定價理論-第5章-期權(quán)定價理論

第5章期權(quán)定價理論期權(quán)定價理論是繼資產(chǎn)組合理論、資本資產(chǎn)定價模型之后金融領(lǐng)域又一個獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的重要理論．1973年，Black和Scholes發(fā)表了《期權(quán)和公司債務(wù)的定價》(Thepricingofoptionsandcorporateliabilities)一文，提出了著名的期權(quán)定價理論．同年，Merton給出了以支付連續(xù)紅利率股票為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價公式，并把Black-Scholes期權(quán)定價公式推廣到無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格的變異性不是常數(shù)的重要情況．在本章，我們將以B1ack-Scholes期權(quán)定價公式為主線介紹與期權(quán)相關(guān)的一些知識、股票價格的行為模型、Black-Scholes偏微分方程、Black-Scholes期權(quán)定價公式、B1ack-Schotes期權(quán)定價公式的拓展模型(支付紅利的股票歐式期權(quán)定價和美式看漲期權(quán)定價)等．§5.1期權(quán)概述5.1.1期權(quán)的概念期權(quán)是賦予了其擁有者在未來的某時間以事先預(yù)定好的價格買賣某種金融資產(chǎn)的權(quán)利的合約．從廣義上講，期權(quán)也可以指金融資產(chǎn)中含有的任何選擇權(quán)．一般稱期權(quán)中規(guī)定的金融資產(chǎn)為期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)，并稱對標(biāo)的資產(chǎn)的商定價格為行權(quán)價格．根據(jù)交易的買賣類型，可以將期權(quán)分為看漲期權(quán)和看躍期權(quán)．看漲期權(quán)是指在指定日期以行權(quán)價格買入一定量的金融資產(chǎn)的合約．看跌期權(quán)是指可以在指定日期以行權(quán)價格賣出一定量的金融資產(chǎn)的合約．期權(quán)中指定的日期稱為到期日．當(dāng)投資者認(rèn)為某種金融資產(chǎn)的價格將要上漲時，就可以購置這種金融資產(chǎn)的看漲期權(quán)，或者出售這種金融資產(chǎn)的看跌期權(quán)．相反，如果認(rèn)為某種金融資產(chǎn)的價格將要下跌，那么可以采取相反的操作．按期權(quán)允許的行權(quán)時間劃分，期權(quán)可分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)．歐式期權(quán)是指期權(quán)的行權(quán)日期是事先指定的期權(quán)；美式期權(quán)是指可以在到期日之前的任何日期行權(quán)的朗權(quán)．在交易所交易的大局部期權(quán)是美式期權(quán)．但是，歐式期權(quán)通常比美式期權(quán)更容易分析，并且美式期權(quán)的一些性質(zhì)總是可以從歐式期權(quán)的性質(zhì)推導(dǎo)出來．根據(jù)行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)市場價格的關(guān)系，可將期權(quán)分為實值期權(quán)、虛值期權(quán)和平價期權(quán)三種類型．對看漲期權(quán)而言，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格高于行權(quán)價格，期權(quán)的買方執(zhí)行期權(quán)特有利可圖，此時為實值期權(quán)．假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格低于行權(quán)價格，期權(quán)的買方格放棄執(zhí)行期權(quán)，此時為虛值期權(quán)．對看跌期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)價格低于行權(quán)價格為實值期權(quán)；標(biāo)的資產(chǎn)價格高于行權(quán)價格為虛值期權(quán)．假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格等于行權(quán)價格，那么看漲期權(quán)和看躍期權(quán)均為平價期權(quán)．從理論上說，實值期權(quán)的內(nèi)在價值為正，虛值期權(quán)的內(nèi)在價值為負(fù)，平價期權(quán)的內(nèi)在價值為零．但實際上，無論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，也無論期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格處于什么水平，期權(quán)的內(nèi)在價值都必然大于零或等于零，而不可能為一負(fù)值．這是因為期權(quán)賦予買方執(zhí)行期權(quán)與否的選擇權(quán)，而沒有規(guī)定相應(yīng)的義務(wù)，當(dāng)期權(quán)的內(nèi)在價值為負(fù)時，買方可以選擇放棄期權(quán)．