中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)《幾何模型》初中數(shù)學(xué)最值問題經(jīng)典100題（教師版）

.如圖3.1所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PD的最小值為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0A.SKIPIF1<01.解延長(zhǎng)BC至點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如圖4.1所示，∴AC垂直平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴AC平分SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等邊三角形.∵點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0、P、D在同一直線上時(shí)，如圖4.2所示，SKIPIF1<0取得最小值.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案是C.思路點(diǎn)撥:這是典型的“將軍飲馬”型線段和最值問題，利用對(duì)稱法將動(dòng)線段構(gòu)造至動(dòng)點(diǎn)P所在直線的兩側(cè)；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”找到最小值位置，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.拓展若點(diǎn)D為邊AB上任意一定點(diǎn)，則依舊可以根據(jù)勾股定理和60°特殊角計(jì)算SKIPIF1<0的長(zhǎng)度；若點(diǎn)D是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0將變?yōu)橐粭l動(dòng)線段，利用“垂線段最短”可確定最值位置還是在中點(diǎn)處.2.如圖3.2所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)P到AB兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為.2.解令點(diǎn)P到AB的距離為d.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點(diǎn)P為到AB距離為2的直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點(diǎn).直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關(guān)于AB對(duì)稱，因此選其中一條進(jìn)行計(jì)算.作點(diǎn)B關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如圖4.3所示，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，如圖4.4所示.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥:這是典型的“將軍飲馬”型線段和最值問題.根據(jù)題目中中給出的面積關(guān)系，可判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線（或稱為“隱線”）；利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，再運(yùn)用線段公理獲得不等式；根據(jù)勾股定理計(jì)算最值SKIPIF1<0.3.如圖3.3所示，在矩形ABCD中，AD=3，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，AE=1，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.3.解令點(diǎn)P到AB的距離為d.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點(diǎn)P在到AB距離為2的直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，如圖4.5所示.作點(diǎn)E關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0并延長(zhǎng)交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)P，連接EP，如圖4.6所示，∴SKIPIF1<0.當(dāng)點(diǎn)P在直線SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)D、SKIPIF1<0、P三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值SKIPIF1<0.當(dāng)點(diǎn)P在直線SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)D、E、P三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，如圖4.7所示.在Rt△ADE中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴當(dāng)點(diǎn)P為DE的延長(zhǎng)線與直線SKIPIF1<0的交點(diǎn)時(shí)有最大值SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥:解法如題2，需要找出滿足條件的點(diǎn)P所在的“隱線”，這里兩條直線均要考慮（因?yàn)閳D形不對(duì)稱）.由于兩邊之差小于第三邊，在共線時(shí)取得最大值，故遵循“同側(cè)點(diǎn)直接延長(zhǎng)，異側(cè)點(diǎn)需對(duì)稱后再延長(zhǎng)”的規(guī)律，分別計(jì)算最大值并進(jìn)行大小比較.特別說明筆者認(rèn)為這里的最大值只能取一個(gè)值.改編此題的目的是讓大家不要忽略矩形外的“隱線”，畢竟題中敘述點(diǎn)P時(shí)用的是“平面內(nèi)”，而非“矩形內(nèi)”.4.已知SKIPIF1<0，則y的最小值為.4.解原式SKIPIF1<0.建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則AB在x軸的兩側(cè)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，y值最小，∴SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥:若將式子看作函數(shù)，對(duì)于初中生來說解題難度較大.若換個(gè)角度，將每一個(gè)根式都看作是兩點(diǎn)間的距離（距離公式是平面直角坐標(biāo)系中的勾股定理），則將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何最值模型——兩點(diǎn)之間線段最短.5.已知SKIPIF1<0，則y的最大值為.5.解原式SKIPIF1<0.建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上時(shí)y值最大，∴SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥:閱讀題目時(shí)需觀察清楚“＋”或“－”，切不可盲目下筆.本題與題4形式相似，解法相近，但是又有所不同.將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的兩條線段的差；利用三邊關(guān)系中的兩邊之差小于第三邊，共線時(shí)取等找到最大值.6．如圖3.4所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4SKIPIF1<0，點(diǎn)D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以AD為直徑的圓交CD于點(diǎn)E，則線段BE長(zhǎng)度的最小值為．