福建省廈門六中2024屆高三上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

福建省廈門六中2024屆高三上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某歌手大賽進行電視直播，比賽現(xiàn)場有名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內(nèi)外的觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)平臺給每位參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內(nèi)外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如下：嘉賓評分嘉賓評分的平均數(shù)為，場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，所有嘉賓與場內(nèi)外的觀眾評分的平均數(shù)為，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．2．在中，，，，若，則實數(shù)()A． B． C． D．3．已知正項數(shù)列滿足：，設(shè)，當最小時，的值為()A． B． C． D．4．下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間，六個城市售出的往返機票的平均價格（單位元），以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高B．天津的往返機票平均價格變化最大C．上海和廣州的往返機票平均價格基本相當D．相比于上一年同期，其中四個城市的往返機票平均價格在增加5．如圖，雙曲線的左，右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．6．國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費使用效益的意見》中提出，要優(yōu)先落實教育投入．某研究機構(gòu)統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（）A．隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長B．年以來，國家財政性教育經(jīng)費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C．從年至年，中國的總值最少增加萬億D．從年到年，國家財政性教育經(jīng)費的支出增長最多的年份是年7．若復(fù)數(shù)滿足,則()A． B． C． D．8．費馬素數(shù)是法國大數(shù)學(xué)家費馬命名的,形如的素數(shù)(如：)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A． B． C． D．9．設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（）A． B．C． D．10．函數(shù)f(x)=lnA． B． C． D．11．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段中點的橫坐標為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．12．設(shè)直線過點，且與圓：相切于點，那么（）A． B．3 C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側(cè)棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________．14．已知數(shù)列滿足,且,則______.15．已知復(fù)數(shù)，且滿足（其中為虛數(shù)單位），則____.16．拋物線的焦點坐標為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）.18．（12分）根據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實際增長了242倍多，綜合國力大幅提升.將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為；表示全國GDP總量，表中，.326.4741.90310209.7614.05（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表，判斷與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關(guān)于的回歸方程.（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，.參考數(shù)據(jù)：45678的近似值551484031097298119．（12分）設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）時，若，，求證：．20．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．21．（12分）等差數(shù)列的前項和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{}的前項和為，求使成立的的最小值．22．（10分）某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下：等級不合格合格得分頻數(shù)624（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

計算出、，進而可得出結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，由頻率分布直方圖可知，，則，由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，.故選：B.【點睛】本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.3、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當且僅當時取得最小值，此時.故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運算求解能力.4、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析，由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高，所以A選項敘述正確.對于B選項，根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大，所以B選項敘述正確.對于C選項，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當，所以C選項敘述正確.對于D選項，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機票平均價格在增加，故D選項敘述錯誤.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.6、C【解析】

觀察圖表，判斷四個選項是否正確．【詳解】由表易知、、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤．【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表，正確認識圖表是解題基礎(chǔ)．7、C【解析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【詳解】解：由，得，∴．故選C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．8、B【解析】

基本事件總數(shù)，能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有，，，共有個，根據(jù)古典概型求出概率．【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù)，基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有，，，共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎(chǔ)題．9、A【解析】

設(shè)坐標，根據(jù)向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，其中，，即關(guān)于軸對稱故選：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算；關(guān)鍵是利用動點坐標表示出變量，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可整理得軌跡方程.10、C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=11、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,設(shè)點，由拋物線的定義可知，線段AB中點的橫坐標為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.12、B【解析】

過點的直線與圓：相切于點，可得.因此，即可得出.【詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點的直線與圓：相切于點，∴；∴；故選：B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:【點睛】本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎(chǔ)題.14、【解析】

數(shù)列滿足知，數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列，再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】，數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，又，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等比數(shù)列定義，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．15、【解析】

計算出，兩個復(fù)數(shù)相等，實部與實部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.【詳解】，所以，所以.故答案為：-8【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運算和概念辨析，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則.16、【解析】

變換得到，計算焦點得到答案.【詳解】拋物線的標準方程為，，所以焦點坐標為．故答案為：【點睛】本題考查了拋物線的焦點坐標，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用均值不等式即可求證；（2）利用，結(jié)合，即可證明.【詳解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【點睛】本題考查利用均值不等式證明不等式，涉及的妙用，屬綜合性中檔題.18、（1），；（2）148萬億元.【解析】

（1）由散點圖知更適宜，對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，則，再利用線性回歸方程的計算公式計算即可；（2）將代入所求的回歸方程中計算即可.【詳解】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以判斷，更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程.對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，得.因為，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為.（2）將代入，其中，于是2020年的全國GDP總量約為：萬億元.【點睛】本題考查非線性回歸方程的應(yīng)用，在處理非線性回歸方程時，先作變換，轉(zhuǎn)化成線性回歸直線方程來處理，是一道中檔題.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）首先對函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)參數(shù)的取值，討論的正負，即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可；（2）首先通過構(gòu)造新函數(shù)，討論新函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】（1），令，則，令得，當時，則在單調(diào)遞減，當時，則在單調(diào)遞增，所以，當時，，即，則在上單調(diào)遞增，當時，，易知當時，，當時，，由零點存在性定理知，，不妨設(shè)，使得，當時，，即，當時，，即，當時，，即，所以在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）證明：構(gòu)造函數(shù)，，，，整理得，，（當時等號成立），所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，，這里不妨設(shè)，欲證，即證由（1）知時，在上單調(diào)遞增，則需證，由已知有，只需證，即證，由在上單調(diào)遞增，且時，有，故成立，從而得證.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)含參分類討論單調(diào)性，借助構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性證明不等式，屬于難題.20、(Ⅰ)極大值為：，無極小值；(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值；(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明，即證,令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令，得；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為，無極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，屬于難題．21、（1）；（2）的最小值為19.【解析】

（1）根據(jù)條件列方程組求出首項、公差，即可寫出等差數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和化簡，利用裂項相消法求和，