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文檔簡介

第十六章二次根式

1.二次根式:式子C(。20)叫做二次根式。

2.二次根式有意義的條件:被開方數(shù)大于或等于0。

3.二次根式的雙重非負(fù)性:4a:①近20,②a20

附:具有非負(fù)性的式子:①及20;②同2();③/N0

4.最簡二次根式:必需同時(shí)滿意以下條件:

⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式;⑵被開方數(shù)中不含分母;

⑶分母中不含根式。

5.同類二次箱式:

二次根式化成最簡二次根式后,假設(shè)被開方數(shù)一樣,那么這幾個(gè)

二次根式就是同類二次根式。

6.二次根式的性質(zhì):

「a(。>0)

(1)(G'a(a20);(2)"=時(shí)=J0(a=0);

7.二次根式的運(yùn)算:L-a(a<0)

(1)二次根式的加減法:先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二

次根式.

(2)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),將被開方數(shù)相乘〔除),

所得的積(商)仍作積(商)的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式.

b\Jb

y[ab=A/O,>Jb(a20,b,0);1b20,a>0].

a-Ja

(3)有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律,乘法交換律及結(jié)合律,乘法對(duì)加法

的安排律以及多項(xiàng)式的乘法公式,都適用于二次根式的運(yùn)算.

第十七章勾股定理

1.勾股定理:假如直角三角形的兩直角邊長分別為。,b,斜邊長為c,那么

a2+b2=c\

應(yīng)用:

⑴直角三角形的兩邊求第三邊(在A4BC中,"=90。,那么c=

b=y/c2-a2=4c^)

(2)直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系,求直角三角形的另兩邊。

2.勾股定理逆定理:假如三角形三邊長a,b,c滿意/+。2=,2,那么這個(gè)三角

形是直角三角形。

應(yīng)用:勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重

要方法。

(定理中a,b,c及a2+〃=c2只是一種表現(xiàn)形式,不行認(rèn)為是唯一的,如

假設(shè)三角形三邊長”,b,c,滿意笳+。2=〃,那么以〃,b,c,為三邊的三角形

是直角三角形,但是6為斜邊)

3、勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù),即病+〃=02中,

a,b,c為正整數(shù)時(shí),稱a,b,c為一組勾股數(shù)

②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25

4.直角三角形的性質(zhì)

(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余。可表示如下:ZC=90°nNA+NB=90°

(2)在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

ZA=30°]

[=>BC=-AB

f2

ZC=90°J

[3)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

ZACB=90°]

L=>CD=-AB=BD=AD

|2

D為AB的中點(diǎn)J

5.經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。

我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。假如把其中一個(gè)叫做原

命題,那么另一個(gè)叫做它的逆命題。(例:勾股定理與勾股定理逆定理)

推斷一個(gè)命題的正確性的推理過程叫做證明。

7、證明的一般步驟

(1)依據(jù)題意,畫出圖形。

(2)依據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形,寫出、求證。

(3)經(jīng)過分析,找出由推出求證的途徑,寫出證明過程。

第十八章平行四邊形

一.平行四邊形

1、定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

DC

2.平行四邊形的性質(zhì)

角:平行四邊形的鄰角互補(bǔ),對(duì)角相等;

邊:平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行且相等;

對(duì)角線:平行四邊形的對(duì)角線相互平分;

面積:①$=底、高=211;

3.平行四邊形的判定方法:

①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

③一組平行且相等的四邊形是平行四邊形;

④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;

⑤對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形;

二、特別的平行四邊形

(一)矩形

1、矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

2、矩形的性質(zhì)

①邊:對(duì)邊平行且相等;②角:對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ);③對(duì)角線:對(duì)角

線相互平分且相等;

3、矩形的判定:

(1)平行四邊形+一個(gè)直角'

(2)三個(gè)角都是直角四邊形ABCD是矩形.