期權(quán)的內(nèi)在價值定義為期權(quán)本身所具有的價值，也就是期權(quán)的買方如果立即執(zhí)行該期權(quán)所能獲得的收益．一種期權(quán)有無內(nèi)在價值以及內(nèi)在價值的大小，取決于該期權(quán)的行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)市場價格之間的關(guān)系．期權(quán)的時間價值是指期權(quán)的買方購置期權(quán)而實際支付的價格超過該期權(quán)內(nèi)在價值的那局部，一般以期權(quán)的實際價格減去內(nèi)在價值求得．在現(xiàn)實的期權(quán)交易中，各種期權(quán)通常是以高于內(nèi)在價值的價格買賣的，即使是平價期權(quán)或虛值期權(quán)，也會以大于零的價格成交．期權(quán)的買方之所以愿意支付額外的費用，是因為希望隨著時間的推移和標(biāo)的資產(chǎn)市場價格的變動，該期權(quán)的內(nèi)在價值得以增加，使虛值期權(quán)或平價期權(quán)變?yōu)閷嵵灯跈?quán)，或使實值期權(quán)的內(nèi)在價值進(jìn)一步提高．買賣期權(quán)一般情況下有兩種動機(jī)：一種是出于投機(jī)賺取最大利潤的想法，因為期權(quán)價格的波動將導(dǎo)致獲得更大收益的時機(jī)．當(dāng)然，同時也面臨產(chǎn)生更大損失的風(fēng)險．另一種情況是出于對沖風(fēng)險的考慮．因為期權(quán)的行使不是必須的(期權(quán)賦予了其投資者做某事的權(quán)利，但持有者不一定必須行使該權(quán)利．這一特點使得朋權(quán)不同于遠(yuǎn)期、期貨等金融資產(chǎn)．投資者簽署遠(yuǎn)期和期貨合約時的本錢為零，但投資者購置一張期權(quán)合約必須支付期權(quán)費)，所以期權(quán)作為投資策略的一個局部，在對沖風(fēng)險方面有更大的選擇余地．期權(quán)定價就是對這種選擇權(quán)本身進(jìn)行定價．如果這種選擇權(quán)是可以獨立交易的，那么這個價格是非常有現(xiàn)實意義的．如果這種選擇權(quán)不是單獨交易的(可能是含在產(chǎn)品中的，如可轉(zhuǎn)換債券中的轉(zhuǎn)換權(quán)力)，通過定價也可以對這局部的價值有一定的了解，以便更好地掌握金融資產(chǎn)價值變化的情況．最早的場內(nèi)期權(quán)是股票期權(quán)．芝加哥期貨交易所于1973年設(shè)立了一個新的交易所期權(quán)交易所，從而拉開了期權(quán)交易的序幕．隨著國際金融市場的迅速開展，期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)逐漸拓展到股票指數(shù)、利率和外匯等領(lǐng)域．目前，股票期權(quán)和股票指數(shù)期權(quán)在期權(quán)市場中所占的比例最大．但是，并不是所有的期權(quán)都是在交易所中交易的，在金融機(jī)構(gòu)與大公司之間直接進(jìn)行的期權(quán)交易也非常普遍，這種期權(quán)交易稱為場外期權(quán)交易．場外期權(quán)交易的主要特點是金融機(jī)構(gòu)可以根據(jù)客戶的需要訂立期權(quán)合約．5.1.2影響期權(quán)價格的因素期權(quán)價格由內(nèi)在價值和時間價值構(gòu)成，因而但凡影響內(nèi)在價值和時間價值的因素，就是影響期權(quán)價格的因素．大致包括以下幾種：(1)行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格．行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格是影響期權(quán)價格的最主要因素．這兩種價格的關(guān)系不僅決定了期權(quán)有無內(nèi)在價值及內(nèi)在價值的大小，而且還決定了有無時間價值和時間價值的大?。话愣?，行權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格之間的差距越大，時間價值越??；反之，那么時間價值越大．這是因為時間價值是市場參與者因預(yù)期標(biāo)的資產(chǎn)價格變動引起其內(nèi)在價值變動而愿意付出的代價．當(dāng)一種期權(quán)處于極度實值或極度虛值時，市場價格變動的空間已很?。挥性谛袡?quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格非常接近或為平價期權(quán)時，市場價格的變動才有可能增加期權(quán)的內(nèi)在價值，從們使時間價值隨之增大．(2)權(quán)利期間．權(quán)利期間是指期權(quán)剩余的有效時間，即期權(quán)成交日至期權(quán)到期日的時間．在其他條件不變的情況下，權(quán)力期間越長，期權(quán)價格越高；反之，期權(quán)價格越低．這主要是因為權(quán)利期間越長，期權(quán)的時間價值越大；隨著權(quán)利期間縮短，時間價值也逐漸減少；在期權(quán)的到期日，權(quán)利期間為零，時間價值也為零．通常權(quán)利期間與時間價值存在同方向但非線性的關(guān)系。(3)利率．利率，尤其是短期利率的變動會影響期權(quán)的價格．