放縮法在解答數(shù)列題中的應(yīng)用技巧(十一種放縮方法全歸納)講義-2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

放縮法在解答數(shù)列題中的應(yīng)用技巧（十一種放縮方法全歸納）證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材.這類問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s.一、放縮技巧(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(11)(12)(13)(14)(15)(16)二、經(jīng)典試題解析（一）、經(jīng)典試題01、裂項(xiàng)放縮1．（1）求的值；（2）求證:.2．求證:.3．求證:.4．求證:5．求證：6．求證:.7．已知，求證:.8．已知，，求證:.9．已知，，求證:.02、函數(shù)放縮10．求證：.11．求證:.12．求證:.03、分式放縮13．證明姐妹不等式:和（也可以表示成為和）14．證明:04、分類放縮15．求證:.16．在平面直角坐標(biāo)系中，軸正半軸上的點(diǎn)列與曲線上的點(diǎn)列滿足，直線在x軸上的截距為.點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，.（1）證明>>4，；（2）證明有，使得對(duì)都有<.17．已知函數(shù)，若的定義域?yàn)閇－1，0]，值域也為[－1，0].若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在正常數(shù)A，使得對(duì)于任意正整數(shù)都有？并證明你的結(jié)論.18．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，設(shè)內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.設(shè)，

