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文檔簡介

北京市朝陽區(qū)中考數(shù)學模擬試題

(含答案)

一、單選題

1.如圖所示,△ABC中AB邊上的高線是()

A.線段AGB.線段BDC.線段BED.線段CF

2.下列全國各地地鐵標志圖中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

的是()

3.如圖,在RSA8C中,ZBAC=90°,AB=AC,點A,點C分別在

直線。,人上,且?!ń鬘l=60。,則N2的度數(shù)為()

A.75°B.105°C.135°D.155°

4.如圖,數(shù)軸上的四個點A、B、C、。位置如圖所示,它們分別對

應四個實數(shù)a%、c、d,若q+c=0,A3<BC,則下列各式正確的是()

b

A.bc>0B.b—d>0C.b+c>0D.時>同

5.如圖在正方形網(wǎng)格中,若A(1,1),B(2,0),則C點的坐標

6.一次中學生田徑運動會上,21名參加男子跳高項目的運動員成績

統(tǒng)計如下:

成績

1.501.551.601.651.70

(m)

人數(shù)■86■1

其中有兩個數(shù)據(jù)被雨水淋混模不清了,則在這組數(shù)據(jù)中能確定的統(tǒng)計

量是()

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

7.某長方體的展開圖中,P、A、B、C,。(均為格點)的位置如圖所示,

一只螞蟻從點P出發(fā),沿著長方體表面爬行.若此螞蟻分別沿最短路線

爬行到4B、C、。四點,則螞蟻爬行距離最短的路線是()

A.PfAB.PTBC.PfCD.PTD

8.程老師制作了如圖1所示的學具,用來探究“邊邊角條件是否可確

定三角形的形狀''問題.操作學具時,點。在軌道槽AM上運動,點尸既

能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運動,也能在軌道槽QN

上運動.圖2是操作學具時,所對應某個位置的圖形的示意圖.

QM

圖1圖2

有以下結(jié)論:

①當ZPAQ=30。,PQ=6時,可得到形狀唯一確定的△尸AQ;

②當ZPAQ=30。,PQ=9時,可得到形狀唯一確定的△"。;

③當NPAQ=9(T,PQ=10時,可得到形狀唯一確定的△P42;

④當4AQ=150,PQ=12時,可得到形狀唯一確定的;

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A8M

備用圖

A.①②④B.②③C.②③④D.③④

二、填空題

9.4的平方根是.

10.若一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍,則這個多邊形的邊數(shù)

是.

11.我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題,大意是:1()。匹

馬恰好拉了100片瓦,已知3匹小馬能拉1片瓦,1匹大馬能拉片3瓦,

求小馬、大馬各有多少匹.若設小馬有X匹,大馬有y匹,依題意,可

列方程組為.

12.如圖,。。的弦AB=6,直徑8為2,48_LCD于E,則的長

為(結(jié)果保留4).

D

13.如果片+2。-1=0,那么代數(shù)式的值是

\a)a-2

14.如圖,在△45。中,點M為3c的中點,AP平分々AC,且

于點延長8。交AC于點M若A5=12,AC=18,則MD=

BM

15.罰球是籃球比賽中得分的一個組成部分,罰球命中率的高低對籃

球比賽的結(jié)果影響很大.下圖是對某球員罰球訓練時命中情況的統(tǒng)計:

“罰球命中''的概率是0.822;②隨著罰球次數(shù)的增加,“罰球命中””的

頻率總在().812附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計該球員“罰

球命中”的概率是0.812;③由于該球員“罰球命中”的頻率的平均值是

0.809,所以“罰球命中”的概率是0.809.其中合理的是

_______________________.(填序號)

16.一輛賽車在一個周長為36的封閉跑道上行駛,跑道由幾段直道

和彎道組成,圖1反映了賽車在“計時賽”整個第二圈的行駛速度與行

駛路程之間的關(guān)系.

根據(jù)圖1,有以下四個說法:

①在這第二圈的26km到2.8m之間,賽車速度逐漸增加;

②在整個跑道中,最長的直線路程不超過0.6坳;

③大約在這第二圈的()4m到06km之間,賽車開始了那段最長直線路

程的行駛;

④在圖2的四條曲線(注:S為初始記錄數(shù)據(jù)位置)中,曲線3最能

符合賽車的運動軌跡,其中,所有正確說法的序號是

三、解答題

17.計算:(―口-(V3-2)°+11-V2I+4co.v45°.

k3J

4(x-l)<3(x+2),

18.解不等式組x-l/并寫出它的所有整數(shù)解.