利率變動對期權(quán)價格的影響是復(fù)雜的：一方面，利率變化會引起期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格變化，從而引起期權(quán)內(nèi)在價值的變化；另一方面，利率變化會使期權(quán)價格的時機(jī)本錢變化；同時，利率變化還會引起對期權(quán)交易的供求關(guān)系變化，因而從不同角度對期權(quán)價格產(chǎn)生影響．例如，利率提高，期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)如股票、債券的市場價格將下降，從而使看漲期權(quán)的內(nèi)在價值下降，看躍期權(quán)的內(nèi)在價值提高；利率提高，又會使期權(quán)價格的時機(jī)本錢提高，有可能使資金從期權(quán)市場流向價格已下降的股票、債券等現(xiàn)貨市場，減少對期權(quán)交易的需求，進(jìn)而又會使期權(quán)價格下降．總之，利率對期權(quán)價格的影響是復(fù)雜的，應(yīng)根據(jù)具體情況作具體分析．(4)標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動性．標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動性越大，期權(quán)價格越高；波動性越小，期權(quán)價格越低．這是因為，標(biāo)的資產(chǎn)價格波動性越大，在期權(quán)到期時，標(biāo)的資產(chǎn)市場價格漲至行權(quán)價格之上或躍至行權(quán)價格之下的可能性越大．因此，期權(quán)的時間價值，乃至期權(quán)價格，都將隨標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的增大而提高，隨標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的縮小而降低．(5)標(biāo)的資產(chǎn)的收益．標(biāo)的資產(chǎn)的收益將影響標(biāo)的資產(chǎn)的價格．在行權(quán)價格一定時，標(biāo)的資產(chǎn)價格又必然影響期權(quán)的內(nèi)在價值，從而影響期權(quán)的價格．由于標(biāo)的資產(chǎn)分紅派息等將使標(biāo)的資產(chǎn)價格下降，而行權(quán)價格并不進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，因此，在期權(quán)有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)價格下降，使看跌期權(quán)價格上升．為了便于今后各章節(jié)的討論，我們做出如下假設(shè)(1)市場是無套利的市場；(2)市場中沒有交易費用；(3)所有交易利潤具有相同的稅率．同時我們定義以下各字母的含義：：股票現(xiàn)價；X：期權(quán)的行權(quán)價格；：期權(quán)的到期日；t：現(xiàn)在時刻；：在T時刻股票的價格；r：在T時刻到期的投資的無風(fēng)險利率；c：購置一股股票的歐式看漲期權(quán)的價格；p:出售一股股票的歐式看跌期權(quán)的價格；C：購置一股股票的美式看漲期權(quán)的價格；P：出售一股股票的美式看跌期權(quán)的價格‘：股票價格的波動率．5.1.4期權(quán)價格的止下限1．期權(quán)價格的上限歐式看漲期權(quán)或者美式看漲期權(quán)持有者有權(quán)按照某一確定的價格購置一股股票．在任何情況下，期權(quán)的價值都不會超過股票的價格．所以，股票的價格應(yīng)該是期權(quán)價格的上限：〔5.1.1)如果這一關(guān)系不成立，將存在著套利時機(jī)，套利者將通過購置股票并賣出看漲期權(quán)獲得無風(fēng)險收益．歐式看跌期權(quán)或者美式看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以行權(quán)價格X出售一股股票．無論股票價格多低，期權(quán)的價格都不會超過，所以有〔5.1.2〕由于歐式看跌期權(quán)在T時刻期權(quán)的價值不會超過X，所以現(xiàn)在期權(quán)的價格不會超過X的現(xiàn)值〔5.1.3〕如果上式不成立，將出現(xiàn)套利時機(jī)，套利者可出售期權(quán)并將收入所得以無風(fēng)險利率再投資，獲得無風(fēng)險收益。2．不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)下限不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)的下限為〔5.1.4〕為了討論這個問題，我們考慮以下兩個組合：組合A：一個價格為c的歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金；組合B：一股標(biāo)的價格為的股票．如果將組合A中的現(xiàn)金按照無風(fēng)險利率投資，在T時刻將變?yōu)閄。在T時刻，如果，投資者就會行使期權(quán)，組合A的價值為；如果，期權(quán)到期值為0，組合A的價值是．所以，在時刻組合A的價值為在T時刻組合B的價值是，所以在T時刻組合A的價值通常不會低于組合B的價值。