《解三角形》單元測(cè)試卷

《解三角形》單元測(cè)試卷

一、選擇題

1.己知三角形三邊之比為5：7：8,則最大角與最小角的和為（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

2.在△ABC中，下列等式正確的是（）

A.a：b=/A：ZBB.a：b=sinA：sinBC.a：b=sinB：sinAD.asinA=bsinB

3.若三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：3,則它們所對(duì)的邊長(zhǎng)之比為（_

A.1：2：3B.1：2C.1：4：9D.1：^[3

4.在△ABC中，a=^/5,b=V15?A=30°,則c等于（）

A.275B.匹C.2d戢代D.以上都不對(duì)

5.已知ABC中，ZA=60°,a=V6-b=4,那么滿足條件的△ABC的形狀大?。ǎ?/p>

A.有一種情形B.有兩種情形C.不可求出D.有三種以上情

形

6.在△ABC中，a2+b2-c2<0,則△ABC是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.都有可能

7.在△ABC中，b=V3>c=3,B=30°,則a等于（）

A.眄B.12A/3C.73^273D.2

8.（2004?貴州）△ABC中，a,b、c分別為/A、ZB,/C的對(duì)邊，如果a,b、c成等差數(shù)列，a+c=2b,ZB=30",

△ABC的面積為心，那么b等于（）

2_

A.1+夷B.1+V3c.2W3D.2+V3

22

9.（2010?武昌區(qū)模擬）某人朝正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150%然后朝新方向走3km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好娟kir,

那么x的值為（）__

A.2V3SKV3B.2V3c.V3D.3

10.有一電視塔，在其東南方A處看塔頂時(shí)仰角為45。，在其西南方B處看塔頂時(shí)仰角為60。，若AB=120米，則

電視塔的高度為（）_

A.60我米B.60米C.60我米或60米D.30米

二、填空題

11.在△ABC中，ZA=45°,ZB=60°,a=10,b=.

12.在△ABC中，ZA=105°,ZB=45\c=&,貝Ub=

13.在△ABC中，A=60°,a=3,則----a+b+c-----=

sinA+sinB+sinC

14.在△ABC中，若a2+b2<c2,且sinC=2^,則NC=.

2

15.平行四邊形ABCD中，AB=4&，AC=4如,ZBAC=45",那么AD=

16.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4,則最大角的余弦值=.

三、解答題

17.已知在△ABC中，ZA=45°,a=2,c=V6.求角C.

18.在△ABC中，已知c=l,B=60°,求a,A,C.

19.根據(jù)所給條件，判斷△ABC的形狀.

(1)acosA=bcosB；

(2)

cosAcosBcosC

20.△ABC中，己知NA>NB>NC,且NA=2NC,b=4,a+c=8,求a,c的長(zhǎng).

21.在△ABC中，邊a,b,c的對(duì)角分別為A.B、C,且siifA+sin2C-sinA?sinC=sin2B

(1)求角B的值；

(2)求2cos'A+COS(A-C)的范圍.

22.已知A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為a、b、c,若cosBcosC-sin8sinC=1/2

(I)求A；

(H)若8+c=4,求AABC的面積.

《解三角形》單元測(cè)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.己知三角形三邊之比為5：7：8,則最大角與最小角的和為（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

考點(diǎn)：余弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù).

專題：解三角形.

分析：設(shè)最小邊為5,則三角形的三邊分別為5,7,8,設(shè)邊長(zhǎng)為7的邊對(duì)應(yīng)的角為&則由余弦定理可

得cos。的值，從而求得8的值，則最大角與最小角的和為180。-。.

解答：解：設(shè)最小邊為5,則三角形的三邊分別為5,7,8,設(shè)邊長(zhǎng)為7的邊對(duì)應(yīng)的角為則由余弦定

理可得49=25+64-8Ocos0,

解得cosB=2，.?.3=60。，則最大角與最小角的和為180。-60。=120。，

2

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

2.在△ABC中，下列等式正確的是（）

A.a：b=ZA：ZBB.a：b=sinA：sinBC.a：b=sinB：sinAD.asinA=bsinB

解答：解：在三角形BAC

中，由正弦定理可得

a：b=sinA：sinB.

