立體幾何證明及體積計(jì)算

[鍵入文字]立體幾何常見證明方法與體積計(jì)算張振榮2016.3.22整理1、線線平行①利用相似三角形或平行四邊形②利用公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行al③al即④面面平行線線平行即⑤垂直于同一平面的兩條直線平行即2、線線垂直①兩條直線所成角為90（勾股定理）；②線面垂直線線垂直即③三垂線定理及其逆定理三垂線定理：三垂線逆定理：④兩直線平行，其中一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于這條直線。3、線面平行①定義：若一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則它們平行；②線線平行線面平行若平面外的一條直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則它與這個(gè)平面平行。即③面面平行線面平行若兩平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線平行于另一個(gè)平面。即4、線面垂直①線線垂直線面垂直若一條直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線，則這條直線垂直這個(gè)平面。即②面面垂直線面垂直la即③兩平面平行，有一條直線垂直于垂直于其中一個(gè)平面，則這條直線垂直于另一個(gè)平面。即④兩直線平行，其中一條直線垂直于這個(gè)平面，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面。即5、面面平行①線面平行面面平行若一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行。即②平行于同一平面的兩個(gè)平面平行即③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行即6、面面垂直a①依定義，二面角的平面角為90；a5、（將面面垂直轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面垂直）如圖，四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面；9、如圖，在長(zhǎng)方體中，，，、分別為、的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面．10、如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)。PA＝AD＝AB＝1。（1）證明：（2）證明：（3）求三棱錐B-PDC的體積V。11如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：//平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積．12ABCDEP如圖，四棱錐P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABABCDEP(=1\*ROMANI)求證：平面PDC平面PAD；(=2\*ROMANII)求證：BE//平面PAD．立體幾何大題中有關(guān)體積的求法角度問題、距離問題、體積問題是立體幾何的三大基本問題。以下是求體積的一些常用方法及有關(guān)問題。

一公式法1．正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為2和4的矩形，則它的體積為．2.（2011廣東卷文9）如圖，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為（）．A．B．C．D．練習(xí)3.一個(gè)幾何體的俯視圖是一個(gè)圓，用斜二側(cè)畫法畫出正視圖和俯視圖都是邊長(zhǎng)為6和4的平行四邊形，則該幾何體的體積為___________.4.一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為▲[來二、轉(zhuǎn)換法當(dāng)所給幾何體的體積不能直接套用公式或套用公式時(shí)某一量（底面積或高）不易求出時(shí)，可以轉(zhuǎn)換一下幾何體中有關(guān)元素的相對(duì)位置進(jìn)行計(jì)算求解，該方法尤其適用于求三棱錐的體積．5例在邊長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱上的點(diǎn)，且滿足，，（如圖1），試求三棱錐的體積．6練習(xí)（2013年高考江西卷（文））如圖,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=2,AA1=3,E為CD上一點(diǎn),DE=1,EC=3. 求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離三、割補(bǔ)法分割法也是體積計(jì)算中的一種常用方法，在求一些不規(guī)則的幾何體的體積以及求兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)經(jīng)常要用到分割法．7例已知三棱錐，其中,,求：三棱錐的體積。8練習(xí)如圖2，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成兩部分，求這兩部分的體積之比9練習(xí)。如圖（3），是一個(gè)平面截長(zhǎng)方體的剩余部分，已知，求幾何體的體積。 10四面體的三組對(duì)棱分別相等，且依次為，求四面體的體積。鞏固練習(xí)11.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，垂直于底面，分別為的中點(diǎn)。(1)求四棱錐的體積；（2）求截面的面積。12.如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).求多面體的體積.圖3圖313.如圖3，直四棱柱的底面是菱形，，其側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為的正方形。、分別是側(cè)棱、上的動(dòng)點(diǎn)，．問多面體的體積是否為常數(shù)？若是，求這個(gè)常數(shù)，若不是，求的取值范圍．14.如圖，已知中，，，⊥平面，，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求證：不論為何值，總有EF⊥平面；(2)若，求三棱錐的體積．15.如圖，已知是底面為正方形的長(zhǎng)方體，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．試求四棱錐體積的最大值；16.如圖，為圓的直徑，點(diǎn)、在圓上，，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，.設(shè)平面將幾何體分成的兩個(gè)錐體的體積分別為，，求．．專題一：立體幾何大題中有關(guān)體積的求法1-4略5解：．67解：作的中點(diǎn)，連接、，過作，垂足易證即為三棱錐的高，由棱錐體積公式即得三棱錐的體積。8設(shè)棱柱的底面積為，高為，其體積．則三角形的面積為．由于