因此，在無套利條件下，我們有或?qū)τ谝粋€看漲期權(quán)來說，最壞的情況是在期權(quán)到期時價值為0，所以期權(quán)價值不能為負(fù)，即，從而有〔5.1.5〕3．不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)下限不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的下限為為了討論這個問題，考慮如下兩個組合：組合A：一個價格為p的歐式看躍期權(quán)加上一股標(biāo)的價格為的股票；組合B：金額為的現(xiàn)金．如果，那么在時刻組合A的期權(quán)將會被行權(quán)，組合價值為；如果，在期權(quán)到期時刻，其價值為0，組合A的價值是。所以，在T時刻組合A的價值是假設(shè)現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，那么在T時刻組合B的價值為。所以在時刻組合A的價值總不會低于組合B的價值．在無套利條件下，組合A的價值不會低于組合B的現(xiàn)值，即或?qū)σ粋€看跌期權(quán)來說，可能發(fā)生的最壞的情況是期權(quán)在到期時期權(quán)價格為0，所以期權(quán)的價格必須為正值，即，這意味著〔5.1.7〕5．1．5看跌期權(quán)-看漲期權(quán)的平價關(guān)系我們現(xiàn)在推導(dǎo)歐式看跌期權(quán)價格與歐式看漲期權(quán)價格c之間的關(guān)系．考慮如下兩個組合：組合A：一個價格為的歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金；組合B：一個價格為的歐式看跌期權(quán)加上一股標(biāo)的價格為的股票。這兩個組合在到期時價值均為。由于組合A和組合B中的期權(quán)均為歐式期權(quán)，在到期日之前不能行權(quán)，因此兩組合在任意時刻必須有同等的價值，就是說〔5.1.8〕這一關(guān)系就是歐式看跌期權(quán)-歐式看漲期權(quán)的平價關(guān)系(Put-ca11parity)．該公式說明，歐式看漲期權(quán)的價值可以由一個具有相同行權(quán)價格和到期日的看跌期權(quán)價值推導(dǎo)得來，反之亦然．如果該式不成立的話，將存在著套利時機(jī)．看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間的平價關(guān)系僅適用于歐式朗權(quán)，但是也可以推導(dǎo)出不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)價格與美式看跌期權(quán)價格之間的關(guān)系．在這里，我們直接給出不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)與美式看跌期權(quán)之間的關(guān)系為〔5.1.9〕5．1．6紅利對于期極的影響1．對看漲期權(quán)與看跌期權(quán)下限的影響為了討論紅利對于看漲期權(quán)的影響，我們構(gòu)造如下組合：組合A：一個價格為c的歐式看漲期權(quán)加上數(shù)額為的現(xiàn)金〔D表示在期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值)；組合B：一般價格是的股票．經(jīng)過類似式(5．1．4)的推導(dǎo)，我們有〔5.1.10〕為了討論紅利對于歐式看跌期權(quán)的影響，我們構(gòu)造如下組合：組合A：一個價格為c的歐式看漲期權(quán)加上一股價格是的股票；組合B：數(shù)額為的現(xiàn)金．經(jīng)過類似式(5．1．6)的推導(dǎo)，我們有〔5.1.11〕2.對看漲期權(quán)-看跌期權(quán)平價關(guān)系的影響在這里，我們直接給出以后各章將要用到的結(jié)果．當(dāng)存在紅利時，歐式看漲期權(quán)-看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系修正為〔5.1.12〕對于美式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)來說，紅利將使得，從而看漲期權(quán)與看躍期權(quán)的平價關(guān)系修正為〔5.1.13〕5.1.7提前行權(quán)在這里，我們直接給出在下面幾章經(jīng)常用到的結(jié)論：結(jié)論5．1．1在期權(quán)到期日之前，不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)提前行權(quán)不是最優(yōu)的選擇。結(jié)論5．1．2當(dāng)預(yù)期有紅利派發(fā)時，在除息日前立即執(zhí)行美式看漲期權(quán)是明智的選擇．結(jié)論5．1．3在期權(quán)到期日之前，不支付紅利股票的美式看跌期權(quán)提前行權(quán)可能是明智的選擇．§5.2股票價格的行為模型股票價格的變化是不確定的，適合用隨機(jī)過程來描述．如果某變量以不確定的方式隨時間變化，那么稱該變量遵循隨機(jī)過程．隨機(jī)過程分為離散時間隨機(jī)過程和連續(xù)時間隨機(jī)過程兩種．一個離散時間隨機(jī)過程是指標(biāo)的變量只能在確定的時間點上變化，而一個連續(xù)時間隨機(jī)過程是指標(biāo)的變量可以在任何時刻發(fā)生變化．