專(zhuān)題06 高頻題型專(zhuān)題：二次函數(shù)的圖象信息題(解析版)（重點(diǎn)突圍）

專(zhuān)題06高頻題型專(zhuān)題：二次函數(shù)的圖象信息題考點(diǎn)一二次函數(shù)與其他函數(shù)圖象共存問(wèn)題考點(diǎn)二二次函數(shù)圖象和性質(zhì)與系數(shù)a,b,c問(wèn)題考點(diǎn)三二次函數(shù)圖象和性質(zhì)與字母參數(shù)問(wèn)題考點(diǎn)四二次函數(shù)圖象和幾何圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題考點(diǎn)一二次函數(shù)圖象和性質(zhì)與系數(shù)a,b,c問(wèn)題例題：（2021·新疆·烏魯木齊市第九中學(xué)九年級(jí)期中）函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)a、b的符號(hào)，針對(duì)二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象位置，開(kāi)口方向，二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的位置，分類(lèi)討論，逐一排除．【詳解】解：A項(xiàng)，由圖可知，，，即，，，此時(shí)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸在x軸的右側(cè)；一次函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，此時(shí)A項(xiàng)不符合要求；B項(xiàng)，由圖可知，，，即，，此時(shí)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，此時(shí)B項(xiàng)不符合要求；C項(xiàng)，由圖可知，，即，此時(shí)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，一次函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)第二、四象限，此時(shí)C項(xiàng)不符合要求；D項(xiàng)，由圖可知，，，即，，即，此時(shí)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸在x軸的右側(cè)；一次函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，此時(shí)D項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)a、b的正負(fù)確定一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限以及拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置，是解題的關(guān)鍵．解答時(shí)，需注意數(shù)形結(jié)合的思想．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江·杭州市采荷中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系下，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象大致可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．【詳解】解：A、由拋物線(xiàn)可知，，得，由直線(xiàn)可知，，故本選項(xiàng)正確；B、由拋物線(xiàn)可知，，得，由直線(xiàn)可知，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由拋物線(xiàn)可知，，由直線(xiàn)可知，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由拋物線(xiàn)可知，，得，由直線(xiàn)可知，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，用假設(shè)法來(lái)搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法．2．（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先由二次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象相比較看是否一致，進(jìn)行排除．【詳解】解：A、∵二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，∴，，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第二、三、四象限，A錯(cuò)誤；B、∵二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，∴，，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第一、三、四象限，B錯(cuò)誤；C、∵二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，∴，，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第二、三、四象限，C正確；D、∵二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，∴，，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第二、三、四象限，D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)a、b的正負(fù)確定一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限是解題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽合肥·九年級(jí)階段練習(xí)）函數(shù)y=ax2+1和y=ax+a（a為常數(shù)，且a≠0），在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A．B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，判斷A，B不符合題意，再由C，D中的二次函數(shù)的圖象判斷，從而可得答案．【詳解】解：由的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A，B不符合題意；由C，D中二次函數(shù)的圖象可得：函數(shù)y＝ax＋a過(guò)一，三，四象限，故D符合題意，C不符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象共存的問(wèn)題，掌握“一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．4．（2021·河南·鎮(zhèn)平縣侯集鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和函數(shù)（m是常數(shù)，且m≠0）的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過(guò)的象限的問(wèn)題，關(guān)鍵是m的正負(fù)的確定，對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開(kāi)口向下．對(duì)稱(chēng)軸為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．【詳解】解：A、由函數(shù)的圖象可知m＜0，即函數(shù)開(kāi)口方向朝上，與圖象不符，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由函數(shù)的圖象可知m＜0，對(duì)稱(chēng)軸為，則對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象不符，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由函數(shù)的圖象可知m＞0，即函數(shù)開(kāi)口方向朝下，與圖象不符，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由函數(shù)的圖象可知m＜0，即函數(shù)開(kāi)口方向朝上，對(duì)稱(chēng)軸為，則對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象相符，故D選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．5．（2022·浙江·杭州市保俶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖選項(xiàng)中，能描述函數(shù)與y＝ax+b，（ab＜0）的圖象可能是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】先判斷直線(xiàn)解析式中的符號(hào)，再判斷拋物線(xiàn)中的符號(hào)，如果一致則符合題意，據(jù)此即可求解．【詳解】A．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＞0，b＞0，故選項(xiàng)A不符合題意；B．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＞0，b＜0，故選項(xiàng)B符合題意；C．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＜0，b＜0，故選項(xiàng)C不符合題意；D．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＜0，b＜0，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像以及一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，分a＞0及a＜0兩種情況尋找兩函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵．6．