廣西桂林市2022-2023學年高二上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（含解析）

桂林市2022~2023學年度上學期期末質(zhì)量檢測高二年級數(shù)學（考試用時120分鐘，滿分150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．2．請在答題卷上答題（在本試卷上答題無效）．第Ⅰ卷選擇題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標準方程可得出其準線方程.【詳解】由題意可得，拋物線的準線方程為.故選：B.【點睛】本題考查利用拋物線的標準方程求準線方程，考查計算能力，屬于基礎題.2.空間直角坐標系中兩點坐標分別為則兩點間距離為（）A.2 B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給的兩個點的坐標，代入空間中兩點之間的距離的公式，整理成最簡結(jié)果，得到要求的A與B之間的距離【詳解】∵A，B兩點的坐標分別是A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|，故選：C．【點睛】本題考查空間兩點之間的距離公式，意在考查計算能力，是一個基礎題，3.已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，從而利用可求傾斜角.【詳解】因為直線的方程為，所以直線的斜率，令直線的傾斜角為，則，，故選：B4.對于空間向量，，若，則實數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，知它們的坐標對應成比例，求出實數(shù)的值.【詳解】因為，所以，即，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查的是空間向量的平行或共線的坐標運算，是基礎題.5.兩圓和的位置關(guān)系是（）A.外離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩圓圓心距與兩圓的半徑差、半徑和的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】因為圓的圓心，半徑，圓圓心，半徑而,，，兩圓和相交.故選：B6.一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中任取5件，則恰有1件不合格品的概率是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先確定從100件中任取五件的取法數(shù)，再確定任取5件，則恰有1件不合格品的取法數(shù)，即可求得答案.【詳解】一批產(chǎn)品共100件，其中有3件不合格品，從中任取5件，共有種取法；其中恰有1件不合格品的取法有種取法，故恰有1件不合格品的概率是，故選：A.7.如圖所示，在空間四邊形中，，點在上，且，為中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的加法和減法運算法則計算即可．【詳解】故選：B8.我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”.設（）為優(yōu)美橢圓，、分別為它的左焦點和右頂點，是短軸的一個端點，則等于（）A.90° B.75° C.60° D.72°【答案】A【解析】【分析】由可得，根據(jù)余弦定理即可求得．【詳解】∵，∴．在橢圓中，，，，，，，∴，所以等于．故選：A．【點睛】本題主要考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應用，以及利用余弦定理解三角形，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知分別是雙曲線的左?右焦點，則下列正確的有（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.的坐標為D.直線與雙曲線有兩個公共點【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)解析式得，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)對選項逐一辨析即可.【詳解】雙曲線，則，則，，故A正確；雙曲線的漸近線方程為，故B正確；左焦點，故C錯誤；直線斜率，，則直線與雙曲線有兩個公共點，故D正確；故選：ABD.10.在的展開式中，下列說法錯誤的是（）A.常數(shù)項是20 B.第4項的二項式系數(shù)最大C.第3項是 D.所有項的系數(shù)的和為0【答案】AC【解析】【分析】利用二項式定理的通項公式和賦值法求解.【詳解】因為展開式的通項公式為；令可得，所以常數(shù)項為，A錯誤；第項的二項式系數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)可知當時，取到最大值，B正確；令可得，所以第三項為，C錯誤；令可得所有項的系數(shù)的和為0，D正確.故選：AC.11.“50米跑”是《國家學生體質(zhì)健康標準》測試項目中的一項．已知某地區(qū)高中女生的“50米跑”測試數(shù)據(jù)（單位：秒）服從正態(tài)分布，且．現(xiàn)從該地區(qū)高中女生中隨機抽取5人，并記這5人“50米跑”的測試數(shù)據(jù)落在內(nèi)的人數(shù)為，則下列正確的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)，二項分布的概念及期望逐一對選項進行分析即可.【詳解】因為服從正態(tài)分布，故，，則，故A錯誤，B正確；5人“50米跑”的測試數(shù)據(jù)符合二項分布，即，故C正確；，故D錯誤；故選：BC.12.英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件?存在如下關(guān)系：.某高校有甲?乙兩家餐廳，王同學第一天去甲?乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.6；如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.5，則王同學（）A.第二天去甲餐廳概率為0.54B.第二天去乙餐廳的概率為0.44C.第二天去了甲餐廳，則第一天去乙餐廳的概率為D.第二天去了乙餐廳，則第一天去甲餐廳的概率為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題中所給的公式進行逐一判斷即可.【詳解】設:第一天去甲餐廳，:第二天去甲餐廳，:第一天去乙餐廳，:第二天去乙餐廳，所以，，，因為，所以，所以有,因此選項A正確,，因此選項B不正確；因為，所以選項C正確；，所以選項D不正確，故選：AC第Ⅱ卷非選擇題三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13計算：__________．