隨機(jī)過程還可分為連續(xù)變量隨機(jī)過程和離散變量隨機(jī)過程．在連續(xù)變量隨機(jī)過程中，該變量在某一范圍內(nèi)可以取任何值，而在離散變量隨機(jī)過程中，變量只能取某些離散值。在本節(jié)，我們將介紹與B1ack-Scho1es期權(quán)定價理論有關(guān)的一些預(yù)備知識．這些知識主要是圍繞著股票價格的變化過程而展開的，內(nèi)容大致包括：維納過程、伊藤過程、伊藤定理、幾何布朗運(yùn)動、對數(shù)正態(tài)分布等．這些內(nèi)容是理解期權(quán)定價和更加復(fù)雜的衍生證券定價的根底．在介紹維納過程之前，先簡單介紹一下馬爾可夫過程．馬爾可夫過程是一種特殊的隨機(jī)過程，在該過程中，變量的變化僅依賴于該變量前一瞬間的狀態(tài)．當(dāng)變量遵從馬爾可夫過程時，變量在相鄰時間內(nèi)變化的方差具有可加性，但標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性．馬爾可夫過程的重要特征是，變量的隨機(jī)變化是獨立同分布的。維納過程是馬爾可夫過程的特殊形式．如果變量服從維納過程，那么該變量的期望值為0，方差為1．股票價格模型通常用維納過程表達(dá)．在物理學(xué)中，這種過程也稱為布朗運(yùn)動．如果變量服從維納過程，那么其增量必須滿足如下兩個根本性質(zhì)：性質(zhì)5.2.1與之間滿足關(guān)系(5.2.1)其中為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個隨機(jī)值．性質(zhì)5．2．2對任何兩個不同的時間間隔的值相互獨立．由性質(zhì)5．2．1，我們得出服從期望值為0，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布.性質(zhì)5．2．2意味著變量服從馬爾可夫過程．再由性質(zhì)5．2．1，當(dāng)時，的微分形式為〔5.2.2〕5．2．2一般維納過程變量服從一般維納過程的定義如下：〔5.2.3〕其中為常數(shù)，是一般維納過程的預(yù)期漂移率，是波動率．式(5．2．3)由兩項組成，如果不考慮，那么有或其中為在0時刻的值，經(jīng)過時刻后，的增加值為．如果僅考慮，那么，可以看做是附加在變量軌跡上的噪聲或者波動，這些噪聲或波動是維納過程的倍。將和一并來考慮，那么有經(jīng)過時間增量之后，的增量值為將式(5．2．1)代入上式，有〔5.2.4〕如前所述，是取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中的隨機(jī)抽樣值，因此服從正態(tài)分布，其均值是，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為。類似以上討論，我們可得出任意時間后，值的變化也服從均值是，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布．5．2．3伊藤過程和伊藤引理如果上面隨機(jī)過程中的與是x和的函數(shù)，那么可得到伊藤過程〔5.2.5〕伊藤過程中的預(yù)期漂移率和波動率隨時間變化‘定理5．2．1(伊藤引理)假設(shè)變量服從伊藤過程其中是維納過程．設(shè)是的二次連續(xù)可微函數(shù)，那么遵從如下過程：〔5.2.4')證明:由二元函數(shù)的泰勒展開公式有〔5.2.5')因為〔5.2.6〕由此得到〔5.2.7〕(5.2.8)將〔5.2.6〕,(5.2.7)和〔5.2.8〕代入式(5.2.5')，得令得〔5.2.9〕再將代入式〔5.2.9〕得證畢〞由伊藤定理可知，如果服從伊藤過程，那么的函數(shù)也遵從伊藤過程，不過飄逸率和波動率分別為5．2．4不支付紅利股票價格的行為過程如果假設(shè)股票價格服從一般維納過程，那么有不變的期望漂移率和波動率，這不符合實際。所以，一般假設(shè)股票價格變化的比例服從一般維納過程，即因此，股票價格可用漂移率和波動率的伊藤過程來描述，即其離散形式為〔5.2.10〕其離散形式為〔5.2.11〕如果和為常數(shù)，那么稱式(5.2.10)為幾何布朗運(yùn)動，幾何布朗運(yùn)動是最廣泛的描繪股票價格行為的模型．如果服從伊藤過程，那么和的函數(shù)也服從伊藤過程：(5.2.12)注意，和都受得影響．我們定義，因為，那么式中〔5.2.12〕簡化為〔5.2.13〕因為和為常數(shù)，故式(5．2．13)也是維納過程，其漂移率是，波動率是。因此，在與時刻之間的變化服從正態(tài)分布，其期望值為，方差為，這意味著或者〔5.2.14〕式中表示期望值為m，方差為的正態(tài)分布．式(5．2．14)顯示，服從正態(tài)分布．如果一個變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，那么該變量稱為服從對數(shù)正態(tài)分布?！?.3Black—Scholes期權(quán)定價理論5.3.1B1ack-Scholes偏微分方程B1ack-Scholes微分方程是不支付紅利股票的衍生證券價格必須滿足的方程，它是建立在如下假設(shè)根底上的：(1〕股票價格遵循幾何布朗運(yùn)動；(2)允許賣空衍生證券；(3)沒有交易典用或稅收，且所有證券都是高度可分的；(4)在衍生證券有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)(股票)沒有紅利支付；(5)不存在無風(fēng)險套利時機(jī)；(6)證券交易是連續(xù)的；(7)無風(fēng)險利率r是常數(shù)且對所有到期日都相同．