專題04 全等模型-半角模型（解析版）

專題04全等模型-半角模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就半角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。思想方法：通過旋轉（或截長補短）構造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉化。解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線段之間的數(shù)量關系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關系）利用旋轉——證全等——得到相關結論.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·福建·龍巖九年級期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，在正方形中，點，分別是，邊上的動點，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當把繞點順時針旋轉90°至，使與重合時能夠證明，請你給出證明過程．（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點，分別是，延長線上的動點，且，則（1）中的結論還成立嗎？若不成立，請寫出，，之間的數(shù)量關系______（不要求證明）②如圖3，如果點，分別是，延長線上的動點，且，則，，之間的數(shù)量關系是_____（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長為6，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）①不成立，結論：；②，見解析；（3）【分析】（1）證明，可得出，則結論得證；（2）①將繞點順時針旋轉至根據(jù)可證明，可得，則結論得證；②將繞點逆時針旋轉至，證明，可得出，則結論得證；（3）求出，設，則，，在中，得出關于的方程，解出則可得解．【詳解】（1）證明：把繞點順時針旋轉至，如圖1，，，，，，，三點共線，，，，，，，，；（2）①不成立，結論：；證明：如圖2，將繞點順時針旋轉至，，，，，，，，；②如圖3，將繞點逆時針旋轉至，，，，，，，，，．即．故答案為：．（3）解：由（1）可知，正方形的邊長為6，，．，，設，則，，在中，，，解得：．，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理的綜合應用，解題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應邊相等進行推導．例2．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC，△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的頂點P與△ABC的頂點A重合，PD，PE分別與BC相交于點F、G，若BF＝6，CG＝4，則FG＝_____．【答案】【分析】將△ABF繞A點逆時針旋轉，使AB與AC重合，即可構建出直角三角形CGH，由勾股定理可求出GH的長度，再證明△FAG≌△GAH即可．【詳解】解：將△ABF繞A點逆時針旋轉，使AB與AC重合，∵△ACH由△ABF旋轉得到，∴∠BAF=∠CAH，CH=BF=6，AF=AH，∠B=∠ACH∵△ABC，△DEP是兩個全等的等腰直角三角形∴∠B=45°，∠ACB=45°∴∠HCG=90°在Rt△HCG中，由勾股定理得：GH=，∵∠FAG=45°∴∠BAF+∠GAC=45°∴∠CAH+∠GAC=45°，即∠GAH=45°在△FAG和△GAH中，AF=AH，∠FAG=∠GAH，AG=AG∴△FAG≌△GAH∴FG=GH=故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形的旋轉，通過旋轉后構建出直角三角形和全等三角形是解題的關鍵，解題的關鍵是注意旋轉是一種全等的變化，旋轉前后對應邊和對應角相等．例3．（2022春·山東煙臺·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點，且∠EDF＝45°，則DE的長為_____．【答案】2【分析】延長BA到點G，使AG=CF，連接DG，EF，利用SAS證明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，設AE=x，則BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解決問題．【詳解】解：延長BA到點G，使AG＝CF，連接DG，EF，∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF，∵F是BC的中點，∴AG=CF=BF=3，設AE＝x，則BE＝6﹣x，EF＝x+3，由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2，∴DE＝，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關鍵．例4．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．(1)【問題背景】已知：如圖1，點E、F分別在正方形的邊上，，連接，則之間存在怎樣的數(shù)量關系呢？

（分析：我們把繞點A順時針旋轉至，點G、B、C在一條直線上．）于是易證得：和，所以．直接應用：正方形的邊長為6，，則的值為．(2)【變式練習】已知：如圖2，在中，，D、E是斜邊上兩點，且，請寫出之間的數(shù)量關系，并說明理由．

(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，當繞著點A逆時針一定角度后，點D落在線段BC上，點E落在線段BC的延長線上，如圖3，此時（2）的結論是否仍然成立，并證明你的結論．

【答案】(1)(2)，見解析(3)成立，見解析【分析】（1）根據(jù)分析過程及圖形分析即可；（2），把順時針旋轉到的位置此時與重合，連接，證，得，再證是直角三角形，然后由勾股定理即可解決問題；（3）根據(jù)第（2）問的輔助線畫出圖形即可證明．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，∴，把繞點A順時針旋轉至，則與重合，∴∴，∴點G、B、C在一條直線上∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；∵正方形的邊長為6，，∴，∴，，在中，，∴，解得，∴故答案為：；（2），理由如下：把順時針旋轉到的位置此時與重合，連接，