（2022·陜西·九年級(jí)階段練習(xí)）已知是不為0的常數(shù)，函數(shù)和函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和一、三象限的直線(xiàn)，開(kāi)口向上，與軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱(chēng)軸是軸；當(dāng)時(shí)，的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和二、四象限的直線(xiàn)，開(kāi)口向下，與軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱(chēng)軸是軸，綜合可得：D選項(xiàng)符合題意．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．考點(diǎn)二二次函數(shù)與其他函數(shù)圖象共存問(wèn)題例題：（2022·天津市翔宇力仁學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的位置判斷的符號(hào)，再根據(jù)拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，判斷的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是軸的右側(cè)，∴，∵與軸交于負(fù)半軸，∴，∴，故①正確；∵，，∴，∴，故②錯(cuò)誤；∵拋物線(xiàn)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，故③正確；當(dāng)時(shí)，，即，故④錯(cuò)誤；綜上可得：正確的結(jié)論為：①③，有個(gè)．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是要明確：對(duì)于二次函數(shù)來(lái)說(shuō)，①二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大?。寒?dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口；②一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)與同號(hào)時(shí)（即），對(duì)稱(chēng)軸在軸左；

當(dāng)與異號(hào)時(shí)（即），對(duì)稱(chēng)軸在軸右．（簡(jiǎn)稱(chēng)：左同右異）③常數(shù)項(xiàng)決定拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)，拋物線(xiàn)與軸交于．④拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)：時(shí)，拋物線(xiàn)與軸有2個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線(xiàn)與軸有1個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線(xiàn)與軸無(wú)交點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·樂(lè)陵市化樓鎮(zhèn)化樓中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤若m為任意實(shí)數(shù)，則．其中正確的是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①拋物線(xiàn)開(kāi)口方向向下，則，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸位于y軸右側(cè)，則a、b異號(hào)，即，拋物線(xiàn)與y軸交于正半軸，則，所以，故①錯(cuò)誤；②∵拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在的左側(cè)，而對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在的右側(cè)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，故②正確；③∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴,即，故③錯(cuò)誤；④∵拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴,故④正確；⑤∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴函數(shù)的最大值為：,∴,即,故⑤正確；故正確的結(jié)論有：②④⑤，共個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】主要考查圖像與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱(chēng)軸的范圍求與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．2．（2022·四川省德陽(yáng)市第二中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）二次函數(shù)大致圖象如圖所示，其中頂點(diǎn)為（-2，）下列結(jié)論：①；②；③；④若方程有兩根為和，且<，則；⑤若方程有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤【答案】D【分析】①拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)，則同號(hào)，而，即可求解；②時(shí)，，即可求解；③，即可求解；④，相當(dāng)于由原拋物線(xiàn)向上平移了1個(gè)單位，即可求解；⑤若方程，即：若方程，當(dāng)時(shí)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：其兩個(gè)根的和為，即可求解．【詳解】解：∵頂點(diǎn)為（，），設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，①拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)，則同號(hào)，而，則，故①正確；②函數(shù)在軸右側(cè)與x軸的交點(diǎn)（1，0），當(dāng)時(shí)，，故②正確；③，故③錯(cuò)誤；④，相當(dāng)于由原拋物線(xiàn)向上平移了1個(gè)單位，故有兩個(gè)根和，且，則，④正確；⑤若方程，即：若方程，當(dāng)時(shí)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：其兩個(gè)根的和為，同理當(dāng)時(shí)，其兩個(gè)根的和也為，則這四個(gè)根的和為，故⑤正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等，關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．3．（2022·湖北·武漢市洪山區(qū)楊春湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖像如圖，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是__________．【答案】①③④【分析】根根據(jù)二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴，∵，∴∵拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，∴，∴，故①正確；∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，∴不一定等于零，故②錯(cuò)誤；∵由函數(shù)圖像可得:當(dāng)時(shí)，∴，即,∴，即，故③正確；∵∴，即,∴∴∴，即④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教學(xué)研究室模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與軸的交點(diǎn)在，之間包含端點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有____________（填編號(hào)）①；②；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立；④關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．【答案】①②③【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴，∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴，∴，故①正確．∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，∴，∴，∵拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在，之間，∴，即，解得，故②正確．∵時(shí)，為最大值，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不大于．∴．∴．故③正確．∵直線(xiàn)在拋物線(xiàn)頂點(diǎn)上方，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴拋物線(xiàn)與直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)．∴關(guān)于x的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解．故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東·廣州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）拋物線(xiàn)（，，為常數(shù)）的對(duì)稱(chēng)軸為，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且．有下列結(jié)論：①；②對(duì)任意實(shí)數(shù)都有：；③；④若，則．其中正確結(jié)論是：___________．