福建省龍巖市一級校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

龍巖市一級校2022—2023學(xué)年第一學(xué)期期末高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，已知是全集，是的三個(gè)子集，則陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合韋恩圖分析陰影區(qū)域和集合的關(guān)系即可.【詳解】依題意，陰影部分區(qū)域是的補(bǔ)集與集合三者的公共部分，即.故選：C2.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)=（）A.－1 B.1 C.－2 D.2【答案】A【解析】【分析】對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡,根據(jù)純虛數(shù)的定義列出方程求解即可.詳解】,根據(jù)題意得,解得.故選:A.3.“點(diǎn)在圓外”是“直線與圓相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求出給定的兩個(gè)命題的充要條件，再分析即可判斷得解.【詳解】命題p：點(diǎn)在圓外等價(jià)于，命題q：直線與圓相交等價(jià)于，從而有，所以p是q的必要不充分條件.故選：B4.如圖是我國古代米斗，它是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行等必備的用具.它是隨著糧食生產(chǎn)而發(fā)展出來的用具，早在先秦時(shí)期就有，到秦代統(tǒng)一了度量衡，漢代又進(jìn)一步制度化，十升為斗、十斗為石的標(biāo)準(zhǔn)最終確定下來.若將某個(gè)米斗近似看作一個(gè)四棱臺.上、下兩個(gè)底面都是正方形，側(cè)棱均相等，上底面邊長為25cm，下底面邊長為15cm，側(cè)棱長為10cm，則該米斗的容積約為（）A.2600 B.2900C.3100 D.3500【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，作出輔助線，求出棱臺的高，利用棱臺體積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】畫出此四棱臺，如下：則cm，cm，cm，過點(diǎn)B作BP⊥底面EFGH于點(diǎn)P，點(diǎn)P落在對角線HF上，過點(diǎn)P作PQ⊥EF于點(diǎn)Q，連接BQ，因?yàn)槠矫鍱FGH，所以BP⊥EF，因，平面BPQ，所以EF⊥平面BPQ，因?yàn)槠矫鍮PQ，所以EF⊥BQ，其中cm，同理可得cm，由勾股定理得：cm，故cm，正方形EFGH的面積為，正方形ABCD的面積為，則該米斗的容積故選：B5.已知，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用中間值和作差比較法來比較大小.【詳解】,;;因?yàn)?，所以，所?綜上可得.故選：A.6.拋物線的焦點(diǎn)為，對稱軸為，過且與的夾角為的直線交于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，線段的中垂線交于點(diǎn)．若的面積等于，則等于（）A. B.4 C.5 D.8【答案】D【解析】【分析】依題意不妨設(shè)拋物線為，不妨設(shè)直線的傾斜角為，直線，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可求出的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，則的坐標(biāo)可求，再根據(jù)三角形面積求出，最后根據(jù)焦半徑公式計(jì)算可得.【詳解】解：依題意不妨設(shè)拋物線為，則，根據(jù)對稱性不妨設(shè)直線的傾斜角為，則直線，設(shè)，，則，消去整理得，所以，則，所以，則直線的方程為，令，解得，即，所以，解得或（舍去），所以，則，所以.

