專題6.2 平行四邊形的判定（教師版）

專題6.2平行四邊形的判定1．掌握平行四邊形的判定定理；2．會應用平行四邊形的判定定理解決相關的幾何證明和計算問題；知識點01平行四邊形的判定定理【知識點】平行四邊形的判定，主要根據平行四邊形的定義、性質進行，如下圖，有四邊形ABCD：1）判定方法1（定義）：兩組對邊平行的四邊形，即AD∥BC，AB∥DC。2）判定方法2（邊的性質）：兩組對邊相等的四邊形，即AD=BC，AB=DC。3）判定方法3（邊的性質）：一組對邊相等且平行的四邊形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。4）判定方法4（角的性質）：兩組對角相等的四邊形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。5）判定方法5（對角線的性質）：兩組對角線相互平分的四邊形，即AO=CO且BO=DO。注：=1\*GB3①平行四邊形的判定，需要邊、角、對角線相關的2個條件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必須要求是同一對邊平行且相等判定為平行四邊形。若四邊形中，一對邊平行，另一對邊相等，是無法判定為平行四邊形的。【知識拓展1】平行四邊形的判定例1．（2022·廣東·八年級課時練習）下列條件中，不能判斷四邊形是平行四邊形的是（）A．兩組對邊分別平行 B．一組對邊平行，另一組對邊相等C．對角線互相平分 D．一組對邊平行，一組對角相等【答案】B【分析】根據平行四邊形的判定定理逐個判斷即可．【詳解】解：A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；B、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形，不一定是平行四邊形，故本選項符合題意；C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；D、一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了對平行四邊形的判定定理的應用，能熟記平行四邊形的判定定理是解此題的關鍵，注意：平行四邊形的判定定理有：①有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③有兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，⑤有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【即學即練】1．（2022·山東·八年級期末）下面關于平行四邊形的說法中，不正確的是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．有一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形C．有一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形D．有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】根據平行四邊形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】A、∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴選項A不符合題意；B、∵有一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，∴選項B不符合題意；C、∵有一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形，∴選項C符合題意；D、∵有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形，∴選項D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇無錫·八年級無錫市僑誼實驗中學校聯(lián)考期中）如圖，點A是直線l外一點，在l上取兩點B、C，分別以A、C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點D，分別連接，則四邊形是平行四邊形．其依據是（

）A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形【答案】B【分析】由作圖可得，，，進而可得判定平行四邊形的依據．【詳解】解：由作圖可得，，，∴四邊形是平行四邊形，∴依據為兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定．解題的關鍵在于理解作圖過程．【知識拓展2】判斷能否構成平行四邊形例2．（2022·湖北遠安·八年級期末）如圖四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，則不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，∠DAC=∠BCAB．AB=CD，∠ABO=∠CDOC．AC=2AO，BD=2BOD．AO=BO，CO=DO【答案】D【分析】A.證明，即可根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判斷；B.證明AB∥CD，即可根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷；C.可根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷；D.條件不足無法判斷；【詳解】∠DAC=∠BCA，四邊形是平行四邊形，故A選項正確，不符合題意；∠ABO=∠CDO又AB=CD，四邊形是平行四邊形，故B正確，不符合題意；AC=2AO，BD=2BO四邊形是平行四邊形，故C正確，不符合題意；D.條件不足無法判斷，符合題意；故選D【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．【即學即練】1．（2023春·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，對角線，相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（

