專題04二次函數(shù)y=ax^2＋bx＋c(a≠0)的圖象與性質(zhì)（3個知識點9種題型2個易錯點）（解析版）

專題04二次函數(shù)y=ax^2＋bx＋c(a≠0)的圖象與性質(zhì)（3個知識點9種題型2個易錯點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：二次函數(shù)的圖像知識點2：二次函數(shù)的圖像知識點3：二次函數(shù)的圖像【方法二】實例探索法題型1：二次函數(shù)平移題型2：二次函數(shù)開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸題型3：利用各項系數(shù)符號判斷二次函數(shù)圖象題型4：二次函數(shù)增減性問題題型5：二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題型6：二次函數(shù)對稱性及其應(yīng)用題型7：求二次函數(shù)解析式題型8：與二次函數(shù)有關(guān)動態(tài)問題題型9：利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決實際問題【方法三】差異對比法易錯點1利用二次函數(shù)的頂點式確定拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸時，易弄混符號易錯點2將拋物線的左右平移規(guī)律與上下平移規(guī)律混淆【方法四】成果評定法【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：二次函數(shù)的圖像一般地，二次函數(shù)的圖像是拋物線，稱為拋物線，它可以通過將拋物線向左（時）或向右（時）平移個單位得到．拋物線（其中a、m是常數(shù)，且）的對稱軸是過點（-m，0）且平行（或重合）于y軸的直線，即直線x=-m；頂點坐標(biāo)是（-m，0）．當(dāng)時，開口向上，頂點是拋物線的最低點；當(dāng)時，開口向下，頂點是拋物線的最高點．知識點2：二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)（其中a、m、k是常數(shù)，且）的圖像即拋物線，可以通過將拋物線進(jìn)行兩次平移得到．這兩次平移可以是：先向左（時）或向右（時）平移個單位，再向上（時）或向下（時）平移個單位．利用圖形平移的性質(zhì)，可知：拋物線（其中a、m、k是常數(shù)，且）的對稱軸是經(jīng)過點（，0）且平行于y軸的直線，即直線x=；拋物線的頂點坐標(biāo)是（，k）．拋物線的開口方向由a所取值的符號決定，當(dāng)時，開口向上，頂點是拋物線的最低點；當(dāng)時，開口向下，頂點是拋物線的最高點．知識點3：二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像稱為拋物線，這個函數(shù)的解析式就是這條拋物線的表達(dá)式．任意一個二次函數(shù)（其中a、b、c是常數(shù)，且）都可以運用配方法，把它的解析式化為的形式．對配方得：．由此可知：拋物線（其中a、b、c是常數(shù)，且）的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是（，）．當(dāng)時，拋物線開口向上，頂點是拋物線的最低點，拋物線在對稱軸（即直線）左側(cè)的部分是下降的，在對稱軸右側(cè)的部分是上升的；當(dāng)時，拋物線開口向下，頂點是拋物線的最高點，拋物線在對稱軸（即直線）左側(cè)的部分是上升的，在對稱軸右側(cè)的部分是下降的．【方法二】實例探索法題型1：二次函數(shù)平移例1.在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)、和的圖像．【答案】如圖：yyOx【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像及平移．【變式1】把拋物線向左平移2個單位得到拋物線____________；若將它向下平移2個單位，得到拋物線____________．【答案】；．【解析】二次函數(shù)的圖像可以通過將拋物線向左（時）或向 右（時）平移個單位得到．平移口訣，“左加右減，上加下減”．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的平移，做題關(guān)鍵掌握平移口訣，“左加右減，上加下減”．【變式2】將拋物線（）向下平移3個單位，再向左平移4個單位 得到拋物線，則原拋物線的頂點坐標(biāo)是____________．【答案】．【解析】將拋物線向上平移3個單位，再向右平移4個 單位得到原拋物線，所以原拋物線頂點坐標(biāo)為．【總結(jié)】本題考查了拋物線的平移，對于一般式我們一般先化為頂點式，然后再寫平移之后的解析式．題型二：二次函數(shù)開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸及函數(shù)的最值例2.將函數(shù)、與函數(shù)的圖像進(jìn)行比較，函數(shù)、的圖像有哪些特征？完成下表．拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)【答案】拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)向下直線向下直線向下直線【解析】拋物線（其中、是常數(shù)，且）的對稱軸是直線；頂點坐標(biāo)是．拋物線的開口方向由所取值的符號決定，當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)．