【答案】①③##③①【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)（a，b，c為常數(shù)）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，過(guò)點(diǎn)（1，-2）且c>0，即可判斷開(kāi)口向下，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷②；根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性即可判定③；根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)（，，為常數(shù)）的對(duì)稱(chēng)軸為，∴，即，∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即，故①正確；∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最大，∴對(duì)任意實(shí)數(shù)都有：，即，故②錯(cuò)誤；∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，∴點(diǎn)（0，c）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（-4，c），∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于0，即，∴，故③正確；∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，若，則，故④錯(cuò)誤；∴正確結(jié)論是①③．故答案為：①③【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．考點(diǎn)三二次函數(shù)圖象和性質(zhì)與字母參數(shù)問(wèn)題例題：（2022·北京·清華附中九年級(jí)階段練習(xí)）定義為函數(shù)的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線(xiàn)段長(zhǎng)度大于；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)，y隨x的增大而減??；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷后即可確定正確的答案．【詳解】解：把m=-3代入特征數(shù)得：a=-6，b=4，c=2，∴函數(shù)解析式為，∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故①正確；令y=0，則解得：，∴函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），，當(dāng)m>0時(shí)，，故②正確；當(dāng)m<0時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，∴x可能在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)也可能在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，故③錯(cuò)誤；，若使函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，m≠0時(shí)，應(yīng)使，解得，當(dāng)x=1時(shí)，y=0，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和，故④正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，這往往是進(jìn)一步研究二次函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北·武漢市洪山區(qū)楊春湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象上三點(diǎn)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)開(kāi)口向下時(shí)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值越小判斷的大小關(guān)系即可．【詳解】解：∵，∴此函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是：直線(xiàn)，∴到對(duì)稱(chēng)軸的距離分別是：，∵，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值越小，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握拋物線(xiàn)開(kāi)口向下時(shí)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值越小是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北·漢川市官備塘中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知、是拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，則，的大小關(guān)系為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得，根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)得，即時(shí)，y隨著x的增大而減小，根據(jù)，即可得．【詳解】解：∵，∴，∵對(duì)稱(chēng)軸為，∴時(shí)，y隨著x的增大而減小，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意并掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．3．（2022·湖北·武漢市卓刀泉中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的值恒大于1，則p的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分情況討論：①，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求得最小值，再令最小值大于等于1列出不等式；②，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求得最小值，再令最小值大于等于1列出不等式；③，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求得最小值，再令最小值大于1列出不等式，最后解不等式求得p的取值范圍．【詳解】解：由題意可得：二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，開(kāi)口向上，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，y的值恒大于1，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，y的值恒大于1，∴，∴；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)y隨x的增大而增減小，函數(shù)在時(shí)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，，∵當(dāng)時(shí)，y的值恒大于1，∴，解得，∴的解集為：，∴；綜上所述：p的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)增減性和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．4．（2022·山西臨汾·九年級(jí)階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)為常數(shù)，與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），下列關(guān)于該拋物線(xiàn)的描述中，說(shuō)法正確的是（）A．該拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下B．C．點(diǎn)在軸的正半軸D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大【答案】B【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)中的符號(hào)判定拋物線(xiàn)開(kāi)口方向；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判定的值；根據(jù)拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)判定點(diǎn)B的位置；根據(jù)拋物線(xiàn)的增減性判定選項(xiàng)D．【詳解】解：A．由于無(wú)法確定的符號(hào)，所以不能判定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，原說(shuō)法不正確，不符合題意；B．令，由根與系數(shù)的關(guān)系知：，原說(shuō)法正確，符合題意；C．無(wú)法判定點(diǎn)與軸交點(diǎn)的位置，原說(shuō)法不正確，不符合題意；D．由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)知，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)隨的增大而減小，原說(shuō)法不正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)．5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，拋物線(xiàn)為常數(shù)且與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的頂點(diǎn).