專題09 拋物線-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）含解析

專題09拋物線專題09拋物線-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）含解析拋物線的定義及應(yīng)用1．（2023上·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．2．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．3．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．4．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？计谀c(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，點(diǎn)在拋物線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2023上·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)為拋物線C：上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為3，則.6．（2023上·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于．若，，則拋物線的方程為．7．（2023上·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為為拋物線內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，則.8．（2023上·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┰O(shè)拋物線的焦點(diǎn)，若拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，則.拋物線的焦點(diǎn)弦9．（2023上·浙江寧波·高二期末）如圖，某種探照燈的軸截面是拋物線（焦點(diǎn)F），平行于對(duì)稱軸的一光線，經(jīng)射入點(diǎn)A反射過F到點(diǎn)B，再經(jīng)反射，平行于對(duì)稱軸射出光線，則入射點(diǎn)A到反射點(diǎn)B的光線距離最短時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．10．（2023上·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．1211．（2023上·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，若直線與拋物線C在第一象限交于點(diǎn)M，則（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（2023上·陜西·高二校聯(lián)考期末）已知為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若的周長不小于30，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B．C． D．13．（2023上·福建福州·高二統(tǒng)考期末）(多選題)已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，直線過點(diǎn)F且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若是線段AB的中點(diǎn)，則（

）A．m=1 B．p=4 C．直線的方程為 D．14．（2023上·云南昆明·高二昆明一中?？计谀ǘ噙x題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線的斜率為或 B．的中點(diǎn)到的距離為4C． D．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）15．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，若，則直線的斜率.16．（2023上·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考期末）已知拋物線的方程為，為拋物線的焦點(diǎn)，傾斜角為的直線過點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，則線段的長為.直線與拋物線17．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．18．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線C：，從點(diǎn)發(fā)出的一條平行于x軸的光線，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，與C交于另一點(diǎn)B，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．19．（2023上·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過F作傾斜角為的直線l交拋物線C與A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則拋物線C的方程是（

）A． B． C． D．20．（2023上·四川綿陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為，，若，則的面積為（

）A． B． C． D．21．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若.則.22．（2023上·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則.23．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，且交該拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸左側(cè)，則.24．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期末）過點(diǎn)作直線與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線可以作出條.25．（2023上·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在的右下方，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．26．（2023上·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長方形和拋物線構(gòu)成.為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行車道總寬度|AB|＝6m，那么車輛通過隧道的限制高度約為（