根據(jù)假設(shè)(1)，有結(jié)果：〔5.3.1〕式中是一個維納過程,為股票價格的預(yù)期收益率,為股票價格的波動率。假設(shè)衍生證券價格依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價格，那么一定是和時間的某個函數(shù)。由伊藤引理得〔5.3.2〕式(5.3.1)和(5.3.2)的離散形式分別為(5.3.3.)〔5.3.4〕式中和分別是和在短時間間隔后的變化量．由于和遵循相同的維納過程，所以兩式中的應(yīng)該相同．這樣適當(dāng)?shù)剡x擇股票和衍生證券組合就可以消除不確定項．為了消除，我們構(gòu)建了一個包括1單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合，令代表該資產(chǎn)組合的價值，那么有結(jié)果：在時間后，該資產(chǎn)組合的價值變化為〔5.3.5〕將和代入式(5．3．5)，得由于式(5．3．6)中不包含，所以在時間間隔后該組合的價值必定無風(fēng)險，其在后的瞬時收益率一定等于無風(fēng)險利率．否那么，套利者就可以通過套利獲得無風(fēng)險收益率，所以結(jié)果應(yīng)該是〔5.3.7〕將式(5．3．7)代入式(5．3．6)得整理得到〔5.3.8〕式(5．3．8)就是著名的B1ack-Scho1es偏微分方程．這個方程適用于價格取決于標(biāo)的資產(chǎn)價格的所有衍生證券定價．5．3．2邊界條件方程(5．3．8)對應(yīng)于所有標(biāo)的變量為的衍生證券，該方程有很多解．為了保證它有唯一的解，我們需要給出衍生證券所滿足的邊界條件．對于歐式看漲期權(quán)來說，關(guān)鍵的邊界條件為，(5.3.9)當(dāng)時，期權(quán)沒有價值，所以邊界條件為；〔5.3.10〕當(dāng)時，，期權(quán)的價值變成了股票的價值，即〔5.3.11〕根據(jù)邊界條件式(5．3．9)，式(5．3．10)和式(5．3．11)，可以求解方程(5.3.8)5．3．3Black-Scholes期權(quán)定價公式歐式看漲期權(quán)價格滿足偏微分方程(5．3．8)，于是有(5.3.12)方程(5．3．12)類似擴(kuò)散方程，但它有更多的項為了便于求解，令方程〔5.3.12〕變?yōu)椤?.3.13〕其中。此時，終止條件轉(zhuǎn)化為初始條件注意到方程(5．3．13)中僅包含一個參數(shù)．令其中和是待定的常數(shù)．代入式(5．3．13)有結(jié)果現(xiàn)在選擇和使其滿足求解得到這樣得到式中滿足由偏微分方程知識有作變換得到這里其中是正態(tài)分布的累積分布函數(shù)；將代換為，得到將和代入式〔5.3.15〕，再利用整理后得到其中總結(jié)上述結(jié)論，我們有如下定理：定理5．3．1(B1ack-Scholes歐式期權(quán)定價公式)到期時刻為，行權(quán)價格為，標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運(yùn)動的股票歐式看漲期權(quán)的價格為(5.3.16)根據(jù)歐式看漲朗權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系，容易得出不支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的定價公式：(5.3.17)在使用式(5．3．16)和式(5．3．17)之前首先要解決的計算問題．)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，可以由下面公式近似求得：(5.3.18)其中§5.4紅利的影響在本節(jié)，我們將討論在權(quán)利期間內(nèi)股票支付紅利的情況，內(nèi)容包括支付紅利股票的歐式期權(quán)定價和美式看漲期權(quán)定價．第一個問題比擬簡單，只要將Black-Scholes期權(quán)定價公式稍加修改即可；第二個較為麻煩，我們將介紹Roll,Geske和Whaley提出的一個近似的計算方法．5．4．1歐式期權(quán)定價在將有紅利支付的條件下，股票價格由支付己知紅利現(xiàn)值和股票價格兩局部決定．紅利的發(fā)生將使股票價格在除息日下降，下降幅度為所支付紅利的現(xiàn)值．在有紅利將要發(fā)生時，只要用股票價格減去在期權(quán)有效期間所有紅利按照無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值，B1ack-Scho1es期權(quán)定價公式仍然適用．定理5．4．1(支付紅利股票的B1ack-Scho1es歐式期權(quán)定價公式)設(shè)到期時刻為,行權(quán)價格為，紅利的現(xiàn)值是，那么標(biāo)的資產(chǎn)價格滿足幾何布朗運(yùn)動的股票歐式看漲期權(quán)的價格為(5.4.1)其中根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系，容易得出相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的定價公式：〔5.4.2〕其中的定義與式(5．