解：連接AE，取AC得中點(diǎn)F，連接EF，如圖4．8所示∵AD是圓的直徑∴∠AED＝90°∴∠AEC＝90°∴EF＝SKIPIF1<0AC＝2∴點(diǎn)E的軌跡為以點(diǎn)F為圓心的圓?。▓A的定義）∴BE≥BF－EF當(dāng)且僅當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，如圖4．9所示在Rt△ABF中，AF＝2，AB＝4∴BF＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝BF－EF＝2SKIPIF1<0－2思路點(diǎn)撥閱讀題目時(shí)要找到三條關(guān)鍵信息：點(diǎn)E為圓周上一點(diǎn)，AD所對(duì)的圓周角是90°，∠DEC是平角，連接AE后就找到了定弦定角（或斜邊上的中線），若一個(gè)角的度數(shù)和其所對(duì)的一條線段均為定值，則這個(gè)角的頂點(diǎn)的軌跡為圓（根據(jù)題目需求判斷是否需要考慮兩側(cè)）．因此判斷出點(diǎn)E的軌跡是圓（不是完整的圓，受限于點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)范圍）．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知B、E、F三點(diǎn)共線時(shí)BE取得最小值．7．如圖3.5所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，點(diǎn)P時(shí)邊AB上另一動(dòng)點(diǎn)，則PD＋PG的最小值為．解：取BC得中點(diǎn)F，連接GF，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′P、D′A，如圖4.10所示．∴DP＝D′P∵∠BGC＝90°，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)∴GF＝SKIPIF1<0BC＝2∵PD＋PG＝PD′＋PG≥D′G又D′G＋GF≥D′F∴PD＋PG＋GF≥D′F－GF如圖4．11所示，當(dāng)且僅當(dāng)D′、P、G、F四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值．根據(jù)勾股定理得D′F＝SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0∴PD＋PG的最小值為2SKIPIF1<0－2思路點(diǎn)撥不難發(fā)現(xiàn)∠BGC＝90°是個(gè)定角，因此點(diǎn)G的軌跡為以BC為直徑的圓（部分），可以通過斜邊上的中線構(gòu)造長(zhǎng)度不變的動(dòng)線段，再利用三邊關(guān)系求解．8．如圖3.6所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC上的點(diǎn)，且EF＝2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PG的最小值為．解：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B、A′P、DG，如圖4.12所示∴PA′＝PA∴PA＋PG＝PA′＋PG∵∠ADC＝90°，EF＝2∴DG＝SKIPIF1<0EF＝1∵PA′＋PG＋DG≥A′D∴PA′＋PG≥A′D－DG如圖4．13所示，當(dāng)且僅當(dāng)A′、P、G、D四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立根據(jù)勾股定理得A′D＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝5∴PA＋PG的最小值為4．思路點(diǎn)撥與題7的已知條件是相似的，解法幾乎一致，抓住核心條件，線段EF始終不變，線段EF所對(duì)的角為直角，因此斜邊上的中線DG始終不變，從而判斷出點(diǎn)G的軌跡圖形為圓．利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將線段和最小值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離最小值問題，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最值求解．9．在平面直角坐標(biāo)系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2＋n2＝4，若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則AB＋BE的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．25解：∵C(0，m)，D(n，0)，m2＋n2＝4，∴CD2＝4，∴CD＝2在Rt△COD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)∴OE＝1，即點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上．作圖4．14，連接OE，過點(diǎn)A作直線y＝2的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B、A′O∴A′(3，4)∴AB＋BE＝A′B＋BE＝A′B＋BE＋EO－EO≥A′O－EO如圖4.15所示，當(dāng)且僅當(dāng)A′、B、E、O四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．根據(jù)勾股定理得A′O＝SKIPIF1<0＝5∴AB＋BE的最小值為4思路點(diǎn)撥根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式m2＋n2＝CD2，得到CD的長(zhǎng)度；由已知條件判斷出OE為斜邊上的中線，OE＝SKIPIF1<0CD（定值）；根據(jù)圓的定義可知點(diǎn)E的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、SKIPIF1<0CD為半徑的圓；利用對(duì)稱的性質(zhì)將線段和的最值問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最值問題．10．如圖3.7所示，AB＝3，AC＝2，以BC為邊向上構(gòu)造等邊三角形BCD，則AD的取值范圍為．解：以AB為邊向上作等邊△ABE，連接DE，如圖4．16所示∴AB＝BE，CB＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°－∠CBE在△ABC和△EBD中SKIPIF1<0∴△ABC≌△EBD(SAS)∴DE＝AC＝2∴點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，2為半徑的圓．∴AE－ED≤AD≤AE＋ED如圖4．17和圖4．18所示，當(dāng)且僅當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值∴1≤AD≤5思路點(diǎn)撥這樣理解AB＝3，AC＝2這個(gè)條件：固定一邊AB，∠CAB可以自由變化，因此點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)A為圓心、2為半徑的圓．通過構(gòu)造全等圖形找出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡．利用圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值來解決問題．拓展本題的解法較多，對(duì)于“定點(diǎn)＋動(dòng)點(diǎn)”的最值問題，探究動(dòng)點(diǎn)的軌跡圖形時(shí)直接的方法．11.