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文檔簡介
廣東省紫金縣2024屆高三第六次考試數(shù)學試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一袋中裝有個紅球和個黑球(除顏色外無區(qū)別),任取球,記其中黑球數(shù)為,則為()A. B. C. D.2.在平面直角坐標系中,若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點,使不等式成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.4.設(shè),,,則、、的大小關(guān)系為()A. B. C. D.5.設(shè)過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點,直線與拋物線的另一個交點為,則()A. B. C. D.6.如圖,在平行四邊形中,為對角線的交點,點為平行四邊形外一點,且,,則()A. B.C. D.7.已知定義在上的偶函數(shù),當時,,設(shè),則()A. B. C. D.8.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.9.已知實數(shù)、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.10.曲線在點處的切線方程為()A. B. C. D.11.已知,則的值等于()A. B. C. D.12.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為拋物線:的焦點,過作兩條互相垂直的直線,,直線與交于、兩點,直線與交于、兩點,則的最小值為__________.14.的展開式中,的系數(shù)為____________.15.某公園劃船收費標準如表:某班16名同學一起去該公園劃船,若每人劃船的時間均為1小時,每只租船必須坐滿,租船最低總費用為______元,租船的總費用共有_____種可能.16.為激發(fā)學生團結(jié)協(xié)作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個班進行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽1場,目前(—)班已賽了4場,(二)班已賽了3場,(三)班已賽了2場,(四)班已賽了1場.則目前(五)班已經(jīng)參加比賽的場次為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,已知點,若以線段為直徑的圓與軸相切.(1)求點的軌跡的方程;(2)若上存在兩動點(A,B在軸異側(cè))滿足,且的周長為,求的值.18.(12分)已知橢圓的離心率為,直線過橢圓的右焦點,過的直線交橢圓于兩點(均異于左、右頂點).(1)求橢圓的方程;(2)已知直線,為橢圓的右頂點.若直線交于點,直線交于點,試判斷是否為定值,若是,求出定值;若不是,說明理由.19.(12分)在中,,是邊上一點,且,.(1)求的長;(2)若的面積為14,求的長.20.(12分)在直角坐標系中,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點為,曲線與軸的交點為,點,求的周長的最大值.21.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上,張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲,每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次,每個人擊中鼓則得積分100分,沒有擊中鼓則扣積分50分,最終積分以家庭為單位計分.已知張明每次擊中鼓的概率為,王慧每次擊中鼓的概率為;每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響,假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.(1)若家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機,問張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機的概率是多少?(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學期望.22.(10分)已知橢圓:的四個頂點圍成的四邊形的面積為,原點到直線的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點,是否存在過的直線,使與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過橢圓的左頂點?若存在,求出的方程:若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】
由題意可知,隨機變量的可能取值有、、、,計算出隨機變量在不同取值下的概率,進而可求得隨機變量的數(shù)學期望值.【題目詳解】由題意可知,隨機變量的可能取值有、、、,則,,,.因此,隨機變量的數(shù)學期望為.故選:A.【題目點撥】本題考查隨機變量數(shù)學期望的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】
依據(jù)線性約束條件畫出可行域,目標函數(shù)恒過,再分別討論的正負進一步確定目標函數(shù)與可行域的基本關(guān)系,即可求解【題目詳解】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖所示:其中,直線過定點,當時,不等式表示直線及其左邊的區(qū)域,不滿足題意;當時,直線的斜率,不等式表示直線下方的區(qū)域,不滿足題意;當時,直線的斜率,不等式表示直線上方的區(qū)域,要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點,使不等式成立,只需直線的斜率,解得.綜上可得實數(shù)的取值范圍為,故選:B.【題目點撥】本題考查由目標函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題,分類討論與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題3、C【解題分析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運算,運用平面向量基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡計算即可得到所求值.【題目詳解】在直角中,,,,,
,
若,則故選C.【題目點撥】本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運算能力,屬于中檔題.4、D【解題分析】
因為,,所以且在上單調(diào)遞減,且所以,所以,又因為,,所以,所以.故選:D.【題目點撥】本題考查利用指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對數(shù)的大小,難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小,還可以根據(jù)中間值“”比較大小.5、C【解題分析】
畫出圖形,將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長度比,進而轉(zhuǎn)為坐標的表達式。寫出直線方程,再聯(lián)立方程組,求得交點坐標,最后代入坐標,求得三角形面積比.【題目詳解】作圖,設(shè)與的夾角為,則中邊上的高與中邊上的高之比為,,設(shè),則直線,即,與聯(lián)立,解得,從而得到面積比為.故選:【題目點撥】解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長的比例關(guān)系,進而聯(lián)立方程組求解,是一道不錯的綜合題.6、D【解題分析】
連接,根據(jù)題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運算即可求出答案【題目詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.【題目點撥】本題考查向量的線性運算問題,屬于基礎(chǔ)題7、B【解題分析】
