濱州學院復變函數(shù)期末復習題及參考答案

第/\*Arabic1頁2023年下學期復變函數(shù)復習資料一、多項選擇題1.關于對數(shù)函數(shù)的性質,下列各式正確的是()。(1分)A.

B.

C.

D.

在除去原點及負實軸的復平面上,有

答案：ABD2.函數(shù),所以,則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABCD3.復變量冪級數(shù)具有下列性質()。(1分)A.

冪級數(shù)的和在它的收斂圓的內部是一個解析函數(shù)B.

冪級數(shù)的和在它的收斂圓的外部是一個解析函數(shù)C.

冪級數(shù)的和在它的收斂圓的內部可以任意逐項求導任意次D.

冪級數(shù)的和在它的收斂圓的內部可以任意逐項積分任意次答案：ACD4.下列復變函數(shù)是周期函數(shù)的是()。(1分)A.;B.

;C.

;D.

;答案：ABC5.對于復數(shù),下列不等式正確的是()。(1分)A.B.

C.

D.

答案：AC6.關于復數(shù)模,下面正確的是()。(1分)A.

復數(shù)的模,

B.

C.

為實數(shù),

是復數(shù),則

D.

答案：ABCD7.下列各式正確的是()。(1分)A.

,其中;B.

;C.

;D.

;

答案：ABCD8.分式線性映射(為復數(shù)且)可分解為()。(1分)A.

;

B.

(為實數(shù));C.

();

D.

;

答案：ABCD9.對復數(shù),下列正確的有()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABC10.函數(shù)在處可導,則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：AD11.下列關于曲線積分的性質正確的是()。(1分)A.

,其中為復常數(shù);B.

;C.

;D.

。答案：ABC12.設,則是()。(1分)A.開集B.閉集C.有界集D.無界集答案：AC13.設與都是區(qū)域D上的解析函數(shù),則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABCD14.關于余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的性質,下列各式正確的是()。(1分)A.

;

B.

;C.

D.

答案：CD15.設,。關于復變函數(shù)極限性質正確的是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABCD16.關于復變函數(shù)的最大模原理,下面論述正確的是()。(1分)A.

若函數(shù)在開平面內解析且有界,則必為常數(shù);B.

在區(qū)域內解析的函數(shù),若其模在的內點達到最大值,則此函數(shù)必恒為常數(shù);C.

若在有界區(qū)域內解析,在上連續(xù),則必在

的邊界上達到最大模;D.

若函數(shù)區(qū)域內解析,又不是常數(shù),則在內沒有最大值;答案：ABCD17.若函數(shù)在區(qū)域D內解析,并滿足下列條件()之一時,必為常數(shù)。(1分)A.

;B.

常數(shù);C.

常數(shù);D.

為常數(shù);

答案：ABCD18.若在區(qū)域內解析,而且滿足下列條件()之一時,則在內為常數(shù)。(1分)A.

;

B.

常數(shù);C.

常數(shù);

D.

為常數(shù);答案：ABCD19.下列各項正確的是()。(1分)A.

;B.

;C.

;D.

;

答案：ABCD20.在復平面內可微的某些初等函數(shù),下面正確的是()。(1分)A.

,對任意的,為某復數(shù),則;

B.

若,

,

則;C.

為次復變量多項式,則

;D.

為次復變量多項式,則

答案：ABC21.當為正整數(shù)時,()。(1分)A.

B.

(C.

D.

答案：ABC22.函數(shù)的奇點有()。(1分)A.

;

B.

C.

D.

答案：ABC23.關于余弦函數(shù)和正弦函數(shù),下列各式正確的是()。(1分)A.

及都是單值函數(shù);

B.

及都是以

為周期的周期函數(shù);C.

為偶函數(shù),為奇函數(shù);D.