-----<x-4,???

[2

19.已知關(guān)于%的一元二次方程f+2(m-1)x+m2-3=0有兩個不

相等的實數(shù)根.

(1)求相的取值范圍;

(2)若相為非負整數(shù),且該方程的根都是無理數(shù),求相的值.

20.下面是小東設計的“過圓外一點作圓的兩條切線''的尺規(guī)作圖過程.

己知:。。和。。外一點尸.

求作:。。的切線尸。,尸。.

作法:如圖,

p

①連接OP;

②分別以。,點為圓心,大于;。P的相等的長為半徑作弧,兩弧交于

M”兩點;

③作直線MN,交OP于點4.

④以點A為圓心,AP長為半徑作圓,交。。于C。兩點;

⑤作直線PC

則PC,就是所求作的。。的切線.

根據(jù)小東設計的尺規(guī)作圖過程,

⑴使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明:???MN是線段OP的垂直平分線,

,點A是線段OP的中點.

???是OA的直徑.

ZPCO=ZPDO=90()(填推理的依據(jù))

半徑OC±PC,半徑OD1PD.

???PCP。是。。的切線()(填推理的依據(jù))

21.如圖,在AABC中,NAC3=90,C。是AB邊上的中線,分別過點C,

點。作A氏8C的平行線交于£點,OE與AC交于點。,連接AE.

EC

ADB

⑴求證:四邊形4在是菱形;

(2)若AC=2DE,求sinZCDB的值.

22.某學校八、九年級各有學生200人,為了提高學生的身體素質(zhì),

學校開展了主題為“快樂運動,健康成長”的系列體育健身活動.為了

了解學生的運動狀況,從八、九年級各隨機抽取40名學生進行了體

能測試,獲得了他們的成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進行了整

理、描述和分析.下面給出了部分信息.(說明:成績80分及以上為

優(yōu)秀,70-79分為良好,60-69分為合格,60分以下為不合格)

a.八年級學生成績的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分為五組:

50<x<60,60<x<70,70<x<80,80<x<90,90<x<100)

b.八年級學生成績在704x<80這一組的是:

70717373737476777879

c.九年級學生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率如下:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率

79768440%

根據(jù)以上信息,回答下列問題:

(1)在此次測試中,小騰的成績是74分,在年級排名是第17名,

由此可知他是年級的學生(填“八",或'九");

(2)根據(jù)上述信息,推斷年級學生運動狀況更好,理由

為;(至

少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)

(3)假設八、九年級全體學生都參加了此次測試,

①預估九年級學生達到優(yōu)秀的約有人;

②如果年級排名在前70名的學生可以被評選為“運動達人”,預估八

年級學生至少要達到分才可以入選.

23.已知函數(shù)y=1(x>0)的圖象與一次函數(shù)y=ax-2(a#0)的圖

象交于點A(3,n).

(1)求實數(shù)a的值;

(2)設一次函數(shù)y=ax-2(a#))的圖象與y軸交于點B,若點C在

y軸上,且SAABC=2SAAOB,求點C的坐標.

24.在研究反比例函數(shù)尸:的圖象與性質(zhì)時、我們對函數(shù)解析式進行

了深入分析.

首先,確定自變量》的取值范圍是全體非零實數(shù),因此函數(shù)圖象會被

y軸分成兩部分;其次,分析解析式,得到y(tǒng)隨X的變化趨勢:當%>0

時,隨著X值的增大,上的值減小,且逐漸接近于零,隨著X值的減

X

小,工的值會越來越大…,由此,可以大致畫出y=」在x〉o時的部分

XX

圖象,如圖所示:

利用同樣的方法,我們可以研究函數(shù)y=看的圖象與性質(zhì).通過分

析解析式畫出部分函數(shù)圖象如圖所示.

(1)請沿此思路在圖中完善函數(shù)圖象的草圖并標出此函數(shù)圖象上橫

坐標為。的點A;(畫出網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的部分即可)

(2)觀察圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì):;

(3)若關(guān)于x的方程不匕=。(》-1)有兩個不相等的實數(shù)根,結(jié)合圖

象,直接寫出實數(shù)。的取值范圍:.

