近世代數(shù)課件-置換群

第三章置換群置換群的理論體系雖然很龐大，但其結(jié)果卻簡單明了，從應用的角度來考慮，本章將主要介紹置換群的有關(guān)結(jié)論.§3.1置換群的共軛類

1.置換的循環(huán)與對換分解在§1.2節(jié)我們曾介紹過置換的概念,n個符號的任意置換記為：1/5/20241數(shù)學與計算科學學院其中是1－n中的某一數(shù)字.(1)式所示的置換可以用一個更簡潔的方式來表示，這就是用若干個沒有公共數(shù)字的獨立循環(huán)之積來表示，如其中(5)稱為單循環(huán)，它代表5變?yōu)?.即5不變.(14)為二循環(huán)，它代表1變?yōu)?，而4又變?yōu)?.(236)為三循環(huán)，代表2變?yōu)?，3變?yōu)?，6又變?yōu)?.

一般用記號1/5/20242數(shù)學與計算科學學院代表一個k循環(huán)，并稱k為循環(huán)的長度，兩個數(shù)字的循環(huán)(即循環(huán)長度k=2)又稱為對換.顯然，兩沒有公共數(shù)字的獨立循環(huán)之間是相互對易的，如而同一循環(huán)中的數(shù)字可作輪換而不改變該循環(huán)的結(jié)果，如

單循環(huán)往往省去不寫，如(2)式可寫成1/5/20243數(shù)學與計算科學學院任一循環(huán)可以分解為若干個含有相同數(shù)字對換之積，如而一般情況下可以證明：

1/5/20244數(shù)學與計算科學學院當兩個對換含有相同數(shù)字時，這兩個對換是不可對易的，如由此可見，一個置換可分解為若干個沒有相同數(shù)字的獨立循環(huán)之積，而一個循環(huán)又可分解為若干個含有相同數(shù)字的對換之積.因此，一個置換可分解為若干個含有相同數(shù)字的對換之積.由于一個循環(huán)分解為對換乘積的形式不是唯一的，如(3)式示,所以一個置換可分解為對換之積的形式不是唯一的.一個置換若能分解為奇數(shù)個對換之積，則稱為奇置換.反之,一個置換若能分解為偶數(shù)個對換之積，則稱為偶置換.一個置換可分解為對換乘積的形式雖然不是唯一的，但其奇偶性1/5/20245數(shù)學與計算科學學院卻是唯一的.因為任一置換可分解為形式一定的循環(huán)乘積，而每一循環(huán)長度k的奇偶性一定，若循環(huán)長度k為偶數(shù)，則該循環(huán)可分解為奇數(shù)個對換之積,如.反之，若長度k為奇數(shù)，則該循環(huán)可分解為偶數(shù)個對換之積，如

.任一置換和它的逆具有相同的奇偶性.如

顯然兩個偶(奇)置換之積為偶置換，一個奇置換與一個偶置換之積為奇置換.

記所有偶置換的全體為，則的數(shù)目正好1/5/20246數(shù)學與計算科學學院等于個.并且由于偶×偶=偶滿足封閉,單位元(恒等置換—零個對換)，另，故構(gòu)成的一個子群，且是一個不變子群.因為對于任意的，有顯然商群是二階群,它有兩個一維表示與,而任何一商群的表示也一定是其大群的表示，所以群一定有兩個不等價的一維表示,其中一個是，即中的所有置換都對應于單位元1，此為恒等表示.另一個一維表示是,在該表示中所有偶置換都對應于1，而所有奇置換1/5/20247數(shù)學與計算科學學院都對應于－1.2.的共軛類現(xiàn)在我們來討論一下置換群的共軛元素和類.