【變式1】說出下列函數(shù)的圖像如何由拋物線平移得到，再分別指出圖像的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．（1）； （2）．【答案】（1）向左平移兩個單位；開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)；（2）向右平移四個單位；開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)．【解析】二次函數(shù)的圖像可以通過將拋物線向左（時）或向右（時）平移個單位得到．平移口訣，“左加右減，上加下減”；拋物線（其中、是常數(shù)，且）的對稱軸是直線；頂點坐標(biāo)是．拋物線的開口方向由所取值的符號決定，當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及平移．【變式2】說出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，并指出它是由拋物線通過怎樣的平移得到的．【答案】拋物線的開口向上、對稱軸為直線、頂點坐標(biāo)為， 由拋物線先向左平移一個單位，再向下平移3個單位得到．【解析】拋物線（）的對稱軸是直線；拋物線的頂點坐標(biāo)是 ．拋物線的開口方向由所取值的符號決定，當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時， 開口向下．二次函數(shù)（）的圖像可以通過將拋物線進(jìn)行 兩次平移得到．這兩次平移可以是：先向左（時）或向右（時）平移個 單位，再向上（時）或向下（時）平移個單位．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及拋物線的平移，熟記拋物線的性質(zhì)及掌握平移口 訣“上加下減，左加右減”是做題的關(guān)鍵．【變式3】二次函數(shù)的對稱軸為__________，頂點坐標(biāo)為__________； 二次函數(shù)的對稱軸為__________，頂點坐標(biāo)為__________．【答案】直線，頂點；直線，頂點．【解析】拋物線（）的對稱軸是直線， 頂點坐標(biāo)是（，），把、、分別代入可得對稱軸和頂點坐標(biāo)．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記拋物線（）的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是（，）做題的關(guān)鍵．【變式4】頂點坐標(biāo)為（-5，0）且開口方向、形狀與函數(shù)相同的拋物線是____________．【答案】．【解析】設(shè)拋物線解析式為，∵該拋物線與的開口方向、形狀相同，∴．【總結(jié)】本題考查拋物線的圖像與性質(zhì)，兩個拋物線的形狀相同，說明相同．例3.已知函數(shù)，當(dāng)x=______時，函數(shù)取得最______值，為______；已知函數(shù)，當(dāng)x=______時，函數(shù)取得最______值，為______．【答案】，小，0；，大，0．【解析】二次函數(shù)（）的對稱軸是直線，頂點為； 當(dāng)時，開口向上，函數(shù)有最小值，為0；當(dāng)時，開口向下，函數(shù)有 最大值，為0．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式】一個運動員打高爾夫球，若球的飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的函數(shù) 表達(dá)式為，則高爾夫球在飛行過程中的最大高度為（） A．10米 B．20米 C．30米 D．60米【難度】★【答案】A．【解析】拋物線（）的開口方向由所取值的符號決定， 當(dāng)時，開口向上，頂點是拋物線的最低點； 當(dāng)時，開口向下，頂點是拋物線的最高點． ∴拋物線頂點坐標(biāo)為，∴最大高度為10米．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的簡單應(yīng)用．【變式2】對于二次函數(shù)：（1）求出圖像的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)，這個函數(shù)有最大值還是最小值？這個值是多少？（2）求出此拋物線與x、y軸的交點坐標(biāo)；（3）當(dāng)x取何值時，y隨著x的增大而減?。敬鸢浮浚?）開口向下、對稱軸為直線、頂點坐標(biāo)為，函數(shù)有最大值，最大值為；（2）、；（3）．【解析】（1），∴函數(shù)圖像開口向下、對稱軸為直線、頂點坐標(biāo)為，函數(shù)有最大值，最大值為；（2）把代入解析式得，∴與軸交于；把代入解析式得，∴與軸交于；（3）∵圖像開口向下，∴在對稱軸的右側(cè)隨著的增大而減小，即時，隨著的增大而減?。究偨Y(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．題型3：利用各項系數(shù)符號判斷二次函數(shù)圖象例4.已知二次函數(shù)，若，，，那么它的圖像大致是 （）AA．B．C．D．xyxyxyxy【答案】A．【解析】∵，∴圖像開口向下，又∵，∴對稱軸為直線，在軸左側(cè)，∵，∴拋物線與軸交于正半軸．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，當(dāng)、同號時，對稱軸在軸左側(cè)，當(dāng)、異號時，對稱軸在軸右側(cè)，即“左同右異”，熟記系數(shù)與圖像之間 的關(guān)系 是做題的關(guān)鍵．【變式】二次函數(shù)中，，，，則其圖像的頂點在第____ 象限．【答案】四．