25.如圖,A3為。。的直徑,如切。。于點C與班的延長線交于點

。,力EJ.PO交P。延長線于點E,連接PB,NEDB=NEPB.

⑴求證:PB是。。的切線.

(2)若依=3,08=4,求的長.

26.在平面直角坐標系My中,拋物線尸蘇-4依("0)與x軸交于點

A,B(A在8的左側(cè)).

yf

1-

.........................O\......................x

(1)求點的坐標及拋物線的對稱軸;

(2)已知點P(2,2),Q(2+2a,5a),若拋物線與線段PQ有公共點,請結(jié)

合函數(shù)圖象,求〃的取值范圍.

27.如圖,在用AABC中,ZABC=90,將C4繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45。,

得到CP,點4關(guān)于直線CP的對稱點為。,連接A。交直線CP于點£,

連接C"

A

BC

(1)根據(jù)題意補全圖形;

(2)判斷AACD的形狀,并證明;

(3)連接用等式表示線段AB,BC,之間的數(shù)量關(guān)系,并證

明.

溫馨提示:在解決第(3)問的過程中,如果你遇到困難,可以參考

下面幾種解法的主要思路.

解法1的主要思路:

延長BC至點八使C尸=A3,連接所,可證再證△3所

是等腰直角三角形.

解法2的主要思路:

過點4作4加,8£于點可證是等腰直角三角形,再證

4ABCs4AME.

解法3的主要思路:

過點人作加7,踮于點M,過點C作CNJ.BE于點N,設BN=a,EN=b,

用含?;颉返氖阶颖硎続B,BC.

28.對于平面直角坐標系中的點尸和圖形M,給出如下定義:。

為圖形M上任意一點,如果尸,。兩點間的距離有最大值,那么稱這個

最大值為點尸與圖形M間的開距離,記作。(RM).已知直線

y=,x+》S*O)與%軸交于點A,與y軸交于點8,O。的半徑為1.

(1)若1=2,

①求”(8,00)的值;

②若點C在直線AB上,求d(C,OO)的最小值;

(2)以點A為中心,將線段A6順時針旋轉(zhuǎn)120。得到A。,點E在線

段組成的圖形上,若對于任意點區(qū)總有2"(2。0)<6,直接

寫出匕的取值范圍.

答案

1.D

2.C

3.B

【解析】

??,在RSABC中,NBAO90。,AB=AC,

AZB=ZACB=45°,

.?.Z3=180o-60°-45o=75°,

.,.Z2=180°-Z3=105°,

故選B.

4.C

【解析】

若〃+c=0,ABvBC,可知原點位置如圖所示:

a^0cd

由數(shù)軸可知,a(b(O,d)c^Q且同>忖=時>網(wǎng)

:.hc<Q,故A錯誤;

b-d<0,故B錯誤;

b+c>0,故C正確;

同>14,故D錯誤.

故選C.

5.B

【詳解】

??,點A的坐標是:(1,1),點B的坐標是:(2,0),

原點坐標如下圖所示:

0(0

???點C的坐標是:(3,-2).

故選B.

6.C

【詳解】

解:?.?一共有21個數(shù)據(jù),

.?".50m和1.65m的人數(shù)和為21-(8+6+1)=6<8,

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1.55m,

故選:C.

7.D

【詳解】

解:由圖可得PA=5、PB=9,根據(jù)上下兩個面的對稱性和勾股定理可得PC=JI5、PD=V5

故選:D

8.C

【詳解】

解:①當ZPAQ=30。,PQ=6時,以P為圓心,6為半徑畫弧,與射線AM有兩個交點,

則4PAQ的形狀不能唯一確定,故①錯誤;

②當/PAQ=30。,PQ=9時,以P為圓心,9為半徑畫弧,與射線AM有一個交點,Q點

位置唯一確定,則可得到形狀唯一確定的APAQ,故②正確;

③當/PAQ=90。,PQ=10時,以P為圓心,10為半徑畫弧,與射線AM有一個交點,Q

點位置唯一確定,則可得到形狀唯一確定的△PAQ,故③正確;

④當/PAQ=150。,PQ=12時,以P為圓心,12為半徑畫弧,與射線AM有一個交點,Q

點位置唯一確定,則可得到形狀唯一確定的△PAQ,故④正確;

故選:C.

9.±2.