）A．B．C．D．，【答案】D【分析】利用平行四邊形的定義及判定方法逐一分析即可得到答案．【詳解】解：∵，，而四邊形的內角和為，∴，∴，，∴四邊形是平行四邊形；故A不符合題意；∵，，∴四邊形是平行四邊形；故B不符合題意；∵，，∴四邊形是平行四邊形；故C不符合題意；∵，，∴不能判定四邊形是平行四邊形；故D符合題意；故選D．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定方法，熟記平行四邊形的判定方法是解本題的關鍵．2．（2023春·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形的對角線交于點，下列不能判定其為平行四邊形的是(

)A．B．C．D．【答案】D【分析】根據平行四邊形的判定方法求解．【詳解】解：A、∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項A不符合題意；B、∵∴四邊形是平行四邊形，故選項B不符合題意；C、∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項C不符合題意；D、∵，∴不能判定四邊形為平行四邊形，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題關鍵．【知識拓展3】添加一個條件成為平行四邊形例3．（2023春·北京東城·八年級校考期中）如圖，在中，對角線與相交于點O，E、F是對角線上的點．下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據平行四邊形的性質與全等三角形的性質逐一分析，結合平行四邊形的判定方法可得結論．【詳解】解：∵，∴，，，，，，∵，∴，，∴四邊形是平行四邊形，故B不符合題意；∵，，∴，而，∴，∴，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故C不符合題意；∵，∴，∴，而，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故D不符合題意；當，而，，∵，∴，而，此時不能得到：，，∴添加不能判定四邊形是平行四邊形，故A符合題意；故選A．【點睛】本題考查的是添加條件判斷平行四邊形，全等三角形的判定與性質，熟記平行四邊形的判定方法是解本題的關鍵．【即學即練】1．（2022·綿陽市八年級專題練習）如圖，在中，D，F分別是，上的點，且．點E是射線上一點，若再添加下列其中一個條件后，不能判定四邊形為平行四邊形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由結合已知條件可證明，從而可判斷，由結合已知條件可證明，從而可判斷，由結合已知條件可判斷，由結合已知條件仍不能判定四邊形為平行四邊形，從而可得到答案．【詳解】解：A、∵∠ADE=∠E，∴AB∥CE，又∵DF∥BC，∴四邊形DBCE為平行四邊形；故選項A不符合題意；B、∵DF∥BC，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠E，∴∠ADE=∠E，∴AB∥CE，∴四邊形DBCE為平行四邊形；故選項B不符合題意；C、∵DF∥BC，∴DE∥BC，又∵DE=BC，∴四邊形DBCE為平行四邊形；故選項C不符合題意；D、由DF∥BC，BD=CE，不能判定四邊形DBCE為平行四邊形；故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質等知識；熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，中，，為銳角．要在對角線上找點N，M，使四邊形為平行四邊形，在如圖所示的甲、乙、丙三種方案中，正確的方案有（

）A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙【答案】A【分析】甲方案，連接交于點，證明，，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得出甲方案正確；乙方案，先證明，再證明得出，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出乙方案正確；丙方案，證明得出，，則，證出，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出丙方案正確；【詳解】甲方案中，連接交于點，如圖所示：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，故甲方案正確；乙方案中，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，故乙方案正確；丙方案中，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，平分，∴，在和中∵，∴，∴，，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，故丙方案正確；故選A【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的判定與性質等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．【知識拓展4】證明四邊形是平行四邊形例4．（2022·廣東惠城·八年級期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，點D從點C出發(fā)沿CA方向以cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是ts（0＜t≤60）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）當t＝30秒或40秒時，△DEF為直角三角形【分析】（1）據等腰直角三角形的性質求出DF，得到DF=AE，并由已知證得DF∥AE，則根據平行四邊形的判定定理證明結論；（2）利用①當∠EDF=90°時；②當∠DEF=90°時；③當∠EFD=90°時，分別分析得出即可．【詳解】（1）證明：∵等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∴AB＝BC＝60cm，∠C＝45°，由題意得，CD＝t，AE＝t，∵DF⊥BC，∴DF＝CD＝t，∠CFD＝90°，∴DF＝AE，DF∥AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形；（2）解：①當∠EDF＝90°時，如圖①，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝45°，∴AD＝AE，即60﹣t＝t，解得，t＝30，②當∠DEF＝90°時，如圖②，∵AD∥EF，∴DE⊥AC，∴AE＝AD，即t＝×（60﹣t），解得，t＝40，③當∠EFD=90°時，此種情況不存在．