則：

例3-5商品“質(zhì)價相符”模糊關(guān)係的模糊矩陣為：

若參加者都認為“質(zhì)價相符”,則記為100%=1；無人認為“質(zhì)價相符”,則記為0%=0；有70%的人認為“質(zhì)價相符”,則記為70%=0.7。而質(zhì)檢和物價部門確定商品“質(zhì)價關(guān)係”時，把全部的人認為“質(zhì)價相符”定為“完全相符”;80%以上的人認為“質(zhì)價相符”定為“相符”;50%以上的人認為“質(zhì)價相符”定為“基本相符”。

取=1，0.8，0.5得

截矩陣：

3.3模糊關(guān)係的合成

1、模糊關(guān)係合成的概念：

設(shè)有論域X、Y、Z，Q∈(X×Y)、R∈(Y×Z)

，則Q對R的合成Q

R∈(X×Z)，即Q

R是一個由X到Z的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)定義為：

*

特例：若X=Y=Z，則對X上的一個模糊關(guān)係R，記R

R=R2

2、對有限論域，模糊關(guān)係的合成可用模糊矩陣的運算表示：設(shè)論域X={x1,x2,…,xn}、Y={y1,y2,…,ym}、Z={z1,z2,…,zl}，

Q=(qij)n×m∈(X×Y)、R=(rjk)m×l∈(Y×Z)

，則Q對R的合成S=Q

R=(sik)n×l∈(X×Z)，並且*

例3-7設(shè)有模糊矩陣：

則：

*3、模糊矩陣合成的運算性質(zhì)：

⑴(Q

R)

=Q

R

；

例4-8設(shè)有模糊矩陣：取=0.6

則：

⑵(Q

R)S=Q(RS)

；

⑶Rm+n=Rm

Rn

；

⑷Q

R

QS

RS

；

Q

R

SQ

SR

；

Q

RQn

Rn⑸O

R=RO=O

；I

R=RI=R；

*⑹(Q∪R)

S=(Q

S)∪(R

S)，S

(Q∪R)

=(S

Q)∪(S

R)；

⑺(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)，S

(Q∩R)

≠(S

Q)∩(S

R)；

例3-9設(shè)有模糊矩陣：

則:(Q∩R)

S

(Q

S)∩(R

S)

(Q∩R)

S≠(Q

S)∩(R

S)

⑻Q

R≠R

Q；

例3-10設(shè)有模糊矩陣：

則:

Q

R≠R

Q

3.4幾種常見的模糊關(guān)係

1、模糊倒置關(guān)係：

設(shè)R∈(X×Y)，即R是X到

Y上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x,y)，則RT∈(Y×X)，是Y到

X上的模糊關(guān)係，稱為R的倒置關(guān)係，其隸屬函數(shù)定義為：

*

特例，對有限論域X、Y，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，則RT的模糊矩陣為RT=(rji)n×m

例3-11商品“質(zhì)價相符”模糊矩陣為：則商品“價質(zhì)相符”模糊矩陣為：2、模糊對稱關(guān)係：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若對x1,x2

X

，均滿足

則稱R是模糊對稱關(guān)係。特例，對有限論域X，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若滿足RT=R，則R為模糊對稱矩陣。

例3-12模糊矩陣

則由RT=R，知R為模糊對稱矩陣。*3、模糊自反關(guān)係：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若對xX

，均滿足

則稱R是模糊自反關(guān)係。特例，對有限論域X，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R主對角線上的元素均為1，則模糊矩陣R為模糊自反矩陣。

例3-13模糊矩陣

則R為模糊自反矩陣。4、模糊相似關(guān)係：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若R既是對稱關(guān)係又是自反關(guān)係，則稱R是X上的模糊相似關(guān)係，其隸屬函數(shù)滿足：對x1,x2,xX

，均有

特例，對有限論域X，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)m×n，若R對稱且主對角線上的元素均為1，則R為模糊相似矩陣。*

例3-14論域U={直線,園,橢圓,雙曲線,拋物線}上的模糊矩陣因為R既是模糊對稱矩陣又是模糊自反矩陣，所以R為U上五種幾何圖形間的模糊相似矩陣。

轉(zhuǎn)置模糊矩陣運算性質(zhì)：

⑴(RT)T=R；

⑵(R∪Q)T=RT∪QT

，(R∩Q)T=RT∩QT

；

⑶R

Q

RT

QT

；

⑷(RT)

