中考數(shù)學二輪培優(yōu)復習《幾何模型》專題01 截長補短模型證明問題（教師版）

專題01截長補短模型證明問題【專題說明】截長補短法在初中幾何教學中有著十分重要的作用,它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一直貫穿著整個幾何教學的始終.那么什么是截長補短法呢?所謂截長補短其實包含兩層意思,即截長和補短.截長就是在較長的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段,證剩下的那一段等于另外一段較短的線段.當條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+b=c時，用截長補短．【知識總結(jié)】1、補短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中那一條線段相等；2、截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線段中的另一段相等。3、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系時常用。如圖1，若證明線段AB,CD,EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長補短法截長法：如圖2，在EF上截取EG=AB,在證明GF=CD即可；補短法：如圖3，延長AB至H點，使BH=CD,再證明AH=EF即可.

【類型】一、截長“截長”是指在較長的線段上截取另外兩條較短的線段，截取的作法不同，涉及四種方法。方法一：如圖2所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.圖2方法二：如圖2所示，在BF上截取FM=GC可證四邊形GCFM為平行四邊形可得CM=FG=CF可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°又得∠BMC=∠DFC=135°于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF于是BF=FM+BM=CG+DF上述兩種方法中都利用了兩個共頂點的等腰Rt△BCD和△MCF

方法三：如圖3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△DFK，可證得∠DFC=∠KFG=135°，所以△DFC≌△KFG（SAS），所以KG=DC=BC，∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，得四邊形BCGK為平行四邊形，BK=CG，于是BF=BK+KF=CG+DF圖3方法四如圖3所示，在BF上截取BK=CG，可得四邊形BCGK為平行四邊形，BC=GK=DC，BC∥KG，∠GKF=∠CBF=∠CDF根據(jù)四邊形BCFD為圓的內(nèi)接四邊形，可證得∠BFC=45°，∠DFC=∠KFG，于是△DCF≌△KGF（AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個共頂點的等腰Rt△BDC和△KDF。

【類型】二、補短“補短”指的是選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破，根據(jù)輔助線作法的不同也涉及四種不同的方法。方法五：如圖4所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.圖4方法六：如圖4所示，延長GC至N，使NG=BF，得四邊形BFGN為平行四邊形，所以BN=GF=CF，又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，得∠DCF=∠CBN，又CD=BC，可證△CDF≌△BCN（SAS），DF=CN，以下從略.

方法七：如圖5所示，延長CG至P，使CP=BF，連接PF，則四邊形CPFB為平行四邊形，PF=BC=DC，又∠BFC=45°，∠PFE=∠DEC，因為∠PFG=∠FGC－∠P=45°－∠P，∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，又可證∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，所以△PFG≌△DCF（SAS），PG=DF，于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.圖5方法八：如圖5所示，延長CG至P，使GP=DF，連接PF，可證∠DFC=∠PGF=135°，F(xiàn)C=CF，所以△DFC≌△PGF（SAS），所以DC=PF=BC，∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE，BC∥FP，所以四邊形BCPF為平行四邊形，所以BF=CP=CG+PG=CG+DF.

方法九：如圖6所示，延長DE至Q，使DQ=BF，連接CQ，GQ，可證△BCF≌△DCQ（SAS），CF=CQ，∠BCF=∠DCQ，于是可得∠FCQ=∠BCD=90°，所以△FCQ為等腰直角三角形，可得四邊形FCQG為正方形，F(xiàn)Q=CG，所以BF=DQ=DF+FQ=DF+CG.圖6方法十：如圖6所示，延長FE至Q，使FQ=CG，通過證明四邊形FCQG為正方形，△BCF≌△DCQ，同樣可以證明結(jié)論成立。感興趣的讀者可以自行證明，詳細思路從略。

方法十一：如圖7所示，延長FD至H，使DH=CG，可證得∠BDF=∠BDC+∠CDF，∠ECF=∠FCG+∠CEG，于是∠BDF=∠ECF，則∠BDH=∠BCF，所以△BDH∽△BCF（SAS），得∠H=∠BFC=45°，所以△BFH為等腰直角三角形，于是BF=HF=DF+DH=DF+CG.圖7方法十二：如圖7所示，延長FD至H，使FH=BF，可得△BFH為等腰直角三角形，于是∠HBD=∠FBC，又∠H=∠BFC=45°，所以△BDH∽△BCF，所以BF=HF=DF+DH=DF+CG.經(jīng)過上述分析，可知采取不同的切入點，解題思路會有差異。