則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．（3）依然成立，理由如下：把順時針旋轉到的位置此時與重合，連接，

則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識；本題綜合性比較強，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵，屬于中考常考題型．模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。2）等邊三角形半角模型（60°-30°型）例1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點、，為外一點，且，，．當點、分別在直線、上移動時，探究、、之間的數(shù)量關系以及的周長與等邊的周長的關系．（1）如圖①，當點、在邊、上，且時，、、之間的數(shù)量關系式為______；此時的值是______．（2）如圖②，當點、在邊、上，且時，猜想（1）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．（3）如圖③，當點、分別在邊、的延長線上時，若，試用含、的代數(shù)式表示．【答案】（1），；（2）結論仍然成立，證明見解析；（3）．【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD＝BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關系BM+NC＝MN，此時；（2）在CN的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易證得∠CDN＝∠MDN＝60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質，即可得結論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1＝BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后證得∠CDN＝∠MDN＝60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC﹣BM＝MN；然后根據(jù)的周長，表示出AB的長，然后根據(jù)的周長，應用等量代換即可求解．【詳解】解：（1）如圖①，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系BM+NC＝MN．此時．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴；（2）猜想：結論仍然成立．證明：在NC的延長線上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周長為：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴；（3）證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N．∴NC﹣BM＝MN．∵等邊的周長為，∴，的周長．故答案為：．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理．例2．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點使．若，，，則以為邊長的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定【答案】C【分析】將△ABM繞點B順時針旋轉60°得到△CBH，連接HN，根據(jù)等邊三角形的性質及各角之間的等量關系可得：∠NBM=∠NBH，然后依據(jù)全等三角形的判定定理可得△NBM≌△NBH，由全等三角形的性質可將x、m、n放在△NCH中，即可確定三角形的形狀．【詳解】解：如圖所示：將△ABM繞點B順時針旋轉60°得到△CBH，連接HN，由旋轉性質可知，BM=BH，CH=AM，，，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH，在△NBM與△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x，∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°，∴以x，m，n為邊長的三角形△NCH是鈍角三角形．故選：C．【點睛】本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、旋轉變換等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，例3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，直線l上依次有，，，四點，且，以為邊作等邊，連接，；若，，則的長是．【答案】/【分析】設則把繞點順時針旋轉得到，根據(jù)旋轉的性質得，，，再證明得到，過點作于，如圖，由于，則，所以點與點重合，然后在中，利用含度的直角三角形三邊的關系以及勾股定理求得，從而得到的長．【詳解】解：設則為等邊三角形，，，，把繞點順時針旋轉得到，，，，，，在和中，，，，，，，過點作于，如圖，，點與點重合，即，在中，，即，．故答案為．【點睛】本題考查了旋轉的性質等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，正確的添加輔助線是解題的關鍵．例4．（2022·廣東·八年級專題練習）旋轉變換是解決數(shù)學問題中一種重要的思想方法，通過旋轉變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題．已知，中，，點D、E在邊BC上，且．(1)如圖a，當時，將繞點A順時針旋轉到的位置，連結．①；②求證：；(2)如圖b，當時，猜想的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)①；②見解析(2)，見解析【分析】（1）①先求出，再求出，即可求出答案；②用判斷出，即可得出結論；（2）將繞點A順時針旋轉到的位置，連結，得出，進而判斷出，得出，再判斷出，用勾股定理，即可得出結論．【詳解】（1）①解：由旋轉知，，∵，∴，∴，∴，故答案為：；②證明：由①知，，∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：如圖，將繞點A順時針旋轉到的位置，連結，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，根據(jù)勾股定理得，，∴，同（1）②的方法得，，∴．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，判斷出是解本題的關鍵．模型3.半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1.（2023.上海七年級期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結AC，若，求度數(shù).【答案】（1）見解析；（2）20°【詳解】（1）旋轉△BCF使BC與CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD為等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋轉可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′為平角，∴A，D，F(xiàn)′共線，∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD，∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；（2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．例2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系：___________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析，【分析】（1）延長到，使，連接．證明，則，，，證明，得出，由此可得，；（2）思路和作輔助線的方法同（1）；（3）根據(jù)（1）的證法，可得出，，那么．【詳解】解：（1）延長至，使，連接，∵，，，∴，∴，，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，且∴，故答案為：．（）解：（）中的結論仍成立，證明：如圖所示，延長至，使，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，即．（），證明：如圖所示，在上截取使，連接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，在和中，