如圖3.8所示，AB=3，AC=2，以BC為腰（點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)）向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，則AD的取值范圍為；解答：以AB為腰做等腰直角△ABE（∠ABE=90°），連接DE，如圖4.19所示，∴AE=2AB=32，∠ABC=∠EBD=90°－∠CBE，在△ABC和△EBD中AB=BE∴△ABC≌△EBD（SAS）∴ED=AC=2∴點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)E為圓心、2為半徑的圓∴AE－ED≤AD≤AE＋ED如圖4.20和圖4.21所示，當(dāng)且僅當(dāng)A，E，D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，∴32－2≤AD≤32＋2思路點(diǎn)撥：解題方法基本同上題，也是通過構(gòu)造全等圖形找出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡上，再利用圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值來解決問題12.如圖3.9所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，則AD的取值范圍為，解答：以AB為底邊構(gòu)造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），連接DE，如圖4.22所示，∴AE=22AB=22，∠EBA=∠CBD∵AB∴△ABC∽△EBD∴DE=22AC=∴點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)E為圓心、2為半徑的圓AE－ED≤AD≤AE＋ED如圖4.23和圖4.24所示，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值∴2≤AD≤32思路點(diǎn)撥：與前面兩題不同的是，由于旋轉(zhuǎn)中心不再是等腰三角形頂角的頂點(diǎn)，因此構(gòu)造全等圖形變成構(gòu)造相似圖形，從而找出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值來解決問題13.如圖3.10所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使AD=PD，則PB的取值范圍為，解答：以AB為底邊構(gòu)造等腰直角△AEB（∠AEB=90°），連接DE，如圖4.25所示，∴AE=22AB=22，∠EBA=∠CBD∵AB∴△ABC∽△EBD∴DE=22AC=∴點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)E為圓心、2為半徑的圓延長(zhǎng)AE至點(diǎn)Q，使AE=EQ，連接PQ、BQ，∵AD=DP，∴DQ=2DE=22如圖4.23和圖4.24所示，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值∵BE垂直平分AQ，∴AB=BQ∵∠QAB=45°，∴△ABQ為等腰直角三角形，∴BQ=AB=4∴BQ－PQ≤PB≤BQ＋PQ如圖4.26和圖4.27所示，當(dāng)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最值∴4－22≤PB≤4＋2思路點(diǎn)撥：注意到點(diǎn)P的產(chǎn)生與中點(diǎn)有關(guān)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)與點(diǎn)D“捆綁”在一起，故可通過構(gòu)造中位線來判斷點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，再利用圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值來解決問題14.如圖3.11所示，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，兩頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，則頂點(diǎn)D到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值的乘積為；解答：取AB的中點(diǎn)G，連接DG、OG，如圖4.28所示，∵∠AOB=∠xOy=90°，∴OG=12連接DB、OD∴△DCB為等腰三角形∵∠C=120°，∴∠DBC=30°，DB=3DC=2∴∠DBA=120°－30°=90°在Rt△DGB，GB=1，∴DG=DB∴DG－OG≤OD≤OG＋DG當(dāng)且僅當(dāng)O、G、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值D、G在點(diǎn)O同側(cè)時(shí)取得最大值，在點(diǎn)O異側(cè)時(shí)取最小值，如圖4.29所示，∴13－1≤OD≤13＋1∴OD的最大值和最小值乘積為13?思路點(diǎn)撥：這個(gè)是“墻角”型問題，類似于梯子在墻角滑動(dòng)，將墻角變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，這樣移動(dòng)的范圍能擴(kuò)大到負(fù)方向；利用“墻角”產(chǎn)生的直角，以及AB邊長(zhǎng)不變的特點(diǎn)，作出AB的中點(diǎn)G，利用斜邊上的中線OG和位置固定的兩點(diǎn)D、G來構(gòu)造兩條大小不變、位置變化的線段OG、DG；利用兩邊之和與兩邊之差得到OD的最大值和最小值；另辟蹊徑：利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，我們假設(shè)正六邊形是不變的，坐標(biāo)系可以繞著正六邊形運(yùn)動(dòng)；利用∠AOB=90°，AB=2，判斷出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)圓，如圖4.30所示，利用圓外一點(diǎn)到圓周上的距離最值解得OD的最大值和最小值；讀者可以自行計(jì)算驗(yàn)證15.如圖3.12所示，AB=4，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，△PBC是以PB為直角邊的等腰直角三角形（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針方向排列），則AC的取值范圍為；解答：如圖4.31所示，以O(shè)B為腰向上構(gòu)造等腰直角△OBQ，連接OP、CQ、AQ；在等腰直角△OBQ和等腰直角△BPC中，CBBP=QBBO=∴∠CBQ=45°－∠QBP=∠PBO，∴△CBQ∽△PBO∴OPCQ=OBBQ=∴點(diǎn)C在以點(diǎn)Q為圓心，2∵OQ=OB=OA=2，∠QOB=90°∴AQ=AQ2∴AQ－QC≤AC≤AQ＋QC如圖4.32和圖4.33所示，當(dāng)且僅當(dāng)A、C、Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，∴2≤AC≤3思路點(diǎn)撥：由于△PBC形狀固定，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、C到點(diǎn)B的距離之比始終不變，這是比較典型的位似旋轉(zhuǎn)，也可理解為點(diǎn)P、C“捆綁”旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C的軌跡與點(diǎn)P的軌跡圖形相似，相似比為2:1；利用相似找出動(dòng)點(diǎn)C軌跡的圓心，AC的最值即定點(diǎn)A到定圓上一動(dòng)點(diǎn)的距離的最值16.如圖3.13所示，⊙O的半徑為3，Rt△ABC的頂點(diǎn)A、B在⊙O上，∠B＝90°，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)，且tanA＝SKIPIF1<0.當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OC的最小值為()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0答案：連接OB，過點(diǎn)B向下作BD⊥OB，取BD＝SKIPIF1<0OB，連接AD，如圖4.34所示.∵∠CBA＝∠OBD＝90°，∴∠OBC＝90°－∠OBA＝∠DBA.∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴△OCB∽△DAB，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.