。

答案：ABCD24.函數(shù)在處可導,則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：ABCD25.級數(shù)是()。(1分)A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂D.絕對收斂答案：AD26.設,則是()。(1分)A.開集B.閉集C.有界集D.無界集答案：BC27.分式線性函數(shù)可分解為下列()的復合。(1分)A.

平移映射;B.

旋轉映射;C.

相似映射;D.

反演映射答案：ABCD28.復變函數(shù)的孤立奇點可以分為()。(1分)A.

可去奇點;B.

極點;C.

本性奇點;D.

零點;答案：ABC29.如果是單聯(lián)通區(qū)域D內的解析函數(shù),則()。(1分)A.

由變上限的積分所確定的函數(shù)也是D內的解析函數(shù),而且

;

B.

為的一個原函數(shù),有,

其中,

為D內的點;C.

有函數(shù)恒滿足時,稱是

的原函數(shù);

D.

與均為的原函數(shù)時,;

答案：ABCD30.關于分式線性映射,下列論斷正確的是()。(1分)A.

在擴充復平面上,分式線性映射能把圓變成圓;B.

分式線性映射將平面上圓的對稱點變換為平面上該圓的對稱點;C.

有且僅有一個線性變換將平面上相異三點

變換為平面上的相異的三點

,

,;D.

有多個線性變換將平面上相異三點

變換為平面上的相異的三點

,

,;答案：ABC二、簡答題31.設,求及。(1分)答案：解,。

,

其中,。

故,;

。32.求解析函數(shù),已知,。(1分)答案：解易驗證是全平面上的調和函數(shù)。利用C-R方程,先求出的兩個偏導數(shù)

,,

則

。

所以

又因為,所以。

故得到。33.用三角表示計算。(1分)答案：解因為

,

,

所以

。34.計算,其中為任意整數(shù),為以為中心,為半徑的圓周。(1分)答案：解C的參數(shù)方程為

,,

。35.求函數(shù)在的留數(shù)。(1分)答案：解,而,故是函數(shù)的一階極點,根據(jù)求留數(shù)法則II

.36.求級數(shù),,的收斂半徑,并討論它們在收斂圓上的斂散性。(1分)答案：解這三個級數(shù)都有,故。但它們在收斂圓上的斂散性卻不同。

在收斂圓上由于,故在上處處發(fā)散;

在的處收斂,處發(fā)散;

在上處處絕對收斂,故也處處收斂。37.將函數(shù)在圓環(huán)域內展開為洛朗級數(shù)。(1分)答案：解首先將分解成部分分式

.

在內,由于,從而,所以

。38.計算積分.(1分)答案：解由于在圓周內部有簡單極點及二階極點.

由法則1,有

.

由法則3,有

.

由留數(shù)定理得

.39.調和是調和函數(shù),并求以為實部的解析函數(shù),使之適合(1分)答案：解因為

,,

,.

所以

.

且的二階偏導數(shù)連續(xù),故為調和函數(shù).

由于,得

,

及所以,即.因此

。

因而得到一個解析函數(shù)。

因為,故C=1,所以。40.求函數(shù)在的領域內的泰勒級數(shù)。(1分)答案：解已知,當時,。

由于在全平面除去及以外解析,故在內可以展開為冪級數(shù)。

因而

三、單項選擇題41.()。(1分)A.0B.

C.

D.

答案：C42.設,在全平面上的復變函數(shù),下面正確的是()。(1分)A.

,B.

,C.

D.

,答案：C43.設函數(shù),則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D44.任意一個不為0的復數(shù)開次方有()個根。(1分)A.

B.

C.

D.無窮多

答案：C45.對任意的實數(shù),有()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B46.復變函數(shù)在導數(shù)()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C47.復變量的正弦函數(shù)定義為()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D48.設函數(shù)在區(qū)域D內解析,則()。(1分)A.

是區(qū)域D內的調和函數(shù),不是區(qū)域D內的調和函數(shù)

B.

不是區(qū)域D內的調和函數(shù),是區(qū)域D內的調和函數(shù)C.