，∴，∴，∵，且，∴．【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質，通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉換是解題關鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構建與已知和所求條件相關聯(lián)的全等三角形．例3．（2022秋·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）結論不成立，應當是理由見解析【分析】（1）延長到點，使，連接，由全等三角形的判定和性質得出，，，繼續(xù)利用全等三角形的判定得出，結合圖形及題意即可證明；（2）在上截取，使，連接，結合圖形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性質即可證明．【詳解】（1）證明：如圖①，延長到點，使，連接.又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：結論不成立，應當是，理由：如圖②，在上截取，使，連接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質，理解題意，作出相應輔助線是解題關鍵．例4．（2023.山東八年級期中）綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關系為．【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見解析；（3）MN=CN-AM，理由見解析【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點B順時針旋轉使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC

，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點M'、C、N三點共線，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（2）MN=AM+CN；理由如下：如圖，把△ABM繞點B順時針旋轉使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點M'、C、N三點共線，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC=∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M'N=M'C+CN，∴MN=M'C+CN=AM+CN；（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取CM'=AM，連接BM'，∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBM'，∴AM=CM'，BM=BM'，∠ABM=∠CBM'，∴∠MAM'=∠ABC，∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MAM'=∠M'BN，∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN=M'N，∵M'N=CN-CM'，

∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM．課后專項訓練1．（2022·成都市·八年級期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E在BD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點F，交AC于點G，連接CF交BD于點H，延長CE交AD于點M，連接FM，則下列結論：①點E到AB，BC的距離相等；②∠FCE=45°；③∠DMC=∠FMC；④若DM=2，則BF=．正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】過E點作、，由正方形對角線平分每一組對角以及角平分線性質可得點E到AB，BC的距離相等，故①正確；再證明（AAS）可得是等腰直角三角形，得，故②正確；然后延長MD至P，使，（SAS）再證明（SAS）即可得，故③正確；由全等三角形性質和勾股定理列方程可求．【詳解】解：如圖1，過E點作、，∴，∵在正方形ABCD中，，，∴，即點E到AB，BC的距離相等，故①正確；；∴，由∵，∴，∴，∴（AAS）∴，∴，故②正確；如圖2，延長MD至P，使，連接，易證（SAS）∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，，故③正確，在邊長為4的正方形ABCD中，，若，則，設，則，，在中，∴，解得：，故；④錯誤，綜上所述，正確的①②③，故選C．【點睛】本題主要考查了正方形和三角形綜合知識，解題關鍵是構造全都三角形轉換邊角關系．2．（2022春·廣東河源·八年級?？茧A段練習）如圖，在邊長為6的正方形內作，交于點，交于點，連接，將繞點順時針旋轉90°得到，若，則的長為______．【答案】5【分析】由題意易得，則有，然后可證，則有，設，則有，進而根據(jù)勾股定理可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為6，∴，∵繞點順時針旋轉90°得到，∴，∴點G、B、E三點共線，∵，∴，∵AE=AE，∴，∴，設，則有，∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得，即，解得：，∴；故答案為5．【點睛】本題主要考查正方形的性質、旋轉的性質及勾股定理，熟練掌握正方形的性質、旋轉的性質及勾股定理是解題的關鍵．3．（2023春·江蘇·八年級期中）請閱讀下列材料：已知：如圖（1）在中，，點D、E分別為線段上兩動點，若．探究線段三條線段之間的數(shù)量關系．小明的思路是：把繞點A順時針旋轉，得到，連接，使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：(1)猜想三條線段之間存在的數(shù)量關系式，直接寫出你的猜想；(2)當動點E在線段上，動點D運動在線段延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明；(3)已知：如圖（3），等邊三角形中，點D、E在邊上，且，請你找出一個條件，使線段能構成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù)．【答案】(1)(2)不變，見解析(3)，【分析】（1）將繞A順時針旋轉后成，根據(jù)題意證明，故，因為中，，所以，從而可得，在中，由勾股定理得線段之間的等量關系式；（2）解法一：將沿直線對折，得，連接，根據(jù)全等三角形的性質得到，，然后進一步證明，然后根據(jù)全等三角形的性質求解即可；解法二：將繞點A順時針旋轉得到．連接，根據(jù)題意證明，進而求解即可；（3）與（2）類似，以為一邊，作，在上截取，證明出，然后根據(jù)等腰三角形的概念求解即可．【詳解】（1），證明如下：將繞A順時針旋轉后成，連接，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，∴；故答案為：；（2）關系式仍然成立．證明：將沿直線對折，得，連接∴，∴，，又∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴∴，∴在中，，即；解法二：將繞點A順時針旋轉得到．連接．∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴；（3）當時，線段能構成一個等腰三角形．如圖，與（2）類似，以為一邊，作，在上截取，可得．∴．∴．若使為等腰三角形，只需，即，∴當時，線段能構成一個等腰三角形，且頂角為．【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，解題的關鍵是通過旋轉變換構造全等三角形．4．（2022·江蘇南京·九年級專題練習）（1）閱讀理解：如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點，∠EAF＝45°，則我們常會想到：把△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．易證△AEF≌_______，得出線段BF，DE，EF之間的數(shù)量關系為____________；（2）類比探究：如圖2，在等邊△ABC中，D，E為BC邊上的點，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求線段DE的長；（3）拓展應用：如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，點D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，請直接寫出BD：CE的值．【答案】（1）；；（2）；（3）或【分析】（1）由旋轉的性質可得，，，進而得到，由全等三角形的性質可得，即可解答；（2）將繞點順時針旋轉，得到，連接，過點作，交的延長線于點，進而證≌，得到，即可求出和，再根據(jù)勾股定理即可解答；（3）用的方法，分類討論是等腰的腰長，求出：的值即可．【詳解】解：（1）把繞點順時針旋轉得到，可知：，，，，，在和中，≌，，，，故答案為；．（2）如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉60°，得到△ABF，連接DF，過點F作FG⊥BC，交CB的延長線于點G，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，AB=AC，∵∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°，∴∠DAF＝30°，又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∵∠ABF＝∠ABC＝∠C＝60°，∠FBG＝60°，∵BF=CE=4，∠G＝90°，∴BG＝BF=2，F(xiàn)G＝=，∴DG＝5，∴在Rt△DFG中，DF=，∴線段DF的長為．