空間向量的數(shù)量積運算高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

空間向量的數(shù)量積運算課程標準經(jīng)歷把平面向量數(shù)量積運算轉(zhuǎn)換到空間向量數(shù)量積運算的過程，掌握空間向量數(shù)量積及其運算律；掌握空間向量數(shù)量積的簡單運用。體會類比與轉(zhuǎn)化思想一二三教學(xué)目標經(jīng)歷平面向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化到空間向量數(shù)量積的過程掌握空間向量數(shù)量積與運算律掌握空間向量數(shù)量積的簡單運用教學(xué)目標重難點、易錯點重點掌握空間向量數(shù)量積與運算律難點掌握空間向量數(shù)量積的簡單運用易錯點掌握空間向量數(shù)量積的簡單運用（投影向量）平面向量及其線性運算空間向量及其線性運算推廣平面向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算推廣思考學(xué)習(xí)平面向量時，是如何研究它的數(shù)量積運算的？夾角數(shù)量積的定義運算律應(yīng)用新知探索

兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a，b是非零向量，則a⊥b?_______②若a與b同向，則a·b＝______；若反向，則a·b＝________.③特別地，a·a＝____或|a|＝④若〈a，b〉為a，b的夾角，則cos〈a，b〉＝_______⑤|a·b|≤|a|·|b|空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|2

解惑提高

解惑提高空間向量數(shù)量積運算律

（1）a·b＝（2）(λa)·b＝（3）a·(b＋c)＝λ(a·b)=a·(λb)b·aa·b＋a·c（交換律）（數(shù)乘結(jié)合律）

（分配律）

思考3：對應(yīng)向量a,b,c,(a·b)·c＝a·(b·c)成立嗎?探究新知思考：在平面向量的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了向量的投影，類似地，在空間，向量a向向量b的投影有什么意義？向量a向直線l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？

aacb則向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.

(2)如圖，在空間，向量a向直線l投影，若設(shè)直線l的方向向量為向量b，aacl

探究新知思考：在平面向量的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了向量的投影，類似地，在空間，向量a向向量b的投影有什么意義？向量a向直線l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？

aacABA’B’例題講解

答案：×，×，×，×.例題講解

例題講解

例題講解

探究點

利用空間向量的數(shù)量積求夾角ABCDABCD不一定．α＝β或α＋β＝π.2．如何利用數(shù)量積求直線的夾角或夾角的余弦值？利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟取向量根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個向量求余弦角轉(zhuǎn)化把異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題利用數(shù)量積求余弦值或角的大小異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的夾角求余弦值應(yīng)加上絕對值定結(jié)果如圖，在正方ABCD-A1B1C1D1中，ABCDA1B1C1D1探究點

利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離

例

正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱長都為2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，求EF的長．A1ABCB1C1FE－14如圖，在三棱錐A-BCD中，底面邊長與側(cè)棱長均為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且MB＝2AM，求MN的長．ABCDMN【練習(xí)】如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求

【解】

（1）能否利用空間向量的數(shù)量積證明空間中兩條直線垂直？（2）能否