,都是區(qū)域D內的調和函數(shù)D.

,都不是區(qū)域D內的調和函數(shù)答案：C49.若二元實函數(shù)是區(qū)域D內的調和函數(shù),則滿足()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C50.復數(shù)的三角表示式是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D51.若C是以為中心,r為半徑的圓周,則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A52.開集的余集稱為()。(1分)A.開集B.閉集C.有界集D.無界集答案：B53.對復數(shù),有()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A54.設函數(shù),,,則的充分必要條件是()。(1分)A.

,

B.

,

C.

,D.

,答案：A55.復變函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是()。(1分)A.

在處連續(xù)B.

在處連續(xù)

C.

與在處連續(xù)

D.

或在處連續(xù)答案：C56.是函數(shù)的()。(1分)A.可去奇點B.簡單極點C.本性奇點D.零點答案：D57.若,則()。(1分)A.

,

B.

,

C.

,

,

D.

,

,

答案：C58.設函數(shù),則()。(1分)A.

B.

C.

D.

不存在答案：D59.復變函數(shù),其中,則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A60.任意一條簡單閉曲線將平面分成()個區(qū)域。(1分)A.

1B.

2C.

3D.

0答案：B61.設,則是()。(1分)A.余集B.閉集C.開集D.無界集答案：C62.函數(shù)在孤立奇點處的留數(shù)()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B63.設平面點集,則的邊界是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C64.設C為多連通區(qū)域D內的一條簡單閉曲線,,是在C內部的簡單閉曲線,它們互不包含也互不相交,并且,,為邊界的區(qū)域全含于D,如果在D內解析,則有()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A65.設函數(shù)在單連通區(qū)域D內解析,則在D內沿任意一條簡單閉曲線C的積

分()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A66.函數(shù),將點映射為點()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D67.棣莫弗(DeMoivre)公式是()。(n為整數(shù))(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B68.設,則復數(shù)的共軛復數(shù)()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C69.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D70.函數(shù)在點的奇點類型是()。(1分)A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.零點答案：C71.滿足方程的點的軌跡是()。(1分)A.

以

為中心,半徑為1的圓。B.

以

為中心,半徑為1的圓.C.

以為中心,半徑為的圓.D.

以為中心,半徑為的圓.答案：A72.級數(shù)是()。(1分)A.不能確定B.發(fā)散的C.絕對收斂D.條件收斂答案：C73.設函數(shù),則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B74.函數(shù)的奇點是()。(1分)A.

及

B.

及C.

及D.

及答案：B75.()。(1分)A.

B.

C.和D.

或答案：C76.不為0的復數(shù),其輻角任意兩個值相差()的整數(shù)倍。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B77.函數(shù)在點的奇點類型是()。(1分)A.可去奇點B.極點C.本性奇點D.零點答案：A78.若均為有限復數(shù),則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D79.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A80.對于一個不為的復數(shù),它的實部與虛部同它的模與輻角之間的關系是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A81.()。(1分)A.0B.

C.

D.

答案：B82.冪級數(shù)的收斂半徑()。(1分)A.

B.

C.

D.不存在答案：A83.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C84.復變量的余弦函數(shù)定義為()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C85.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B86.為正整數(shù),則=()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A87.映射在處的伸縮率是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C88.設,()。(1分)A.

B.

C.

+,

D.

答案：B89.設,,,則的充分必要條件是()。(1分)A.

B.

C.

或D.

和答案：D90.設函數(shù)在單連通區(qū)域D內解析,與為D內任意兩點,與為連接與的積分路線,,都含于D,則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A91.復數(shù)的模為()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D92.復數(shù)的主輻角()。(1分)A.

B.

C.

D.答案：B93.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A94.()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：A95.設函數(shù),則()。(1分)A.

B.

C.

不存在D.