故選：D7.定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，記為，，為頂點(diǎn)的三角形的面積為，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)從運(yùn)動到的過程中，面積先增加再減小，然后再增加再減小，由此求出結(jié)果．【詳解】連接，，，以為底，到的距離為高．讓從運(yùn)動到,明顯是一個(gè)平滑的變化,這樣是平滑的變化．因?yàn)楹瘮?shù)，其中上為點(diǎn)到直線的距離為定值，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，越來越大，也越來越大，即原函數(shù)遞增，故導(dǎo)函數(shù)為正，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，越來越小，也越來越小，即原函數(shù)遞減，故導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，變化率的絕對值由小變大，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)越來越大，也越來越大，即原函數(shù)遞增，故導(dǎo)函數(shù)為正：變化率由大變小，當(dāng)點(diǎn)在時(shí)，越來越小，也越來越小，即原函數(shù)遞減，故導(dǎo)函數(shù)為負(fù)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查原函數(shù)圖像與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，屬于一般題．8.有3個(gè)男生和3個(gè)女生參加某公司招聘，按隨機(jī)順序逐個(gè)進(jìn)行面試，那么任何時(shí)候等待面試的女生人數(shù)都不少于男生人數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】隨機(jī)逐個(gè)面試共有種可能的順序，而任何時(shí)候等待面試的女生人數(shù)都不少于男生人數(shù)的順序可以分為5類，求出相應(yīng)的順序，即可求得概率．【詳解】解：隨機(jī)逐個(gè)面試共有種可能的順序，而任何時(shí)候等待面試的女生人數(shù)都不少于男生人數(shù)的順序可以分為5類：①男男男女女女，此時(shí)有種；②男男女男女女，此時(shí)有種；③男男女女男女，此時(shí)有種；④男女男男女女，此時(shí)有種；⑤男女男女男女，此時(shí)有種；故共有種，所以概率為故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正方體中，M為的中點(diǎn)，則下列直線中與直線BM是異面直線的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】觀察圖形可得到，，與與直線BM是異面直線.【詳解】顯然，，BD錯(cuò)誤；與與直線BM既不平行，也不相交，是異面直線，AC正確.故選：AC10.某校為調(diào)查學(xué)生身高情況，按比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)容量為50的樣本，已知其中男生23人，平均數(shù)為170.6，方差為12.59；女生27人，平均數(shù)160.6，方差為38.62.下列說法正確的是（）A.這個(gè)樣本的平均數(shù)為165.2 B.這個(gè)樣本的方差為51.4862C.該校女生身高分布比男生集中 D.該校男生的身高都比女生高【答案】AB【解析】【分析】先求解樣本的平均數(shù)和方差，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】先求樣本的平均數(shù)：再求樣本方差：.所以A,B均正確；因?yàn)?，所以該校男生身高分布比女生集中，所以C不正確；樣本數(shù)據(jù)無法得出男生的身高都比女生高，所以D不正確.故選：AB.11.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是周期函數(shù)，周期為C.在區(qū)間單調(diào)遞增 D.的最小值是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)周期性的定義判斷B，由化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C，判斷函數(shù)的周期，再分，兩種情況求出函數(shù)的值域，即可判斷D.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故為偶函?shù)，故A正確；對于B：，故不是函數(shù)的周期，故B錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)時(shí)，則，則，因?yàn)樵诓粏握{(diào)，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)?，所以是函?shù)的一個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，則，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，則，則，所以，則，綜上可得，故D正確；故選：AD12.設(shè)數(shù)集滿足下列兩個(gè)條件：（1）；（2），若則.則下論斷正確的是（）A.中必有一個(gè)為0B.a，b，c，d中必有一個(gè)為1C.若且，則D.，使得【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)（1）（2）得到，，A錯(cuò)誤，B正確；再分，，兩種情況，經(jīng)過推理得到C正確；在C選項(xiàng)的分析基礎(chǔ)上，得到若，此時(shí)求出，，使得，若，推理出中至少有2個(gè)相同，這與集合中元素的互異性矛盾，得到D正確.