廣西玉林市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

玉林市2022年秋季期高二年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷總分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)?考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.第I卷（選擇題，共60分）一?單選題（共8小題，每小題5分，共40分，請(qǐng)把答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置上）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】一個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)改變成原來的相反數(shù)，即可選出答案.【詳解】一個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)改變成原來的相反數(shù)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合斜率的定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線斜率的定義可知：，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線傾斜角的定義，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.3.已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得圓心坐標(biāo).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心的坐標(biāo)為.故選：A.4.在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5 C. D.9【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴．故選：D5.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式求，再代入點(diǎn)求值.【詳解】拋物線上點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，，解得點(diǎn)在拋物線上，，又.故選：C.6.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】依題意，.故選：B7.在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.7 C. D.8【答案】A【解析】【分析】先判斷數(shù)列單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性去絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】數(shù)列中，，則，則當(dāng)時(shí)，在數(shù)列中；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，則，.故選：A.8.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為與是雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)得到一個(gè)關(guān)于的等式，最后根據(jù)的關(guān)系求出離心率即可.【詳解】依題意，易得以為直徑的圓的方程為，設(shè)，則，又由雙曲線易得雙曲線的漸近線為，如圖，聯(lián)立，解得或，，又軸，由得，，即.故選：D.二?多選題（共4小題，每小題5分，部分答對(duì)得2分，共20分，請(qǐng)把答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置上）9.已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.則以下幾個(gè)命題正確的有（）A.直線l恒過定點(diǎn)(3，1)B.直線l與圓C相切C.直線l與圓C恒相交D.直線l與圓C相離【答案】AC【解析】【分析】求出直線所過的定點(diǎn)，確定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而確定直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】將直線l的方程整理為x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由解得：則無論m為何值，直線l過定點(diǎn)(3，1)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線l與圓C恒相交，故AC正確.故選：AC10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.已知任意非零向量，若，則B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C.設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D.若空間四個(gè)點(diǎn)，則三點(diǎn)共線【答案】BD【解析】【分析】由向量平行的性質(zhì)判斷A；根據(jù)空間向量共面定理即可判斷選項(xiàng)B；用向量運(yùn)算法則判斷C；由共線向量定理判斷D.【詳解】對(duì)于：若，則，且，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，，四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于，是空間中的一組基底，且，共面，不可以構(gòu)成空間的一組基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，若空間四個(gè)點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，故D正確.故選：BD11.已知數(shù)列滿足：，，，3，4，…，則下列說法正確的是（）AB.對(duì)任意，恒成立C.不存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列D.數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】首先判斷D，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，通過D構(gòu)造等差數(shù)列的定義，即可判斷；根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再通過代入的方法，判斷ABC.【詳解】因?yàn)?，（?所以,（）,即，因?yàn)?，所以，得，，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即，得，故D正確；A.，故A正確；B.，所以，故B正確；C.若存在正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列，則，即，得，令，滿足等式，所以C錯(cuò)誤；故選：ABD12.拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的方程為B.存在直線，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱C.的最小值為6D.當(dāng)直線過焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)得到故,A正確，中點(diǎn)在拋物線上，B錯(cuò)誤,，C正確，計(jì)算D正確，得到答案.【詳解】,故，,故,A正確；設(shè),設(shè)中點(diǎn)，則，相減得到,即,因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以,故,故,點(diǎn)在拋物線上，不成立，故不存在，B錯(cuò)誤；過作垂直于準(zhǔn)線于,則，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故C正確；如圖所示：為中點(diǎn)，故,故為直徑的圓與軸相切，故D正確；故選：ACD.