（3）如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉150°，得到△ABG，連接DG，過點D作DH⊥BG，交BG的于點H，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，∠ADE為頂角，則∠ADE=30°，∵AB=AC，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=（180°-150°）=15°，∴由旋轉性質得△ABG≌△ACE，∴BG=CE，AG=AE，∠ABG=∠C=15°，∴∠DBG=30°，∵將△ACE繞點A順時針旋轉150°，得到△ABG，∴∠EAG=150°，∵∠DAE＝75°，∴∠GAD=75°，∴∠ADE=30°，在△ADE和△ADG中，，∴△ADE≌△ADG，∴∠GDA=∠ADE=30°，∴∠GDE=60°，∵∠GDE=∠GBD+∠BGD，∴∠BGD=60°-30°=30°，∴BD=DG，∴BH=GH=BG=CE，在Rt△BHD中，設HD=x，∵∠DBG=30°，∴BD=2x，由勾股定理得：BH=，∴BG=2，∴CE=2，∴BD：CE=：3；如圖將△ACE繞點A順時針旋轉150°，得到△ABM，連接DM，過點M作MN⊥BD，交BD于點N，∵∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰長，∠E為頂角，∴∠E=30°，∵AB=AC，∠BAC＝150°，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠CAE=15°，∴AE=CE=DE，∴∠BAD=150°-75°-15°=60°，由旋轉性質可知△ABM≌△ACE，∴∠BAM=∠CAE=15°，∠ABM=∠ACE=15°，AM=AE，BM=CE，∴∠MAD=15°+60°=75°=∠DAE，在△MAD和△EAD中，，∴△MAD≌△EAD，∴DM=DE=CE=BM，∵MN⊥BD，∴BN=DN=BD，∵∠MBD=∠ABM＋∠ABC=15°+15°=30°，∴在Rt△BNM中，設MN=a，∴BM=2a，∴CE=2a，由勾股定理得：BN=，∴BD=2a，∴BD：CE=2a：2a=：1=．【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．5．（2022秋·重慶綦江·八年級?？茧A段練習）（1）如圖1，在四邊形中，，分別是邊上的點，且．求證：；（2）如圖2，在四邊形中，，分別是邊上的點，且；求證：，（3）如圖3，在四邊形中，，分別是邊延長線上的點，且，寫出之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）；理由見解析【分析】（1）延長到G，使，連接．證明，可得，進而可得結論；（2）延長至M，使，連接．證明．可得．然后根據(jù)，證明．可得．進而可以得到結論；（3）在上截取，使，連接．證明．可得．然后可得出，那么．【詳解】（1）證明：如圖1中，延長到G，使，連接．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）證明：如圖2，延長至M，使，連接．∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，在與中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：．證明：如圖3，在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴，∴，∴．∵，∴．∴，∵，∴．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉變換的思想添加輔助線，構造全等三角形解決問題，解題時注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似的，屬于中考壓軸題．6．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析，【分析】（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．證明△AGE和△AEF全等，則EF=GE，則EF=BE+DF，證明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．從而得出EF=GE；（2）思路和作輔助線的方法同（1）；（3）根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【詳解】（1）延長至，使，連接，∵，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，∵，∴≌，∴，∵，∴．故答案為：（）（）中的結論仍成立，證明：延長至，使，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，,∵，∴，∴即，在和中，，∴≌，∴，即．（），證明：在上截取使，連接，∵，，∴，∵在和中，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質，通過全等三角形來實現(xiàn)線段的轉換是解題關鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構建與已知和所求條件相關聯(lián)的全等三角形.7．（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點，分別在，上，若，則．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長比路線的長少_________（結果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】370【分析】延長交于點，根據(jù)已知條件求得,進而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，求得，，從而求得的長，根據(jù)材料可得，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點，連接，，，，，，是等邊三角形，,,在中，，，，，，中，，，，，，中，是等腰直角三角形由閱讀材料可得，路線的長比路線的長少．答案：370．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，理解題意是解題的關鍵．8．（2022·山東青島九年級期中）【模型引入】當幾何圖形中，兩個共頂點的角所在角度是公共大角一半的關系，我們稱之為“半角模型”【模型探究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°，探究圖中線段EF，AE，F(xiàn)C之間的數(shù)量關系．