2023人教版八年級數(shù)學(xué)下冊知識點

第十六章二次根式

1.二次根式：式子C(。20)叫做二次根式。

2.二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0。

3.二次根式的雙重非負(fù)性：4a：①近20,②a20

附：具有非負(fù)性的式子：①及20；②同2()；③/N0

4.最簡二次根式：必需同時滿意以下條件：

⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式;⑵被開方數(shù)中不含分母;

⑶分母中不含根式。

5.同類二次箱式：

二次根式化成最簡二次根式后，假設(shè)被開方數(shù)一樣,那么這幾個

二次根式就是同類二次根式。

6.二次根式的性質(zhì)：

「a(。>0)

(1)(G'a(a20)；(2)"=時=J0(a=0)；

7.二次根式的運算：L-a(a<0)

(1)二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二

次根式.

(2)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，將被開方數(shù)相乘〔除)，

所得的積(商)仍作積(商)的被開方數(shù)并將運算結(jié)果化為最簡二次根式.

b\Jb

y[ab=A/O,>Jb(a20,b，0)；1b20,a>0].

a-Ja

(3)有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法

的安排律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算.

第十七章勾股定理

1.勾股定理：假如直角三角形的兩直角邊長分別為。，b,斜邊長為c,那么

a2+b2=c\

應(yīng)用：

⑴直角三角形的兩邊求第三邊(在A4BC中，"=90。，那么c=

b=y/c2-a2=4c^)

(2)直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊。

2.勾股定理逆定理：假如三角形三邊長a,b,c滿意/+。2=,2,那么這個三角

形是直角三角形。

應(yīng)用：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重

要方法。

(定理中a,b,c及a2+〃=c2只是一種表現(xiàn)形式，不行認(rèn)為是唯一的，如

假設(shè)三角形三邊長”，b,c,滿意笳+。2=〃，那么以〃，b,c,為三邊的三角形

是直角三角形，但是6為斜邊)

3、勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即病+〃=02中，

a,b,c為正整數(shù)時，稱a,b,c為一組勾股數(shù)

②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25

等

4.直角三角形的性質(zhì)

(1)直角三角形的兩個銳角互余?？杀硎救缦拢篫C=90°nNA+NB=90°

(2)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

ZA=30°]

[=>BC=-AB

f2

ZC=90°J

[3)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

ZACB=90°]

L=>CD=-AB=BD=AD

|2

D為AB的中點J

5.經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。

我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。假如把其中一個叫做原

命題，那么另一個叫做它的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)

推斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。

7、證明的一般步驟

(1)依據(jù)題意，畫出圖形。

(2)依據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出、求證。

(3)經(jīng)過分析，找出由推出求證的途徑，寫出證明過程。

第十八章平行四邊形

一.平行四邊形

1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

DC

2.平行四邊形的性質(zhì)

角：平行四邊形的鄰角互補，對角相等；

邊：平行四邊形兩組對邊分別平行且相等;

對角線：平行四邊形的對角線相互平分；

面積：①$=底、高=211;

3.平行四邊形的判定方法：

①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

③一組平行且相等的四邊形是平行四邊形；

④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

⑤對角線相互平分的四邊形是平行四邊形；

二、特別的平行四邊形

（一）矩形

1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

2、矩形的性質(zhì)

①邊：對邊平行且相等；②角：對角相等、鄰角互補；③對角線：對角

線相互平分且相等；

3、矩形的判定：

（1）平行四邊形+一個直角'

（2）三個角都是直角四邊形ABCD是矩形.

（3）對角線相等的平行四邊形

（二）菱形

1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

2、菱形的性質(zhì):

①邊：四條邊都相等；②角：對角相等、鄰角互補；③對角線：對角線相互

垂直平分且每條對角線平分每組對角；

3、菱形的判定方法：木

⑴平行四邊形+一組鄰邊等1/\

（2）四個邊都相等=四邊形四邊形ABCD是菱形.AZ-UAC

（3）對角線互相垂直的平行四邊形）

（三）正方形B

1、定義：有一組鄰邊相等且有一個直角的平行四邊形叫做正方形

2、正方形的性質(zhì)：

①邊：四條邊都相等；②角：四角都是直角；③對角線：對角線相互垂直平

分且相等，每條對角線平分每組對角。

3、正方形的判定方法：

⑴平行四邊形+一組鄰邊等+一個直角’

(2)菱形+一個直角，=＞四邊形ABCD是正方形.

(3)矩形+一組鄰邊等

(四)三角形中位線定理：

三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.

如圖：是AABC的中位線

，DE〃BC,DE=1BC

2

(五)幾種特別四邊形的面積問題

①設(shè)矩形ABCD的兩鄰邊長分別為a,b,那么S矩形=ab.

②設(shè)菱形ABCD的一邊長為a,高為h,那么S菱形=ah；假設(shè)菱形的兩對角

線的長分別為。，c,那么§菱形=/

③設(shè)正方形ABCD的一邊長為°,那么SE方形=/；假設(shè)正方形的對角線的長

為鼠那么S正方形

第十九章一次函數(shù)

—.常量、變量：

在一個改餐過程中，數(shù)值發(fā)生改變的量叫做變量；數(shù)值始終不變的量叫

做常量。

二、函數(shù)的概念：

函數(shù)的定義：一般的，在一個改變過程中，假如有兩個變量x與y,并且

對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是

自變量，y是x的函數(shù).