綜上所述，當t＝30秒或40秒時，△DEF為直角三角形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、等腰直角三角形的性質，掌握平行四邊形的判定定理及等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．【即學即練】1．（2022·山西八年級專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，連接AC，DF．（1）求證：AEF≌DEC；（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得AB//CD，根據平行線的性質可得就愛∠FAE=∠CDE，利用ASA即可證明△AEF≌△DEC；（2）根據全等三角形的性質可得AF=DC，根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得結論．【詳解】（1）∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵點E是邊AD的中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四邊形ACDF是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，平行四邊形的對邊互相平行；有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；熟練掌握相關性質與判定定理是解題關鍵．【知識拓展5】利用平行四邊形的性質與判定求解例5．（2022·吉林長春市·八年級月考）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于點O．（1）求證：AD與BE互相平分；（2）若AB⊥AC，AC=BF，BE=8，FC=2，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接證明可得：再證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質可得答案；（2）由BE=8，FC=2，結合AC=BF，求解再利用AB⊥AC，由勾股定理可得答案．【詳解】證明：（1）連接在與中，四邊形是平行四邊形，AD與BE互相平分；（2）【點睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，勾股定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．【即學即練】1．（2022·廣東·八年級期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長交BE于點P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長為（）A．5 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】過點D作DH⊥BC，交BC的延長線于點H，連接BD，DE，先證∠DHC=90o，再證四邊形ADEF是平行四邊形，最后利用勾股定理得出結果．【詳解】過點D作DH⊥BC，交BC的延長線于點H，連接BD，DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，∠ADC=60o，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60o，∵DH⊥BC，∴∠DHC=90o，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴，∵四邊形BCEF是平行四邊形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥DE，AF=DE=1，∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練運用這些性質解決問題．【知識拓展6】利用平行四邊形的性質與判定證明例6．（2022·遼寧旅順口·八年級期中）如圖，四邊形中，，，過點作，垂足為，且．連接，交于點．（1）探究與的數量關系，并證明；（2）探究線段，，的數量關系，并證明你的結論．【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由見解析；（2）AF=EF+CE，理由見解析．【分析】（1）設∠CAE=，先證∠EAB=∠EBA=45°，再證∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出結論；（2）延長DC交AE延長線于G，連接BG，先證△CEA≌△GEB，再證四邊形ABGD是平行四邊形，最后根據平行四邊形的性質解答即可．【詳解】解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由：設∠CAE=，∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA=45°，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB=45°+，∵AC=AD，∴∠DCA=∠ADC=45°+，∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°；（2）AF=EF+CE，理由：延長DC交AE延長線于G，連接BG，∵CD∥AB，∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，∴CE=EG，AE=BE，又∵∠CEA=∠GEB=90°，∴△CEA≌△GEB，∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，∴∠CAE=∠GBE，∵∠GEB=90°，∴∠AGB+∠GBE=90°，∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，∴∠DAE=∠AGB，∴AD∥BG，∵DG∥AB，∴四邊形ABGD是平行四邊形，∴AF=GF，∵GF=EF+GE=EF+CE，∴AF=EF+CE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質及平行四邊形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．