10.8

【詳解】

解:設邊數(shù)為n,由題意得,

180(n-2)=360x3

解得n=8.

所以這個多邊形的邊數(shù)是8.

x+y=100

11.*x

1+3y=100

【詳解】

?.?小馬有x匹,大馬有y匹,而一共有l(wèi)oo匹馬,

/.x+y-100,

又;3匹小馬能拉1片瓦,1匹大馬能拉片3瓦,且一共拉了100片瓦,

Y

.?.±+3y=100,

x+y=100

???最后可列方程組為:〈X

-+3^=100

y=100

x

1+3y=100

【詳解】

解:如圖,連接08,

:AB為。0的弦,C£>是。。的直徑,ABLCD,AB=5

,AE=BE==AB=@,

22

???直徑8為2,

二半徑OB=1,

.?.在RSBOE中,sinZBOE=—=-)

OB2

ZBOE=60°,

:.NBOC=1800-ZBOE=120°,

.A/iz120^-xl2

??BC的長為.A=三萬?

IoilJ

2

故答案為:Q乃.

13.1

【詳解】

5/4cCci"-4Q~(a+2)(?!?)礦/->

解:(a■一)?----二------------=------------------=a(a+2)x=a2+2a,

a。一2aa-2aa-2

Va2+2a-l=0,

a2+2a=1,

J原式二1,

故答案為:1.

14.3

【分析】

通過AO平分ZBAC,且BDLAD于點D,即可得^BD^AND(ASA),AB=AN=T2,

D為BN中點,DM為ABNC的中位線,即可通過NC求DM.

【詳解】

解:?.?A£>平分N84C,且于點。,

???在△ARD和△4V。中

"BAD=NNAD

<AD=AD

NADB=NADN

.?.AA8OMAAND(AS4)

.,.△ABN為以BN為底邊的等腰三角形,D為BN中點

/.AB=AN=12

又AC=18

,CN=6

在ABNC中,

D為BN中點、M為BC中點

.?.DVI為ABNC的中位線

:.DM」CN=3

2

故答案為:3.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定定理及中位線定理,注意找到全等的條件是解題的關(guān)鍵,屬于中

考??碱}型.

15.②

【詳解】

解:當罰球次數(shù)是500時,該球員命中次數(shù)是411,所以此時“罰球命中”的頻率是:

411-500=0.822,但“罰球命中”的概率不一定是0.822,故①錯誤;

隨著罰球次數(shù)的增加,“罰球命中”的頻率總在0.812附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以

估計該球員"罰球命中''的概率是0.812.故②正確;

雖然該球員“罰球命中'’的頻率的平均值是0.809,但是“罰球命中'’的概率不是0.809,故③錯

誤.

故答案為:②.

16.①④

【分析】

結(jié)合圖像準確分析即可;

【詳解】

由圖1可知,2.6k〃到2.86之間,圖象上升,故在這個第二圈的2.6加到2.8k〃之間,

賽車的速度逐漸增加,故①正確;

在整個跑道上,高速行駛時最長為(1.8,2.4)之間,但直道加減速也有過程,故最長的直

線路程有可能超過0.6km,故②不正確;

最長直線路程應在14至IJ1.8之間開始,故③不正確:

由圖1可知,跑到應有3個彎道,且兩長一短,故④正確;

故答案為:①④.

17.30-5

【詳解】

解:原式=一3-1+后一l+4x?l

2

=372-5

18.它的整數(shù)解為7,8,9,10.

19.(1)m<2;(2)m=l.

【分析】

(1)利用方程有兩個不相等的實數(shù)根,得A=[2(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+l6>0,然后解

不等式即可;

(2)先利用m的范圍得到m=0或m=l,再分別求出m=0和m=l時方程的根,然后根據(jù)根

的情況確定滿足條件的m的值.

【詳解】

(1)△=[2(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+16.

???方程有兩個不相等的實數(shù)根,

.,.△>0.

即-8m+16>0.

解得m<2;

(2)Vm<2,且m為非負整數(shù),

/.m=0或m=l,

當m=0時,原方程為x2-2x-3=0,

解得X|=3,X2=-1(不符合題意舍去),當

m=l時,原方程為x2-2=0,

解得X|=72,X2=-0,

綜上所述,m=l.

20.(1)詳見解析;(2)OP,直徑所對的圓周角是直角;經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半

徑的直線是圓的切線.