函數(shù)的推斷：對每一個自變量x是否只有唯一的一個函數(shù)值和它對應(yīng)。

三、函數(shù)中自變量取值范圍的求法：

11)用整式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實數(shù)。

(2)用分式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實數(shù)。

13)用二次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)

(4)假設(shè)解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各局部的取值范圍，然

后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。

(5)對于與實際問題有關(guān)系的，自變量的取值范圍應(yīng)使實際問題有意義。

四、函數(shù)圖象的定義：一般的，對于一個函數(shù)，假如把自變量與函數(shù)的每對

對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么在坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就

是這個函數(shù)的圖象.

五、用描點法畫函數(shù)的圖象的一般步驟（一般取五個點）

1、列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值。）

留意：列表時自變量由小到大，相差一樣，有時需對稱。

2、描點：（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱

坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點。

3、連線：1依據(jù)橫坐標(biāo)由小到大的依次把所描的各點用平滑的曲線連接起

來）。

六、函數(shù)有三種表示形式：

（1）列表法（2）圖像法（3）解析式法

七、正比例函數(shù)

1、定義：一般地，形如y=kx（k為常數(shù)，且kWO）的函數(shù)叫做正比例函數(shù).其中

k叫做比例系數(shù)。

特征：（1）k為常數(shù)，旦kWO

（2）自變量的次數(shù)是1

（3）自變量的取值范圍為全體實數(shù)。

2、圖象：

（1）正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，kWO））的圖象是經(jīng)過原點的一條直線,

我們稱它為直線丫=kxo必過點：（0,0）、（1,k）

（2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時，直線y=kx經(jīng)過第三，一象限，從左向右上升，即隨著

x的增大y也增大；當(dāng)k<0時，直線y=kx經(jīng)過二，四象限，從左向右下降，即

隨著x的增大y反而減小。

八、一次函數(shù)

1、定義：一般地，形如y=kx+b（k,b為常數(shù)，且kWO）的函數(shù)叫做一次函數(shù).

當(dāng)b=0時，y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的特例.

特征：（1）k不為零

（2）x指數(shù)為1

（3）自變量的取值范圍為全體實數(shù)

（4）b取隨意實數(shù)

2、圖象：

b

（1）一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0,b）和（---0）兩點的一條直線，我們稱它

k

為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.〔當(dāng)b>0時，向上平移;

當(dāng)b<0時，向下平移）

（2）圖像的平移：當(dāng)b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；

當(dāng)b〈0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.

（3）必過點：（0,b）和0）

k

(4)一次函數(shù)y=kx+b的圖象的畫法.

依據(jù)凡何學(xué)問：經(jīng)過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條

直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.

九、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟:

(1)依據(jù)條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系

數(shù)為未知數(shù)的方程；

(3)解方程得出未知系數(shù)的值；

(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.

十、當(dāng)直線y=kix+bi與尸kzx+bz平行時，k*且b,#b2

十一、一次函數(shù)與方程、不等式

1.一次函數(shù)與一元一次方程：從“數(shù)”的角度看x為何值時函數(shù)ax+6的值為0.

2.求ax+G0(a,。是常數(shù)，a/0)的解，從“形”的角度看，求直線ax域與x軸交

點的橫坐標(biāo)

3.一次函數(shù)與一元一次不等式：

解不等式aKb>0(a,6是常數(shù)，a#0).從“數(shù)”的角度看，x為何值時函數(shù)ax+6

的值大于0.

4.解不等式a戶6>0(a,8是常數(shù)，aWO).從“形"的角度看,求直線尸ax歷在x軸

上方的局部(射線)所對應(yīng)的的橫坐標(biāo)的取值范圍.

5.一次函數(shù)與二元一次方程組：

x+

解方程組\aibiy=a

<

a2x-biy=C2

從“數(shù)”的角度看，自變量（X；為何值時兩個函數(shù)值相等.并求出這個函數(shù)值

Q|X+ZV=Ci

解方程組\.從“形”的角度看，確定兩直線交點的坐標(biāo).

x

a2-b2y=C2

其次十章數(shù)據(jù)的分析

（1）算術(shù)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，有n個數(shù)據(jù)王,馬,…，怎，那么它們的算術(shù)平均數(shù)為

X+X+--?+%?

A—12.

n

（2）加權(quán)平均數(shù)：

假設(shè)在一組數(shù)字中，無的權(quán)為W，的權(quán)為班，…，X”的權(quán)為WJ那么

-_XW1+X2W2+---+X,W,

A——I叫做X，，…X"的加權(quán)平均數(shù)。

W+W2+，"+W,

其中，W'…、W"即別是為，X2,…X"的權(quán)?

權(quán)的理解:反映了某個數(shù)據(jù)在整個數(shù)據(jù)中的重要程度。

權(quán)的表示方法：比、百分比、頻數(shù)（人數(shù)、個數(shù)、次數(shù)等）。

2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)依據(jù)由小到大（或由大到?。┑囊来闻帕?，假如數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),

那么處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；假如數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么中間兩個數(shù)

據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

4.平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)的區(qū)分與聯(lián)系

一樣點：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個統(tǒng)計量的一樣之處主要表現(xiàn)在：都是來描述數(shù)據(jù)集

中趨勢的統(tǒng)計量；都可用來反映數(shù)據(jù)的一般水平；都可用來作為一組數(shù)據(jù)的代表。

不同點：

1）、代表不同

平均數(shù)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來一代表數(shù)據(jù)的總體“平均水平”。

中位數(shù)：像一條分界限，將數(shù)據(jù)分成前半局部和后半局部，因此用來代表一組數(shù)據(jù)的“中

等水平”。

眾數(shù)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。這三個統(tǒng)計量雖

反映有所不同，但都可表示數(shù)據(jù)的集中趨勢，都可作為數(shù)據(jù)一般水平的代表。

2）、特點不同

平均數(shù)：與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應(yīng)引起平均數(shù)的變動。主要缺

點是易受極端值的影響，這里的極