）

A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m27．（2023上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）過拋物線C：焦點(diǎn)F的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若E為線段AB的中點(diǎn)，M為拋物線C上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B． C．6 D．28．（2023上·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．229．（2023上·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．30．（2023上·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，其焦點(diǎn)為是過點(diǎn)的一條弦，定點(diǎn)的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時(shí)，則弦的長是.31．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線相交于點(diǎn)，且與的斜率之差為2，則的最小值為.32．（2023上·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)?？计谀佄锞€C上任意一點(diǎn)都滿足，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.33．（2023上·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.34．（2023上·云南大理·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，直線：與拋物線C交于M，N兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù)，都有（m，n為常數(shù)），求的值.專題09拋物線拋物線的定義及應(yīng)用1．（2023上·吉林遼源·高二校聯(lián)考期末）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】利用焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即可求解【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以由拋物線可得，故選：B2．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線的定義即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離為，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線為.所以到拋物線準(zhǔn)線的距離為，即點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為.故選：C3．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義有，數(shù)形結(jié)合判斷其最小值.【詳解】由題設(shè)，拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，故，如上圖：，僅當(dāng)共線且在兩點(diǎn)之間時(shí)等號(hào)成立.故選：C4．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，點(diǎn)在拋物線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，利用，從而得到，即可求解.【詳解】如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，根據(jù)拋物線的定義可得：，所以，而所以.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q、點(diǎn)N、點(diǎn)M在同一條直線上時(shí)等號(hào)成立，所以有最大值1.故選：B5．（2023上·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)為拋物線C：上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為3，則.【答案】2【分析】由拋物線的方程求出拋物線的準(zhǔn)線，然后利用拋物線的定義結(jié)合已知條件列方程求解即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為3，所以點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，解得，故答案為：26．（2023上·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于．若，，則拋物線的方程為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，然后在直角三角形中利用可得，從而可得答案．【詳解】根據(jù)拋物線的定義可得，又，所以，得，所以拋物線的方程為．故答案為：．7．（2023上·湖南衡陽·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為為拋物線內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，為上的一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，則.【答案】3【分析】根據(jù)題意畫圖，再由拋物線的定義，即可得到的最小值為，知當(dāng)三點(diǎn)共線且垂直于準(zhǔn)線時(shí)取最小即可計(jì)算出.【詳解】根據(jù)題意畫圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，，由于為上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)即，則，解得.故答案為：3.8．（2023上·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┰O(shè)拋物線的焦點(diǎn)，若拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，則.【答案】【分析】根據(jù)拋物線定義得，由點(diǎn)在拋物線上，代方程即可解決.【詳解】由題知，拋物線的焦點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，所以，得，所以拋物線為，所以，解得，故答案為：拋物線的焦點(diǎn)弦9．（2023上·浙江寧波·高二期末）如圖，某種探照燈的軸截面是拋物線（焦點(diǎn)F），平行于對(duì)稱軸的一光線，經(jīng)射入點(diǎn)A反射過F到點(diǎn)B，再經(jīng)反射，平行于對(duì)稱軸射出光線，則入射點(diǎn)A到反射點(diǎn)B的光線距離最短時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由AB過點(diǎn)F，所以當(dāng)AB為通徑即軸時(shí)，最小，由此即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo).【詳解】由AB過點(diǎn)F，所以當(dāng)AB為通徑即軸時(shí)，最小，此時(shí)，則，所以，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.“軸時(shí)，最小”的證明：法一：設(shè)AB傾斜角為，由，當(dāng)即軸時(shí)，；法二：設(shè)，與聯(lián)立得，所以，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：A.10．（2023上·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】利用拋物線的定義，以及幾何關(guān)系可知，再利用數(shù)形結(jié)合表示的值，進(jìn)而得，再根據(jù)焦半徑公式得，，進(jìn)而求解直線的方程并與拋物線聯(lián)立得，再用焦半徑公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，，垂足分別為，，所以，.又，所以，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，所以，所以，?所以，拋物線為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由得，解得，所以，，所以，直線的方程為所以，聯(lián)立方程得，解得，所以，，所以，故選：B11．（2023上·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，若直線與拋物線C在第一象限交于點(diǎn)M，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】確定,，確定過點(diǎn)，聯(lián)立方程求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，利用拋物線焦半徑公式即可求得答案.【詳解】由題意得,，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)時(shí)，，即過點(diǎn)，聯(lián)立，即，解得或，由于M在第一象限，且斜率大于0，故取M橫坐標(biāo)為3，則，故選：D12．（2023上·陜西·高二校聯(lián)考期末）已知為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若的周長不小于30，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，根據(jù)拋物線的定義和勾股定理可得的周長為，令，利用換元法可得，解之即可求解.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，則，所以的周長為.得，令，則，有，即，解得(舍去)或，所以，由解得.故選：A.13．（2023上·福建福州·高二統(tǒng)考期末）（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，直線過點(diǎn)F且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若是線段AB的中點(diǎn)，則（