【解析】∵，，∴圖像開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，又∵，∴頂點在第四象限．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像．題型4：二次函數(shù)增減性問題例5.已知拋物線，當(dāng)x>1時，y隨著x的增大而______；當(dāng)x<1時，y隨著x的增大而______．【答案】減?。辉龃螅窘馕觥俊邟佄锞€開口向下，在對稱軸的右側(cè)二次函數(shù)的y值隨x的增大而減小，在對稱軸 的左側(cè)二次函數(shù)的y值隨x的增大而增大，即當(dāng)時，二次函數(shù)的值隨的增大而減小，當(dāng)時，二次函數(shù)的值隨的增大而增大．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式】請選擇一組a、b、c的值，使二次函數(shù)（）的圖像同時滿 足下列條件：當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減?。@ 樣的二次函數(shù)的解析式可以是___________________．【答案】，答案不唯一，符合題意即可．【解析】由題意得拋物線開口向下，對稱軸為直線．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．題型5：二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合例6.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)，它們在同一直角坐標(biāo)系中的圖像大致是（）xxyOxyOxyOxyOA．B．C．D．【答案】A．【解析】A：由拋物線可知，，由直線知，，∴A正確；B：由拋物線可知，，由直線知，，∴B錯誤；C：由拋物線可知，，由直線知，，∴C錯誤；D：由拋物線可知，，由直線知，，∴D錯誤；【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)和一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是做題的關(guān)鍵，用假設(shè)法來解決這種數(shù)形結(jié)合是一種很好的方法．【變式1】已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)的大致圖像 可能是（）OOA．B．C．D．xyxyxyxyxyOOOO【答案】A．【解析】由二次函數(shù)的圖像可知，，∴一次函數(shù)過第一、二、三象限，選A．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像．【變式2】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和（m是常數(shù)，且） 的圖像可能是（）AA．B．C．D．xyxyxyxy【答案】D．【解析】當(dāng)時，拋物線開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸在軸左側(cè)，一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，用假設(shè)法來解決這種數(shù)形結(jié)合是一種很好的方法．【變式3】已知拋物線的頂點為C，直線y=2x+4與拋物線交于A、B兩點．試求．【答案】．【解析】聯(lián)立解析式得，解得：，，∴、．法一：如圖，過點作∥軸交于點，由題意得．BABACOxyBACOxyD易得直線解析式為，∴．∴．法二：過作軸于點，則．【總結(jié)】本題考察了直線與拋物線的交點坐標(biāo)求法，坐標(biāo)系中求三角形面積常采用的方法為割補法．題型6：二次函數(shù)對稱性及其應(yīng)用例7.若拋物線的對稱軸為直線x=-1，且它與拋物線的形狀相同，開口方向相反，則點（a，m）關(guān)于原點的對稱點為______．【答案】．【解析】∵拋物線的對稱軸為直線，∴， ∵拋物線與拋物線的形狀相同，開口方向相反，∴．∴關(guān)于原點的對稱點為．【總結(jié)】本題考查拋物線的圖像與性質(zhì)及關(guān)于原點對稱的兩個點的坐標(biāo)特征．【變式1】已知二次函數(shù)的圖像上有A（，y1）、B（2，y2）、C（， y3）三個點，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為（） A． B． C． D．【答案】D．【解析】二次函數(shù)的對稱軸為直線，∵，∴到直線的距離越小的點就越小，∴．【總結(jié)】本題主要考查學(xué)生對二次函數(shù)圖像的理解，做題的關(guān)鍵是掌握拋物線的對稱性．【變式2】已知拋物線的對稱軸為，且過點（0，4），求m、n的 值．【答案】，．【解析】由題意得，解得，把（0，4）代入得．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式及拋物線上點的坐標(biāo)特征．例8.已知拋物線經(jīng)過點P（，）．（1）求b+c的值；（2）若b=3，求這條拋物線的頂點坐標(biāo)；（3）若，過點P作直線PAy軸，交y軸與點A，交拋物線于另一點B，且BP=2PA，求這條拋物線所對應(yīng)的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）把代入得，整理得；（2）若，由（1）可知，∴拋物線解析式為，頂點坐標(biāo)為．（3）∵，∴拋物線對稱軸直線，∴對稱軸在點左側(cè)，∴，∵，∴，可得，由拋物線的對稱性可知拋物線對稱軸為直線，∴，解得，由（1）可知，∴拋物線的解析式為．