∵AD≥OD－OA＝SKIPIF1<0－OA＝2，當(dāng)且僅當(dāng)O、A、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，∴OC＝SKIPIF1<0AD≥SKIPIF1<0×2＝SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥又是比較典型的位似旋轉(zhuǎn)問題，我們利用相似的性質(zhì)將OC的最值問題轉(zhuǎn)化為AD的最值問題.通過旋轉(zhuǎn)型相似構(gòu)造Rt△OBD，其中∠OBD＝90°，∠ODB＝∠CAB，因此點(diǎn)D為定點(diǎn).另外，由△OCB∽△DAB得到OC和AD之間的固定比例，從而可利用AD的最值求解OC的最值.AD的最值即為圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最值.另辟蹊徑根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90°，找到直徑AD，而∠ACD＝180°－∠ACB為定值，因此由定弦定角得出點(diǎn)C的軌跡為圓弧，可根據(jù)圖4.35所示計(jì)算OC的最小值.17.如圖3.14所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Q(3，4)，點(diǎn)P是以Q為圓心、2為半徑的⊙Q上一動(dòng)點(diǎn)，A(1，0)，B(－1，0)，連接PA、PB，則PA2＋PB2的最小值是___________.答案：連接OP、QP、OQ，如圖4.36所示.設(shè)P(x，y).根據(jù)兩點(diǎn)距離公式得∴PA2＝(x－1)2＋y2，PB2＝(x＋1)2＋y2，∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2(x2＋y2)＋2.∴OP＝SKIPIF1<0，∴OP2＝x2＋y2，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，要求PA2＋PB2的最小值，即求OP2的最小值，也就是求OP的最小值，∴OP≥OQ－PQ，如圖4.37所示，當(dāng)且僅當(dāng)O、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，∴OP＝5－2＝3，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2≥2×32＋2＝20.思路點(diǎn)撥根據(jù)PA2＋PB2這樣的形式，產(chǎn)生兩個(gè)聯(lián)想，一是勾股定理，二是坐標(biāo)公式.要使用勾股定理，就得把PA和PB構(gòu)造為兩條直角邊，在題圖中難以實(shí)現(xiàn)，所以轉(zhuǎn)而利用坐標(biāo)公式表達(dá)，我們便發(fā)現(xiàn)PA2＋PB2與OP2的聯(lián)系，而OP的最小值即圓外一點(diǎn)到圓周上一點(diǎn)的距離最小值.弦外之音我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，雖然點(diǎn)P在動(dòng)，但OP始終是△ABP邊AB上的中線，且AB是個(gè)定值，我們可以直接利用中線長(zhǎng)公式得到PA2＋PB2＝2OP2＋SKIPIF1<0，接下來的計(jì)算和上面是一致的.公式的應(yīng)用有助于對(duì)思路的拓展，因此學(xué)有余力的同學(xué)可以自行推導(dǎo)中線長(zhǎng)公式(僅用勾股定理即可).18.如圖3.15所示，兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)靠在一起，BC＝3，EF＝2，G為DE上一動(dòng)點(diǎn).將三角尺DEF繞直角頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)一周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，B、G兩點(diǎn)的最小距離為___________.答案：在Rt△DEF中，CE＝2，∠CDE＝30°，∴DF＝2SKIPIF1<0，DE＝4.如圖4.38所示，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CGmax＝DF＝2SKIPIF1<0，當(dāng)CG⊥DE時(shí)，CGmin＝h＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≤CG≤2SKIPIF1<0.當(dāng)CG＝3時(shí)，以C為圓心、CG為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)B.在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)G會(huì)經(jīng)過點(diǎn)B.因此，當(dāng)BG恰好重合時(shí)，BG取得最小值為0.思路點(diǎn)撥這是個(gè)“特別”的題，點(diǎn)G是DE上一動(dòng)點(diǎn)，因此在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)G的軌跡不是線而是面，這個(gè)面的形狀為以點(diǎn)C為圓心、分別以CGmin和CGmax為半徑的同心圓環(huán)，點(diǎn)B也在這個(gè)“面軌跡”中，因此BG的最小值為0.19.如圖3.16所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2SKIPIF1<0，△ADC與△ABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DE＝CF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為()A.1B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.2答案：連接BD，如圖4.39所示.∵△ADC與△ABC關(guān)于AC對(duì)稱，∠ACB＝30°，∴BC＝CD，∠BCD＝60°，∴△BDC是等邊三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°.在△BDE和△DCF中，BD＝CD，∠BDC＝∠BCD，DE＝CF，∴△BDE≌△DCF(SAS)，∴∠BED＝∠DFC.∵∠BED＋∠PEC＝180°，∴∠PEC＋∠DFC＝180°，∴∠DCF＋∠EPF＝∠DCF＋∠BPD＝180°.∵∠DCF＝60°，∴∠BPD＝120°.∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠BPD＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑為以A為圓心、AB為半徑的120°的弧.當(dāng)C、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，CP能取到最小值，如圖4.40所示，∴CP≥AC－AP＝2，即線段CP的最小值為2.思路點(diǎn)撥需要熟悉等邊三角形中的常見全等圖形.因?yàn)辄c(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠BPD＝120°，BD又是定長(zhǎng)，所以點(diǎn)P的路徑是一段以點(diǎn)A為圓心的弧，于是將CP的最小值轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最小值.20.如圖3.17所示，sinO＝SKIPIF1<0，長(zhǎng)度為2的線段DE在射線OA上滑動(dòng)，點(diǎn)C在射線OB上，且OC＝5，則△CDE周長(zhǎng)的最小值為___________.答案：過點(diǎn)C作CC'∥DE且CC'＝DE，連接C'E，如圖4.41所示，∴四邊形CC'ED為平行四邊形，∴C'E＝CD.作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C″E、C″D、C″C，∴CE＝C″E，∴CD＋CE＝C'E＋CE＝C'E＋C'″E≥C'C"，當(dāng)且僅當(dāng)C'、E、C"三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，如圖4.42所示.