【詳解】由（1）得：數(shù)集中必有1或0，由（2）得：，故，A錯(cuò)誤，B正確；由（1）知：，故等于中的一個(gè)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，故，下面證明C正確，因?yàn)椋?，則，由（1）知：，滿足要求，同理若，則，滿足要求，若，則，滿足要求，若，因?yàn)椋?，則，滿足要求，若，則中某個(gè)等于1，不妨設(shè)，由得，由（1）知：，又因?yàn)?，，所以，，故，同理可得，所以相乘得，解得：，因?yàn)?，所以，故取，滿足要求，綜上：若且，則，C正確；下面證明D正確；由（1）知：，故等于中的一個(gè)，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，故，若，則，因?yàn)橹心硞€(gè)等于1，不妨設(shè)，由得，根據(jù)C選項(xiàng)的分析可知：，，，則，故，故，，若，，此時(shí)，，使得，D正確；若，則，，由（1）知：，若，則，不可能，若，則，不可能，若，則，不可能，所以，故，同理可得：，因?yàn)榈钠椒礁星抑挥?個(gè)，所以中至少有2個(gè)相同，這與集合中元素的互異性矛盾，故不存在即的情況，故，使得，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：集合新定義問題，命題新穎，且存在知識點(diǎn)交叉，常常會和函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，值域等進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識遷移，綜合運(yùn)用能力，對于此類問題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進(jìn)行解決.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，且，則在上投影向量為__________．【答案】【解析】【分析】由投影向量的計(jì)算公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，則在上的投影向量為，故答案為：.14.定義在上的函數(shù)滿足：，若曲線在處的切線方程為，則該曲線在處的切線方程為___________.【答案】【解析】【分析】依題意可得且，又為偶函數(shù)，即可求出，再對兩邊求導(dǎo)，即可求出，從而求出切線方程.【詳解】解：因?yàn)榍€在處的切線方程為，所以，且，又，所以為偶函數(shù)，則，對兩邊求導(dǎo)可得，所以，所以該曲線在處的切線方程為，即.故答案為：15.三棱錐中，平面平面.若三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意，得，∵，∴，∴的外接圓直徑，設(shè)球心為,的中點(diǎn)為,球的半徑為,則∴，則有該三棱錐的外接球的半徑，∴該三棱錐的外接球的表面積為.考點(diǎn)：球的體積和表面積.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是三棱錐的外接球表面積，直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題，對于本題而言，根據(jù)題中條件畫出立體幾何圖形，求出，假設(shè)出球心，利用勾股關(guān)系，可得外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積,因此確定三棱錐的外接球的半徑是解決此類題目的關(guān)鍵.16.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn).P是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO，分別交雙曲線C左、右支于M，N.若，且，則雙曲線C的離心率為________.【答案】【解析】【分析】由和計(jì)算可得，，易得，，可得出四邊形為平行四邊形，又得，在三角形中利用余弦定理計(jì)算得出，最后可得出離心率.【詳解】由題，①由雙曲線的定義可得，，②由①②可得，，又，，所以四邊形為平行四邊形，又，可得，在三角形中，由余弦定理可得，即，，可得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，＝Sn＋1＋Sn.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，結(jié)合遞推式＝Sn＋1＋Sn即可求解.（2）由(2n－1)·2n，利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】解：（1）由＝Sn＋1＋Sn①所以當(dāng)n≥2時(shí)，＝Sn＋Sn－1，②①－②得－＝an＋1＋an，即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，因?yàn)閍n>0，所以an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起，是公差為1的等差數(shù)列．由①知＝S2＋S1，因?yàn)閍1＝1，所以a2＝2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n③又因?yàn)閍1＝1也滿足③式，所以an＝n(n∈N*)．