貴州省貴陽市普通中學2022-2023學年高二上學期期末監(jiān)測考試數學試題（含解析）

貴陽市普通中學2022-2023學年度第一學期期末監(jiān)測考試試卷高二數學2023.1一?選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分.每小題有四個選項，其中只有一個選項正確，請將你認為正確的選項填在答題卷的相應位置上.）1.已知兩個空間向量，，且，則實數m的值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據空間向量平行的坐標運算得出答案.【詳解】，，，，解得，故選：D.2.在等比數列中，，，則=（）A. B.1 C.1或 D.【答案】B【解析】【分析】根據等比數列基本量的計算即可求解.【詳解】設公比為則由，得，故，故選：B3.已知直線l：，如果，，那么直線l不經過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據題意，求出直線在坐標軸上的截距，即可求解.【詳解】當時，，由得，即點在y軸的正半軸；當時，，由得，即點在x軸的正半軸，又直線過點和點，所以直線不經過第三象限.故選：C.4.以下四個命題，正確的是（）A.若直線l的斜率為1，則其傾斜角為45°或135°B.經過兩點的直線的傾斜角為銳角C.若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應D.若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應【答案】D【解析】【分析】根據直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項即可.【詳解】A：直線的斜率為1，則直線的傾斜角為，故A錯誤；B：過點A、B的直線的斜率為，即(為直線的傾斜角)，則為鈍角，故B錯誤；C：當直線的傾斜角為時，該直線的斜率不存在，故C錯誤；D：若直線的斜率存在，則必存在對應的傾斜角，故D正確.故選：D.5.如圖，在三棱柱中，M，N分別是和的中點，且，則實數x，y，z的值分別為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意用空間基底向量表示向量，結合空間向量的線性運算求解.【詳解】由題意可得：，故.故選：A.6.等差數列的前n項和記為，且，，則=（）A.70 B.90 C.100 D.120【答案】D【解析】【分析】根據等差數列前n項和的性質可得成等差數列，即可求得的值.【詳解】在等差數列中，成等差數列，所以，則，即.故選：D.7.設，分別是雙曲線C：的左?右焦點，P為C上一點且在第一象限若，則點P的縱坐標為（）A1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據雙曲線的定義可得，進而根據長度關系判斷，代入即可求解.【詳解】根據題意可知：，由以及可得，又，由于,故，即三角形為直角三角形，將代入得，由于P為C在第一象限，故點P的縱坐標為2，故選：C8.已知直線l：是圓C：的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為A，則（）A. B.7 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據題意分析可得直線l過圓心，可求得，再根據圓的切線長公式運算求解.【詳解】由題意可知：直線l：過圓心，則，解得，故圓C：的圓心為，半徑，且點，∵，∴.故選：B.二?多項選擇題（本題共2小題，每小題4分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選時得4分，部分選對得2分，有選錯得0分.）9.斐波那刻螺旋線被骨為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線的圖案，例如向日葵，鸚鵡螺等.如圖，小正方形的邊長分別為斐波那契數1，1，2，3，5，8....，從內到外依次連接通過小正方形的圓弧，就得到了一條被稱為“斐波那契螺旋”的弧線，現將每一段“斐波那契螺旋”弧線所在的正方形邊長設為，數列滿足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧線與其所在的正方形圍成的扇形面積設為，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由題意可得的前9項分別為，根據運算即可判斷AB,根據，利用平方差公式以及即可判斷選項C,代入計算即可判斷D.【詳解】根據，，得數列的前9項分別為，所以，，故A正確，B錯誤，由題意可得，即，所以，故C正確，，，所以，故D錯誤，故選：AC.10.如圖，在正方線ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分別是AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D1，DA各棱的中點，則下列選項正確的有（）A.向量，，共面 B.A1C⊥平面EFGHKLC.BC與平面EFGHKL所成角的正弦值為 D.∠KEF=90°【答案】BCD【解析】【分析】建系，利用空間向量判斷向量共面和線、面關系以及求線面夾角.【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，則，可得，對A：若向量，，共面，則存在實數，使得成立，∵，可得，無解，∴不存在實數，使得成立，故向量，，不共面，A錯誤；對B：由題意可得：，則，同理可得：，，故六點共面，∵，則，，平面，∴平面，B正確；對C：由B可得是平面的法向量，∵，∴BC與平面EFGHKL所成角的正弦值為，C正確；對D：∵，則，∴，D正確.故選：BCD.【點睛】方法點睛：利用空間向量處理立體幾何問題的一般步驟：（1）建立恰當的空間直角坐標系；（2）求出相關點的坐標，寫出相關向量的坐標；（3）結合公式進行論證、計算；（4）轉化為幾何結論．三?填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分，請將你認為正確的答案填在答題卷的相應位置上.）11.直線l1：與直線l2：間的距離是___________.【答案】【解析】【分析】根據兩平行線間距離公式運算求解.【詳解】由題意可得：直線l1：與直線l2：間的距離.故答案為：.12.已知空間向量，，則___________.【答案】6【解析】【分析】利用空間向量數量積運算法則計算即可.【詳解】.故答案為：613.已知a，b，c成等比數列，則二次函數的圖像與x軸的交點個數是___________.【答案】1【解析】【分析】根據題意有，再借助二次函數的判別式判斷交點個數【詳解】a，b，c成等比數列,則，，則二次函數的圖像與x軸有1個交點，故答案為：1.14.