【詳解】

解:(1)補全圖形如圖.

證明::MN是線段OP的垂直平分線,

點A是線段OP的中點.

?'.OP是。A的直徑

ZPCO=NPDO=90(直徑所對的圓周角是直角),

半徑OC±PC,半徑ODVPD.

PC,P0是。。的切線(經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線).

【點睛】

本題考查了作圖-復雜作圖,線段的垂直平分線,圓周角定理,切線的判定等知識,解題的

關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

4

21.(1)詳見解析;(2)sinNCDB=^

【分析】

(1)由DE〃BC,CE〃AB,可證得四邊形DBCE是平行四邊形,又由△ABC中,ZBCA

=90°,CD是邊AB上的中線,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,可得CD=AD

=BD=CE,然后由CE〃AB,證得四邊形ADCE平行四邊形的性質(zhì),繼而證得四邊形ADCE

是菱形;

(2)首先過點C作CFLAB于點F,由(1)可知,BC=DE,設BC=x,則AC=2x,然

后由勾股定理求得AB,再由三角形的面積,求得CF的長,由勾股定理即可求得CD的長,

繼而求得答案.

【詳解】

(1)證明:;?!?/8。,。£://8。,

二四邊形8DEC是平行四邊形.

:.CE=BD,

是AB邊上的中線,

/.AD=BD,

:.CE=AD,

???四邊形ADCE是平行四邊形.

?;NACB=90,DE//BC,

:.ZAOD=ZACB=90°,

:.AC±DE,

二四邊形ADCE是菱形.

(2)解:過點于

EC

:.DE=BC,

AC=2DE,

AC=2BC,

設BC=x,

則AC=2x,

在aAACB中,ZAC5=90;

AB=ylAC2+BC2=y/5x-

-,?ZACB=90a,CF±AB,

:.S.BC=-ACBC=-ABCF,

「口2石

/.Cr=-----x,

5

???44。3=90;。。是245邊上的中線,

:.CD=-AB=—x>

22

在Rt^CDF中,NCFD=90,

CF4

sinZ.CDB=-=-.

CD5

【點睛】

此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.注意準確作出輔助

線是解此題的關(guān)鍵.

22.(1)八;(2)九,理由見解析;(3)①80;②78.

【分析】

(1)計算出八年級學生成績的中位數(shù),結(jié)合九年級學生成績的中位數(shù)可得到結(jié)論;(2)分別從

優(yōu)秀率,中位數(shù),平均數(shù)的角度分析可得到結(jié)論;(3)利用樣本所占的百分率估計總體即可

得到答案.

【詳解】

71+73

解:(1)八年級學生成績的中位數(shù)為:------^=72分,九年級學生成績的中位數(shù)為:76

2

分,小騰的成績是74分,在年級排名是第17名,

二小騰在八年級排在前20名,在九年級排在第20名后,

,小騰是八年級的學生.

故答案為:A.

(2)九;

理由:①九年級優(yōu)秀率40%,八年級優(yōu)秀率30%,說明九年級體能測試優(yōu)秀人數(shù)更多;

②九年級中位數(shù)為76,八年級為72,說明九年級一半的同學測試成績高于76分,而八年級

一半同學的測試成績僅高于72分.

③通過圖表,估計八年級成績平均數(shù)為73.25,低于九年級的79分,說明九年級整體水平高

于八年級.

綜合以上三個兩個理由,說明九年級學生的運動狀況更好.

故答案為:九,①九年級優(yōu)秀率40%,八年級優(yōu)秀率30%,說明九年級體能測試優(yōu)秀人數(shù)

更多;②九年級中位數(shù)為76,八年級為72,說明九年級一半的同學測試成績高于76分,而

八年級一半同學的測試成績僅高于72分.③通過圖表,估計八年級成績平均數(shù)為73.25,低

于九年級的79分,說明九年級整體水平高于八年級.

(3)①200x40%=80人;

12

②???80分含80分的學生約有:—x200=60A,

40

78,79分的學生約有工*200=10人,

40

???年級排名在前70名的學生可以被評選為“運動達人”,預估八年級學生至少要達到78分才

可以入選.

【點睛】

本題考查的是統(tǒng)計初步中的中位數(shù),平均數(shù),眾數(shù)的概念及用樣本估計總體,掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

23.(1)a=l;(2)C(0,-4)或(0,0).