∵CC"關(guān)于OA對(duì)稱，∴OA垂直平分CC"，∴CC"＝2CF＝2OC·sinO＝6.在Rt△CC'C"中，C'C"＝SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0，∴△CDE周長(zhǎng)的最小值為2SKIPIF1<0＋2.思路點(diǎn)撥因?yàn)镈E為定值，所以△CDE周長(zhǎng)的最小值問題轉(zhuǎn)變?yōu)镃D＋CE的最小值問題.似“飲馬”非“飲馬”，注意觀察，這是一定兩動(dòng)問題.利用平移將動(dòng)線段DE“壓縮”為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；軸對(duì)稱后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短找到最小值線段，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可解決問題.21、如圖3.18所示，在矩形ABCD中，AB=6，MN在邊AB上運(yùn)動(dòng)，MN=3，AP=2，BQ=5，則PM+MN+NQ的最小值是______________。解：作SKIPIF1<0，作點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于點(diǎn)H，如圖4.43所示，SKIPIF1<0四邊形MNQQ’為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，如圖4.44所示，當(dāng)P、M、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值。SKIPIF1<0SKIPIF1<0關(guān)于AB對(duì)稱，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，AH=BQ=5，SKIPIF1<0PH=AP+AH=2+5=7。在Rt△PHSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0=3，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0PM+MN+NQ的最小值為3+SKIPIF1<0。思路點(diǎn)撥：作SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，作點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，當(dāng)P、M、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，PM+MN+NQ的值最小。作SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0即可解決問題。22、如圖3.19所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=900，AB=6，D為AB的中點(diǎn)，E為CD上的點(diǎn)，且CE=2DE，PQ為AB上的動(dòng)線段，PQ=1，F(xiàn)為AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EQ、FP，則EQ+FP的最小值為__________。解：過點(diǎn)E作EE’∥PQ，取EE’=PQ=1，作點(diǎn)E’關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E’’，連接E’P、E’’P，如圖4.45所示，SKIPIF1<0四邊形EE’PQ為平行四邊形，E’P=E’’P，SKIPIF1<0E’P=EQ，SKIPIF1<0EQ+FP=E’P+FP=E’’P+FPSKIPIF1<0E’’F，如圖4.46所示，當(dāng)且僅當(dāng)E’’、P、F三點(diǎn)共線且E’’F⊥AC時(shí)取到最小值。當(dāng)E’’F⊥AC時(shí)，設(shè)E’E’’與AD的交點(diǎn)為G，E’’F與AD的交點(diǎn)為H，如圖4.47所示。SKIPIF1<0E’與E’’關(guān)于AB對(duì)稱，SKIPIF1<0E’’G=E’G=ED=1，SKIPIF1<0AG=2，SKIPIF1<0∠A=450，SKIPIF1<0∠FHA=∠E’’HG=450，SKIPIF1<0HG=E’’G=1，SKIPIF1<0AH=AG－HG=1。在等腰直角△AFH和△HGE’’中，AH=1，HG=1，SKIPIF1<0FH=SKIPIF1<0，E’’H=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0E’’F=E’’H+FH=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)E’’F⊥AC時(shí)，E’’F取得最小值為SKIPIF1<0。思路點(diǎn)撥：作EE’∥PQ，取EE’=PQ，構(gòu)造平行四邊形，將EQ+FP的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為E’P＋FP的長(zhǎng)度來找最小值。作對(duì)稱點(diǎn)，構(gòu)造“將軍飲馬”模型，再利用“垂線段最短”求出最小值。與題21類似，本題也要將線段PQ“壓縮”為一個(gè)點(diǎn)，屬于平移后求垂線段長(zhǎng)度的問題。23、如圖3.20所示，在正方形ABCD中，AB=4，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，MN和PQ分別是邊BC、CD上的線段，MN=PQ=1，依次連接EM、NP、QF、EF，則六邊形EMNPQF周長(zhǎng)的最小值為____________。解：分別過點(diǎn)E、F作BC、CD的平行線，截取EE’=FF’=MN=PQ，作點(diǎn)E’關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E’’，點(diǎn)F’關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F’’，連接E’N、E’’N、F’P、F’’P，如圖4.48所示，SKIPIF1<0四邊形EE’NM和四邊形FF’PQ為平行四邊形，SKIPIF1<0EM=E’N，F(xiàn)Q=F’P。SKIPIF1<0點(diǎn)E’、E’’關(guān)于BC對(duì)稱，N為BC上的點(diǎn)，SKIPIF1<0E’N=E’’N。同理，F(xiàn)’P=F’’P。六邊形EMNPQF的周長(zhǎng)=EM+MN+NP+PQ+FQ+EF，其中MN、PQ、EF為定值，要求周長(zhǎng)最小值即求EM+NP+FQ的最小值。SKIPIF1<0EM+NP+FQ=E’’N+NP+F’’PSKIPIF1<0E’’F’’，如圖4.49所示，當(dāng)E’’、N、P、F’’四點(diǎn)共線時(shí)取到最小值。建立如圖4.50所示的坐標(biāo)系，由題意得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2），SKIPIF1<0E’（1，2），SKIPIF1<0E’’（1，－2）。同理可得F’’（6，3），SKIPIF1<0E’’F’’=SKIPIF1<0。SKIPIF1<0AE=AF=2，SKIPIF1<0EF=SKIPIF1<0AE=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0六邊形EMNPQF的周長(zhǎng)最小值為SKIPIF1<0＋2。思路點(diǎn)撥：本題中有兩條定線段平移，那我們就仿照上兩題的方法平移兩次即可。分別構(gòu)造平行四邊形EE’NM和平行四邊形FF’PQ，將六邊形EMNPQF的周長(zhǎng)最小值問題轉(zhuǎn)化為E’’N+NP+F’’P的最小值問題（屬于“郵差送信”問題），依舊作出對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求出最小值。這里求解最小值時(shí)用到了平面直角坐標(biāo)系，這是“偷懶”的一種計(jì)算方法，相當(dāng)于在平面直角坐標(biāo)系的背景下應(yīng)用勾股定理，亦可根據(jù)勾股定理求解E’F’。與題21，題22相比，本題是兩次平移后的“兩點(diǎn)之間距離”問題。