【總結(jié)】本題考查了拋物線上點的坐標(biāo)特征、也考查了拋物線的對稱軸及對稱性，解決此類問題的關(guān)鍵是先根據(jù)題意畫出草圖，找出其中各個量之間的關(guān)系．題型7：求二次函數(shù)解析式例9.已知二次函數(shù)圖像的頂點在x軸上，且圖像經(jīng)過點（2，2）與（-1，8），求此函數(shù)解析式．【答案】或．【解析】∵二次函數(shù)圖像的頂點在軸上，∴設(shè)拋物線解析式為，把（2，2）與（-1，8）代入得，解得，，∴拋物線解析式為或．【總結(jié)】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)頂點在軸上時，可設(shè)拋物線解析式為．【變式】已知一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像都過點A（1，）， 二次函數(shù)的對稱軸是直線x=，請求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式．【答案】一次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)的解析式為．【解析】把代入得，∴一次函數(shù)解析式為； 由題意得，解得， ∴二次函數(shù)的解析式為．【總結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式．題型8：與二次函數(shù)有關(guān)動態(tài)問題例10.已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，且過點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點在這個函數(shù)圖像上嗎？（3）如何通過左右平移函數(shù)圖像，使它經(jīng)過點B？【答案】（1）；（2）不在；（3）向右平移1個單位．【解析】（1）把、代入得，，∴解析式為．（2）把代入得，∴點不在函數(shù)圖像上．（3）把代入平移后的解析式為，得， ∴平移后的解析式為，∴函數(shù)向右平移1個單位，能使它經(jīng)過點．【總結(jié)】本題考察待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，會判斷點與函數(shù)的位置關(guān)系，注意平移的口訣“左加右減，上加下減”．【變式】將拋物線沿y軸向下平移后，所得拋物線與x軸交于點A、B， 頂點為C．如果是等腰直角三角形，求頂點C的坐標(biāo)．【答案】．【解析】設(shè)拋物線向下平移個單位，平移后的拋物線為， 則，，， 設(shè)對稱軸與軸交于點，可得，， ∵拋物線頂點為，由拋物線對稱性可知，∴， ∴，即，解得，（舍）， ∴頂點的坐標(biāo)為．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與幾何變換、等腰直角三角形的性質(zhì)及拋物線與坐標(biāo)軸的交點問題，根據(jù)題意畫出圖形、作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．題型9：利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決實際問題例11.為了參加科技節(jié)展覽，同學(xué)們制作了一個截面為拋物線形的隧道模型，用了三種正方形鋼筋支架．在如圖所示的設(shè)計圖中，如果在直角坐標(biāo)系中，拋物線的函數(shù)解析式為，正方形ABCD的邊長和正方形EFGH的邊長之比為5:1，求：（1）拋物線解析式中常數(shù)c的值；（2）正方形MNPQ的邊長．AABCDOEFPNMQGHxy【答案】（1）；（2）邊長為．【解析】（1）設(shè)，則，∵拋物線關(guān)于軸對稱，∴、，代入得 ，解得，∴拋物線解析式中常數(shù)的值為．（2）由（1）得，拋物線解析式為． 設(shè)正方形的邊長為，則，代入得：，解得（舍負(fù)）．∴正方形的邊長為．【總結(jié)】本題考察了函數(shù)與幾何的簡單結(jié)合，觀察各點坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過巧妙設(shè)點，減少未知量，用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式．【變式】有一個拋物線形的橋洞，橋洞離水面的最大高度BM為3米，跨度OA為6米， 以O(shè)A所在直線為x軸，O為原點建立直角坐標(biāo)系，如圖所示． （1）請直接寫出O、A、M三點的坐標(biāo)； （2）一艘小船平放著一些長3米，寬2米且厚度均勻的矩形木板，要使該小船能通過此橋洞，問這些木板最高可堆放多少米（設(shè)船身底板與水面同一平面）？xxyABOM【答案】（1），，； （2）米．【解析】（1）由題意知，，；（2）設(shè)解析式為，把代入，得：，∴解析式為，∵，∴，當(dāng)時，．∴這些木板最高可堆放米【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用．【方法三】差異對比法易錯點1利用二次函數(shù)的頂點式確定拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸時，易弄混符號1.拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)分別為（） A．開口向下、對稱軸為直線x=、頂點坐標(biāo)為（2，9） B．開口向下、對稱軸為直線x=2、頂點坐標(biāo)為（2，9） C．開口向上、對稱軸為直線x=、頂點坐標(biāo)為（，） D．開口向上、對稱軸為直線x=2、頂點坐標(biāo)為（，）【答案】B．【解析】拋物線（）的對稱軸是直線；拋物線的頂點坐標(biāo)是．