【即學即練】1．（2022·上海九年級專題練習）已知：平行四邊形中，點為邊的中點，點為邊的中點，聯(lián)結、．（1）求證：∥；（2）過點作，垂足為，聯(lián)結．求證：△是等腰三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質，可得AB∥CD，AB=CD，又由點M為邊CD的中點，點N為邊AB的中點，即可得CM=AN，繼而可判定四邊形ANCM是平行四邊形，則可證得AM∥CN．（2）由AM∥CN，BH⊥AM，點N為邊AB的中點，可證得BH⊥CN，ME是△BAH的中位線，則可得CN是BH的垂直平分線，繼而證得△BCH是等腰三角形．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴∥且．∵點、分別是邊、的中點，∴，．∴．又∵∥，∴四邊形是平行四邊形∴∥．（2）設BH與CN交于點E，∵AM∥CN，BH⊥AM，∴BH⊥CN，∵N是AB的中點，∴EN是△BAH的中位線，∴BE=EH，∴CN是BH的垂直平分線，∴CH=CB，∴△BCH是等腰三角形．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質、線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．題組A基礎過關練1．（2022·黑龍江·大慶市八年級期末）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．1：2：3：4B．1：4：2：3C．1：2：2：1D．3：2：3：2【答案】D【分析】兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以∠A和∠C是對角，∠B和∠D是對角，對角的份數應相等．【詳解】解：根據平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有D符合條件．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，在應用判定定理判定平行四邊形時，應仔細觀察題目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法．2．（2022·上海九年級專題練習）四邊形中，對角線交于點．給出下列四組條件：①∥，∥；②，；③，；④∥，．其中一定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件共有（）A．1組； B．2組； C．3組； D．4組．【答案】C【分析】根據平行四邊形的判定方法對①②③④分別作出判斷即可求解．【詳解】①∥，∥，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是平行四邊形；②，，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是平行四邊形；；③，，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得到四邊形是平行四邊形；④∥，，無法判定四邊形是平行四邊形．故選：C【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的定義和判定定理是解題關鍵．3．（2022·重慶江北區(qū)·字水中學九年級月考）下列命題是假命題的是（）A．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C．兩組對角分別互補的四邊形是平行四邊形D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】C【分析】根據平行四邊形的判定定理判斷即可．【詳解】解：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，A是真命題；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，B是真命題；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，C是假命題對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，D是真命題；故選：C【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，熟練掌握平行四邊形的判定是解本題的關鍵4．（2023春·西藏·八年級校考期中）在平面直角坐標系中，點，，，點D為平面直角坐標系中的點，以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標______．【答案】或或【分析】分三種情況：①為對角線時，②為對角線時，③為對角線時；由平行四邊形的性質容易得出點D的坐標．【詳解】解：分三種情況：①為對角線時，平行且等于，可知點D的坐標為；②為對角線時，平行且等于，可知點D的坐標為；③為對角線時，平行且等于，可知點D的坐標為；綜上所述，點D的坐標可能是或或，故答案為：或或．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、坐標與圖形的性質；熟練掌握平行四邊形的性質是解決問題的關鍵．5．（2023春·北京海淀·八年級人大附中校考期中）如圖，在中，點E在上，點F在上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若為的平分線，且，，求的周長．【答案】(1)見詳解(2)16【分析】（1）根據平行四邊形對邊平行且相等的性質和可得，進而可得四邊形是平行四邊形．（2）根據（1）可得，根據為的平分線，可得為等腰三角形，即可得出的值，即可解答．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，∴，∵為的平分線，∴，∴，∴為等腰三角形，∴，∴，的周長為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質，平行四邊形的周長，熟練掌握平行四邊形的性質和等腰三角形的判定與性質是解答的關鍵．