=(R

)T；

⑸(Q

R

)T=QT

RT，(Rn)T=(RT)n；

⑹對

模糊矩陣R：R∪RT必是對稱矩陣,

且R∪RT被所有包含R的對稱矩陣所包含。

*5、模糊傳遞關(guān)係：

⑴普通傳遞關(guān)係R：對x,y,zX，若(x,y)

R,(y,z)

R

(x,z)

R

如幾何中的平行關(guān)係

就普通傳遞關(guān)係：若ab,bcac⑵模糊傳遞關(guān)係R：

設(shè)R∈(X×X)，即R是X上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x1,x2)，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞關(guān)係，其隸屬函數(shù)滿足：對x1,x2,x3

X

，均有

特例，對有限論域X，模糊關(guān)係R可表示為模糊矩陣R=(rij)n×n，其隸屬度為rij

，

若RR

R(或R2

R)，則稱R是X上的模糊傳遞矩陣，其隸屬度滿足：

例3-15影響企業(yè)經(jīng)濟效益的主要因素構(gòu)成論域

U={銷售額(X1),購銷費用(X2),零售利潤(X3)},

它們彼此影響的模糊關(guān)係矩陣為：即RR

R，所以R為模糊傳遞矩陣。*⑶模糊關(guān)係R的

截關(guān)係

R

：

設(shè)R∈(X×Y)，即R是X到Y(jié)上的模糊關(guān)係，其隸屬函數(shù)為

R(x,y)，

對[0,1]，R的

截關(guān)係R

是X到Y(jié)上的普通關(guān)係，其特徵函數(shù)為

特例，當(dāng)X=Y時，稱R

是X上的

截關(guān)係。1,

R(x,y)

≥

0,

R(x,y)

＜

⑷模糊傳遞關(guān)係與普通傳遞關(guān)係的聯(lián)繫：

[定理]：設(shè)R∈(X×X)，即R是X到X上的模糊關(guān)係，則：

R是模糊傳遞關(guān)係

對[0,1]，R的

截關(guān)係R

均是普通傳遞關(guān)係。*6、模糊等價關(guān)係：

⑴普通等價關(guān)係R：若普通關(guān)係R同時具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是普通等價關(guān)係。

⑵模糊等價關(guān)係R：若模糊關(guān)係R同時具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R是模糊等價關(guān)係。特例，對有限論域，模糊等價關(guān)係R可表示為模糊等價矩陣R=(rij)n×n，

例3-16上例中的模糊關(guān)係矩陣：為模糊自反、對稱、傳遞矩陣。故R為模糊等價矩陣。[定理]模糊矩陣R是模糊等價矩陣

對[0,1],R的

截矩陣R

均是普通等價矩陣。

模糊綜合評判

4.1模糊綜合評判數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用一、綜合評判數(shù)學(xué)模型

設(shè)有二個論域：X={X1,X2,…,Xn}表示綜合評判多種因素的集合，

Y={Y1,Y2,…,Yn}表示評語集合，則模糊變換AR=B稱為綜合評判數(shù)學(xué)模型。其中：R(X×Y)，是X×Y上的模糊關(guān)係矩陣；

A是X上的模糊子集，即各評判因素的權(quán)重，

B是Y上的模糊子集，即評判結(jié)果。二、綜合評判步驟

1、確定R：對因素集X中各個因素，用各種可行方法分別作出對評語集Y中各個評語的單因素評判，進而得到一個實際上表示X和Y間模糊關(guān)係的模糊矩陣R。

2、確定A：對因素集X中各個因素，確定其在被評判事物中的重要程度(權(quán)重)，且權(quán)重之和為1。

3、確定B：作模糊變換B=AR，則B正好表示被評判事物在評語集Y上的綜合評判結(jié)果。*R輸入A輸出BAR=B*

例4-1市場調(diào)查與銷售預(yù)測時，欲知某商品受歡迎的程度?，F(xiàn)確定顧客從品質(zhì)、價格、花色、式