控制工程基礎(chǔ)第四章-時(shí)域分析

控制工程基礎(chǔ)機(jī)械電子系唐博2013.8課程內(nèi)容第一節(jié)時(shí)域分析概述第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)第三節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)*第四節(jié)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)第五節(jié)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第六節(jié)線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析和計(jì)算時(shí)域分析所要解決的問(wèn)題：一.系統(tǒng)加入輸入信號(hào)后，其輸出隨時(shí)間的變化；二.從動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)分析研究機(jī)械系統(tǒng)隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?！?-1時(shí)域分析兩個(gè)定義：分析瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，往往選擇典型輸入信號(hào)，好處是：（1）數(shù)學(xué)處理簡(jiǎn)單，給定典型輸入信號(hào)下的性能指標(biāo)，便于分析、設(shè)計(jì)系統(tǒng)；（2）典型輸入信號(hào)的響應(yīng)可以作為分析復(fù)雜輸入時(shí)系統(tǒng)性能的依據(jù)；（3）便于進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號(hào)作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。

穩(wěn)定響應(yīng)：當(dāng)某一信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)在時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)的輸出狀態(tài)。常見(jiàn)的典型輸入信號(hào)：1.階躍函數(shù)

a為常數(shù)，若a=1為單位階躍函數(shù)1(t)。2.斜坡函數(shù)a為常數(shù)，若a=1為單位斜坡函數(shù)。

taxi0taxi013.加速度函數(shù)a為常數(shù)4.脈沖函數(shù)a為常數(shù)，在0<t<t0時(shí)，txi0ta/t0xi0t0脈沖函數(shù)的高度為無(wú)窮大，持續(xù)時(shí)間（脈沖寬度）為無(wú)窮小，脈沖面積為a。通常脈沖函數(shù)的強(qiáng)度是以脈沖面積a衡量的。a=1時(shí)為單位脈沖函數(shù)，又稱函數(shù)且

5.正弦函數(shù)a為常數(shù)0txia小結(jié)：典型輸入信號(hào)的選擇，應(yīng)根據(jù)不同系統(tǒng)的具體工作條件確定：（1）若控制系統(tǒng)的輸入量是突然變化的，如突然合電、斷電，選擇階躍函數(shù)；（2）若控制系統(tǒng)的輸入量隨時(shí)間逐漸變化，選擇斜坡函數(shù)；（3）若控制系統(tǒng)的輸入量是沖擊量，如導(dǎo)彈發(fā)射，選擇脈沖函數(shù)；（4）若控制系統(tǒng)的輸入量是隨時(shí)間變化的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如機(jī)床振動(dòng)，選擇正弦函數(shù)。

也即應(yīng)選擇與實(shí)際工作條件相似的典型輸入信號(hào)。（5）時(shí)域性能指標(biāo)，是以單位階躍函數(shù)為輸入信號(hào)來(lái)定義。§4-2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一階系統(tǒng)：能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)。如：一階慣性環(huán)節(jié)微分方程為：傳遞函數(shù)為：典型的一階系統(tǒng)一.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的輸出。也即：輸出為：不同時(shí)刻系統(tǒng)的輸出值如表所示。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。t0T2T3T4T5T…Xo(t)00.6320.8650.950.9820.993…1表1一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)e

=

2.718281828459小結(jié)：線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特性：

系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，可通過(guò)把系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)響應(yīng)求導(dǎo)得到，而系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，積分常數(shù)由初始條件確定?！?-3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)小結(jié)：時(shí)域性能指標(biāo)的求取系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件勞斯穩(wěn)定性判據(jù)§5-5系統(tǒng)穩(wěn)定性

如果一個(gè)系統(tǒng)受到擾動(dòng)，偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)取消后，經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)的時(shí)間，這個(gè)系統(tǒng)又能以一定的精度逐漸恢復(fù)到原來(lái)的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。圖2小球的穩(wěn)定性

圖1，2說(shuō)明系統(tǒng)的穩(wěn)定性反映在干擾消失后的系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的性質(zhì)上。將干擾消失時(shí)刻，系統(tǒng)與平衡狀態(tài)的偏差看作是系統(tǒng)的初始偏差。則系統(tǒng)的穩(wěn)定性可定義為：