24、如圖3.21所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E、F分別為AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF⊥AC，連接AF、CE，則AF+CE的最小值為_____________。解：過點(diǎn)C作CG∥EF，且CG=EF，連接FG、AG，如圖4.51所示，SKIPIF1<0四邊形ECGF為平行四邊形，SKIPIF1<0EC=FG。在圖4.52中，過點(diǎn)B作BH∥EF，SKIPIF1<0四邊形BFEH為平行四邊形，SKIPIF1<0EF=BH。SKIPIF1<0EF⊥AC，SKIPIF1<0△ABC∽△HAB，SKIPIF1<0BH：AC=EF:AC=AB:BC。綜上所述，CG⊥AC且CG=EF=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0G為定點(diǎn)，SKIPIF1<0AF＋CE=AF＋FGSKIPIF1<0AG，如圖4.53所示，當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值。在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，SKIPIF1<0AC=SKIPIF1<0，在Rt△ACG中，AG=SKIPIF1<0。思路點(diǎn)撥：本題要求兩條線段和的最小值，而對(duì)分開的兩線段不易判斷最值的問題，所以需要將它們合并起來，可采用的方法是全等轉(zhuǎn)換，我們這里使用的是平移變換。將線段CE平移至以點(diǎn)F和另一個(gè)固定點(diǎn)G為端點(diǎn)的線段位置，即可根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決最小值問題。25、如圖3.22所示，在?ABCD中，AD=7，AB=SKIPIF1<0，∠B=600，E是邊BC上任意一點(diǎn)，沿AE剪開，將△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四邊形AEFD，則四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值為____________。解：如圖4.54所示，將△ABE平移，SKIPIF1<0△ABE≌△DCF，SKIPIF1<0AE=DF，BE=CF。在?ABCD中，AD=BC，SKIPIF1<0AD=EF，SKIPIF1<0四邊形AEFD的周長(zhǎng)=2AD＋2AE=14＋2AE。如圖4.55所示，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，AE取得最小值。在Rt△ABC中，∠B=600，SKIPIF1<0AE=AB.SKIPIF1<0=3，SKIPIF1<0四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值=14＋6=20。思路點(diǎn)撥：四邊形AEFD依舊是一個(gè)平行四邊形，周長(zhǎng)等于2（AD＋AE），故將四邊形AEFD周長(zhǎng)的最小值問題轉(zhuǎn)化為AE的最小值問題。根據(jù)“點(diǎn)到直線，垂線段最短”即可解決問題。26.如圖1所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上（均不與端點(diǎn)重合），DG∥EF.將△BDG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，將△CEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長(zhǎng)l的取值范圍是________.圖126.解：由題意得△BGD≌△AMD，∴∠M＝∠DGB，∴AM/∥BG，∴四邊形MGFN為平行四邊形，∴l(xiāng)＝2（GF＋GM）.∵GF＝MN＝BG＋CF＝BC－GF，∴GF＝SKIPIF1<0BC＝SKIPIF1<0，∵GM＝2DG，.∴當(dāng)DG取得最小值時(shí)，四邊形MGFN的周長(zhǎng)最小；同理，當(dāng)DG取得最大值時(shí)，四邊形MGFN周長(zhǎng)最大.如圖1和圖2所示，當(dāng)DG⊥BC時(shí)，DG取得最小值；若點(diǎn)G與點(diǎn)B重合，則DG取得最大值.圖1圖2當(dāng)DG⊥BC時(shí)，∵∠B是公共角，∴△BDG∽△BCA，∴BD∶BC＝DG∶AC，∴DG＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0≤DG＜2，∴SKIPIF1<0≤l＜13思路點(diǎn)撥：四邊形MGFN為平行四邊形，而GF為定值，所以將周長(zhǎng)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為線段DG（EF）的取值范圍問題，當(dāng)DG⊥BC時(shí)DG取得最小值；由于點(diǎn)G、F與端點(diǎn)均不重合，因此最大值取不到.27.如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.若CD＝3，則S△ABC的最小值為_______.圖127.解：取AB的中點(diǎn)E，連接CE，如圖1所示，圖1∴CE＝SKIPIF1<0AB.∵CD⊥AB，.∴CE≥CD，∴AB≥2CD＝6，當(dāng)且僅當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)取到最小值，∴S△ABC的最小值為9.思路點(diǎn)撥CD為定值，則當(dāng)AB最小時(shí)，S△ABC取得最小值.根據(jù)“斜邊上的中線等于斜邊的一半”和“垂線段最短”，找到當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，AB取得最小值為2CD.直角三角形中斜邊上的中線是一個(gè)比較容易被忽略的知識(shí)點(diǎn)，尤其是在需要主動(dòng)去構(gòu)造的時(shí)候.28.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與x軸相交于點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)A，則線段AB的最小值是________.圖128.解：取AB的中點(diǎn)Q，連接OP、OQ，如圖1所示，圖1∴OQ＝SKIPIF1<0AB.∵OP≤OQ，∴SKIPIF1<0AB≥OP，∴AB≥4，即AB的最小值為4，此時(shí)△AOB為等腰直角三角形.思路點(diǎn)撥要求AB的最小值，只需取AB的中點(diǎn)，求出斜邊上的中線的最小值，根據(jù)“垂線段最短”，AB的最小值在OP與斜邊上的中線重合時(shí)取到.29.如圖1所示，在矩形ABCD中，BC＝8，AB＝6，經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)D的兩個(gè)動(dòng)圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點(diǎn)G、H、E、F，則EF＋GH的最小值是______.圖129.解：設(shè)切點(diǎn)為N，連接OD、ON，作出AC邊上的高DM，如圖1所示.圖1∵∠ADC＝90°，∴EF為⊙O的直徑，AC＝SKIPIF1<0＝10，∴EF＝OD＋ON≥DM，當(dāng)且僅當(dāng)切點(diǎn)為點(diǎn)M時(shí)EF取到最小值，∴EFmin＝DM＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝4.8.∵矩形為中心對(duì)稱圖形，同理，GHmin＝EFmin＝4.8，∴(EF＋GH)min＝9.6.恩路點(diǎn)撥雖然目標(biāo)式是EF＋GH的組合形式，但是觀察后發(fā)現(xiàn)兩個(gè)線段可獨(dú)立求解最值.由于矩形為中心對(duì)稱圖形，因此EF和GH的最小值顯然是相等的，于是將問題轉(zhuǎn)化為求EF的最小值，注意到EF是圓的直徑，根據(jù)“垂線段最短”，可知圓的最短直徑是△ACD斜邊上的高線.30.如圖1所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.