拋物線的開口方向由所取值的符號決定，當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記拋物線的性質(zhì)是做題的關(guān)鍵．易錯點2將拋物線的左右平移規(guī)律與上下平移規(guī)律混淆2.拋物線是由拋物線向上平移3個單位，再向 左平移2個單位得到的，則b=________，c=________．【答案】，．【解析】向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到的拋物線為，∴，．【總結(jié)】本題考查了拋物線的平移及配方法．【方法四】成功評定法一、單選題1．（2023·安徽合肥·一模）二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為．2．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考一模）如果將拋物線向右平移1個單位，那么所得的拋物線的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”解答即可．【詳解】解：拋物線的頂點坐標(biāo)為，把點向右平移1個單位得到點的坐標(biāo)為，∴將拋物線向右平移1個單位，所得的拋物線的表達(dá)式為．故選：D．【點睛】本題主要考查了拋物線的平移，熟練掌握拋物線平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若點P（-2，3）在二次函數(shù)的圖象上，則a的值為（

）A．3 B．2 C．-3 D．-2【答案】A【分析】直接將點P坐標(biāo)代入求解即可．【詳解】解：∵點P（-2，3）在二次函數(shù)的圖象上，∴，解得：，故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)滿足其解析式是解答的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽淮南·九年級?？茧A段練習(xí)）拋物線的頂點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把拋物線解析式化為頂點式即可得到答案．【詳解】解：∵拋物線解析式為，∴該拋物線的頂點坐標(biāo)為，故選：A．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)頂點坐標(biāo)，熟知對于二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）將拋物線向上平移3個單位，向左平移4個單位后所得到的新拋物線的對稱軸是直線（

）A．x＝1 B．x＝﹣2 C．x＝﹣5 D．x＝4【答案】C【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律寫出新拋物線的表達(dá)式，即可求得新拋物線的對稱軸．【詳解】解：將拋物線向上平移3個單位，向左平移4個單位后所得到的新拋物線，即．∴新拋物線的對稱軸是直線x＝﹣5．故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022秋·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別確定的符號即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵拋物線的開口方向向下，∴，∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，∴，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴，∴，∵，∴．綜上，．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)得到字母系數(shù)的不等式是解題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）拋物線經(jīng)過點和，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．函數(shù)的最小值一定小于C． D．拋物線的對稱軸可能是直線【答案】C【分析】根據(jù)題意，判斷拋物線系數(shù)之間的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點和，∴，整理得，，∵，∴，即，，∴選項，，∵，∴無法判斷的正負(fù)，故錯誤，不符合題意；選項，拋物線的對稱軸為，∴函數(shù)的最值為，無法判定，故錯誤，不符合題意；選項，，∵，∴，即正確，符合題意；選項，拋物線的對稱軸為，∵，∴無法判定的值，故錯誤，不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的系數(shù)與對稱軸，最值的計算方法是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽淮北·?？寄M預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象得出，，二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)為和，從而判斷出二次函數(shù)的開口向上，與軸交于負(fù)半軸，且二次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)為，，即可得出答案．