當(dāng)時(shí)，求證:.05、迭代放縮19．已知，，求證:當(dāng)時(shí)，.20．設(shè)，求證:對(duì)任意的正整數(shù)k，若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<.06、借助數(shù)列遞推關(guān)系21．求證:.22．求證:07、分類討論23．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，證明：對(duì)任意的整數(shù)，有.08、線性規(guī)劃型放縮24．設(shè)函數(shù).若對(duì)一切，，求的最大值.09、均值不等式放縮25．已知，求證：.26．已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：27．已知為正數(shù)，且，試證：對(duì)每一個(gè)，.10、二項(xiàng)放縮，，28．已知證明.29．已知a+b=1，a>0，b>0，求證：.30．已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閇0，1]，且滿足下列條件：①對(duì)于任意[0，1]，總有，且；②若則有（1）求f0的值；（2）求證：fx≤4；（3）當(dāng)時(shí)，試證明：.31．已知：，求證：.11、部分放縮（尾式放縮）32．求證:.33．設(shè)求證：34．已知數(shù)列的首項(xiàng)，，、、．（1）證明：對(duì)任意的，，、、；（2）證明：.12、經(jīng)典題目方法探究35．已知函數(shù).若在區(qū)間上的最小值為，令.求證:.36．設(shè)函數(shù)，如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍37．若，其中且，，求證:.38．已知函數(shù)，若對(duì)任意恒有，求的取值范圍.39．證明:.40．已知證明.41．已知函數(shù)，若證明42．已知函數(shù)是在上每一點(diǎn)處均可導(dǎo)的函數(shù),若在上恒成立.(Ⅰ)①求證:函數(shù)在上是增函數(shù);②當(dāng)時(shí),證明:;(Ⅱ)已知不等式在且時(shí)恒成立,求證:43．若，求證:.44．求證：.45．已知，求證:46．已知，求證:47．若，求證:.48．已知函數(shù)，.對(duì)任意正數(shù)，證明：．49．求證:.（二）、詳細(xì)解析1.【分析】（1）根據(jù)裂項(xiàng)相消求和即可；（2）根據(jù)放縮再求和即可【詳解】(1)因?yàn)?，所?2)因?yàn)?，所?.【分析】根據(jù)放縮后利用裂項(xiàng)相消求和即可【詳解】因?yàn)?，故，?.【詳解】由根據(jù)得所以4.【分析】利用分式放縮法證明出，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】由，得，所以，要證，只需證，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：累加相消，可得.故得證.6.【分析】先證右邊，根據(jù)放縮，再證左邊，根據(jù)放縮，討論和時(shí)的情況即可【詳解】一方面:因?yàn)?，所以另一方?當(dāng)時(shí)，，成立當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以綜上有7.【分析】由分析可知要證明的不等式等價(jià)于，只需證，即，證明對(duì)于恒成立，即可求證.【詳解】首先可以證明:令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，因?yàn)椋?，可得在單調(diào)遞增，由可得，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即對(duì)于恒成立，因?yàn)?，所以要證，只要證：，只需證，只需證，即等價(jià)于，，因?yàn)椋院惋@然成立，所以原命題成立.8.【分析】由題意求出，通過(guò)化簡(jiǎn)、裂項(xiàng)求得，進(jìn)而可證明.【詳解】所以從而9.【分析】分奇偶代入，再根據(jù)與放縮求和即可【詳解】證明:，因?yàn)?，所以所?0.【分析】觀察不等式，構(gòu)造函數(shù)不等式，變形得，累加，再放縮即可得證.【詳解】先構(gòu)造函數(shù)，，易知在遞增，在遞減，所以所以有，從而所以11.【分析】構(gòu)造函數(shù)，得到，再證明，由此可得，求和后可以得到答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，，∴，∴，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又時(shí)，∴，即，∴，∴，，…，，∴，∴，∴12.【分析】構(gòu)造函數(shù)先證明，得到，再疊加求和即可證明【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增故，故，所以，令，則，故，即故三、分式放縮姐妹不等式:和記憶口訣”小者小，大者大”，解釋:看b，若b小，則不等號(hào)小于號(hào)，反之.13.【分析】根據(jù)放縮證明即可【詳解】利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得即故，即，故，即14.【分析】進(jìn)行兩次放縮，再相乘化簡(jiǎn)即可【詳解】運(yùn)用兩次次分式放縮:因?yàn)?，故，所以兩式相乘，可以得?，故即所以有15.【分析】根據(jù)放縮即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，故16.【分析】（1）根據(jù)軸正半軸上的點(diǎn)列與曲線上的點(diǎn)列滿足得出，再根據(jù)直線在軸上的截距為求解即可（2）設(shè)，代入化簡(jiǎn)，利用放縮方法得到，再設(shè)，證明當(dāng)時(shí)即可證明【詳解】（1）依題設(shè)有：，由得：，又直線在軸上的截距為滿足故，顯然，對(duì)于，有(2)證明：設(shè)，則設(shè)，則當(dāng)時(shí)，.所以，取，對(duì)都有：故有<成立.17.【分析】首先計(jì)算出，再利用放縮法求出.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)閇－1，0]，值域也為[－1，0]所以∵∴∵，，…，故當(dāng)時(shí)，，因此，對(duì)任何常數(shù)A，設(shè)是不小于A的最小正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，必有.故不存在常數(shù)A使對(duì)所有的正整數(shù)恒成立.18.【分析】容易得到，所以，要證只要證，由于，進(jìn)而記，得故，所以原命題得證【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以或所以?nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)在直線和上，所以與的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，有整數(shù)點(diǎn)個(gè)，與的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，有整數(shù)點(diǎn)個(gè)所以內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為因?yàn)椋运?，即，所以，即所以，記，則所以要證，即證，所以只需證，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，求證:成立.19.【分析】推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，求得，分析可知，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證得結(jié)論成立.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)和公比均為，所以，，解得，所以，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，故數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，故，所以，，因此，.相加后就可以得到:所以22.【分析】利用分式放縮法證明出，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】由，得，所以，要證，只需證，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，因?yàn)?，所?lt;，不等式成立；假設(shè)時(shí)不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，，要證，只需證，即證，也就是證：3<4，此時(shí)顯然成立.所以當(dāng)時(shí)不等式成立.綜上所述，，所以23.【分析】由與的關(guān)系，結(jié)合待定系數(shù)法可求得，由于通項(xiàng)中含有，考慮分項(xiàng)討論，分析得出當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合放縮法以及等比數(shù)列的求和公式可證得所證不等式成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差得，即，設(shè)，即，所以，，得，所以，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，所以，，故，由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，（減項(xiàng)放縮）.