6．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，是對角線，，，垂足分別為點E，F．(1)求證：．(2)連接和，判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析【分析】（1）先根據平行四邊形的性質得到，進而證明，即可證明；（2）先證明，再由全等三角形的性質得到，即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，熟知平行四邊形的性質與判定定理是解題的關鍵．7．（2023春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，點E是的邊的中點，連接并延長，交的延長線于點F．(1)求證：；(2)連接、，則四邊形（填“是”或“不是”）平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)是【分析】（1）利用證明三角形全等即可；（2）根據全等，得到，即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵，點E是的邊的中點，∴，∴，又，∴；（2）四邊形是平行四邊形；理由如下：∵，∴，又，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．熟練掌握相關性質和判定方法，是解題的關鍵．8．（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，在中，，，垂足分別為．(1)求證：；(2)四邊形是平行四邊形嗎？如是，請證明；如不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)是，見解析【分析】（1）利用證明，即可證明；（2）證明，由，推出，即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：是，理由如下，∵，，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．9．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在矩形中，點E為的中點，延長，交于點F，連接，．(1)求證：四邊形為平行四邊形．(2)若為的角平分線，，求四邊形的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由可證，可得，由平行四邊形的判定可得結論；（2）由角平分線的性質可得，可求，由勾股定理可求的長，即可求解；【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵點E為的中點，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵為的角平分線，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，平行四邊形的性質等知識，掌握矩形的性質是解題的關鍵．10．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，．求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由得，又，可得證四邊形是平行四邊形；（2）和分別以和為底，則它們對應的高相同，因此根據底的關系，可得到和的面積關系，進而求出的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，，又，∴四邊形是平行四邊形；（2），，，．【點睛】本題考查平行四邊形的性質與判定，平行四邊形的面積．熟練運用平行四邊形的相關知識是解題的關鍵．11．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接相交于點O，，則的周長等于_________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明即可；（2）根據平行四邊形的性質可得，即可得到的周長．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴的周長為，故答案為：．【點睛】此題主要考查平行四邊形的判定和菱形的判斷和性質．熟練掌握各種特殊四邊形的性質定理和判定定理是解題的關鍵．題組B能力提升練1．（2023春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）中，E，F是對角線上不同的兩點．下列條件中，不能得出四邊形一定為平行四邊形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接與相交于O，根據平行四邊形的對角線互相平分可得，，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到即可，然后根據各選項的條件分析判斷即可得解．【詳解】解：如圖，連接與相交于O，在中，，要使四邊形為平行四邊形，只需證明得到即可；A、若能夠利用“角角邊”證明和全等，從而得到，則，即，故本選項不符合題意；B、若能夠利用“角角邊”證明和全等，從而得到，故本選項不符合題意；C、若，則無法判斷，故本選項符合題意；D、若，則，即，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質及平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．2．（2022·山東·八年級）四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列判斷正確的是（）A．若AO＝OC，則ABCD是平行四邊形B．若AC＝BD，則ABCD是平行四邊形C．若AO＝BO，CO＝DO，則ABCD是平行四邊形D．若AO＝OC，BO＝OD，則ABCD是平行四邊形【答案】D【分析】根據平行四邊形的判定條件進行逐一判斷即可.【詳解】解：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形的對角線互相平分∴D能判定ABCD是平行四邊形．若AO＝BO，CO＝DO，證明AC=BD，并不能證明四邊形ABCD是平行四邊形，故C錯誤，若AO＝OC，條件不足，無法明四邊形ABCD是平行四邊形，故A錯誤，若AC＝BD，條件不足，無法明四邊形ABCD是平行四邊形，故B錯誤，故選D．