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時,,求得導函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進而判斷函數(shù)在時的單調(diào)性,即可比較大小.【題目詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當時,,則,令則,當時,,則在時單調(diào)遞增,因為,所以,即,則在時單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【題目點撥】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.8、C【解題分析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【題目詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】
作出不等式組表示的平面區(qū)域,作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線,結(jié)合圖象知當直線過點時,取得最大值.【題目詳解】解:作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部,如下圖表示:當目標函數(shù)經(jīng)過點時,取得最大值,最大值為.故選:C.【題目點撥】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識,屬于中檔題.10、A【解題分析】
將點代入解析式確定參數(shù)值,結(jié)合導數(shù)的幾何意義求得切線斜率,即可由點斜式求的切線方程.【題目詳解】曲線,即,當時,代入可得,所以切點坐標為,求得導函數(shù)可得,由導數(shù)幾何意義可知,由點斜式可得切線方程為,即,故選:A.【題目點撥】本題考查了導數(shù)的幾何意義,在曲線上一點的切線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】
由余弦公式的二倍角可得,,再由誘導公式有,所以【題目詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選:A【題目點撥】本題考查了學生對二倍角公式的應(yīng)用,要求學生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導公式,屬于簡單題12、A【解題分析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【題目詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當且僅當時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【題目點撥】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、16.【解題分析】由題意可知拋物線的焦點,準線為設(shè)直線的解析式為∵直線互相垂直∴的斜率為與拋物線的方程聯(lián)立,消去得設(shè)點由跟與系數(shù)的關(guān)系得,同理∵根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離∴,同理∴,當且僅當時取等號.故答案為16點睛:(1)與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,可以使運算化繁為簡.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑;(2)圓錐曲線中的最值問題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件.14、16【解題分析】
要得到的系數(shù),只要求出二項式中的系數(shù)減去的系數(shù)的2倍即可【題目詳解】的系數(shù)為.故答案為:16【題目點撥】此題考查二項式的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、36010【解題分析】
列出所有租船的情況,分別計算出租金,由此能求出結(jié)果.【題目詳解】當租兩人船時,租金為:元,當租四人船時,租金為:元,當租1條四人船6條兩人船時,租金為:元,當租2條四人船4條兩人船時,租金為:元,當租3條四人船2條兩人船時,租金為:元,當租1條六人船5條2人船時,租金為:元,當租2條六人船2條2人船時,租金為:元,當租1條六人船1條四人船3條2人船時,租金為:元,當租1條六人船2條四人船1條2人船時,租金為:元,當租2條六人船1條四人船時,租金為:元,綜上,租船最低總費用為360元,租船的總費用共有10種可能.故答案為:360,10.【題目點撥】本小題主要考查分類討論的數(shù)學思想方法,考查實際應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.16、2【解題分析】
根據(jù)比賽場次,分析,畫出圖象,計算結(jié)果.【題目詳解】畫圖所示,可知目前(五)班已經(jīng)賽了2場.故答案為:2【題目點撥】本題考查推理,計數(shù)原理的圖形表示,意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解題分析】
(1)設(shè),則由題設(shè)條件可得,化簡后可得軌跡的方程.(2)設(shè)直線,聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達定理化簡并求得,結(jié)合焦半徑公式及弦長公式可求的值及的長.【題目詳解】(1)設(shè),則圓心的坐標為,因為以線段為直徑的圓與軸相切,所以,化簡得的方程為.(2)由題意,設(shè)直線,聯(lián)立得,設(shè)(其中)所以,,且,因為,所以,,所以,故或(舍),直線,因為的周長為所以.即,因為.又,所以,解得,所以.【題目點撥】本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長計算,還涉及到向量的數(shù)量積.一般地,拋物線中的弦長問題,一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程,再把已知等式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關(guān)系式,該關(guān)系中含有或,最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某一個變量的方程.本題屬于中檔題.18、(1)(2)定值為0.【解題分析】
(1)根據(jù)直線方程求焦點坐標,即得c,再根據(jù)離心率得,(2)先設(shè)直線方程以及各點坐標,化簡,再聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達定理代入化簡得結(jié)果.【題目詳解】(1)因為直線過橢圓的右焦點,所以,因為離心率為,所以,(2),設(shè)直線,則因此由得,所以,因此即【題目點撥】本題考查橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.19、(1)1;(2)5.【解題分析】
(1)由同角三角函數(shù)關(guān)系求得,再由兩角差的正弦公式求得,最后由正弦定理構(gòu)建方程,求得答案.(2)在中,由正弦定理構(gòu)建方程求得AB,再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC,最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【題目詳解】(1)據(jù)題意,,且,所以.所以.在中,據(jù)正弦定理可知,,所以.(2)在中,據(jù)正弦定理可知,所以.因為的面積為14,所以,即,得.在中,據(jù)余弦定理可知,,所以.【題目點撥】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形,還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡求值,屬于簡單題.20、(1)曲線的直角坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解題分析】
(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設(shè),,,所以,,,所以,因為,所以,所以當,即時,l取得最大值為,所以的周長的最大值為.21、(1)(2)詳見解析【解題分析】
(1)要積分超過分,則需兩人共擊中次,或者擊中次,由此利用相互獨立事件概率計算公式,計算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根據(jù)相互獨立事件概率計算公式,計算出分布列并求得數(shù)學期望.【題目詳解】(1)由題意,當家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機,所以要想領(lǐng)取一臺全自動洗衣機,則需要這個家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件為“張明第次擊中”,事件為“王慧第次擊中”,
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