【分析】

3

(1)把A(3,n)代入y=—(x>0)求得n的值,即可得A點坐標,再把A點坐標代

x

入一次函數(shù)y=ax-2可得a的值;(2)先求出一次函數(shù)y=ax-2(a#))的圖象與y軸交

點B的坐標,再分兩種情況(①當C點在y軸的正半軸上或原點時;②當C點在y軸的負

半軸上時)求點C的坐標即可.

【詳解】

3

(1)???函數(shù)y=—(x>0)的圖象過(3,n),

x

/.3n=3,

n=l,

AA(3,1)

?.?一次函數(shù)y=ax-2(a^O)的圖象過點A(3,1),

l=3a-1,解得a=l;

(2)???一次函數(shù)y=ax-2(a#))的圖象與y軸交于點B,

AB(0,-2),

①當C點在y軸的正半軸上或原點時,設C(0,m),

?SAABC=2SAAOB,

—x(m+2)x3=2x—x3,解得:m=0,

22

②當C點在y軸的負半軸上時,設(0,h),

,**SAABC=2SAAOB,

A-x(-2-h)x3=2xlx3,解得:h=-4,

22

AC(0,-4)或(0,0).

【點睛】

本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題,解決第(2)問時要注意分類討論,不要

漏解.

24.(1)見解析;(2)當%>1時,丁隨工增大而減?。?3)a>\

【分析】

1

(i)先得出函數(shù)y=自變量x的取值范圍,再分析解析式,得到y(tǒng)隨x的變化趨勢,

\[x—1

由此完善函數(shù)圖象即可;令x=0求出y的值即可得出點A坐標;

(2)根據(jù)函數(shù)圖象得出其增減性即可;

1

(3)將所求問題看成函數(shù)y=[口與一次函數(shù)>=辦一。的交點問題,先找出一個臨界

位置,再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

【詳解】

x>0

(1)由二次根式的被開方數(shù)的非負性、分式的分母不能為0得:〈

V%-1豐o

解得:且

11,

令x=o得右=T

則點A坐標為A(0,-1)

1

分析解析式,得到y(tǒng)隨工的變化趨勢:當oWx<i時,隨著工值的增大,不j的值會越

來越小;當X>1時,隨著X值的增大,忑工的值會減小,且逐漸接近于零,由此,完善

函數(shù)圖象如圖所示:

(2)由(1)圖象可知,當x>i時,y隨%增大而減小;(注:答案不唯一)

1

(3)由題意得,函數(shù)丫二主力與一次函數(shù)丁=內(nèi)一。有兩個交點

一次函數(shù)>=依一。的圖象經(jīng)過定點(1,0)

要使兩個函數(shù)有兩個交點,一次函數(shù)丁="一。經(jīng)過點4(0,-1)是一個臨界位置,此時有

a-0—a——l>即a=l

因此,結(jié)合函數(shù)圖象可知,當時,兩個函數(shù)必有兩個交點,即關(guān)于x的方程

國口=a(x-l)有兩個不相等的實數(shù)根

故答案為:a>\.

【點睛】

本題考查了函數(shù)的圖象特征及應用,讀懂函數(shù)的圖象特征是解題關(guān)鍵.

25.(1)詳見解析;(2)DE=y/5

【分析】

(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可證NE=NPBO,然后根據(jù)垂直定義可得/E=90,從而得

出半徑CB1PB,根據(jù)切線的判定定理即可證出結(jié)論:

(2)連接OC,利用勾股定理即可求出PD,根據(jù)切線長定理可得PC=PB=3,從而求出

CD,設。。的半徑是「,利用勾股定理列出方程即可求出r,利用勾股定理求出PO,最后根

據(jù)sinZDPE=——=—即可求出結(jié)論.

PDPO

【詳解】

解:(1)證明:???NE£>5=NEP8,NO0E=NP08,

:"E=NPBO,

DE±PO,

:.NE=90',

ZPBO=90°,

/.半徑CB±PB,

.?.依是。。的切線.

(2)解:連接。。

PB=3,DB=4,NPBO=90',

/.PD=y}PB-+DB~=5-

?.?PB和PC是oo的切線,

PC=PB=3,

:.CD=PD—PC=2,

設。。的半徑是「,

則O£)=£)5-O8=4—r,

?.?P£>切。。于點C,

OC±PD,

:.CD2+OC2=OD2.