點(diǎn)D、E分別為AC、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且DE＝3，以DE為直徑作⊙O，交AB于M、N，則MN的最大值為_______.圖130.解：過點(diǎn)O作OG⊥AB，連接ON、CO，如圖1所示，圖1∴ON＝r＝SKIPIF1<0DE＝SKIPIF1<0，∴GN＝GM＝SKIPIF1<0MN.在Rt△OGN中，GN2＝ON2－OG2，其中ON為定值，故當(dāng)OG取最小值時(shí)，GN取得最大值，即MN取得最大值.過點(diǎn)C作CH⊥AB.在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.∵S△ABC＝SKIPIF1<0AC·BC＝SKIPIF1<0CH·AB，∴CH＝SKIPIF1<0≤CO＋OG，∴OG≥SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0,∴GNmax＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴MNmax＝2GNmax＝SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥DE為定值，即⊙O的半徑為定值，故當(dāng)弦MN上的垂徑最短時(shí)，MN取得最大值，根據(jù)“垂線段最短”找出OG最短時(shí)垂足的位置.31.如圖3.28所示，在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的最小值為 。解：如圖4.62所示，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在△SKIPIF1<0和△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴△SKIPIF1<0≌△SKIPIF1<0(AAS)∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0，∴線段SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<032.如圖3.29所示，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0為射線SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為 。解：連接SKIPIF1<0，如圖4.64所示在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在△SKIPIF1<0和△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴△SKIPIF1<0≌△SKIPIF1<0(SAS)∴SKIPIF1<0如圖4.65所示，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<033.已知梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)SKIPIF1<0到點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，再以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為邊作□SKIPIF1<0，如圖3.30所示，則對(duì)角線SKIPIF1<0的最小值為 。解：如圖4.66所示∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴△SKIPIF1<0∽△SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的四等分點(diǎn)（定點(diǎn)）如圖4.67所示，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，SKIPIF1<0也取得最小值如圖4.68所示，過點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別作SKIPIF1<0的垂線段，垂足分別為點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴四邊形SKIPIF1<0為矩形∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0四等分點(diǎn)∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0四等分點(diǎn)∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<034.如圖3.31所示，在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是射線SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是射線SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。則SKIPIF1<0長(zhǎng)度的最小值是。解：如圖4.69所示，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最小同理，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最小由于SKIPIF1<0為定值，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0同時(shí)取得最小值在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<035.如圖3.32所示，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)SKIPIF1<0最小時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為 。解：作點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如圖4.70所示∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0如圖4.71所示，當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)共線且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴△SKIPIF1<0∽△SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵直線SKIPIF1<0與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴當(dāng)SKIPIF1<0最小時(shí)，SKIPIF1<036.在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O到直線y=kx-2k+4的最大距離為（）A.2B.3C.3+SKIPIF1<0D.SKIPIF1<036.解y=kx-2k+4→y=k（x-2）+4.當(dāng)x=2時(shí)，y=4，故無論k為何值，直線必過（2，4）.如圖4.72所示，過點(diǎn)O無論作直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的垂線段，垂足分別為A、B、C，其中點(diǎn)A為定點(diǎn)（2，4）.在Rt△ABO中，OA＞OB.同理，OA＞OC.當(dāng)且僅當(dāng)OA⊥l時(shí)，點(diǎn)O到直線l的距離最大，最大值即OA=SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥題中直線雖然是動(dòng)直線，但是只含有一個(gè)參數(shù)k，進(jìn)行化簡(jiǎn)后，可以找到一定點(diǎn)（2，4）不受k的影響.根據(jù)“直角三角形中斜邊大于直角邊”，所求最大距離為原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.