對(duì)應(yīng)思想在解決問題中的應(yīng)用

對(duì)應(yīng)思想在解決問題中的應(yīng)用郭寶珠對(duì)應(yīng)思想是在兩個(gè)事物之間建立起來的一種關(guān)系〔或者說某種規(guī)律〕，即對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而揭示事物之間的聯(lián)系.許多具體的數(shù)學(xué)思想來源于對(duì)應(yīng)思想，如：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、變換思想等.小學(xué)數(shù)學(xué)一般是一一對(duì)應(yīng)的直觀圖表，并以此蘊(yùn)含函數(shù)思想.對(duì)應(yīng)思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種根本思路，它通過兩種事物的合集最終建立起某種聯(lián)系的思維方法，通過這些思維方法搭建了解題的思維橋梁.所以人們經(jīng)常用對(duì)應(yīng)思想來分析、解決一些實(shí)際問題.教學(xué)中不僅要求我們能通過思考與探索發(fā)現(xiàn)這些事物間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且能運(yùn)用這些對(duì)應(yīng)關(guān)系解決根本的數(shù)學(xué)問題.一、第一學(xué)段，感悟體會(huì)，做好預(yù)備與鋪墊小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要利用虛線、實(shí)線、箭頭、計(jì)數(shù)器等圖形將元素與元素、實(shí)物與實(shí)物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來，滲透對(duì)應(yīng)思想.在第一學(xué)段，教師要正確理解蘊(yùn)藏于教材中的“對(duì)應(yīng)思想〞，為學(xué)生提供豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從簡(jiǎn)單的“一一對(duì)應(yīng)〞關(guān)系開始，讓對(duì)應(yīng)思想點(diǎn)點(diǎn)滴滴滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)中去，為逐步開展學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力做好預(yù)備與鋪墊.如：人教版一年級(jí)上冊(cè)關(guān)于“多〞“少〞的教學(xué).先讓學(xué)生觀察6～7頁主題圖〔或多媒體課件〕，同桌互相說說圖意，然后教師問：“圖中有幾只小兔？〞“每只小兔搬幾塊磚？〞根據(jù)學(xué)生的答復(fù)，在主題圖下出示4只小兔.逐一將4塊磚與小兔一一對(duì)應(yīng)，每對(duì)應(yīng)一塊磚都用小圓點(diǎn)把小兔和磚連起來，表示一只兔子搬一塊磚.師：看，1只兔子搬1塊磚，正好都對(duì)上，沒有多余的，我們就說小兔的只數(shù)和磚的塊數(shù)同樣多〔板書：同樣多〕.教材中用虛線上下連接來強(qiáng)化“對(duì)應(yīng)〞，這是教材對(duì)“一一對(duì)應(yīng)〞思想的滲透.〔如圖〕又如：一年級(jí)上冊(cè)P89例1：9+4.如果僅僅只是為了計(jì)算，那么教學(xué)的設(shè)計(jì)是：引導(dǎo)學(xué)生先思考9湊成十還缺幾〔缺1〕，然后把4拆成1+3，最后得出13.從計(jì)算的角度看完成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，但進(jìn)一步思考似乎還缺些什么，在這節(jié)課中，能否讓學(xué)生在積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)滲透對(duì)應(yīng)思想呢？是的，可以通過數(shù)軸，建立數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，要求學(xué)生由點(diǎn)找數(shù)，由數(shù)找點(diǎn)，然后運(yùn)算.如下列圖：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：得數(shù)是13，我們是怎樣得到它的？〔先在數(shù)軸上找到9，接著往后數(shù)4就得到了13〕13離數(shù)軸上“0〞點(diǎn)的距離有多遠(yuǎn)？它與“10〞的關(guān)系是什么？從數(shù)軸上能十分清晰地看出.這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，教師將加法運(yùn)算直觀形象化，讓學(xué)生初步感知加法運(yùn)算的意義.“加法〞就是在數(shù)軸上繼續(xù)向右“數(shù)〞，或者是向右平移假設(shè)干個(gè)單位.二、第二學(xué)段，自覺應(yīng)用，解決問題在第二學(xué)段的教學(xué)中，教師在滲透對(duì)應(yīng)思想的同時(shí)，還應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)應(yīng)意識(shí)，使學(xué)生能用對(duì)應(yīng)思想方法解決實(shí)際問題，逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，提高解決問題的能力.1.在數(shù)與代數(shù)中，應(yīng)用“對(duì)應(yīng)思想〞發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題當(dāng)遇到較為復(fù)雜的問題時(shí)，常常需要通過“對(duì)應(yīng)〞的方法化繁為簡(jiǎn)、化難為易；當(dāng)遇到較為隱蔽的問題時(shí)常常需要找出對(duì)應(yīng)關(guān)系，化隱蔽為明晰，變未知為，使問題得以解決.如：“買3個(gè)籃球和4個(gè)排球需要480元，買3個(gè)籃球和6個(gè)排球需要600元，買一個(gè)籃球和一個(gè)排球需要多少元？〞由于條件較多，學(xué)生解答往往會(huì)覺得較困難，如果學(xué)生學(xué)會(huì)把條件和問題對(duì)應(yīng)摘錄在練習(xí)本上，或是把題目中的條件對(duì)應(yīng)地列成表格，如下：學(xué)生對(duì)以上對(duì)應(yīng)的數(shù)量進(jìn)行分析，就會(huì)很快地看出2個(gè)排球是120元，這樣便輕而易舉地解決了問題.