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可知，，，二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)為和，∴二次函數(shù)的開口向上，與軸交于負(fù)半軸，且二次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)為，，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，得出，．9．（2020·安徽合肥·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)y=-（x-1）2+5，當(dāng)m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為2m，最大值2n，則m+n的值等于（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得m＜0，n＞0，則y的最小值為2m為負(fù)數(shù)，最大值為2n為正數(shù)．最大值為2n分兩種情況：①結(jié)合拋物線頂點縱坐標(biāo)的取值范圍，求出n=2.5，結(jié)合圖象最小值只能由x=m時求出；②結(jié)合拋物線頂點縱坐標(biāo)的取值范圍，圖象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【詳解】二次函數(shù)y=-（x-1）2+5的大致圖象如下：．①當(dāng)m＜0≤x≤n＜1時，當(dāng)x=m時，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，解得：m=-2，m=2(舍去)．當(dāng)x=n時，y取最大值，即2n=-（n-1）2+5，解得：n=2或n=-2（均不合題意，舍去）；②當(dāng)m＜0≤x≤1≤n時，當(dāng)x=m時，y取最小值，即2m=-（m-1）2+5，解得：m=-2．當(dāng)x=1時，y取最大值，即2n=-（1-1）2+5，解得：n=2.5，或x=n時，y取最小值，x=1時，y取最大值，2m=-（n-1）2+5，n=2.5，∴m=，∵m＜0，∴此種情形不合題意，所以m+n=-2+2.5=0.5．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，根據(jù)函數(shù)解析式求出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，對稱軸為，且經(jīng)過點，下列說法：①；②；③；④若、是拋物線上的兩點，則；⑤（其中），正確的結(jié)論有（）A．②③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④⑤【答案】B【分析】拋物線開口向下，且交y軸于正半軸及對稱軸為，推導(dǎo)出，、以及a與b之間的關(guān)系：；根據(jù)二次函數(shù)圖像經(jīng)過點，可得出；再由二次函數(shù)的對稱性，當(dāng)時，距離對稱軸越遠(yuǎn)x所對應(yīng)的y越小；由拋物線開口向下，對稱軸是直線，可知當(dāng)時，y有最大值．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴，∴，①正確；∵拋物線經(jīng)過，對稱軸為直線，∴拋物線經(jīng)過，即，②正確；∵時，，∴③不正確；∵，∴到對稱軸距離小于到對稱軸距離，∴，④不正確；∵拋物線開口向下，對稱軸是直線，∴當(dāng)時，拋物線y取得最大值，當(dāng)時，，且，∴，即，故⑤正確；綜上，結(jié)論①②⑤正確，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，需要充分掌握二次函數(shù)各系數(shù)的意義，以及它們跟二次函數(shù)圖像之間的聯(lián)系．二、填空題11．（2015·安徽·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的最小值為___________．【答案】3【分析】根據(jù)求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．根據(jù)頂點式得到它的頂點坐標(biāo)是，再根據(jù)其，即拋物線的開口向上，則它的最小值是．【詳解】解：二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，二次函數(shù)有最小值，最小值為；故答案為3．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_____0（填“”或“”或“”）．【答案】【分析】由已知的圖像可知二次函數(shù)圖像的對稱軸，然后根據(jù)拋物線的對稱性，觀察圖像可知當(dāng)時，，即可獲解．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點在之間，∴另一個交點在0、1之間，∴當(dāng)時，，則，故答案為：．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像的對稱性是解答此題的關(guān)鍵．13．（2019秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，P是拋物線對稱軸l上的一個動點，則PAPC的最小值是__________．【答案】【分析】點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B，連接CB交拋物線對稱軸于點P，則點P為所求，而的最小值就是BC．【詳解】解：，令，解得：或3，令，則，故點、、的坐標(biāo)分別為：、、，函數(shù)的對稱軸為：，點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點，連接交函數(shù)對稱軸于點，點為所求，則的最小值，故答案為：．