已知拋物線的準線是直線，為上一點，，垂足為，點的坐標是，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由拋物線的定義可得出，當為線段與拋物線的交點時，取最小值可得結果.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，如圖所示：由拋物線的定義可得，所以，，當且僅當為線段與拋物線的交點時，等號成立，因此，的最小值為.故答案：.15.若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得：該曲線為以為圓心，半徑的右半圓，根據圖象結合直線與圓的位置關系運算求解.【詳解】∵，整理得，∴該曲線為以為圓心，半徑的右半圓，直線的斜率，如圖所示：當直線與圓相切時，則，解得或（舍去）；當直線過點時，則，解得；綜上所述：b的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：直線與圓位置關系問題的求解思路：研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現，結合圖象分析相應的性質與關系，列式求解．四?解答題（本大題共4小題，每小題8分，共32分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.如圖，四棱柱的底面是菱形，⊥底面ABCD，AB=BD=2，，E，F分別是棱BB1，DD1上的動點（不含端點），且.（1）求四棱錐的體積；（2）當BE=1時，求平面AEF與平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到AO是四棱錐的高，求出各邊的長，利用錐體體積公式求出答案；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解兩平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】如圖，連接AC交BD于點O，因為底面ABCD是菱形，所以，因為點E，F分別在，上，所以BEDF，又⊥底面ABCD，AO底面ABCD，BD底面ABCD，所以BE⊥BD，BE⊥AO，所以四邊形BEFD是直角梯形，且因為，，所以，又因為，平面BEFD，所以AO⊥平面BEFD，即AO是四棱錐的高，因為AB=BD=2，底面ABCD是菱形，所以是等邊三角形，故，，所以，所以四棱錐的體積為【小問2詳解】以O為原點，分別以OA，OB所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，.設是平面AEF的法向量，則，取，則，.所以，是平面AEF的一個法向量，由（1）可知，OA⊥平面BEFD，即OA⊥平面，所以是平面的一個法向量，而，所以平面AEF與平面夾角的余弦值為17.設直線與拋物線相交于兩點，且.（1）求拋物線方程；（2）求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯立直線與拋物線方程，消元得出韋達定理，將表示為坐標形式，列方程化簡計算，可得拋物線方程；（2）利用三角形的面積公式，結合韋達定理，根據的取值，得出面積的最小值．【小問1詳解】設直線與拋物線交于點，聯立得，顯然，所以，因，所以，即，化簡得，代入得解得，所以拋物線方程為【小問2詳解】因為直線過定點，所以，當且僅當時，的面積取得最小值為18.已知圓O：，過定點作兩條互相垂直的直線，，且交圓O于兩點，交圓O于兩點.（1）若，求直線的方程；（2）求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意分析可得到直線的距離為，討論直線的斜率是否存在，結合點到直線的距離運算求解；（2）討論直線是否與坐標軸垂直，結合韋達定理證明結論.【小問1詳解】由題設可知圓O的圓心為，半徑為，由，可得到直線的距離為，因為直線經過點，則有：當直線的斜率不存在時，則，此時到直線的距離為，不合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，則，解得，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】∵，即定點在圓內，∴直線與圓均相交，當直線與x軸垂直時，直線與x軸平行，此時，，所以；當直線與x軸垂直時，直線與x軸平行，此時，，所以；當直線與不坐標軸垂直時，設直線的方程為，則直線的方程為，聯立方程，消去y得，所以，同理可得，所以，綜上所述：為定值2.19.設數列滿足.（1）求，，，試猜想的通項公式，并證明；（2）求數列的前n項和.【答案】（1），，，，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據已知求出，，，猜想數列通項公式為，當時，，結合已知式子兩式相減即可得出當時，，再驗證成立即可；（2）結合第一問結論得出數列的通項，利用錯位相減法得出答案.【小問1詳解】因為，當時，當時，，可得，當時，，可得，所以猜想數列的通項公式為，證明如下：由題意，當時，，，得，所以，當時，上式為，這就是說，當時，上式也成立.因此，數列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）知，記的前n項和為，則，故，，得，，所以數列的前n項和為.20.閱讀材料：（一）極點與極線的代數定義；已知圓錐曲線G：，則稱點P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點P(，)對應的極線方程.特別地，對于橢圓，與點P(，)對應的極線方程為；對于雙曲線，與點P(，)對應的極線方程為；對于拋物線，與點P(，)對應的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.（二）極點與極線的基本性質?定理①當P在圓錐曲線G上時，其極線l是曲線G在點P處的切線；②當P在G外時，其極線l是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當P在G內時，其極線l是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.結合閱讀材料回答下面的問題：（1）已知橢圓C：經過點P(4，0)，離心率是，求橢圓C的方程并寫出與點P對應的極線方程；（2）已知Q是直線l：上的一個動點，過點Q向（1）中橢圓C引兩條切線，切點分別為M，N，是否存在定點T恒在直線MN上，若存在，當時，求直線MN的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1），（2）存在，【解析】【分析】(1)根據題意和離心率求出a、b，即可求解；(2)利用代數法證明點Q在橢圓C外，則點Q和直線MN是橢圓C的一對極點和極線.根據題意中的概念求出點Q對應的極線MN方程，可得該直線恒過定點T（2,1），利用點差法求出直線的斜率，即可求解.【小問1詳解】因橢圓過點P(4,0)，則，得，又，