設(shè)有兩個置換與，它們都是的群元素，其中則的共軛元素為：1/5/20248數(shù)學與計算科學學院這一結(jié)果表明，欲求置換的共軛置換，只需對置換中的上下兩行數(shù)字同時施行置換

,例如對的上下兩行數(shù)字同時施行置換

得：若將置換分解為獨立循環(huán)之積的形式，上述求共軛元素的規(guī)則又可表述為：欲求置換的共軛置換

,先將與寫成獨立的循環(huán)之積的形1/5/20249數(shù)學與計算科學學院式，然后對的每個循環(huán)因子中的數(shù)字分別施行置換.

如在上例中，我們有對中的每個數(shù)字分別施行置換得：與前面所得結(jié)果相同.

由上面的討論可見，與它的共軛元素有相同的循環(huán)結(jié)構(gòu).反之，有相同的循環(huán)結(jié)構(gòu)的元素1/5/202410數(shù)學與計算科學學院一定是相互共軛的，而群中所有相互共軛的元素組成一個共軛類，為了確定群中共軛類的數(shù)目,人們引入了配分的概念:

約定按循環(huán)長度遞減來排列獨立循環(huán)之積的次序，而包括在n次循環(huán)中的循環(huán)總長度等于n，這樣n可分解為一些不增加的整數(shù)之和，稱為n的一個配分,且每一個n次置換都對應于一個n的配分，如置換

其配分為：

6=3+2+1或簡記為[321].由于相互共軛的元素具有相同的1/5/202411數(shù)學與計算科學學院循環(huán)結(jié)構(gòu)，所以互為共軛元素的配分是相同的.也就是說的一個共軛類中的所有元素對應于n的同一個配分，所以置換群的共軛類數(shù)目等于n的不同的配分數(shù).

例1:

有兩個類

配分[11]=[],有一個元素:(1)(2)=.

配分[2],有一個元素:(12).

有三個類

配分[111]=[],有一個元素:(1)(2)(3)=.

配分[21],有三個元素:(12)、(13)、(23).

配分[3],有兩個元素:(123)、(132).1/5/202412數(shù)學與計算科學學院

有五個類配分[1111]=[],有一個元素:(1)(2)(3)(4)=.

配分[211]=[2],有六個元素:(12)、(13)、(14)、(23)、(24)、(34).

配分[22]=[],有三個元素:(12)(34)、(13)(24)、(14)(23).

配分[31]，有八個元素:(123)、(132)、(124)、(142)、(134)、(143)、(234)、(243).

配分[4]，有6個元素：(1234)、(1243)、(1324)、(1342)、(1423)、(1432).

由§1.3節(jié)的討論知，與群同構(gòu)，所以也有兩個一維與一個二維不可約表示.1/5/202413數(shù)學與計算科學學院

有不變子群其商群為：其中

1/5/202414數(shù)學與計算科學學院顯然與群同構(gòu)，因此，群的三個不可約表示還是的表示.由于有5個類(=5個不可約表示)，它的階數(shù)為4！=24.所以由§2.6節(jié)(6)式知，各不可約表示維數(shù)的平方和滿足關(guān)系亦即所以故：

1/5/202415數(shù)學與計算科學學院所以的5個不可約表示分別為：兩個一維表示、一個二維表示及兩個三維表示.1/5/202416數(shù)學與計算科學學院§3.2楊圖與楊盤由上節(jié)的討論可以看出，群的類是和n的配分聯(lián)系在一起的，n的各種配分可以形象地用楊圖表示出來.1.楊圖設(shè)n的某種配分為，其中,且，該配分是由n個格子組成的方格圖，其中第一行為個格子，第二行為個格子等等.如圖所示.上面一行的方格數(shù)大于等于下面一行的方格數(shù)，左側(cè)一列的格子數(shù)大于等于右側(cè)一列的格子數(shù)合起來總共有n個方格.此方格圖即稱為n次楊圖.1/5/202417數(shù)學與計算科學學院

例1:

群的楊圖由兩個格子組成，各配分的楊圖為:1/5/202418數(shù)學與計算科學學院群的楊圖由三個格子組成，各配分的楊圖為:

群的楊圖由四個格子組成，各配分的楊圖為:

1/5/202419數(shù)學與計算科學學院

顯然楊圖數(shù)=配分數(shù)=共軛類數(shù)=不等價不可約表示數(shù).