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的判定條件.3．（2022·山東·寧津縣八年級期末）如圖，在中，點，分別在邊，上．若從下列條件中只選擇一個添加到圖中的條件中．那么不能使四邊形是平行四邊形的條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行四邊形的判定條件進行逐一判斷即可得到答案.【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥EC，AD=BC，∠B=∠D，AB=CD∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故A不符合題意；∵BE=DF∴AF=CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，故C不符合題意；∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌CDF（SAS），∴AE=CF，BE=DF，∴AF=CE∴四邊形AECF是平行四邊形，故D不符合題意；由AE=CF，一組對邊平行另一組對邊相等，不能判斷四邊形AECF是平行四邊形，故B符合題意，故選B.【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.4．（2022秋·八年級單元測試）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點O，則該圖中的平行四邊形的個數共有（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．11個【答案】C【分析】根據平行四邊形的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴，，根據平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，則圖中的四邊形、、、、、、、和都是平行四邊形，共9個．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質．熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．5．（2023春·北京海淀·八年級人大附中?？计谥校┤鐖D，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構成了一個四邊形．在轉動其中一張紙條的過程中，線段和的長度始終相等，這里蘊含的數學原理是____________．【答案】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形【分析】根據題意可證明四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的性質即可得到．【詳解】解：蘊含的數學原理是兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．故答案為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”．6．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習）在中，，，點P在邊上以每秒的速度從點A向點D運動．點Q在邊上以每秒的速度從點C出發(fā)，在之間往返運動．兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止運動），設運動時間為t秒．當時，運動時間________時，以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形．【答案】或8【分析】由四邊形為平行四邊形可得出，結合平行四邊形的判定定理可得出當時以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，分兩種情況考慮，在每種情況中由即可列出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，若要以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，則，設運動時間為t秒，當時，，，，，∴，解得：；當時，，，，∴，解得：．綜上所述：當運動時間為秒或8秒時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及一元一次方程的應用，分兩種情況列出關于t的一元一次方程是解題的關鍵．7．（2022·北京·人大附中八年級階段練習）已知點A(3，0)、B(﹣1，0)、C(2，3)，以A、B、C為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點D的坐標是_____．【答案】(﹣2，3)或(0，﹣3)或(6，3)【分析】首先畫出坐標系，再分別以AC、AB、BC為對角線通過線段平移作出平行四邊形，進而可得D點坐標．【詳解】解：如圖，以BC為對角線，將AB向上平移3個單位，再向左平移1個單位，B點對應的位置為（﹣2，3）就是第四個頂點D1；以AB為對角線，將BC向下平移3個單位，再向右平移1個單位，B點對應的位置為（0，﹣3）就是第四個頂點D2；以AC為對角線，將AB向上平移3個單位，再向右平移4個單位，C點對應的位置為（6，3）就是第四個頂點D3；∴第四個頂點D的坐標為：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3），故答案為：（﹣2，3）或（0，﹣3）或（6，3）．【點睛】本題考查圖形與坐標，平行四邊形的判定與性質，平移的性質，掌握平行四邊形的判定與性質，平移的性質是解題關鍵．8．（2022·山東八年級階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，E、F分別在CD和BC的延長線上，，，則______．【答案】8【分析】證明四邊形ABDE是平行四邊形，得到DE=CD＝，，過點E作EH⊥BF于H，證得CH=EH，利用勾股定理求出EH，再根據30度角的性質求出EF．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AB=CD，∵，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴DE=CD＝，，過點E作EH⊥BF于H，∵，∴∠ECH=，∴CH=EH，∵，，∴CH=EH=4，∵∠EHF=90°，，∴EF=2EH=8，故答案為：8．