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形

(二)菱形

1、定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

2、菱形的性質(zhì):

①邊:四條邊都相等;②角:對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ);③對(duì)角線:對(duì)角線相互

垂直平分且每條對(duì)角線平分每組對(duì)角;

3、菱形的判定方法:木

⑴平行四邊形+一組鄰邊等1/\

(2)四個(gè)邊都相等=四邊形四邊形ABCD是菱形.AZ-UAC

(3)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形)

(三)正方形B

1、定義:有一組鄰邊相等且有一個(gè)直角的平行四邊形叫做正方形

2、正方形的性質(zhì):

①邊:四條邊都相等;②角:四角都是直角;③對(duì)角線:對(duì)角線相互垂直平

分且相等,每條對(duì)角線平分每組對(duì)角。

3、正方形的判定方法:

⑴平行四邊形+一組鄰邊等+一個(gè)直角’

(2)菱形+一個(gè)直角,=>四邊形ABCD是正方形.

(3)矩形+一組鄰邊等

(四)三角形中位線定理:

三角形的中位線平行第三邊,并且等于它的一半.

如圖:是AABC的中位線

,DE〃BC,DE=1BC

2

(五)幾種特別四邊形的面積問題

①設(shè)矩形ABCD的兩鄰邊長分別為a,b,那么S矩形=ab.

②設(shè)菱形ABCD的一邊長為a,高為h,那么S菱形=ah;假設(shè)菱形的兩對(duì)角

線的長分別為。,c,那么§菱形=/

③設(shè)正方形ABCD的一邊長為°,那么SE方形=/;假設(shè)正方形的對(duì)角線的長

為鼠那么S正方形

第十九章一次函數(shù)

—.常量、變量:

在一個(gè)改餐過程中,數(shù)值發(fā)生改變的量叫做變量;數(shù)值始終不變的量叫

做常量。

二、函數(shù)的概念:

函數(shù)的定義:一般的,在一個(gè)改變過程中,假如有兩個(gè)變量x與y,并且

對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),那么我們就說x是

自變量,y是x的函數(shù).

函數(shù)的推斷:對(duì)每一個(gè)自變量x是否只有唯一的一個(gè)函數(shù)值和它對(duì)應(yīng)。

三、函數(shù)中自變量取值范圍的求法:

11)用整式表示的函數(shù),自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

(2)用分式表示的函數(shù),自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實(shí)數(shù)。

13)用二次根式表示的函數(shù),自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)

(4)假設(shè)解析式由上述幾種形式綜合而成,須先求出各局部的取值范圍,然

后再求其公共范圍,即為自變量的取值范圍。

(5)對(duì)于與實(shí)際問題有關(guān)系的,自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問題有意義。

四、函數(shù)圖象的定義:一般的,對(duì)于一個(gè)函數(shù),假如把自變量與函數(shù)的每對(duì)

對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),那么在坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形,就

是這個(gè)函數(shù)的圖象.

五、用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖象的一般步驟(一般取五個(gè)點(diǎn))

1、列表(表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。)

留意:列表時(shí)自變量由小到大,相差一樣,有時(shí)需對(duì)稱。

2、描點(diǎn):(在直角坐標(biāo)系中,以自變量的值為橫坐標(biāo),相應(yīng)的函數(shù)值為縱

坐標(biāo),描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)。

3、連線:1依據(jù)橫坐標(biāo)由小到大的依次把所描的各點(diǎn)用平滑的曲線連接起

來)。

六、函數(shù)有三種表示形式:

(1)列表法(2)圖像法(3)解析式法

七、正比例函數(shù)

1、定義:一般地,形如y=kx(k為常數(shù),且kWO)的函數(shù)叫做正比例函數(shù).其中

k叫做比例系數(shù)。

特征:(1)k為常數(shù),旦kWO

(2)自變量的次數(shù)是1

(3)自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù)。

2、圖象:

(1)正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù),kWO))的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線,

我們稱它為直線丫=kxo必過點(diǎn):(0,0)、(1,k)

(2)性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí),直線y=kx經(jīng)過第三,一象限,從左向右上升,即隨著

x的增大y也增大;當(dāng)k<0時(shí),直線y=kx經(jīng)過二,四象限,從左向右下降,即

隨著x的增大y反而減小。

八、一次函數(shù)

1、定義:一般地,形如y=kx+b(k,b為常數(shù),且kWO)的函數(shù)叫做一次函數(shù).

當(dāng)b=0時(shí),y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數(shù),是一次函數(shù)的特例.