4．1)中的相同．分析：式(5．4．1)和式(5．4.2)分別用來計算支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價格．該兩式與(5．3．16)和式(5．3．17)的不同之處是多了一項支付紅利現(xiàn)值．5．4．2美式期權(quán)定價美式看漲期權(quán)存在著提前行權(quán)問題，由討論5．1．2知，當(dāng)預(yù)期有紅利派發(fā)時，在除息日前立即執(zhí)行美式看漲期權(quán)是明智的選擇．在預(yù)期有紅利派發(fā)且存在提前行權(quán)的情況下，Roll，Geske和Whaley提出了一種美式看漲期權(quán)定價公式，即(5.4.3)式中其他字母的含義是：：二維正態(tài)分布的累積分布函數(shù)，這個二維正態(tài)分布的第一個變量小于，第二個變量小于，兩變量之間的相關(guān)系數(shù)為；：最后支付的紅利；：最后的除息日；：可通過解方程得出，其中是當(dāng)且時，由B1ack-Scholes期權(quán)定價公式給出的期權(quán)價格。當(dāng)存在多期紅利時，只有在最后一個除息日前執(zhí)行權(quán)才是明智的．因此，可以運(yùn)用公式〔5．4．3)，其中要減去除最后紅利之外所有紅利的現(xiàn)值，變量應(yīng)等于最后的紅利，為最后的除息日期．分析：式(5．4．3)用來近似計算美式看漲期權(quán)的價格．該式計算有兩個難點：一是求解,二是求解值．求解的程序我們事先編譯好放在一個文件夾中，當(dāng)使用的時候，在程序的開頭局部用指令“include〞嵌入頭文件“normdist.h，在計算美式看漲期權(quán)的函數(shù)主體中直接調(diào)用即可．求解值可調(diào)用函數(shù)option_price_call_black_scholes(.)．上述兩個問題得到解決之后，式(5．4．3)就是一個包含C++根本運(yùn)算的簡單問題，實現(xiàn)起來就容易了．例5．4．2考慮一美式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)的價格是$100，行權(quán)價格是$100，年無風(fēng)險利率是10％，年波動率是25％，權(quán)利期間還有1年，距離除息日有6個月的時間，預(yù)計派發(fā)的紅利是$10．試求該期權(quán)的價格．§5．5風(fēng)險對沖風(fēng)險對沖是指通過投資或購置與標(biāo)的資產(chǎn)收益波動負(fù)相關(guān)的某種資產(chǎn)或衍生證券，來沖銷標(biāo)的資產(chǎn)潛在損失的一種策略．在進(jìn)行風(fēng)險對沖時經(jīng)常用到的定量參數(shù)有：Delt，Gamma，vega，Theta和Rho．這些參數(shù)一般是某些變量變化對另外一些變量變化的比率，反映了一些變量對另外一些變量的相對變化．根據(jù)這些參數(shù)的變化適時調(diào)整頭寸，可在一定程度上到達(dá)風(fēng)險對沖的目的．在本章，我們不去討論對沖策略的實施，而僅介紹上述對沖參數(shù)的概念和計算程序。5．5．1Delta對沖Delta定義為在其他變量不變的條件下期權(quán)價格變化與標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的比率，即〔5.5.1〕Delta隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化和時間的推移而不斷變化，因此在運(yùn)用Delta對沖風(fēng)險時，需要定期調(diào)整對沖頭寸，否那么就要承當(dāng)頭寸風(fēng)險暴露的風(fēng)險．不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的Delta為(5．5．2)根據(jù)該式,在對一個歐式看漲期權(quán)的空頭進(jìn)行Delta對沖時，在任何時候需要同時持有數(shù)量為的標(biāo)的資產(chǎn)多頭．類似地，對一個歐式看漲期權(quán)的多頭進(jìn)行Delta對沖，在任何時候需要同時持有數(shù)量為的標(biāo)的資產(chǎn)空頭．不支付紅利的股票歐式看跌期權(quán)的為.〔5．5．3)由該式．為負(fù)值．這意味著看跌期權(quán)的多頭應(yīng)該利用標(biāo)的資產(chǎn)的多頭頭寸來對沖風(fēng)險，看跌期權(quán)的空頭應(yīng)該利用標(biāo)的資產(chǎn)的空頭頭寸來對沖風(fēng)險．5．5．2對沖定義為在其他變量不變時期權(quán)價格的變化相對于權(quán)力期間變化的比率，即T(5．5．4)Theta一般是負(fù)值，它反映了期權(quán)價格隨著權(quán)力期間的減少而逐漸衰減的程度．因此，我們不可能用對沖的方法消除時間變化對期權(quán)價格的影響．不支付紅利的股票歐式看漲期權(quán)的為〔5.5.5〕式中，不支付紅利的股票歐式看跌期權(quán)的為5．5．3Gamma對沖Gamma反映了期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動對期權(quán)Delta變動的影響程度,即〔5.5.6〕Gnmma大小反映了為保持Delta中性而需要調(diào)整的頭寸〔當(dāng)價格變動時〕，Delta中性是指Delta等于零的狀態(tài)(組合中性即組合沒有風(fēng)險〕．