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定及性質，勾股定理，直角三角形30度角的性質，熟記各知識點并應用解決問題是解題的關鍵．9．（2023春·北京順義·八年級北京市順義區(qū)仁和中學?？计谥校┤鐖D，在中，點O是對角線的中點，過點O的直線交邊于點E，交邊于點F．連接．(1)依題意補全圖形；(2)①直接寫出圖中除外所有的平行四邊形（可以標記字母）；②選擇①中的一個平行四邊形加以證明．【答案】(1)見解析；(2)①圖中平行四邊形有：，，；②選擇①中的加以證明，證明過程見解析．【分析】（1）依題意補全圖形即可；（2）①根據條件分別寫出圖中平行四邊形；②根據平行四邊形的性質，判定，得出四邊形的對角線互相平分，進而得出結論．【詳解】（1）解：補全圖形如下圖：（2）①圖中平行四邊形有：，，，②選擇①中的加以證明：∵四邊形是平行四邊形，O是BD的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．10．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）已知，平行四邊形的對角線向兩個方向延長，分別至點和點，且使，連接、、、．(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形．(2)如圖2，當時，在不添加任何輔助線情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形，使寫出的每個三角形面積都等于三角形面積的．【答案】(1)見解析(2)，，，【分析】（1）由平行四邊形的性質可得，，，再根據補角的性質等量代換可得，可推出，由全等的性質得，，則，即可得證；（2）由，，可得，進而由，，，等高，可得，，，的面積是面積的．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，又，，，又，，，，，四邊形為平行四邊形；（2）解：，，，，理由如下：，，，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積，平行線的性質，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關鍵．11．（2022·山東煙臺市·八年級期末）在中，，點在邊所在的直線上，過點作交直線于點，交直線于點．（1）當點在邊上時，如圖①，求證：．（2）當點在邊的延長線上時，如圖②，線段，，之間的數量關系是_____，為什么？（3）當點在邊的反向延長線上時，如圖③，線段，，之間的數量關系是____（不需要證明）．【答案】）（1）見解析；（2），見解析；（3）【分析】（1）證明四邊形AFDE是平行四邊形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可證得；（2）結論：當點D在邊BC的延長線上時，在圖②中，，證明方法類似（1）；（3）結論：當點D在邊BC的反向延長線上時，在圖③中，．證明方法類似（1）．【詳解】證明：（1）∵，．∴四邊形是平行四邊形．∴．∵．∴．∵．∴．∴．∴．∴．（2）．理由：∵，，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．（3）理由：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DF=AE，∠EDC=∠ABC，又∵∠AB=AC，∴∠ABC=∠C∴∠EDC=∠C，∴DE=EC，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級河南師大附中?？计谥校┤鐖D，點E、F是平行四邊形對角線上兩點，在條件：①；②；③；④中，添加一個條件，使四邊形是平行四邊形，可添加的條件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】D【分析】通過證明三角形全等，得出四邊形的一組對邊平行且相等，即可得出是平行四邊形．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，①時，不能證明，不能證明四邊形是平行四邊形；②時，在和中，，∴，∴，，∴∴，∴四邊形是平行四邊形；③時，，在和中，，∴，∴，，∴∴，∴四邊形是平行四邊形；④當時，則，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，小津不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，為了能從商店配到一塊與原來相同的玻璃，他帶了其中兩塊玻璃去商店，其編號應該是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①③【答案】D【分析】確定有關平行四邊形，關鍵是確定平行四邊形的四個頂點，由此即可解決問題．【詳解】解：只有①③兩塊角的兩邊互相平行，且中間部分相聯(lián)，角的兩邊的延長線的交點就是平行四邊形的頂點，∴帶①③兩塊碎玻璃，就可以確定平行四邊形的大小．故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的定義以及性質，解題的關鍵是理解如何確定平行四邊形的四個頂點，四個頂點的位置確定了，平行四邊形的大小就確定了，屬于中考常考題型．3．（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在?中，，，點在邊上以每秒的速度從點向點運動，點在邊上以每秒的速度從點出發(fā)，在間往返運動．兩個點同時出發(fā)，當點到達點時停止運動（同時點也停止運動）．在這段時間內，當運動時間為______時，線段．【答案】或或【分析】由平行四邊形的判定和性質可知當時，．再求出點P運動的時間為12秒，即可求出點Q可在間往返3次，即在這段時間內與有3次平行．設運動時間為t，分類討論4次平行，分別用含t的代數式表示出和，再列出方程，解出t的值即可．【詳解】解：當時，．∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵點P運動的時間秒，∴點Q運動的路程，∴點Q可在間往返3次，∴在這段時間內與有3次平行．設運動時間為t，則，分類討論：①第一次平行：，，∴，解得：秒；②第二次平行：，，∴，解得：秒；③第三次平行：，，∴，解得：秒；故答案為：或或．【點睛】本題考查矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，一元一次方程的實際應用．利用數形結合和分類討論的思想是解題關鍵．4．（2022·云南·昆明市九年級階段練習）如圖，在中，與交于點，點在上，cm，cm，，點是的中點，若點以1cm/s的速度從點出發(fā)，沿向點運動；點同時以2cm/s的速度從點出發(fā)，沿向點運動，點運動到點時停止運動，點也同時停止運動，當點運動_____時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．