假設(shè)在n的配分中，單循環(huán)有個，2循環(huán)有個，n循環(huán)有個等等，則

對于中一個確定的類，n的配分是一定的，所以可以用數(shù)組來標記的共軛類，這種標記方法的好處之一是可以用數(shù)組方便地求出各類中所包含的元素數(shù)，其結(jié)果是1/5/202420數(shù)學與計算科學學院

證:

設(shè)中某置換的循環(huán)結(jié)構(gòu)為在括號中點子的總數(shù)為n個，現(xiàn)在有n個不同的數(shù)字放入上述括號中的點子處，若不考慮其它限制條件，總共有種放法.但中有許多是屬于相同的置換，一是各獨立循環(huán)的對易不給出新置換，所以個i循環(huán)中有種置換是屬于同一種置換，因此中必須除去，再就是各循環(huán)中數(shù)字的輪換不給出新置換，如(123)=(231)=(312).所以一個i循環(huán)中將重復置換i次，個i循環(huán)要重復置1/5/202421數(shù)學與計算科學學院換次，所以中必須除去，因此得結(jié)果(1)式.

例2:對于群，在類中，故,故按(1)式，在類中包含的元素數(shù)為在類中，則,故1/5/202422數(shù)學與計算科學學院在類中，，則故在類中，，則故在類中，，則故1/5/202423數(shù)學與計算科學學院這些結(jié)果與§3.1節(jié)例1的結(jié)果是一致的.2.楊盤置換群的不可約表示的個數(shù)與楊圖的個數(shù)聯(lián)系起來(二者相等)，再引入楊盤的概念，就可以確定出各不可約表示的維數(shù).

在的楊圖上，將n個數(shù)字無重復地填滿n個格子，并且每一行自左向右是按增加順序排列的，而每一列由上往下，數(shù)字也是增加的，由此得到的填了數(shù)字的楊圖，稱之為楊盤(或楊表).

例3:,n=1,2,3,4時的楊盤如下圖示1/5/202424數(shù)學與計算科學學院楊盤1/5/202425數(shù)學與計算科學學院

定理：群中不可約表示的維數(shù)等于楊圖上楊盤的個數(shù).

例4:

對于群楊圖 ,楊盤1個,.

楊圖 ,楊盤2個,.

楊圖 ，楊盤1個，.

故在群的三個不可約表示中，兩個是一維的，另一個是二維的，這與§3.1節(jié)例1得到的結(jié)論是一致的.

對于群楊圖，楊盤1個，.1/5/202426數(shù)學與計算科學學院楊圖，楊盤2個，.

楊圖，楊盤3個，.

楊圖，楊盤3個，.

楊圖，楊盤1個，.

所以在群的5個不可約表示中，其中有兩個是一維的，一個是二維的，另兩個是三維的.這與§3.1節(jié)例1得到的結(jié)論是一致的.

群不可約表示的維數(shù)，亦可通過如下簡單的公式求得：1/5/202427數(shù)學與計算科學學院其中一個方格的曲距定義為該方格右面和下面的方格數(shù)之和加1.例如，對于楊圖，由上式可得其不可約表示的維數(shù)為對于楊圖，與上例所得結(jié)果相一致.1/5/202428數(shù)學與計算科學學院§3.3的不可約表示由前面的討論可知，由楊圖與楊盤，我們可以確定不可約表示的個數(shù)與維數(shù)，這節(jié)我們將討論的不可約表示矩陣的具體求法.

為此目的，我們先對楊圖中的每個楊盤作標號,如用來標記它們，即代表楊圖中標號為i的楊盤.假設(shè)共有個楊盤，則對應于楊圖的不可約表示是維的，矩陣元

1/5/202429數(shù)學與計算科學學院下腳標r、s是對應于楊圖的諸楊盤的標號.