【點睛】本題考查的是軸對稱最短路徑問題以及求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點，正確確定出P點的位置是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），當(dāng)時，函數(shù)y的最大值為，則h的值為______.【答案】0或7/7或0【分析】先判斷出二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，然后分h＜2，和h＞5三種情況，分別根據(jù)二次函數(shù)的最值列式求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，∴若h＜2，則當(dāng)時，函數(shù)y取最大值，即，解得：或（舍去），若，則當(dāng)時，函數(shù)y取最大值0，不符合題意；若h＞5，則當(dāng)時，函數(shù)y取最大值，即，解得：（舍去）或，綜上，h的值為0或7，故答案為：0或7．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的增減性與二次函數(shù)的最值問題．15．（2023秋·安徽合肥·九年級合肥市五十中學(xué)西校?？茧A段練習(xí)）已知k為任意實數(shù)，隨著k的變化，拋物線的頂點隨之運動，則頂點運動時經(jīng)過的路徑與兩條坐標(biāo)軸圍成圖形的面積是___________．【答案】1【分析】將二次函數(shù)解析式化為頂點式可得拋物線頂點所在函數(shù)解析式，進(jìn)而求解．【詳解】解：∵，∴拋物線頂點坐標(biāo)為，設(shè)，則，∴拋物線頂點在直線上，將代入得，將代入得，解得，∴直線經(jīng)過，，∴頂點運動時經(jīng)過的路徑與兩條坐標(biāo)軸圍成圖形的面積是，故答案為：1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握求拋物線頂點軌跡的方法．三、解答題16．（2022秋·安徽淮北·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）確定拋物線y＝﹣x2+6x+1的開口方向、對稱軸和頂點．【答案】開口向下，對稱軸x＝3，頂點坐標(biāo)（3，10）【分析】把二次函數(shù)化為頂點式，即可得出開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)．【詳解】解：∵y＝﹣x2+6x+1＝﹣（x﹣3）2+10，∴開口向下，對稱軸x＝3，頂點坐標(biāo)（3，10）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的對稱軸為x＝h，頂點坐標(biāo)為（h，k）是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·安徽安慶·九年級安慶市第二中學(xué)統(tǒng)考期末）已知拋物線，請用配方法確定該拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)．【答案】，【分析】根據(jù)二次函數(shù)的配方法，將寫成頂點式，即可求出拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)．【詳解】∴對稱軸為：頂點坐標(biāo)為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式．18．（2023·安徽合肥·校考一模）已知拋物線，其中a為常數(shù)，且．(1)設(shè)此拋物線與y軸的交點為A，過點A作y軸的垂線交拋物線于另一點B，求點B的坐標(biāo)；(2)若拋物線先向右平移h個單位長度，再向下平移3h個單位長度后，可得拋物線，求a的值；(3)已知點、均在此拋物線上，且，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)，求得x值，即可確定點B的坐標(biāo)．(2)根據(jù)平移規(guī)律得到，得到，確定h的值，后計算a值即可．(3)根據(jù)對稱性，確定的對稱點，結(jié)合，確定m的范圍即可．【詳解】（1）∵拋物線與y軸的交點為A，∴．∴，解得（舍去），∴．（2）根據(jù)平移規(guī)律得到，∴，∴，∴，解得，故a值為．（3）∵拋物線，∴拋物線的對稱軸為直線，設(shè)的對稱點為，∴，解得，∴∵點、均在此拋物線上，且，∴．【點睛】本題考查了拋物線與直線的交點，平移規(guī)律，對稱性和增減性，熟練掌握平移規(guī)律，對稱性和增減性是解題的關(guān)鍵．19．（2021·安徽安慶·安慶市第四中學(xué)?？级＃┮阎獟佄锞€y＝ax2+bx+c與y軸交于點A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點D在線段OA上，tan∠DCO＝，求直線DC的解析式；（3）若一個動點P自O(shè)A的中點M動身，先抵達(dá)x軸上的某點（設(shè)為點E），再抵達(dá)拋物線的對稱軸上某點（設(shè)為點F），最后運動到點A．（P可在平面坐標(biāo)系內(nèi)任意運動），求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標(biāo)，并求出最短總路徑的長．【答案】（1）；（2）；（3）點P運動的最短路徑為，此時，【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法計算即可；（2）根據(jù)知條件求出，設(shè)DC解析式為，把D、C代入求解即可；（3）作與M關(guān)于x軸對稱，求出，設(shè)A與關(guān)于對稱軸對稱，且在拋物線上