由于標(biāo)的資產(chǎn)和衍生證券可以是多頭和空頭，所以Delta可大于零，也可小于零．如果組合內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)和衍生證券數(shù)量匹配適當(dāng)，整個組合的Delta等于零．然而Delta并非固定不變，隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格或者權(quán)利區(qū)間的變化，Delta也在變化．因此，進(jìn)行風(fēng)險對沖時就必須不斷隨著Delta的變化來調(diào)整頭寸，以保持Delta中性．在這種調(diào)整中，Gamma就是一個有用的指標(biāo)，因為Gamma的大小正好反映了為保持Del飽中性而需要調(diào)整的頭寸．不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的Gamma均為(5.5.7)5.5.4Vegavega定義為在其他變量保持不變的條件下期權(quán)價格變化對標(biāo)的資產(chǎn)波動率變化的比率，即(5.5.8)標(biāo)的資產(chǎn)價格波動對期權(quán)價格有著重大影響．在其他條件一定的條件下，波動率越大期權(quán)價格越高；波動率越小，期權(quán)價格越低．在對沖風(fēng)險過程中，Vega是一個重要指標(biāo)．B1ack—Scholes期權(quán)定價公式假定標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率為常數(shù)，這一假定是不符合實際的．所以，在實際交易過程中，投資者要面臨著波動率變動的風(fēng)險，為了躲避這種風(fēng)險，必須縮小期權(quán)的Vega，把波動率變化可能造成的損失降低到最?。恢Ц都t利股票的歐式看漲和看跌期權(quán)的Vega為〔5.5.9〕5.5.5d對沖Rho定義為在其他變量不變時期權(quán)價格c變化與利率f變化之間的比率，即〔5.5.10〕Rho反映了利率變化對期權(quán)價格的影響程度，因此在利率變動比擬頻繁的時期，Rho將是一個重要的敏感指標(biāo)．由于利率變動對看漲期權(quán)的價格有正的影響，對看跌期權(quán)的價格有負(fù)的影響，所以看漲期權(quán)的Rho值一般大于零，而看跌期權(quán)的Rho值一般小于零．不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)的Rho為〔5.5.11〕支付紅利股票的歐式看跌期權(quán)的Rho為〔5.5.12〕分析：對沖參數(shù)的公式中包含和．這兩個問題前面已經(jīng)解決，故上述對沖參數(shù)的程序?qū)崿F(xiàn)起來并不難．例5．5．1考慮一個不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)價格是$50，行權(quán)價格是$50，無風(fēng)險年利率是l0％，年波動率是30％，權(quán)力期間還有6個月．試求其相應(yīng)的對沖參數(shù).至此，我們介紹了不支付紅利股票的歐式期權(quán)的對沖參數(shù)，并給出了其中的歐式看漲期權(quán)的對沖參數(shù)計算程序．參考這些程序讀者可給出相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的對沖參數(shù)及支付紅利股票的歐式期權(quán)對沖參數(shù)的計算程序．§5.6隱含波動率隱含波動率是一個在市場上無法觀察到的波動率，是通過Black-Scholes期權(quán)定價公式計算出來的波動率．由于我們無法給出它的解析式，因此只能借助于數(shù)值計算給出近似解．本節(jié)介紹兩種計算隱含波動率的數(shù)值方法；二分法和牛頓迭代法．二分法的設(shè)計思想相當(dāng)簡單：如果某函數(shù)在一區(qū)間內(nèi)符號有變化，那么在此區(qū)間內(nèi)該函數(shù)必有零點．根據(jù)這個思想，我們先計算該函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)中點的值，并考查其符號變化，然后再用中點值替代與其有相同符號的端點．這樣，每經(jīng)過一次迭代，包含零點的區(qū)間就縮小一半．假設(shè)經(jīng)過n次迭代后，零點位于長度為的區(qū)間內(nèi)，那么在下一輪迭代結(jié)束后，這個零點將被劃界在長度恰好是的區(qū)間內(nèi)．經(jīng)過n次這樣的迭代后，包含零點的區(qū)間兩端就會逼近真值。注意：在使用二分法時，需要事先計算出到達(dá)給定精度的解所需要的迭代次數(shù)，其中為初始區(qū)間的長度，為迭代結(jié)束后所期望到達(dá)的精度，這給計算帶來很大的方便．分析：根據(jù)上述二分法的根本思想，我們給出如下求解隱含波動率的步驟：(1〕設(shè)定隱含波動率的上下限；(2)計算隱含波動率上、下限的平均值并代入Black-Scho1es期權(quán)定價公式；(3)計算該期權(quán)價格與市場觀察到的期權(quán)價格之差，直到到達(dá)給定精度為止．程序5．6．1隱含波動率(二分法)．例5．6．1假設(shè)當(dāng)前觀察到的期權(quán)價格是$1.875，標(biāo)的資產(chǎn)價格