若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨于0，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性質(zhì)，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定。否則，稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定。（1）穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，它取決于系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)；小偏差穩(wěn)定性：初始偏差不超過(guò)某一范圍時(shí)的穩(wěn)定性。（2）控制理論中所討論的穩(wěn)定性是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，也即輸入為0，系統(tǒng)存在初始偏差時(shí)的穩(wěn)定性，也即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。設(shè)線性系統(tǒng)有一個(gè)平衡點(diǎn)，對(duì)該平衡點(diǎn)而言，若系統(tǒng)的輸入為0，則輸出也為0。給系統(tǒng)一個(gè)干擾，則系統(tǒng)的輸出會(huì)偏離平衡點(diǎn)。取干擾消失的時(shí)刻為t=0，則此時(shí)系統(tǒng)的輸出及其各階導(dǎo)數(shù)便是系統(tǒng)的初始偏差。輸出信號(hào)本身就是系統(tǒng)在初始偏差影響下的過(guò)渡過(guò)程。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則輸出信號(hào)就能以足夠精確的程度恢復(fù)到原平衡工作點(diǎn)，也即隨著時(shí)間的推移，輸出xo(t)趨近于0。若系統(tǒng)不穩(wěn)定，則xo(t)就不能回到原平衡工作點(diǎn)。線性定常系統(tǒng)的微分方程為：拉氏變換并整理得：其中：是與初始條件有關(guān)的s多項(xiàng)式。§2系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件系統(tǒng)穩(wěn)定性是指輸入為0時(shí)，在初始偏差作用下的響應(yīng)過(guò)程，令xi(t)=0，也即Xi(s)=0，則有：拉氏反變換：

Si為D(s)=0的根，也即系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。

D(s)為系統(tǒng)特征方程，Si也可稱為系統(tǒng)特征方程的根。

由上式可知，若所有的Si實(shí)部均為負(fù)值，則在，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

因此，控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半面控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件也可說(shuō)成是：系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負(fù)實(shí)部?！?代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)特征方程的根（或者說(shuō)是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全部具有負(fù)實(shí)部。因此，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，就要解系統(tǒng)特征方程的根。但對(duì)于高階系統(tǒng)，方程的求解很困難。為避免對(duì)特征方程的直接求解，需討論特征根的分布，看是否全部具有負(fù)實(shí)部，以此來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由此就產(chǎn)生了各種穩(wěn)定性判據(jù)。一.勞斯判據(jù)1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)特征方程為：為系統(tǒng)特征方程的根。若使全部具有負(fù)實(shí)部，必須滿足以下條件：（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都不等0；（2）各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同。通常來(lái)講，

因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是:2.系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)特征方程為：假設(shè)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，即

則勞斯判據(jù)給出的系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是：勞斯陣列中第一列所有項(xiàng)均為正號(hào)勞斯陣列為其中：勞斯陣列中各行系數(shù)的計(jì)算要進(jìn)行到其余各項(xiàng)的值都為0時(shí)為止。在展開(kāi)的陣列中，為了簡(jiǎn)化后面的計(jì)算，可將某行中的各項(xiàng)同乘或同除一個(gè)正整數(shù)，不影響穩(wěn)定性。

勞斯判據(jù)還說(shuō)明：實(shí)部為正的特征根數(shù)，等于勞斯陣列中第一列的系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。解：，全部大于0，滿足必要條件。

例1：特征方程式，判斷穩(wěn)定性。第一列中存在負(fù)系數(shù)，不滿足充分條件。而且，符號(hào)改變兩次，說(shuō)明存在兩個(gè)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。勞斯陣列：3.低階系統(tǒng)的勞斯判據(jù)（1）二階系統(tǒng)勞斯陣列

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：（2）三階系統(tǒng)勞斯陣列

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：（3）四階系統(tǒng)勞斯陣列

其中：

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：例：特征方程，判斷穩(wěn)定性

解：四階系統(tǒng)，全部大于0。系統(tǒng)穩(wěn)定。例：如圖所示系統(tǒng)，計(jì)算K為何值時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。圖3系統(tǒng)方塊圖+-解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