【答案】6【解析】【分析】直接借助階乘運算即可.詳解】,故答案為：6.14.一位足球運動員在有人防守的情況下，射門命中的概率，用隨機變量表示他一次射門的命中次數(shù)，則__________．【答案】##【解析】【分析】先求出期望，借助期望求方差.【詳解】由題知，一次射門命中次數(shù)為0次或1次，,因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3，,故答案為：15.已知拋物線C：的焦點為F，直線l與拋物線C交于A、B兩點，若AB的中點的縱坐標為5，則______．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求出其準線方程，再結(jié)合拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線C：的準線方程為，設，，由拋物線定義得：，，因AB的中點的縱坐標為5，則有，所以．故答案為：1316.我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同則積不容異”．“勢”即是高，“冪”是面積．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處的截面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知雙曲線的焦點在軸上，離心率為，且過點．若直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為_________.【答案】【解析】【詳解】設雙曲線的方程為，由題意得，解得，則雙曲線的方程為.作直線，交雙曲線于點，交漸近線于點，交軸于點.則，∴，∴.根據(jù)祖暅原理，可得該幾何體與底面積為、高為6的柱體體積相等，故所求體積為.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應給出文字說明?證明過程及演算步驟．17.已知直線與的交點為.（1）求交點的坐標；（2）求過交點且平行于直線的直線方程.【答案】(1)點的坐標是;(2)直線方程為.【解析】【詳解】試題分析：（1）聯(lián)立兩條直線的方程得到交點坐標；（2）根據(jù)條件可設所求直線方程為，將P點坐標代入得到參數(shù)值．解析：（1）由解得所以點的坐標是.（2）因為所求直線與平行，所以設所求直線方程為把點坐標代入得，得.故所求的直線方程為.18.從6名運動員中選4人參加米接力賽，在下列條件下，各共有多少種不同的排法？（寫出計算過程，并用數(shù)字作答）（1）甲?乙兩人必須跑中間兩棒；（2）若甲?乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒．【答案】（1）24（2）72【解析】【分析】（1）由甲?乙兩人必須跑中間兩棒，甲乙之間會有一個排列，余下的兩個位置需要在剩余4人中選出共有種，根據(jù)分步計數(shù)原理即可求解.（2）由題意可將甲乙兩人捆綁，并且有種結(jié)果，其余4人選出兩人和甲乙組合成三個元素的排列共有種結(jié)果，再根據(jù)分步計數(shù)原理即可求解.【小問1詳解】甲?乙兩人跑中間兩棒，甲乙兩人的排列有種，剩余兩棒從余下的4個人中選兩人的排列有種，故有種；【小問2詳解】若甲?乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒，甲乙兩人相鄰兩人的排列有種，其余4人選兩人和甲乙組合成三個元素的排列有種，故有種．19.已知圓，點（1）已知直線與圓相交于兩點，求的長；（2）判斷點與圓的位置關(guān)系，并求過點且與圓相切的直線方程．【答案】（1）（2）點在圓外，切線的方程為或【解析】【分析】（1）求出圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理進行計算，可求出結(jié)果.（2）根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判定可得結(jié)果，對直線斜率存在和不存在分別進行討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可得出直線方程【小問1詳解】由已知可知圓心到直線的距離，圓的半徑長為2，得【小問2詳解】將點代入圓的方程可得：，所以，點在圓外；當直線的斜率不存在時，直線的方程為：，圓心到直線距離為2，正好等于半徑，此時直線與圓相切；當直線斜率存在時，設直線：，即圓心到直線的距離為，解得此時直線方程為：綜上可知切線方程為或．20.2022年11月30日7時33分，翹盼已久的神舟十四航天員乘組順利打開“家門”熱烈歡迎神舟十五的親人入駐“天宮”．太空奇跡，源于一代代航天人的篳路藍縷?薪火相傳．為激發(fā)同學們對航天科學的興趣，某校舉辦航天知識競答，每班各選派兩名同學代表班級回答4道題，每道題隨機分配給其中一個同學回答．小明?小紅兩位同學代表高二1班答題，假設每道題小明答對的概率為，小紅答對的概率為，且每道題是否答對相互獨立．記高二1班答對題目的數(shù)量為隨機變量．（1）若，求的分布列和數(shù)學期望；（2）若高二1班至少答對一道題的概率不小于，求的最小值．【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）【解析】【分析】(1)先計算答對某道題的概率，而的可能取值為，逐一計算概率，再寫分布列和數(shù)學期望；(2)根據(jù)題意列出不等式，求解即可.【小問1詳解】的可能取值為高二1班答對某道題的概率則．則得分布列為01234則【小問2詳解】高二1班答對某道題的概率為，答錯某道題的概率為．則，解得，所以的最小值為．21.如圖，在三棱柱中，平面，，，線段上一點.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算公式進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點到面距離公式進行求解即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標系：，，因為，所以，即，【小問2詳解】設平面的法向量為，，所以有，因為直線與平面所成角為，所以，解得，即，因為，所以點到平面的距離為：.【點睛】22.已知橢圓，以拋物線的焦點為橢圓E的一個頂點，且離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線與橢圓E相交于A、B兩點，與直線相交于Q點，P是橢圓E上一點，且滿足（其中O為坐標原點），試問在x軸上是否存在一點T，使得為定值？若存在，求出點T的坐標及的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用橢圓以拋物線的焦點為頂點，且離心率為，求出，即可求橢圓E的方程；