故選B.

3.若三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：3,則它們所對(duì)的邊長(zhǎng)之比為（）

A.1：2：3B.1：^3：2C.1：4：9D.1：5/2:

4.在△ABC中，b=^i5，A=30°,貝l]c等于（）

A.2匹B.遍C.2/m代D.以上都不對(duì)

考點(diǎn)：正弦定理.

專題：計(jì)算題.

分析：由a,b及cosA的值，利用余弦定理即可列出關(guān)于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c

的值.

解答：解：由彳而，b=V15，A=30°,利用余弦定理得：

（75）2=（715）入2-2^^哼,即c?-3代+10=3

因式分解得：（c-2后）（c-依）=0,解得：c=2j戢代.

故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題.

5.已知△ABC中，ZA=60°,a="R,b=4,那么滿足條件的△ABC的形狀大?。ǎ?/p>

A.有一種情形B.有兩種情形C.不可求出D.有三種以上情

形

考J，占、八,?正弦定理.

專題：解三角形.

分析：由條件利用正弦定理可得娓。=」一，解得sinB=&>l,可得B不存在，從而得出結(jié)論.

sin60sinB

解答：解：已知△ABC中，ZA=60°,a=JE，b=4,那么由正弦定理可得―返_=—^—,解得sinB=料

sin60°sinB

>1,

故B不存在，

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題.

6.在△ABC中，若a2+b2-c2<0,則△ABC是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.都有可能

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷.

專題：計(jì)算題.

分析：

222

利用余弦定理cosC-+b-c即可判斷.

2ab

解答：解：?在△ABC中，a2+b2-c2<0,

2,,2_2

：.cosC=-^^——0,

2ab

TT

A_<c<n.

2

???△ABC是鈍角三角形.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的形狀判斷，考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.在△ABC中，c=3,B=30°,則a等于（）

A.MB.12A/3C.73^273D.2

考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理.

專題：計(jì)算題.

分析：由B的度數(shù)求出cosB的值，再由b與c的值，利用余弦定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可

得到a的值.

解答：解：：b=?,c=3,B=30°,

二由余弦定理b'a'c?-2accosB得：（4耳）-3J&，

整理得：a2-3,\/3i+6=0,即（a-2-\/3）=0，

解得：或a=2?,

貝1」2愿.

故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理很好的建立了三角形的邊角關(guān)系，熟練

掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.本題a有兩解，注意不要漏解.

8.（2004?貴州）△ABC中，a,b、c分別為NA、NB、NC的對(duì)邊，如果a,b、c成等差數(shù)列,a+c=2b,NB=30。,

△ABC的面積為心，那么b等于（)

2_

A.l+表B.1+V3c.2+V3D.2+V3

22

考點(diǎn)：解三角形.

專題：計(jì)算題；壓軸題.

分析：先根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得2b=a+c,兩邊平方求得a,b和c的關(guān)系式，利用三角形面積公式求

得ac的值，進(jìn)而把a(bǔ),b和c的關(guān)系式代入余弦定理求得b的值.

解答：解：Va,b、c成等差數(shù)列，.，.2b=a+c,得/+/=41）2-2ac、

又「△ABC的面積為旦NB=30。，

2

_=ac=

故由S^ABC="|acsinB=|acsin30。^^2

得ac=6.

797

.*.a+c~=4b~-12.

a?+c2_匕24b2-12-b2爐-443

由余弦定理,得cosB===

2ac=2X6~4~~2,

解得b2=4+21。

又b為邊長(zhǎng)，.?.b=l+?.

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力.

9.（2010?武昌區(qū)模擬）某人朝正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150。，然后朝新方向走3km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好娟kir,

那么x的值為（）

A.B.273C.V3D.3

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用.