特征方程為：

三階系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：故K的取值范圍是4.幾種特殊情況

（1）如果在勞斯陣列中任意一行的第一個(gè)元素為0，而后各元素不為0，則在計(jì)算下一行的各元素時(shí)，各元素必定趨于無(wú)窮大，于是勞斯陣列表的計(jì)算將無(wú)法進(jìn)行。此時(shí)，可以用一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替第一列等于0的元素，然后再計(jì)算其他各元素。例：特征方程，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：

勞斯陣列

勞斯陣列中，第一列不全大于0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。符號(hào)改變兩次，系統(tǒng)有兩個(gè)實(shí)部為正的特征根。例：特征方程，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：勞斯陣列第一列中各元素沒(méi)有負(fù)數(shù)，說(shuō)明沒(méi)有實(shí)部為正的特征根。

s1行為0，說(shuō)明有虛根存在。系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（2）若勞斯陣列表中，某行的各元素全部為0，可利用該行的上一行各元素構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并利用這個(gè)多項(xiàng)式方程的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成勞斯陣列表中的該行，然后繼續(xù)往下做。例：特征方程，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性解：勞斯陣列：

s3行各元素為0，構(gòu)造輔助多項(xiàng)式：其導(dǎo)數(shù)為：勞斯陣列中，第一列各元素沒(méi)有復(fù)數(shù)，說(shuō)明系統(tǒng)沒(méi)有實(shí)部為正的特征根。但s3行各元素為0，說(shuō)明系統(tǒng)存在虛根。因此，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

對(duì)于控制系統(tǒng)的基本要求是快速、穩(wěn)定、準(zhǔn)確。誤差問(wèn)題就是控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確度問(wèn)題。

系統(tǒng)過(guò)渡完成后的誤差稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在過(guò)渡完成后控制準(zhǔn)確度的一種度量。一個(gè)控制系統(tǒng)，只有滿足要求的控制精度，才有實(shí)際工程意義。機(jī)電控制系統(tǒng)中，元件的不完善，如靜摩擦、間隙以及放大器的零點(diǎn)漂移、元件老化或變質(zhì)都會(huì)造成誤差，這種誤差稱為靜差。本節(jié)不研究靜差，只研究由于系統(tǒng)不能很好地跟蹤輸入信號(hào)而引起的穩(wěn)態(tài)誤差，或者由于擾動(dòng)而引起的穩(wěn)態(tài)誤差，即系統(tǒng)原理性誤差。圖1誤差和偏差的概念+++-+-輸入信號(hào)與反饋信號(hào)比較后的信號(hào)也能反映誤差的大小，稱為偏差，即

一般情況下，系統(tǒng)的誤差信號(hào)與偏差信號(hào)并不相等。

為系統(tǒng)希望的輸出量，為系統(tǒng)實(shí)際的輸出量，則誤差定義為：

誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量被稱為穩(wěn)態(tài)誤差?！旆€(wěn)態(tài)誤差

圖中反映的是輸入與輸出之間的比例、微分或積分等關(guān)系，稱為理想變換算子。一般情況下，誤差信號(hào)與偏差信號(hào)之間的關(guān)系為：對(duì)于實(shí)際使用的控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，往往是一個(gè)常數(shù)，因此，通常誤差信號(hào)與偏差信號(hào)之間存在簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，求出穩(wěn)態(tài)偏差也就求出了穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)于單位反饋控制系統(tǒng)，偏差信號(hào)與誤差信號(hào)相同。§1輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差一.誤差傳遞函數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差（1）單位反饋控制系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為：也即：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：（2）非單位反饋控制系統(tǒng)偏差為：穩(wěn)態(tài)偏差為：誤差為：一般情況下，為常值H，則有穩(wěn)態(tài)誤差為：

§2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差注意：在求穩(wěn)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，用到了拉氏變換的終值定理，而終值定理只對(duì)有終值的變量才有意義，如果系統(tǒng)本身不穩(wěn)定，用終值定理求出的值是虛假的。