根據(jù)置換群理論，群的不可約表示中相應于對換的矩陣元由以下規(guī)則確定:其中的代表將楊盤中的數(shù)字1/5/202430數(shù)學與計算科學學院互換后得到的楊盤.為楊盤中的數(shù)字的軸距，計算軸距有一個簡單的規(guī)則，即如果規(guī)定沿著楊盤向上或向右移動一格為+1，向下或向左移動一格為-1，則從k-1出發(fā)，沿著直角路線到達k總共經(jīng)過的方格的代數(shù)和就是軸距.

上述規(guī)則僅給出了兩相鄰數(shù)字對換的不可約表示的矩陣，利用下列遞推關(guān)系就可將任一對換用相鄰數(shù)字的對換表示出來，比如1/5/202431數(shù)學與計算科學學院由于任一置換都可以分解為對換之積，這樣只要知道了的所有相鄰對換元素(k-1,k)的表示矩陣.就可以確定出的任一元素的表示矩陣，從而群的不可約表示也就完全確定了.

例1:

現(xiàn)在我們利用上述方法求出群的表示矩陣.

對于群，其楊圖與楊盤為：1/5/202432數(shù)學與計算科學學院所以不可約表示與都是一維的.

對于楊盤，，故,

對于群，其楊圖與楊盤為：1/5/202433數(shù)學與計算科學學院所以，不可約表示與是一維的，而是二維的.故得：對于楊盤,再由關(guān)系(3)知:

1/5/202434數(shù)學與計算科學學院對于盤，,故由(1)式得:.對于盤，，故由(1)式得:.因故由(1)式得:

這樣1/5/202435數(shù)學與計算科學學院對于盤，故由(1)式得:對于盤，故由(1)式得:又故由(1)式得:這樣1/5/202436數(shù)學與計算科學學院再由上面的關(guān)系(3)可求解其它元素的表示,結(jié)果為:由此可見，群的各表示與§2.4節(jié)例1求得的群的不可約表示一一對應，其結(jié)果完全一樣，這是顯然的.因為群與同構(gòu).1/5/202437數(shù)學與計算科學學院§3.4群不可約表示的特征標群的不可約表示的特征標稱為它的單純特征標，它是類的函數(shù)，常用來標記，這里的右上角為n的一種配分

,用以標記的不可約表示，右下腳也是n的一種配分.用以標記中的某一類，按置換群理論，群相應于配分的不可約表示在類中的特征標為：上式求和i是對將個連續(xù)格子添加到1/5/202438數(shù)學與計算科學學院楊圖中的所有可能的方法進行的，而其中為在每次添加中連續(xù)格子的“距”之和，而“距”為最長一列中的格子數(shù)減1.所謂連續(xù)格子是指處在楊圖同一行的格子，每一行的格子標號相同，且由上而下標號依次增大，如下圖所示:1/5/202439數(shù)學與計算科學學院將的格子添加到楊圖的規(guī)則是：添加每一組數(shù)字相同的連續(xù)格子不許出間斷，添加的每一步都要使所得到的方格圖為一楊圖，且從上而下或從左而右看，數(shù)字必須是不減次序，每一步添加相同數(shù)字的格子必須形成那一步的楊圖階梯的一個連續(xù)段，所謂楊圖的階梯是由楊圖右下方的邊緣帶上的格子組成.

如楊圖的階梯是由下圖中有陰影的格子所組成，即每一步應將數(shù)字添加到楊圖的最外層.1/5/202440數(shù)學與計算科學學院

例1:

各不可約表示的特征標由上節(jié)(§3.3節(jié))例1的結(jié)果可以容易的得到，這里我們將用公式(1)求得其特征標.