又如：“植樹問題〞〔人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)〕這節(jié)課的教學(xué)，許多教師都遇到這樣的困惑：總結(jié)出三種不同情況的規(guī)律后，在進(jìn)行綜合練習(xí)時(shí)，學(xué)生卻常常分不清是用“棵數(shù)加1〞、還是“棵數(shù)減1〞或者“不加不減〞.究其原因，主要是教師在教學(xué)過程中只注重引導(dǎo)學(xué)生通過操作探究得出結(jié)論，而沒有挖掘知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生只是機(jī)械地記住結(jié)論，因此在進(jìn)行綜合練習(xí)時(shí)產(chǎn)生了困惑，造成了混淆.如果能引導(dǎo)學(xué)生找到規(guī)律背后隱藏的數(shù)學(xué)思想——對(duì)應(yīng)思想，并用這種思想指導(dǎo)教學(xué)，會(huì)收到事半功倍的效果.片段教學(xué)如下：師：同樣求棵數(shù)，為什么有時(shí)要加1，有時(shí)要減1，有時(shí)卻不加不減？你們能結(jié)合圖說說看法嗎？〔根據(jù)學(xué)生的答復(fù)，教師用箭號(hào)把一棵樹與一個(gè)間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)〕師：現(xiàn)在我們借助電腦來看一遍，在一條路上植樹，如果兩端都種，我們可以這么看，也就是一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，到最后一棵樹的時(shí)候，會(huì)怎么樣？〔少了個(gè)間隔和它對(duì)應(yīng)了〕可見樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1.師：我們反過來再看看，也是一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，到〔最后一棵樹的時(shí)候怎么樣？〕生：也少了個(gè)間隔和它對(duì)應(yīng)了.師：所以在兩端都栽的情況下，棵樹比間隔數(shù)多1.也就是，間隔數(shù)+1=棵數(shù).這一教學(xué)過程讓學(xué)生利用直觀畫解釋“棵數(shù)〞與“間隔數(shù)〞之間的關(guān)系，巧妙地滲透“一一對(duì)應(yīng)〞的數(shù)學(xué)思想，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生能夠理解知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系，并靈活地運(yùn)用植樹問題的數(shù)學(xué)模型解決生活中的植樹問題.分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題的教學(xué)，是小學(xué)階段解決問題中較為抽象的內(nèi)容，也是教學(xué)的難點(diǎn).教學(xué)中假設(shè)能把“數(shù)形結(jié)合〞與“對(duì)應(yīng)思想〞相結(jié)合，這一問題便迎刃而解.讓學(xué)生通過線段圖，發(fā)現(xiàn)具體量與分率之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并利用量與率的對(duì)應(yīng)關(guān)系來確定解題策略，尋找解題方法.2.在圖形與幾何中，利用對(duì)應(yīng)思想推導(dǎo)公式、建立數(shù)學(xué)模型、開展數(shù)學(xué)思考在第二學(xué)段研究的平行四邊形、三角形、梯形、圓，這些平面圖形面積公式的推導(dǎo)均采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，先將圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的圖形，然后探索轉(zhuǎn)化后的圖形與原來圖形的聯(lián)系〔即轉(zhuǎn)化后的圖形與原來圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系〕，發(fā)現(xiàn)新圖形的面積計(jì)算公式這樣一個(gè)過程.如平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程：當(dāng)學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察轉(zhuǎn)化前后的兩種圖形，發(fā)現(xiàn)其中多處表達(dá)了對(duì)應(yīng)關(guān)系，“長(zhǎng)方形面積〞與“平行四邊形面積〞相對(duì)應(yīng)，“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)〞與“平行四邊形的底〞相對(duì)應(yīng)，“長(zhǎng)方形的寬〞與“平行四邊形的高〞相對(duì)應(yīng).在這些對(duì)應(yīng)關(guān)系的根底上，平行四邊形的面積公式才順利推導(dǎo)而出.其次，在利用公式計(jì)算面積或體積時(shí)也要強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng).如在“三角形的面積計(jì)算〞教學(xué)中，先要求學(xué)生能熟練地尋找每條底邊，以及與這條底邊對(duì)應(yīng)的高.當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)三角形面積計(jì)算時(shí)，教師可以利用圖形的動(dòng)態(tài)變換，如三角形的面積中，同底等高的三角形有無數(shù)多個(gè).這就使學(xué)生理解一個(gè)面積的數(shù)量，對(duì)應(yīng)了無數(shù)多個(gè)圖形.又如〔六年級(jí)上〕學(xué)習(xí)用“數(shù)對(duì)〞表示“位置〞時(shí)，教師將座位平面圖抽象為比擬形象的直角坐標(biāo)系，建立“數(shù)對(duì)〞與平面上“點(diǎn)〞之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.在這一過程中讓學(xué)生初步體驗(yàn)到，有