則下列說(shuō)法；①當(dāng)時(shí)，射線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，射線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的一個(gè)四等分點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，射線(xiàn)會(huì)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，射線(xiàn)會(huì)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的一個(gè)四等分點(diǎn).其中錯(cuò)誤的是A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【分析】由求出，，分別求出的中點(diǎn)為，線(xiàn)段的四等分點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，頂點(diǎn)，直線(xiàn)的解析式為，再結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，，令，則，，軸，，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在直線(xiàn)上，射線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的一個(gè)端點(diǎn)；故①不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，，可求直線(xiàn)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，直線(xiàn)上有一點(diǎn)，，令，則，解得或，，，線(xiàn)段的四等分點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，射線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的一個(gè)四等分點(diǎn)；故②不符合題意；③與軸的交點(diǎn)，令，則，解得或，，的中點(diǎn)為，的頂點(diǎn)為，直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)代入，，，不存在，故③符合題意；④線(xiàn)段的四等分點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)，代入，可得；將點(diǎn)代入，可得；將點(diǎn)，代入，可得；，射線(xiàn)不會(huì)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段的一個(gè)四等分點(diǎn)，故④符合題意；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線(xiàn)的解析式是解題的關(guān)鍵.6．（2022·浙江·杭州市文瀾中學(xué)八年級(jí)期末）對(duì)于二次函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限C．點(diǎn)與是二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則D．無(wú)論取何實(shí)數(shù)，它的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)【答案】C【分析】將二次函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，逐一分析選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】解：，可得它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確；當(dāng)時(shí)，，頂點(diǎn)在第三象限，開(kāi)口向上，時(shí)，，它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，B正確；函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，距離的的距離距離的的距離，，C錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，無(wú)論取何實(shí)數(shù)，它的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，將二次函數(shù)形式進(jìn)行正確化簡(jiǎn)，進(jìn)行正確計(jì)算即可選出正確答案．考點(diǎn)四二次函數(shù)圖象和幾何圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例題：（2021·遼寧朝陽(yáng)·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)AB運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)AD→DC→CB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)AMN的面積為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)情況，分點(diǎn)N在AD，DC，CB上三種情況討論，分別寫(xiě)出每種情況x和y之間的函數(shù)關(guān)系式，即可確定圖象．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)N在AD上時(shí)，即0≤x＜2∵AM＝x，AN＝2x，∴，此時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)大于0，∴該部分函數(shù)圖象開(kāi)口向上，當(dāng)點(diǎn)N在DC上時(shí)，即2≤x＜4，此時(shí)底邊AM＝x，高AD＝4，∴y＝＝2x，∴該部分圖象為直線(xiàn)段，當(dāng)點(diǎn)N在CB上時(shí)，即4≤x＜6時(shí)，此時(shí)底邊AM＝x，高BN＝12﹣2x，∴y＝，∵﹣1＜0，∴該部分函數(shù)圖象開(kāi)口向下，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像綜合，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東濱州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是等腰直角三角形，，，為上的動(dòng)點(diǎn)，交折線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)，的面積為，則與的函數(shù)圖象正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可以列出與的函數(shù)解析式，從而可以確定與的函數(shù)圖象，從而可以得到正確的選項(xiàng)，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為的右半部分，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為的右半部分，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖像，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出與的函數(shù)解析式．2．（2022·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線(xiàn)方向以的速度勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為，則下列圖象能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出M在AD和在BD上時(shí)△MND的面積為S關(guān)于t的解析式即可判斷．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，∴∠B＝60°，，，∵CD⊥AB，∴，，，∴當(dāng)M在AD上時(shí)，0≤t≤3，，，∴，當(dāng)M在BD上時(shí)，3＜t≤4，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過(guò)看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，還可以提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．3．（2022·安徽·九年級(jí)期末）如圖，P是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P垂直于AC的直線(xiàn)交菱形ABCD的邊于M、N兩點(diǎn)，設(shè)，，．△AMN的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】△AMN的面積=，通過(guò)題干已知條件，用x分別表示出AP、MN，根據(jù)所得的函數(shù)，利用其圖象，可分兩種情況解答：（1）；（2）；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，如圖，在菱形ABCD中，AC=9，BD=1，AO=，且AC⊥BD；∵M(jìn)N⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，∴，即，，MN=；∴，∵，∴函數(shù)圖象開(kāi)口向上；（2）當(dāng)，如圖，同理證得，△CDB∽△CNM，，即，；∴，；∵，∴函數(shù)圖象開(kāi)口向下；綜上，答案C的圖象大致符合；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，考查了學(xué)生從圖象中讀取信息的數(shù)形結(jié)合能力，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想．4．（2022·安徽·蕪湖市第二十九中學(xué)二模）如圖，中，AB=4，BC=8，∠A=60°，動(dòng)點(diǎn)P沿A-B-C-D勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)速度為2cm/s，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)Q到點(diǎn)D時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q走過(guò)的路程為x