（2）由（1）得＝(2n－1)·2n，則Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④2Tn＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤④－⑤得－Tn＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，所以－Tn＝2＋－(2n－1)·2n＋1，故Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列前n項(xiàng)和與的關(guān)系，錯(cuò)位相減法求和，以及由遞推關(guān)系求通項(xiàng)，屬于難題.18.中，設(shè)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求的大?。唬?）若的周長等于3，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式對原式變形化簡可得，再結(jié)合角的范圍，可求出角的值，（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，然后利用三角形的面積公式可求出面積的最大值.【小問1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，又，所以，所以，?因?yàn)?，，所以，?【小問2詳解】解：在中，由余弦定理得，即①，又，所以，代入①得，整理得，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因?yàn)椋?，所以，解得或（舍去），故，故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以面積的最大值為.19.在直角梯形ABCD中，//，，如圖把沿翻折，使得平面平面.（1）若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到面的向量距離公式求解；（2）由（1）中已經(jīng)求出的平面的法向量，設(shè)出的坐標(biāo)，寫出，利用線面角的向量公式列式計(jì)算即可.【小問1詳解】由已知條件可得．由平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，故平面．過點(diǎn)在平面作，則．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：由已知可得．則，，.設(shè)平面的法向量為，則，，令，得平面的一個(gè)法向量為，于是點(diǎn)到平面的距離．【小問2詳解】假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角為．設(shè)，則，，又平面的法向量且直線與平面所成角為，∴，整理可得：，∴（舍去）．綜上，在線段上存在點(diǎn)，使與平面所成角為，此時(shí)．20.甲、乙兩支足球隊(duì)將進(jìn)行某賽事的決賽.其賽程規(guī)則為：每一場比賽均須決出勝負(fù)，若在規(guī)定時(shí)間內(nèi)踢成平局，則雙方以踢點(diǎn)球的方式?jīng)Q出勝負(fù).按主、客場制先進(jìn)行兩場比賽，若某一隊(duì)在前兩場比賽中均取得勝利，則該隊(duì)獲得冠軍；否則，需在中立場進(jìn)行第三場比賽，其獲勝方為冠軍.假定甲隊(duì)在主場獲勝的概率為，在客場獲勝的概率為，在第三場比賽中獲勝的概率為，且每場比賽的勝負(fù)相互獨(dú)立.（1）已知甲隊(duì)獲得冠軍，求決賽需進(jìn)行三場比賽的概率；（2）比賽主辦方若在決賽的前兩場中共投資m（千萬元），則能盈利（千萬元）.如果需進(jìn)行第三場比賽，且比賽主辦方在第三場比賽中投資n（千萬元），則能盈利（千萬元）.若比賽主辦方準(zhǔn)備投資一千萬元，以決賽總盈利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，則其在前兩場的投資額應(yīng)為多少萬元？【答案】（1）（2）千萬元.【解析】【分析】(1)算出甲獲勝的概率，再算出甲獲勝且比賽進(jìn)行了三場的概率進(jìn)而可得解；(2)根據(jù)總盈利和進(jìn)行的場次有關(guān)，求出總盈利，即比賽只需進(jìn)行兩場的概率，再求出總盈利為，即需進(jìn)行三場比賽的概率，列出分布列，計(jì)算期望，即可求解.【小問1詳解】由于前兩場對于比賽雙方都是一個(gè)主場一個(gè)客場，所以不妨設(shè)甲隊(duì)為第一場為主場，第二場為客場，設(shè)甲獲得冠軍時(shí)，比賽需進(jìn)行的場次為，則，又，所以甲獲勝的概率為，所以已知甲隊(duì)獲得冠軍，決賽需進(jìn)行三場比賽的概率【小問2詳解】由題可得，所以比賽結(jié)束需進(jìn)行的場次即為，則，設(shè)決賽總盈利為，則，，，所以決賽總盈利為的分步列如下，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)有最大值為，所以以決賽總盈利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，則其在前兩場的投資額應(yīng)為千萬元.21.已知，動點(diǎn)滿足：且三點(diǎn)共面.線段的垂直平分線為，點(diǎn)在上且，為線段延長線上的點(diǎn)，且，記的軌跡為曲線.（1）求證，并建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求的方程；（2）判斷直線與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】（1）（2）個(gè)公共點(diǎn)【解析】【分析】（1）由待證表達(dá)式可以猜想軌跡是橢圓，故可以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，結(jié)合題干條件，構(gòu)造全等三角形證明待證表達(dá)式，從而易得橢圓的方程；（2）分直線的斜率是否存在作為切入點(diǎn)，此即等價(jià)于考慮是否等于，寫出方程后，聯(lián)立直線和橢圓方程，計(jì)算判別式進(jìn)行求解.【小