【模型應用】（2）如圖2，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的長．【拓展提高】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補，點E、F分別在射線CB、DC上，且∠EAF∠BAD．當BC＝4，DC＝7，CF＝1時，CEF的周長等于．（4）如圖4，正方形ABCD中，AMN的頂點M、N分別在BC、CD邊上，AH⊥MN，且AH＝AB，連接BD分別交AM、AN于點E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求EF的長．（5）如圖5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，點E、F分別是邊BC，CD上的動點（不與端點重合），且∠EAF=60°．連接BD分別與邊AE、AF交于M、N，當∠DAF＝15°時，求證：MN2+DN2=BM2．【答案】（1）EF=FC+AE，理由見解析；（2）BE=5；（3）13；（4）EF=；（5）見解析【分析】（1）求證△DEF≌△DMF，即可推出EF與FM的數(shù)量關系；（2）在DC上取一點G，使得DG=BE，證明△ABE≌△ADG（SAS），推出AE=AG，∠BAE=∠DAG，證明△AFE≌△AFG（SAS），推出EF=FG，設BE=x，則CG=13-x，EF=FG=18-x，在Rt△ECF中，根據(jù)EF2=EC2+CF2，構建方程求出x即可解決問題；（3）證明△ADM≌△ABE（SAS）和△EAF≌△MAF，即可求解；（4）先求出BM，DN，進而求出正方形的邊長，再判斷出∠EAF=45°，借助探究的結論即可得出結論．（5）將△ADF繞A順時針旋轉120°，AD與AB重合，F(xiàn)轉到G，在AG上取AH=AN，連接BH、MH，利用△ABH≌△ADN和△AMH≌△AMN，證明MN=MH，DN=BH，再證明△BMH為直角三角形即可．【詳解】（1）EF=FC+AE，理由如下：證明：將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM，∴△DAE≌△DCM，∴DE=DM，AE=CM，∠ADE=∠CDM，B、C、M三點共線，∵∠EDF=45°，∴∠ADE+∠FDC=∠CDM+∠FDC=∠MDF=45°，在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=FM∴EF=FM=FC+CM=FC+AE；（2）解：如圖，在DC上取一點G，使得DG=BE，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠ABC+∠D=180°，∠ABE+∠ABC=180°，∴∠ABE=∠D，∵AB=AD，BE=DG，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=45°，∴∠EAB+∠BAF=∠DAG+∠BAF=45°，∵∠BAD=90°，∴∠FAG=∠FAE=45°，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，設BE=x，則EC=EB+BC=x+7，EF=FG=18-x，在Rt△ECF中，∵EF2=EC2+CF2，∴52+（7+x）2=（18-x）2，∴x=5，∴BE=5；（3）解：在DF上截取DM=BE，∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABE，∵AD=AB，∴△ADM≌△ABE（SAS），∴AM=AE，∠DAM=∠BAE；∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，∴∠MAF=∠BAD，∴∠EAF=∠MAF；∵AF是△EAF與△MAF的公共邊，∴△EAF≌△MAF，∴EF=MF；∵MF=DF-DM=DF-BE，∴EF=DF-BE．∴△CEF的周長=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=13，故答案為：13；（4）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∵AH⊥MN，∴∠AHM=∠ABC=90°，在Rt△AMB和Rt△AMH中，，∴Rt△AMB≌Rt△AMH，∴∠MAB=∠MAH，BM=MH=2，同理可證Rt△AND≌Rt△ANH，∴∠NAD=∠NAH，DN=NH=3，∴2∠MAH+2∠NAH=90°，∴∠MAH+∠NAH=45°，∴∠MAN=45°．設正方形的邊長為a，∴CM=a-2，CN=a-3，根據(jù)勾股定理得，（a-2）2+（a-3）2=25，∴a=-1（舍）或a=6，∴BC=6，∴BD=6，逆時針旋轉△ABE至△ADG，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠ABE=∠ADG=45°，∴∠GDF=∠ADG+∠ADB=90°，連接GF，根據(jù)勾股定理得，GF2=DG2+DF2=BE2+DF2，∵△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF，∴GF=EF，∴EF2=BE2+AD2；設EF=x，∵BD=6，DF=2．∴BE=6-2-x=4-x，∴（4-x）2+（2）2=x2，解得x=，∴EF=；（3）將△ADF繞A順時針旋轉120°，此時AD與AB重合，F(xiàn)轉到G，在AG上取AH=AN，連接BH、MH，如圖：∵△ADF繞A順時針旋轉得△ABG，∴∠BAG=∠DAF，又AH=AN，AB=AD，∴△ABH≌△ADN（SAS），∴DN=BH，∠ABH=∠ADN，∵∠B=60°，且∠EAF=60°．∴∠BAD=120°，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF=60°，∴∠BAG+∠BAE=∠EAF，即∠MAH=∠MAN，而AH=AN，AM=AM，∴△AMH≌△AMN（SAS），∴MN=MH，∠AMN=∠AMH，∵菱形ABCD，∠B=60°，∴∠ABD=∠ADB=30°，∴∠HBD=∠ABH+∠ABD=60°，∵∠DAF=15°，∠EAF=60°，∴△ADM中，∠DAM=∠AMD=75°，∴∠AMN=∠AMH=75°，∴∠HMB=180°-∠AMN-∠AMH=30°，∴∠BHM=90°，∴BH2+MH2=BM2，∴DN2+MN2=BM2．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉的性質、正方形的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題關鍵是學會用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用探究的結論解決新的問題，屬于中考壓軸題．9．（2022·江西九江·一模）如圖（1），在四邊形ABCD中，，，以點A為頂點作，且，連接EF．(1)觀察猜想