對于對于1/5/202441數(shù)學與計算科學學院

對于1/5/202442數(shù)學與計算科學學院§3.5的分支律

現(xiàn)在假設(shè)在某一組基矢下，相對于楊圖群的不可約表示為,如果用來作為n-1個符號(1,2,……,n-1)的置換群的表示時，它一般不再是不可約的了.適當?shù)剡x取一組新基矢，即對作一相似變換,我們可將其分塊對角化，這樣其中各就構(gòu)成的不可約表示，那么是如何確定的呢？這就是分支律將要回答的問題.1/5/202443數(shù)學與計算科學學院

分支律:

對于n次楊圖，如果它的某一行的格子數(shù)多于下一行的格子數(shù)，那么從這一行挪去一個格子可得到一個n-1次楊圖，用這種方法得到的所有n-1次楊圖就給出了的不可約表示中所包含的各種不可約表示，而且的每一個不可約表示只出現(xiàn)一次.

如群的楊圖按分支律所述規(guī)則，可以從這5個格子中分別挪去一個格子，得到1/5/202444數(shù)學與計算科學學院只有這兩種去格子的方法，而按照如下方法去格子是不允許的一是因為去格子的行的格子數(shù)不多于它的下面一行,另外，去格子后的圖不是楊圖，因此由群的楊圖到群楊圖的約化只能是1/5/202445數(shù)學與計算科學學院相應的表示有關(guān)系

例1:

在§3.3節(jié)例1，我們曾求得群的不可約表示為：對于，元素(e)與(12)的各不可約表示為：

1/5/202446數(shù)學與計算科學學院對于楊圖故亦即對于楊圖故，亦即1/5/202447數(shù)學與計算科學學院對于楊圖，故亦即所得結(jié)果與§3.3節(jié)例1的結(jié)果相符合.

1/5/202448數(shù)學與計算科學學院§3.6SU(n)群的不可約表示本節(jié)將扼要地介紹楊圖在特殊幺正群SU(n)表示中的應用.

設(shè)有非奇異n階復矩陣U(n)群,如果它的元素滿足關(guān)系亦即則稱U(n)為幺正群(UnitaryGroup),

在U(n)中,行列式等于1的元素的全體構(gòu)成的群稱為特殊幺正群(SpecialUnitaryGroup),記為SU(n),即1/5/202449數(shù)學與計算科學學院1.楊圖與SU(n)的不可約表示

SU(n)群的不可約表示通過n-1個參數(shù)來描述，這一組參數(shù)可用楊圖表示出來，如圖所示，為具體起見，圖中取、、、、若這個楊圖代表的是SU(7)群的一個不可約表示，則該表示應記為

1/5/202450數(shù)學與計算科學學院若代表的是SU(6)群的一個不可約表示，則該表示應記為：同理若代表的是SU(5)群的一個不可約表示，則該表示應記為：這時標有的一列格子是多余的.因為SU(5)群的不可約表示有四個參數(shù)，因此最多只需四行格子，這樣多余的五行格子可以去掉，如下圖所示1/5/202451數(shù)學與計算科學學院

SU(n)群各不可約表示的維數(shù)由下述公式求得.SU(2)群各不可約表示由一個參數(shù)描述，記為，其維數(shù)為：

SU(3)群的不可約表示由兩個參數(shù)、

描述，記為，其維數(shù)為1/5/202452數(shù)學與計算科學學院一般地，SU(n)群的不可約表示由個n-1個參數(shù)描述，記為，其維數(shù)為

如：SU(4)群不可約表示的維數(shù)為SU(5)群不可約表示的維數(shù)為

1/5/202453數(shù)學與計算科學學院另簡單地計算可得：2.表示直積的分解現(xiàn)在我們來介紹一下如何用楊圖將SU(n)的兩個不可約表示的直積分解為不可約表示的直和的方法，也就是給出表示直積的克萊布施—戈登展開:1/5/202454數(shù)學與計算科學學院作出兩個直積的不可約表示的楊圖.例如，SU(3)群兩表示的直積，相應的楊圖為：選擇其中的一個楊圖作為基礎(chǔ)圖，為了簡單起見，通常選擇比較復雜（格子數(shù)較多者）