①當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，；②當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，所以，.因此，對(duì)任意的整數(shù)，有.24.【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的最值，對(duì)一切，的充要條件是，得到約束條件，結(jié)合線性規(guī)劃可得的最大值.【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故的極小值，極大值.又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，最大值為，故對(duì)一切，的充要條件是，即，滿足約束條件，作出可行域，如圖所示，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且最大值為5．25.【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)計(jì)算判斷單調(diào)性，可得，進(jìn)而可得；構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)計(jì)算判斷單調(diào)性，可得，進(jìn)而可得.【詳解】證明構(gòu)造函數(shù)，則，故單調(diào)遞減，于是，即.同理，構(gòu)造函數(shù)，則，故單調(diào)遞減，于是，即.26.【分析】根據(jù)，結(jié)合單調(diào)性與最值求得，再根據(jù)放縮，累加求和證明即可【詳解】因?yàn)?，故，即，故所以在[0，1]上為單調(diào)函數(shù)，又，故，，故代入可得，故，又27.【分析】根據(jù)與基本不等式可得，再根據(jù)二項(xiàng)展開式構(gòu)造，倒序相加求和再結(jié)合基本不等式證明即可【詳解】由得，又，故，而，令，則=，因?yàn)?，倒序相加?，而，則，所以，即對(duì)每一個(gè)，.28.【分析】分當(dāng)和時(shí)兩種情況，當(dāng)時(shí)，根據(jù)與進(jìn)行放縮，得到再累加證明即可【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，故，故.令，則，即29.【分析】由題意可認(rèn)為成等差數(shù)列，設(shè)，結(jié)合基本不等式可得，整理即可.【詳解】因?yàn)閍+b=1，a>0，b>0，可認(rèn)為成等差數(shù)列，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，所以.30.【分析】（1）令，由①，②可得（2）任取且設(shè)結(jié)合已知條件可得，所以在[0，1]上遞增，所以，（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明：，而當(dāng)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論【詳解】（1）解：令，由①對(duì)于任意[0，1]，總有，∴又由②得即∴（2）解：任取且設(shè)則因?yàn)?，所以，即?∴在[0，1]上遞增，∴當(dāng)[0，1]時(shí)，.（3）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，由得即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立.于是，當(dāng)時(shí)，，而[0，1]，單調(diào)遞增∴，所以，31.【分析】通過(guò)構(gòu)造對(duì)偶式：，，首先證明，然后構(gòu)造，從而利用基本不等式證明.【詳解】構(gòu)造對(duì)偶式：令，，則，所以，又因?yàn)?，所以，所?32.【分析】利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求證【詳解】，33.【分析】利用放縮法得，又，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法即可證明.【詳解】證明：因?yàn)?，所以，又（只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行部分放縮），所以，所以34.【分析】（1）推出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式，然后利用配方法可證得結(jié)論成立；（2）取，由（1）中的結(jié)論結(jié)合等比數(shù)列求和可證得所證不等式成立.【詳解】（1）對(duì)任意的，，則，因?yàn)?，可得，，，以此類推，可知，?duì)任意的，，且有，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，所以，，解得，，對(duì)任意的，，，得證；（2）由（1）可知，對(duì)任意的，有取，所以，，故原不等式成立.35.【分析】確定，再證明，相加相消，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：，，的單調(diào)減區(qū)間為，在上單調(diào)遞減，，，，即有，．36.【分析】令，由題意可得對(duì)于恒成立，求，分別討論、和時(shí)，的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，恒成立.②當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，則，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以不符合題意；所以綜上有的取值范圍是.37.【分析】由三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在單調(diào)遞增，得出，進(jìn)而得到，結(jié)合題意，即可證明.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，即，可得，即，所以，因?yàn)椋?8.【分析】先確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，判定函數(shù)的單調(diào)性，按0＜a≤2，a＞2，a≤0進(jìn)行分類討論，即可得到結(jié)論．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（1，+∞），求導(dǎo)函數(shù)可得，當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在（﹣∞，1）和（1，+∞）上為增函數(shù)，對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）＝1；當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)在（﹣∞，﹣），（，1）和（1，+∞）上為增函數(shù)，在（﹣，）上為減函數(shù)，取x0＝∈（0，1），則f（x0）＜f（0）＝1；當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1）恒有且e﹣ax≥1，∴.綜上，當(dāng)a∈時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．39.【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可證明，再令累加求和即可【詳解】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，可以得到:，令有，令有，所以，所以，令有，所以，故，所以40.【分析】分當(dāng)和時(shí)兩種情況，當(dāng)時(shí)，根據(jù)與進(jìn)行放縮，得到再累加證明即可【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，故，故.令，則，即41.【分析】根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，得到，進(jìn)而得到，再令，代入即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，因?yàn)椋?，則，可得，令，則有，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，即總有，又由所以，即，令，則所以，即42.【分析】(I)①先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算,求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合已知證明導(dǎo)函數(shù)在上恒成立,即可證明其在上是增函數(shù);②利用①的結(jié)論,且時(shí),,且,得,從中解出、即可證得結(jié)論;構(gòu)造一個(gè)符合條件的函數(shù),利用(I)的結(jié)論,得,令,再將放縮,即可證得所證不等式【詳解】(Ⅰ)①

，在上恒成立,

從而有在上是增函數(shù).

②由①知在