）A．m=1 B．p=4C．直線的方程為 D．【答案】BC【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可判斷B；利用點(diǎn)差法求解得直線斜率，從而可判斷C；由點(diǎn)在直線上可求得m，可判斷A；利用弦長公式可判斷D.【詳解】由題知，，故B正確；故拋物線方程為，設(shè)，易知，則，由點(diǎn)差法可得又是線段AB的中點(diǎn)，所以，所以直線l的斜率因?yàn)橹本€l過焦點(diǎn)，所以l的方程為，即，C正確；將代入可得，A錯(cuò)誤；將代入得，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC14．（2023上·云南昆明·高二昆明一中?？计谀ǘ噙x題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線的斜率為或 B．的中點(diǎn)到的距離為4C． D．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】ABC【分析】由題設(shè)直線的方程為，，進(jìn)而聯(lián)立方程，結(jié)合向量關(guān)系得或，再依次討論各選項(xiàng)即可.【詳解】解：由題知焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以，設(shè)直線的方程為，，所以，得，所以，，①，②，因?yàn)椋?，所以③，所以，由①②③得或，所以直線的斜率為，故A選項(xiàng)正確；所以，，故的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，的中點(diǎn)到的距離為，故B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故；故C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，故不成立，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC15．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，若，則直線的斜率.【答案】【分析】設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及，可求答案.【詳解】設(shè)，直線與拋物線聯(lián)立得，即；，因?yàn)?，所以，所以，代入可得即，，所以故答案為?6．（2023上·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考期末）已知拋物線的方程為，為拋物線的焦點(diǎn)，傾斜角為的直線過點(diǎn)交拋物線于，兩點(diǎn)，則線段的長為.【答案】【分析】首先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到直線的方程，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，設(shè)，，由，消去整理得，所以，所以.故答案為：直線與拋物線17．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系以及韋達(dá)定理、弦長公式求解即可.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，所以該直線的斜率不等于0，所以可假設(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，所以所以，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以，所以，故選：B.18．（2023上·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線C：，從點(diǎn)發(fā)出的一條平行于x軸的光線，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，與C交于另一點(diǎn)B，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出坐標(biāo)，進(jìn)而聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理得出點(diǎn)B的縱坐標(biāo).【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，由題意可知，三點(diǎn)在一條直線上，直線的斜率為，即直線的方程為，聯(lián)立，可得，因?yàn)?故選：A19．（2023上·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過F作傾斜角為的直線l交拋物線C與A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則拋物線C的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可設(shè)、，則、，然后兩式相減，可得，再然后根據(jù)、兩點(diǎn)在傾斜角為的直線上得出，最后根據(jù)線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，兩式相減得，即，因?yàn)?、兩點(diǎn)在傾斜角為的直線上，所以，即，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，則，，拋物線的方程是，故選：C.20．（2023上·四川綿陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為，，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)表示求出A、B的縱坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)，則，由，得，又，解得，所以，所以的面積為.故選：B.21．（2023上·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若.則.【答案】/0.5【分析】設(shè)直線方程為與拋物線聯(lián)立，結(jié)合，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，利用向量夾角公式即得.【詳解】設(shè)直線的方程為，將直線方程代入拋物線的方程，得，不妨設(shè)且，所以，由拋物線的定義知，由可知，，則，所以，，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，,所以，則.故答案為：.22．（2023上·廣東汕尾·高二統(tǒng)考期末）已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若，則.【答案】/【分析】設(shè)點(diǎn)、，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出、，利用拋物線的定義可求得的值，再利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)橹本€的傾斜角為，且點(diǎn)在第一象限，則，聯(lián)立可得，解得，，由拋物線的定義可得，可得，因此，.故答案為：.23．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，且交該拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸左側(cè)，則.【答案】/【分析】點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，求出，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用拋物線的定義得出，即可得出結(jié)論.【詳解】由題知，設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立可得，，，從而，.故答案為：24．（2023上·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期末）過點(diǎn)作直線與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線可以作出條.【答案】【分析】討論三種情況：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)符合題意；當(dāng)直線的斜率存在，當(dāng)時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線與拋物線相切符合題意．【詳解】解：（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，顯然與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，（2）①當(dāng)過點(diǎn)且直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，即斜率為時(shí)，顯然與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，②當(dāng)直線過點(diǎn)且斜率存在，且與拋物線相切時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入到拋物線方程，消得：，由已知有，則，解得，即直線方程為，綜上可得：過點(diǎn)的直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線l共有3條故答案為：325．（2023上·河南三門峽·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在的右下方，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線方程后，聯(lián)立拋物線方程，求出弦長，再由點(diǎn)到直線距離得出三角形高，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】由知，則直線為，

設(shè)，則D到直線的距離為，又點(diǎn)在的右下方，所以，聯(lián)立方程，消元得，設(shè)，則，，所以，所以故當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A26．（2023上·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長方形和拋物線構(gòu)成.為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行車道總寬度|AB|＝6m，那么車輛通過隧道的限制高度約為（

）

A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m【答案】B【分析】根據(jù)題意，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，得到拋物線方程，即可得到結(jié)果.【詳解】

取隧道截面，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線方程，將點(diǎn)C代入拋物線方程得，∴拋物線方程為，行車道總寬度，∴將代入拋物線方程，則，∴限度為.故選：B.27．（2023上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）過拋物線C：焦點(diǎn)F的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若E為線段AB的中點(diǎn)，M為拋物線C上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】利用中點(diǎn)關(guān)系求出E的軌跡方程，結(jié)合橢圓定義由數(shù)形結(jié)合可得最小值.【詳解】設(shè)，E為線段AB的中點(diǎn)，則，又，兩式相減得，由，∴，∴E的軌跡為頂點(diǎn)在的拋物線.如圖所示，、EP垂直C的準(zhǔn)線于N、P，則，則當(dāng)與F重合時(shí)，最小，為.故的最小值為3.故選：A.28．（2023上·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的方程得出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知斜率，設(shè)直線的方程為：，其中，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程即可根據(jù)韋達(dá)定理得出，，根據(jù)已知得出，即可根據(jù)向量運(yùn)算化簡代入得出，解得，即可得出答案.【詳解】由拋物線：可得其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知斜率，設(shè)直線的方程為：，其中，聯(lián)立，消去得，，設(shè)，，則，，，，而，，則，即，，，，解得，，故選：D.29．（2023上·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程，把漸近線表示出來，推出兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用為正三角形，列方程解系數(shù)既可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，不妨取，，為正三角形，由對(duì)稱性可知，直線的傾斜角為，則，解得，所以雙曲線的兩條漸近線方程為.故選：C30．（2023上·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，其焦點(diǎn)為是過點(diǎn)的一條弦，定點(diǎn)的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時(shí)，則弦的長是.【答案】【分析】如圖，