故在求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差前，應(yīng)先判斷穩(wěn)定性。例：某反饋控制系統(tǒng)如圖，當(dāng)時(shí)，求穩(wěn)態(tài)誤差。單位反饋系統(tǒng)圖2系統(tǒng)方塊圖+-二.靜態(tài)誤差系數(shù)單位反饋控制系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：式中，分母階次高于分子階次；，為0型系統(tǒng)；，為I型系統(tǒng)；，為II型系統(tǒng)；

（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

對(duì)于0型系統(tǒng)

對(duì)于I型或高于I型的系統(tǒng)在單位階躍輸入時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于0型系統(tǒng)對(duì)于I型或高于I型系統(tǒng)

（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

對(duì)于0型系統(tǒng)對(duì)于I型系統(tǒng)對(duì)于II型或高于II型的系統(tǒng)在單位斜坡輸入時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)于0型系統(tǒng)對(duì)于I型系統(tǒng)對(duì)于II型系統(tǒng)由上可知，單位斜坡輸入時(shí)，

0型系統(tǒng)不能跟蹤輸入，因?yàn)槠湔`差為；I型系統(tǒng)能夠跟蹤斜坡輸入，但是有一定的誤差；II型或高于II型的系統(tǒng)能夠跟蹤斜坡輸入，因?yàn)槠浞€(wěn)態(tài)誤差為0。（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

對(duì)于0型系統(tǒng)對(duì)于I型系統(tǒng)對(duì)于II型系統(tǒng)對(duì)于III型或高于III型的系統(tǒng)

在單位加速度輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為：對(duì)于0型系統(tǒng)對(duì)于I型系統(tǒng)對(duì)于II型系統(tǒng)對(duì)于III型或高于III型的系統(tǒng)由上可知，

0型和I型系統(tǒng)都不能跟蹤單位加速度輸入，因?yàn)槠湔`差為；II型系統(tǒng)能夠跟蹤單位加速度輸入，但是有誤差；III型及以上系統(tǒng)能夠跟蹤單位加速度輸入，因?yàn)槠浞€(wěn)態(tài)誤差為0，但是穩(wěn)定性差，故不實(shí)用。小結(jié)：1.位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入是階躍、斜坡、加速度輸入時(shí)所引起的輸出位置上的誤差；2.穩(wěn)態(tài)誤差表系統(tǒng)類型單位階躍輸入等速輸入等加速輸入0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)0II型系統(tǒng)003.靜態(tài)誤差系數(shù)Kp，Kv

，Ka分別是0型、I型、II型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K0，K1

，K2；4.對(duì)于單位反饋控制系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差等于穩(wěn)態(tài)偏差；5.對(duì)于非單位反饋控制系統(tǒng)，先求出穩(wěn)態(tài)偏差后，再求出穩(wěn)態(tài)誤差；6.上述結(jié)論是以階躍、斜坡等典型信號(hào)作用下得到的，但它有普遍的實(shí)用意義。這是因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)輸入信號(hào)的變化往往是比較緩慢，可把輸入信號(hào)在t=0點(diǎn)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，這樣，可把控制信號(hào)看成幾個(gè)典型信號(hào)之和，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可看成各典型信號(hào)分別作用下的誤差的總和?！?輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差例：系統(tǒng)方塊圖如圖，試求系統(tǒng)在單位階躍、單位恒速、單位恒加速輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3系統(tǒng)方塊圖+-§3擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差

實(shí)際控制系統(tǒng)中，不僅存在給定的輸入信號(hào)，還存在干擾作用，如圖。圖4干擾引起誤差的系統(tǒng)+-++由輸入信號(hào)引起的偏差為，則有穩(wěn)態(tài)偏差為穩(wěn)態(tài)誤差為

由擾動(dòng)信號(hào)引起的偏差為（此時(shí)不考慮輸入信號(hào)）。穩(wěn)態(tài)偏差為：此即干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差。由此可得干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差為：則系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差為總的穩(wěn)態(tài)誤差為例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，當(dāng)輸入信號(hào)，干擾時(shí)，求系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差。圖5系統(tǒng)方塊圖+-++解：（1）先判斷穩(wěn)定性

系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：只要，系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差