如圖（2），當時，①四邊形ABCD是______（填特殊四邊形的名稱）；②BE，DF，EF之間的數(shù)量關系為______．(2)類比探究

如圖（1），線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．(3)解決問題

如圖（3），在中，，，點D，E均在邊BC上，且，若，求DE的長．【答案】(1)①正方形；②BE+DF=EF(2)詳見解析(3)詳見解析【分析】（1）①根據(jù)正方形的判定定理即可得出；②延長CD至點G，使得DG=BE，證得，得出，由，證得，從而得出BE，DF，EF之間的數(shù)量關系；（2）同（1）②即可得出BE，DF，EF之間的數(shù)量關系；（3）作,且，證得，同（1）②證得，在中，由勾股定理可解得DE的長．（1）解：①∵，∴四邊形ABCD是矩形，又∵，∴矩形ABCD是正方形．②如下圖，延長CD至點G，使得DG=BE，∵，，∴，∴，∴，，，∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，即∴．（2）如下圖，延長CD至點H，使得DH=BE，∵，∴，同（1）②的證明方法得，同理證，從而得．（3）如圖過點C作,且，在中，由，，∴，∴，∴，同（1）②的證明方法得，∴，∵，，，，設，則，在中，由勾股定理得，，，解得，即．【點睛】本題考查了特殊的平行四邊形的判定、全等三角形的性質和判定及勾股定理的應用，熟練應用相關定理和性質是解決本題的關鍵．10．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）小明遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉90o，得到△ACF，聯(lián)結EF（如圖2），由圖形旋轉的性質和等腰直角三角形的性質以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是，DE的長為．參考小明思考問題的方法，解決問題：(2)如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系并說明理由．【答案】(1)90°，；(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質，可得，勾股定理解△FCE，可求得FE（即DE）的長；（2）將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉，使AB與AD重合，得到△ADG，證明點F，D，G在同一條直線上，進而證明△AEF≌△AGF，EF＝FG，由FG＝DG＋FD＝BE＋DF，即可證明EF＝BE＋FD．(1)解：∵將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉90o，得到△ACF，∴在中，BD＝3，CE＝1，故答案為：90°；(2)猜想：EF=BE＋FD；理由如下：如圖，將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉，使AB與AD重合，得到△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即點F，D，G在同一條直線上．∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，即∠GAF＝∠EAF．在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF，∴EF＝BE＋FD【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，三角形全等的性質與判定，掌握性質的性質是解題的關鍵．11．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）（1）如圖1，在正方形中，，分別為，邊上的點，且滿足，連接，則，，之間的數(shù)量關系為________．（2）如圖2，將沿斜邊翻折得到，，分別為，邊上的點，且，試猜想，，之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．（3）將兩個全等的等腰直角和按如圖3所示擺放在一起，為公共頂點，，，與邊的交點分別為，，求證：．

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）證明見解析【分析】(1)將繞點順時針旋轉到的位置，證出，進而證出，得出結論；(2)將繞點順時針旋轉到的位置，證出，進而證出，得出結論；(3)將繞點順時針旋轉至的位置，證出，由勾股定理得出結論．【詳解】解：（1）．理由如下：如圖，將繞點順時針旋轉到的位置，

由旋轉可得，．，．在和中，，∴，∴．∵，∴．（2），理由如下：如圖，將繞點順時針旋轉到的位置，

由旋轉可得，，．∵，∴，，三點共線．∵，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．（3）證明：如圖，將繞點順時針旋轉至的位置，

則，，，旋轉角．連接，在和中，∵，，．∴，∴．∵，∴，∴．【點睛】本題考查旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理．其中準確作出輔助圖形是解題關鍵．12．（2022秋·全國·八年級專題練習）小明遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長．小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉90o，得到△ACF，聯(lián)結EF（如圖2），由圖形旋轉的性質和等腰直角三角形的性質以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長．(1)請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是，DE的長為．參考小明思考問題的方法，解決問題：(2)如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系并說明理由．【答案】(1)90°，；(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質，可得，勾股定理解△FCE，可求得FE（即DE）的長；（2）將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉，使AB與AD重合，得到△ADG，證明點F，D，G在同一條直線上，進而證明△AEF≌△AGF，EF＝FG，由FG＝DG＋FD＝BE＋DF，即可證明EF＝BE＋FD．【詳解】（1）解：∵將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉90o，得到△ACF，∴在中，BD＝3，CE＝1，故答案為：90°；（2）猜想：EF=BE＋FD；理由如下：如圖，將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉，使AB與AD重合，得到△ADG，∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即點F，D，G在同一條直線上．∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，即∠GAF＝∠EAF．在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF，∴EF＝BE＋FD【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，三角形全等的性質與判定，掌握性質的性質是解題的關鍵．13．（20