特征:(1)k不為零

(2)x指數(shù)為1

(3)自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù)

(4)b取隨意實(shí)數(shù)

2、圖象:

b

(1)一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0,b)和(---0)兩點(diǎn)的一條直線,我們稱它

k

為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到.〔當(dāng)b>0時(shí),向上平移;

當(dāng)b<0時(shí),向下平移)

(2)圖像的平移:當(dāng)b>0時(shí),將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;

當(dāng)b〈0時(shí),將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.

(3)必過點(diǎn):(0,b)和0)

k

(4)一次函數(shù)y=kx+b的圖象的畫法.

依據(jù)凡何學(xué)問:經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線,并且只能畫出一條直線,即兩點(diǎn)確定一條

直線,所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí),只要先描出兩點(diǎn),再連成直線即可.

九、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟:

(1)依據(jù)條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系

數(shù)為未知數(shù)的方程;

(3)解方程得出未知系數(shù)的值;

(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.

十、當(dāng)直線y=kix+bi與尸kzx+bz平行時(shí),k*且b,#b2

十一、一次函數(shù)與方程、不等式

1.一次函數(shù)與一元一次方程:從“數(shù)”的角度看x為何值時(shí)函數(shù)ax+6的值為0.

2.求ax+G0(a,。是常數(shù),a/0)的解,從“形”的角度看,求直線ax域與x軸交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)

3.一次函數(shù)與一元一次不等式:

解不等式aKb>0(a,6是常數(shù),a#0).從“數(shù)”的角度看,x為何值時(shí)函數(shù)ax+6

的值大于0.

4.解不等式a戶6>0(a,8是常數(shù),aWO).從“形"的角度看,求直線尸ax歷在x軸

上方的局部(射線)所對(duì)應(yīng)的的橫坐標(biāo)的取值范圍.

5.一次函數(shù)與二元一次方程組:

x+

解方程組\aibiy=a

<

a2x-biy=C2

從“數(shù)”的角度看,自變量(X;為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)值相等.并求出這個(gè)函數(shù)值

Q|X+ZV=Ci

解方程組\.從“形”的角度看,確定兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).

x

a2-b2y=C2

其次十章數(shù)據(jù)的分析

(1)算術(shù)平均數(shù):一組數(shù)據(jù)中,有n個(gè)數(shù)據(jù)王,馬,…,怎,那么它們的算術(shù)平均數(shù)為

X+X+--?+%?

A—12.

n

(2)加權(quán)平均數(shù):

假設(shè)在一組數(shù)字中,無的權(quán)為W,的權(quán)為班,…,X”的權(quán)為WJ那么

-_XW1+X2W2+---+X,W,

A——I叫做X,,…X"的加權(quán)平均數(shù)。

W+W2+,"+W,

其中,W'…、W"即別是為,X2,…X"的權(quán)?

權(quán)的理解:反映了某個(gè)數(shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中的重要程度。

權(quán)的表示方法:比、百分比、頻數(shù)(人數(shù)、個(gè)數(shù)、次數(shù)等)。

2.中位數(shù):將一組數(shù)據(jù)依據(jù)由小到大(或由大到?。┑囊来闻帕校偃鐢?shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),

那么處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);假如數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),那么中間兩個(gè)數(shù)

據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

3.眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

4.平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)的區(qū)分與聯(lián)系

一樣點(diǎn):平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的一樣之處主要表現(xiàn)在:都是來描述數(shù)據(jù)集

中趨勢的統(tǒng)計(jì)量;都可用來反映數(shù)據(jù)的一般水平;都可用來作為一組數(shù)據(jù)的代表。

不同點(diǎn):

1)、代表不同

平均數(shù):反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小,常用來一代表數(shù)據(jù)的總體“平均水平”。

中位數(shù):像一條分界限,將數(shù)據(jù)分成前半局部和后半局部,因此用來代表一組數(shù)據(jù)的“中

等水平”。

眾數(shù):反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),用來代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖

反映有所不同,但都可表示數(shù)據(jù)的集中趨勢,都可作為數(shù)據(jù)一般水平的代表。

2)、特點(diǎn)不同

平均數(shù):與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng)。主要缺

點(diǎn)是易受極端值的影響,這里的極

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