答案：A96.映射在處的旋轉角是()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：D97.為常數(shù),是區(qū)域D上的解析函數(shù),則()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：B98.設在光滑曲線C上連續(xù),則復積分存在,

而且可以表示為()。(1分)A.

B.

C.

D.

答案：C99.對數(shù)函數(shù)的主值,在除去原點及負實軸的復平面上解析,且()。(1分)A.

B.

C.

D.

,為整數(shù)

答案：C100.()。(1分)A.

B.

C.

和

D.

或者

答案：C四、判斷題101.冪級數(shù)的和在收斂圓的內部仍是一個解析函數(shù)。()(1分)答案：正確102.對復數(shù),有,其中為任意的整數(shù)。()(1分)答案：正確103.設在光滑曲線C上連續(xù),曲線C的參數(shù)方程是,則。()(1分)答案：正確104.如果為函數(shù)的階極點,

則。()(1分)答案：正確105.復平面上以原點O為中心,半徑為的開圓盤,那么順時針方向便是該區(qū)域邊界的正方向。()(1分)答案：錯誤106.在收斂圓的內部,冪級數(shù)的和可以逐項求導及逐項積分任意次。()(1分)答案：正確107.解析函數(shù)的導數(shù)可能不是可導的。()(1分)答案：錯誤108.。()(1分)答案：錯誤109.函數(shù)在復平面上解析。()(1分)答案：錯誤110.分式線性映射具有保角性、保對稱點性及保形性。()(1分)答案：正確111.指數(shù)函數(shù)是以為周期的函數(shù)。()(1分)答案：正確112.。()(1分)答案：錯誤113.絕對收斂的級數(shù)一定是收斂的。()(1分)答案：正確114.函數(shù)在點處可導,且導數(shù)為0。()(1分)答案：正確115.在擴充復平面上,分式線性映射能把圓變?yōu)閳A。()(1分)答案：正確116.有界整函數(shù)不一定為常數(shù)。()(1分)答案：錯誤117.映射在處不具有保角性。()(1分)答案：錯誤118.設在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域D內解析,在上連續(xù),則的各階導數(shù)均在D內解析,對D內任一點,是正整數(shù),則

。()(1分)答案：正確119.設函數(shù)在區(qū)域D內解析,又不是常數(shù),則在內沒有最大值。()。(1分)答案：正確120.設果為函數(shù)的孤立奇點,C為解析函數(shù)的的去心領域內繞的閉曲線,。()(1分)答案：正確121.設是的一個孤立奇點,即在圓環(huán)域內解析,則

。()(1分)答案：正確122.設在內解析,在上連續(xù),則

。()(1分)答案：正確123.若函數(shù)在全平面上解析且有界,則為一常數(shù)。()(1分)答案：正確124.函數(shù)在時存在極限。()(1分)答案：正確125.設在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域D內解析,在上連續(xù),是D內任一點,則。()(1分)答案：正確126.若函數(shù)在區(qū)域D內解析,且不恒為常數(shù),則像集合是區(qū)域。()(1分)答案：正確127.設函數(shù),則在全平面處處可導。()(1分)答案：錯誤128.分式線性映射在擴充復平面上是共形映射。()(1分)答案：正確129.復數(shù),則。()(1分)答案：正確130.若為函數(shù)的簡單極點,則()。(1分)答案：正確五、填空題131.復變函數(shù)是從復數(shù)集到________的函數(shù)。(1分)答案：復數(shù)集132.歐拉公式的特殊情況，描述復數(shù)的指數(shù)函數(shù)形式為________。(1分)答案：e^z

=

e^x

·

e^(iy)133.微分方程z’

=

f(z)的解是指一個解析函數(shù)z(z)使得________。(1分)答案：z’(z)

=

f

[z(z)]134.根據(jù)________原理，如果兩個解析函數(shù)在某一點附近相等，則它們在整個定義域內相等。(1分)答案：唯一性135.歐拉公式表示為________。(1分)