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知直線與垂直，則__________.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件即得.【詳解】由題可得，解得.故答案為：9.14.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，則______.【答案】70【解析】【分析】利用等比數(shù)列的求和公式的基本量運(yùn)算即得，或利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題可知，方法一：由已知條件可列出方程組兩式作商得，∴，∴.方法二：由性質(zhì)得，，即，∴，∴.方法三：運(yùn)用性質(zhì).由已知條件，，易得，∴，即，∴.由，解得.方法四：運(yùn)用性質(zhì)，，，，…成等比數(shù)列解答.∵，，成等比數(shù)列，而，，∴，即，∴.故答案為：70.15.如圖所示，二面角為，是棱上的兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，且，，，，，則的長(zhǎng)______．【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出，從而，結(jié)合，，，能求出的長(zhǎng)．【詳解】二面角為，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面、內(nèi)，且所以,所以，，，的長(zhǎng)．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的運(yùn)算法則以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，是中檔題．16.已知線段是圓的一條動(dòng)弦，且，若點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】過圓心作，由已知求得，再求出圓心到直線的距離，求得的最小值，再由求解.【詳解】如圖，為直線上的任意一點(diǎn)，過圓心作，連接，由，可得，由，當(dāng)共線時(shí)取等號(hào)，又是的中點(diǎn)，所以，所以.則此時(shí)，的最小值為.故答案為：四?解答題（本大題共6小頊，第17題10分，其他每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步?。?7.在中，，，.（1）求的中線所在直線的方程；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由中點(diǎn)坐標(biāo)公示求得的中點(diǎn)，寫出的斜率，用點(diǎn)斜式得到方程.(2)求出所在直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離求出三角形的高，求出的距離，代入面積公示得到答案.【小問1詳解】由，，得的中點(diǎn)為，又，所以，所以中線所在直線的方程為，即.【小問2詳解】由，，得，直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，又，所以的面積為.18.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求證：；（2）求EF與CG所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)空間向量證明垂直關(guān)系即可證明結(jié)果；(2)根據(jù)空間向量求線線夾角的方法求解.【小問1詳解】建立以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，所以，即，所以.【小問2詳解】由（1）知，則，因?yàn)榕c所成角的范圍為，所以其夾角余弦值為.19.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)公式計(jì)算得到答案.（2）確定，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；綜上所述：【小問2詳解】，.20.已知曲線C是到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)組成的集合．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)B的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)；問在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)，使得為定值【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)距離之比等于常數(shù)列出等式，即可得到曲線方程；（2）設(shè)直線l方程為，點(diǎn)，聯(lián)立曲線C的方程，利用韋達(dá)定理可以求出，由于為定值可知，可求出參數(shù)t的值，即可得定點(diǎn)坐標(biāo)和定值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，也符合題意.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可知，則有，整理得，故曲線C的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線l方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立，得，所以，因此若，即時(shí)，，所以定值為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l為，聯(lián)立可求得，，所以，符合題意.故存在定點(diǎn)，使得為定值.21.如圖，在四邊形中，于交點(diǎn)，.沿將翻折到的位置，使得二面角的大小為.（1）證明：平面平面；（2）在線段上（不含端點(diǎn)）是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由見解析【解析】【分析】（1）先由題設(shè)條件證線面垂直，進(jìn)而可證面面垂直.（2）由已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，通過三點(diǎn)共線設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)平面的法向量，再通過二面角的余弦值的絕對(duì)值等于其法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，平?平面,又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?【小問2詳解】過作，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋矫?平面所以平面，如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，與過點(diǎn)作平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以二面角的平面角為，即則，，.設(shè)，則.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量.所以，解得或（舍）.所以為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即.故：存在點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)滿足條件.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的周長(zhǎng)是18，，是軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)直線過定點(diǎn)與曲線交于不同兩點(diǎn)A，（點(diǎn)在軸上方），在線段上取點(diǎn)使得，證明：當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)在某定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由知點(diǎn)G是的重心，取點(diǎn)，，不妨設(shè)，，由幾何關(guān)系得，符合橢圓定義，按橢圓定義求方程即可；（2）設(shè)，，，（，且），所以，，由向量與坐標(biāo)關(guān)系可整理得①，②，由結(jié)合點(diǎn)A，B在橢圓上的兩方程消元可得，即可證點(diǎn)Q總在定直