專題：計(jì)算題.

分析：作出圖象，三點(diǎn)之間正好組成了一個(gè)知兩邊與一角的三角形，由余弦定理建立關(guān)于x的方程即可求

得x的值._

解答：解：如圖，AB=x,BC=3,AC=V3>ZABC=30".

由余弦定理得3=x?+9-2x3xxxcos30".

解得X=2J5或X=A/3

故選A.

點(diǎn)評(píng)：考查解三角形的知識(shí)，其特點(diǎn)從應(yīng)用題中抽象出三角形.根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇合適的定理建立方程求

解.

10.有一電視塔，在其東南方A處看塔頂時(shí)仰角為45。，在其西南方B處看塔頂時(shí)仰角為60。，若AB=120米，則

電視塔的高度為（）_

A.60百米B.60米C.60代米或60米D.30米

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用.

專題：解三角形.

分析：作出符合題意的圖形，利用三角函數(shù)及勾股定理，即可求得結(jié)論.

解答：解：如圖所示，設(shè)電視塔的高度CD=h,ZCAD=45",ZCBD=60°,ZADB=90°,AB=120米，

則AD=h,BD=落3，4Z\

在RSABD中，VBD2+AD2=AB2,/：\

/+咯）2=1202/5\

.,.h=60V3^/\

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查方位角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

二、填空題_

11.在△ABC中，ZA=45°,ZB=60°,a=10,b=5%.

考點(diǎn)：正弦定理.

專題：解三角形.

分析：由條件利用正弦定理可得一旦一=^^―,由此求得b的值.

sin45sin60

解答：解：在AABC中，：/A=45。，ZB=60%a=10,則由正弦定理可得a=b,即

sinAsinB

10二b,

sin450sin600

解得b=5遍,

故答案為5瓜

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.在△ABC中，ZA=105°,ZB=450,c=&,則b=2.

考點(diǎn)：正弦定理.

專題：解三角形.

分析：利用三角形內(nèi)角和公式求得角C的值，再利用正弦定理求得c的值.

解答：解：：在△ABC中，/A=105°,ZB=45\AZC=180°-A-B=30°.

再由c=&,利用正弦定理可得b=c,即b近解得c=2,

sinBsinCsin45sin30

故答案為2.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形內(nèi)角和公式、正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.在△ABC中，A=60°,a=3,則----空叱-----=_2A/S_.

sinA+sinB+sinC

考點(diǎn)：正弦定理；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用.

專題：計(jì)算題.

分析：由A的度數(shù)求出sinA的值，利用正弦定理表示出比例式，再由a的值及求出的sinA,算出比例式

的比值，根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到所求式子的值.

解答：解：由A=60°,a=3,

根據(jù)正弦定理得：a=b_邑L2我，

sinAsinBsinCsin60

則-----a+b+c-----=273.

sinA+sinB+sinC

故答案為：2dm

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，以及比例的性質(zhì)，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵.

14.在△ABC中，若a2+b2<c2,且sinC=2^,則NC=空

2—3―

考點(diǎn)：余弦定理.

專題：計(jì)算題.

分析：直接利用勾股定理，判斷三角形的形狀，通過(guò)sinC=2^,求出/C的值.

2

解答：解：因?yàn)樵凇鰽BC中，若a2+b2〈c2,所以三角形是鈍角三角形，ZO90%又sinC=1所以

2

ZC=22L.

3

故答案為：空.

3

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角形的有關(guān)計(jì)算，勾股定理、余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

15.平行四邊形ABCD中，AB=4遍，AC=4?,ZBAC=45°,那么AD=4\質(zhì).

考點(diǎn).余弦定理；正弦定理.