.?,22+r2=(4-r)2.

3

r二-

2

:.PO="PB"

.…LDEOC

?:smZDPE=----=-----

PDPO

3

即DE丁景2

2

:.DE=>/5-

【點睛】

此題考查的是切線的判定及性質(zhì)、切線長定理、勾股定理和銳角三角函數(shù),掌握切線的判定

及性質(zhì)、切線長定理、勾股定理和銳角三角函數(shù)是解決此題的關(guān)鍵.

313

26.(1)A(0,0),B(4,0),x=2;(2)a>-,或——<tz<0,或——

222

【分析】

(1)與x軸的交點縱坐標為0,然后計算y=()時的x值即可求出坐標;根據(jù)拋物線的對稱

b

軸為X=--求解即可:

2a

(2)由拋物線的頂點坐標(2,Ta)和拋物線上兩點〃(—1,5a),N(5,5a).分a>0,a<0

兩種情形分別求解即可解決問題.

【詳解】

解:(1)vy-ax1-4ax-ax(x-4),

當y=0時,ox(x-4)=0

??=0,x、—4

;?拋物線與x軸交于點A(0,0),8(4,0).

__zl/j

拋物線y=?x2—4ax對稱軸為直線:x=-----=2.

2a

(2)y=ax2-4ax=a(x2-4xj=<z(x-2)2-4a,

拋物線的頂點坐標為:(2,-4。).

令y=5a,ax2—4ax—5a=0<

a(x-5)(x+l)=0,

解得x=-l,或x=5,

.?.當y=5a時,拋物線上兩點M(-l,5a),N(5,5a).

①當a>0時,拋物線開口向上,頂點位于%軸下方,且Q(2+2a,5a)位于點P的右側(cè),如

圖1,當點N位于點。左側(cè)時,拋物線與線段PQ有公共點,

此時2+加之5,

3

解得a>—.

2

②當。<0時,拋物線開口向下,頂點位于x軸上方,點。(2+2a,5a)位于點2的左側(cè),

(i)如圖2,當頂點位于點P下方時,拋物線與線段PQ有公共點,

此時』<2,

解得。之一].

2

(ii)如圖3,當頂點位于點尸上方,點M位于點。右側(cè)時,拋物線與線段尸。有公共點,

此時2+2a4—1,

3

解得。4一二.

2

313

綜上,。的取值范圍是。之一,或一—<?<0,或一一.

222

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是理解題意利用不等式解決問題,屬于二次

函數(shù)綜合題,題目較難.

27.(1)見解析(2)AACZ)是等腰直角三角形;證明見解析.(3)AB+BC=&3E:

證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)題目意思補全圖形即可;

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZACP=45°,再根據(jù)點。與A關(guān)于直線CP對稱得到

NACO=90",即可證明AACD是等腰直角三角形:

(3)解法一:延長至點尸,使b=AB,連接EF,可證AA3E式ACFE,再證AB石尸

是等腰直角三角形,進而得到答案.

解法二:過點A作于點M,可證A4及0是等腰直角三角形,再證

AABCsAAME進而得到答案.

解法三:過點A作于點A7,過點C作。VLBE于點N,設&V=a,EN=b,

用含?;騔?的式子表示AB,BC進而得到答案.

【詳解】

(1)正確補全圖形:

(2)AACQ是等腰直角三角形;

證明:?.?將C4繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45。,

;?ZACP=45°,

???點。與A關(guān)于直線CP對稱,

ZDCP=ZACP=45°,AC^CD.

???ZACD=90".

???A4co是等腰直角三角形.

⑶AB+BC=y[2BE^

解法1證明:延長至點F,使Cr=A3,連接。尸,EF.

:AACZ)是等腰直角三角形,AE=DE,

:.AE=CE,ZAEC=90°.

?.?ZABC=90°,

ZBAE+ZBCE=180°.

,?*ZFCE+ZBCE^180^,

ZBAE=ZFCE,

;?AABE^ACFE,

:?BE=FE,Z1=Z2.

N2+N3=N1+N3=9O".

即NB£:F=90°.

/.ABM是等腰直角三角形.

BC+CF=42BE-

即AB+BC=yf2BE-

解法2證明:過點A作AMLBE于點M,取AC中點G,連接G8,GE.

RC.

設,ZGBE=a,ZABG=j3f

??

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