弦外之音動(dòng)直線過定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)定軌跡的問題其實(shí)偏向高中的解析幾何，卻又在初中經(jīng)常出現(xiàn)，注意下面兩種形式的點(diǎn)和直線：如A（2m-1，-3m+4），動(dòng)點(diǎn)A經(jīng)過直線y=-SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0；又如直線l：y=2kx-3k+1,經(jīng)過定點(diǎn)（SKIPIF1<0，1）.要學(xué)會(huì)觀察題目中這些“動(dòng)中有靜”的信息，才能快速找到解題的思路.37.如圖3.33所示，在直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2），一條動(dòng)直線l分別與BC、OA交于點(diǎn)E、F，且將四邊形OABC分為面積相等的兩部分，則點(diǎn)C到動(dòng)直線l的距離的最大值為__________.37.知識(shí)儲(chǔ)備過梯形中位線中點(diǎn)的直線（經(jīng)過梯形的上底和下底）將梯形分為面積相等的兩個(gè)梯形.證：如圖4.73所示，在梯形ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，連接AF交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.∵AB∥CD，∴∠BAF=∠G，∠B=∠FCG.在△ABF和△GCF中，SKIPIF1<0∴△ABF≌△GCF（AAS），∴AB=CG，AF=GF.∵E為AD的中點(diǎn)，∴EF∥DG，∴EF=SKIPIF1<0DG=SKIPIF1<0（CD+CG）=SKIPIF1<0（AB+CD），即梯形的中位線等于SKIPIF1<0（上底+下底）.如圖4.74所示，O為EF的中點(diǎn)，PQ經(jīng)過點(diǎn)O分別與上底、下底交于點(diǎn)P、Q，過點(diǎn)O作MN⊥CD，∴四邊形APQD和四邊形BPQC也是梯形.∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（AP+DQ）·MN=EO·MN，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（BP+CQ）·MN=FO·MN，又O為EF的中點(diǎn)，∴EO=FO， SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴經(jīng)過點(diǎn)O的直線平分梯形ABCD的面積.解取OC和AB的中點(diǎn)G、H，連接GH，取GH的中點(diǎn)M，如圖4.75所示，∴G（0，1），H（6，1），∴M（3，1）.當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，梯形面積被平分.當(dāng)CM⊥EF時(shí)，點(diǎn)C到EF的距離最大，∴CM=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥需要一定的知識(shí)儲(chǔ)備：平分梯形面積的直線必過梯形中位線的中點(diǎn).得到梯形中位線的中點(diǎn)坐標(biāo)后，題目要求的定點(diǎn)C到動(dòng)直線l距離的最大值，可以參照題36中的思路來計(jì)算.38.如圖3.34所示，E是正方形ABCD中邊BC上的一點(diǎn)，以BE為邊在正方形ABCD外作正方形BEFG（A、B、G三點(diǎn)在同一直線上），連接AF，M為AF的中點(diǎn)，AB=4，則EM的最小值為________.38.解：連接BD，延長(zhǎng)FE與BD相交于點(diǎn)N，連接AN，如圖4.76所示，∴BD平分∠ABC，∴∠NBE=∠DBA=45°.在正方形BEFG中，∠BEF=90°，∴∠BEN=90°，∴△BEN為等腰直角三角形，∴BE=NE=EF∵M(jìn)為AF的中點(diǎn).∴EM=SKIPIF1<0AN.如圖4.77所示，當(dāng)AN⊥BD時(shí)，AN取得最小值，此時(shí)EM也取得最小值.在Rt△ABN中，∠DBA=45°，AB=4，∴AN=2SKIPIF1<0，∴EM=SKIPIF1<0AN=SKIPIF1<0×2SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥M為AF的中點(diǎn)，而點(diǎn)E、M均為動(dòng)點(diǎn)，不易求出EM的最小值，因此我們要借助轉(zhuǎn)化思想；以中點(diǎn)為著眼點(diǎn)，延長(zhǎng)FE至點(diǎn)N，將EM構(gòu)造為中位線；由于點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為BD，根據(jù)“垂線段最短”即可求出AN的最小值.39.如圖3.35所示，在菱形ABCD中，tan∠DAB=SKIPIF1<0，E為BC上一點(diǎn)，以BE為邊向外作菱形BEFG（A、B、G三點(diǎn)在同一直線上），取AF得中點(diǎn)M，連接EM，AB=5，則EM的最小值為________.39.解：連接BD，延長(zhǎng)FE交BD于點(diǎn)N，連接AN，如圖4.78所示.在菱形ABCD和菱形BEFG中，CD∥AB∥EF，CD=BC，∴∠CDB=∠CBD=∠ENB，∴NE=BE=EF.∵M(jìn)為AF的中點(diǎn)，∴EM=SKIPIF1<0AN.如圖4.79所示，當(dāng)AN⊥BD時(shí)，AN取得最小值，同時(shí)EM也取得最小值.在△ABD中，過點(diǎn)D作DH⊥AB，如圖4.80所示.在Rt△ADH中，tan∠DAB=SKIPIF1<0，AD=5.∴DH=4，AH=3，∴BD=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0AN·BD=SKIPIF1<0DH·AB，∴AN=2SKIPIF1<0，∴EM的最小值為SKIPIF1<0.思路點(diǎn)撥依舊將EM構(gòu)造成中位線，利用AN的最小值來解的EM的最小值；找到點(diǎn)N的直線軌跡后根據(jù)“垂線段最短”求AN的最小值.可以利用面積法計(jì)算AN長(zhǎng)度.40.如圖3.36所示，在△ABC中，∠A=60°（∠B＜∠C），E、F分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，以EF為邊向下作等邊三角形DEF，△DEF的中心為點(diǎn)P，連接CO.已知AC=4，則CO的最小值40.知識(shí)儲(chǔ)備原型OC為∠AOB的平分線，D為OC上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為OA、OB上的點(diǎn)，如圖4.81所示.（1）若DE=DF（OE＜OF），求證：∠AOB+∠EDF=180°.（2）若∠AOB+∠EDF=180°,求證：DE=DF.推論若已知∠AOB+∠EDF=180°，DE=DF，求證：D為角平分線上一點(diǎn).證：過點(diǎn)D作DM⊥OA，DN⊥OB，如圖4.82所示.∵OC為∠AOB的平分線，∴DM=DN.在Rt△DME和Rt△DNF中，SKIPIF1<0∴△DME≌△DNF（HL），∴∠DEM=∠DFN.∴∠DFN+∠DEO=180°，∴在四邊形OEDF中，∠AOB+∠EDF=180°.同理，對(duì)于（2）和推論，利用AAS判定三角形全等即可.解：連接OE、OF、AO，如圖4.83所示.∵點(diǎn)O是△DEF的中心，∴OE=OF，OE平分∠FED，OF平分∠EFD，∴∠OEF=∠OFE=30°，∴∠EOF=120°，∴∠EOF+∠BAC=180°.根據(jù)角平分線模型可知AO平分∠BAC，即點(diǎn)O的軌跡為∠BAC的平分線，∴∠CAO=30°.如圖4.84所示，當(dāng)CO⊥AO時(shí)CO取得最小值.在Rt△CAO中，∴CO=SKIPIF1<0AC=2，∴CO的最小值為2.思路點(diǎn)撥連接AO，構(gòu)成一個(gè)基本的角平分線模型，利用AAS易知AO為角平分線，因此點(diǎn)O的軌跡為∠BAC的平分線（部分）.以BC為邊向下作等邊三角形能得出AO的軌跡終點(diǎn).根據(jù)“垂線段最短”得出CO的最小值.角平分線模型的相關(guān)應(yīng)用還是十分廣泛的，利用該模型可以快速解決問題.41.如圖3.37所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E是線段BO上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是射線DC