專題:計(jì)算題；解三角形.__

分析:在△ABC中利用余弦定理，算出BC=4?,再由平行四邊形邊的性質(zhì)可得AD=BC=4j&

解答:解：:△ABC中，AB=4&，AC=4A/3，ZBAC=45°,

...根據(jù)余弦定理，得

BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos45°=96+48-2x4^4^^48

/.BC=4我

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

.*.AD=BC=4V3

故答案為：4M

點(diǎn)評(píng)：本題給出平行四邊形的對(duì)角線和一邊之長(zhǎng)，再已知對(duì)角線與邊的夾角的情況下求平行四邊形的另

一邊長(zhǎng).著重考查了平行四邊形的性質(zhì)和余弦定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

16.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4,則最大角的余弦值=1

4-

考J，占、八,?余弦定理.

專題：計(jì)算題；解三角形.

分析：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理得a：b：c=2：3：4.設(shè)a=2k,b=3k,c=3k,利用余弦定理求出cosC之值，

即得最大角的余弦值

解答：解：?△ABC中,sinA：sinB：sinC=2：3：4,

...根據(jù)正弦定理，得a：b：c=2：3：4,可得c為最大邊，角C是最大角

設(shè)a=2k,b=3k,c=3k(k>0)

222222

.ra+b-c4k+9k-16k1

2ab2X2kX3k4

即最大角的余弦值為

4

故答案為：-工

4

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC的三個(gè)內(nèi)角的正弦之比，求最大角的余弦值.著重考查了利用正、余弦定理解三

角形的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

17.已知在△ABC中，ZA=45°,a=2,c=加，求角C.

考點(diǎn)：正弦定理.

專題：計(jì)算題；解三角形.

分析：

由正弦定理可得a=c,把己知可求sinC,進(jìn)而可求C

sinAsinC

解答：解：vZA=45°,a=2,C=A/G

由正弦定理可得產(chǎn)=一

sinAsinC

.\sinC=csinA=^義返=立

a222

，C=60°或120°

點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題

18.在△ABC中，已知c=l,B=60。，求a,A,C.

考點(diǎn)：解三角形；正弦定理.

專題：計(jì)算題.

分析：由B的度數(shù)求出sinB的值，再由b與c的值，利用正弦定理求出sinC的值，再由c小于b,根據(jù)

大角對(duì)大邊可得C小于B,由B的度數(shù)可得C的范圍，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C

的度數(shù)，由B和C的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出A的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)A為直角，故由b和c

的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出a的長(zhǎng).

解答：解：*?,b=V3-c=l,B=60°,

近

由正弦定理得：sinC=SsinB2

bV32

又c<b,.,.C=30°；...（6分）

.,.A=180--B-C=90°；...(8分)

...△ABC為直角三角形，又b=f，c=l,

根據(jù)勾股定理得：a=A/b2+c2-2....(11分)

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，三角形的內(nèi)角和定理，勾股定理，以及特殊

角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵.

19.根據(jù)所給條件，判斷△ABC的形狀.

(1)acosA=bcosB；

(2)

cosAcosBcosC

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷.

專題：解三角形.

分析：(□△ABC中，由條件利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB.故有sin2A=sin2B,可得2A=2B,

或2A+2B=rt,BPA=B,或A+B=2L.由此可得，△ABC的形狀.

2

(2SABC中，由條件利用正弦定理可得sinA=sinB=sinC,即tanA=tanB=tanC,故有A=B=C,

cosAcosBcoC

由此可得結(jié)論.

解答：解：(1)△ABC中,acosA=bcosB,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,故有sin2A=sin2B,

；.2A=2B,或2A+2B=n,即A=B或A+B=2L.

2

若人=8,△ABC為等腰三角形；若A+B=E,則可得C=2L,△ABC為直角三角形.

22

綜上可得，△ABC為等腰三角形或直角三角形.

(2)△ABC中，:a=b=c,則由正弦定理可得sinA=sinB=sinC,即

cosAcosBcosCcosAcosBcoC

tanA=tanB=tanC,

???A=B二C,故△ABC為等邊三角形.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，判斷三角形的形狀，屬于中檔題.

20.△ABC中，己知NA>NB>NC,且NA=2NC,b=4,a+c=8,求a,c的