【答案】3秒或5秒5秒或3秒【分析】由平行四邊形的性質可得，由平行線的性質可得，可得，由平行四邊形的性質可得，列出方程可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴∠ADB＝∠MBC，又∵∠FBM＝∠MBC∴∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵點E是BC的中點∴EC＝BC＝9cm，∵以點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故答案為3或5秒【點睛】本題考查平行四邊形的性質以及判定，利用方程思想解決問題是解本題的關鍵．5．（2022·江蘇射陽·九年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足為F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD長．【答案】（1）見詳解；（2）AD=3【分析】（1）由題意易得AD∥EC，進而根據平行四邊形的判定定理可求解；（2）由題意易得EF=3，然后根據角平分線的性質定理可得EC=EF=3，進而問題可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥EC，∵AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形；（2）解：∵BE＝5，BF：BE＝4：5，∴BF＝4，∵EF⊥AB，∴由勾股定理可得：，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACB＝90°，∴EC=EF=3，∵四邊形AECD是平行四邊形，∴EC=AD=3．【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定、勾股定理及角平分線的性質定理，熟練掌握平行四邊形的判定、勾股定理及角平分線的性質定理是解題的關鍵．6．（2022·黑龍江·哈爾濱九年級期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，，且分別交對角線于點E、F，連接ED、BF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AE＝EF，請直接寫出圖2中面積等于四邊形ABCD的面積的的所有三角形．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先證明再證明可得從而有于是可得結論；（2）先證明再證明，從而可得結論.【詳解】證明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，，四邊形BEDF是平行四邊形.（2）由（1）得：四邊形BEDF是平行四邊形,四邊形ABCD是平行四邊形，，【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質，熟練的運用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是證明的關鍵，第（2）問先確定面積為平行四邊形ABCD的的三角形是解題的關鍵.7．（2022·浙江杭州市·八年級期中）如圖所示，在中，對角線，相交于點O，，E，F為直線上的兩個動點（點E，F始終在的外面），且，連結，，，．（1）求證：四邊形為平行四邊形．（2）若，上述結論還成立嗎？若呢？（3）若平分，，求四邊形的周長．【答案】（1）見解析；（2）結論成立，結論成立，見解析；（3）40cm【分析】（1）由平行四邊形的性質可知、，結合、可得出，根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形為平行四邊形；（2）由、可得出，根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形為平行四邊形，由此可得出原結論成立，再找出結論“若，，則四邊形為平行四邊形”即可；（3）根據平行四邊形的性質結合平分，即可得出，進而可得出是的垂直平分線，再根據可得出是等邊三角形，根據的長度即可得出、的長度，套用平行四邊形周長公式即可求出四邊形的周長．【詳解】解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，．，，，，四邊形為平行四邊形．（2），，，，四邊形為平行四邊形．上述結論成立，由此可得出結論：若，，則四邊形為平行四邊形．（3）在中，，．平分，，，．，，是的垂直平分線，．，是等邊三角形，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、角平分線的定義以及等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是：（1）根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”證出四邊形為平行四邊形；（2）根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”證出四邊形為平行四邊形；（3）根據平行四邊形的性質找出是等邊三角形．8．（2023·河北承德·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，，．將沿剪下來，以為旋轉中心逆時針旋轉，旋轉過程中，、與所在的直線的交點分別為、．(1)求證：；(2)當旋轉角為時，如圖2所示，求重疊部分的面積；(3)在旋轉過程中，若，如圖3所示，求的長；(4)在旋轉過程中，若，請直接寫出的長（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)【分析】（1）根據題意可得，四邊形是平行四邊形，證明，即可得證；（2）根據題意得到是等腰直角三角形，，根據旋轉角為時，平分，設交于點，則是等腰直角三角形，根據三角形面積公式進行計