【基礎訓練】1、如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE.解析：如圖，在EA上取點F,使EF=BE,連接CF,∵CE⊥AB，∴CF=CB，∠CFB=∠B∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°，∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD，即∠DAC=∠FAC在△ACD和△ACF中，SKIPIF1<0，∴ACD≌△ACF（AAS），∴AD=AF，∴AE=AF+EF=AD+BE2、如圖，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求證：AB=AC+CD解析：在AB上取一點E,使AE=AC,連接DE,∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD，∴△ACD≌△AED，∴CD=DE,∠C=∠3∵∠C=2∠B，∴∠3=2∠B=∠4+∠B，∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD3、如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求證：AD平分∠CDE.解析：延長CB至點F,使BF=DE,連接BF=DE,連接AF,AC∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°，∴∠2=∠E∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE∴△ABF≌△AED∠F=∠4，AF=AD∵BC+BF=CD，即FC=CD又∵AC=AC∴△ACF≌△ACD∴∠F=∠3∵∠F=∠4∴∠3=∠4∴AD平分∠CDE.

4、已知四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如圖2，點P,Q分別在線段AD,DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：∠PBQ=90°-12∠ADC解析：如圖2，延長DC，在上面找一點K，使得CK=AP，連接BK,∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°∵∠BCD+∠BCK=180°，∴∠BAD=∠BCK在△BAP和△BKC中，SKIPIF1<0，∴△BPA≌△BKC（SAS），∴∠ABP=∠CBK,BP=BK∵PQ=AP+CQ，∴PQ=QK∵在△BPQ和△BKQ中，SKIPIF1<0，∴△BPQ≌△BKQ(SSS)，∴∠PBQ=∠KBQ∴∠PBQ=12∠∵∠ABC+∠ADC=180°∴∠ABC=180°-∠ADC∴12∠ABC=90°-12∴∠PBQ=90°-12∠

5、如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點O，求證：AE+CE=AC.解析：由題意可得∠AOC=120°∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°在AC上截取AF=AE，連接OF，如圖在△AOE和△AOF中，SKIPIF1<0，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE=∠AOF，∴∠AOF=60°∴∠COF=∠AOC-∠AOF=60°又∠COD=60°，∴∠COD=∠COF同理可得：△COD≌△COF（ASA）∴CD=CF又∵AF=AE∴AC=AF+CF=AE+CD即AE+CD=AC

6、如圖所示，AB∥CD,BE,CE分別是∠ABC,∠BCD的平分線，點E在AD上，求證：BC=AB+CD.解析：在BC上取點F，使BF=AB∵BE,CE分別是∠ABC,∠BCD的平分線∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE∵AB∥CD∴∠A+∠D=180°在△ABE和△FBE中，SKIPIF1<0，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠BFE∴∠BFE+∠D=180°∵∠BFE+∠EFC=180°∴∠EFC=∠D在△EFC和△EDC中，SKIPIF1<0，∴△EFC≌△EDC（AAS），∴CF=CD∵BC=BF+CF∴BC=AB+CD

7、四邊形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC證明：∠BAD+∠BCD=180°DE=3,BE=6,求四邊形ABCD的面積.解析：（1）過點D作BA的垂線，得△DMA≌DEC（HL）∵∠ABC+∠MDE=180°，∠ADC=∠MDE，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°（2）S四邊形ABCD=2S△BED=188、已知：在△ABC中，AB=CD-BD,求證：∠B=2∠C.解析：在CD上取一點M使得DM=DB則CD-BD=CM=AB，∴∠AMD=∠B=2∠C

9、如圖，△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，且BD,CE交于點F，點G是線段CD上一點，連接AF，GF，若AF=GF,BD=CD.（1）求∠CAF的度數(shù)（2）判斷線段FG與BC的位置關(guān)系，并說明理由.解析：（1）延長AF與BC交于點M，可知AF⊥BC∵BD=DC，BD⊥DC，∴∠FBC=45°∵AF=FG，F(xiàn)D⊥AG，∴∠AFD=GFD=45°，∴AF⊥GF，∴∠CAF=45°（2）由（1）可證FG∥BC【鞏固提升】1．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于點O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．證明：在BC上截取BF＝BE，連接OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO，∴△EBO≌△FBO，∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－eq\f(1,2)∠ABC－eq\f(1,2)∠ACB＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB＝∠DOC＝60°，∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO，∴△DCO≌△FCO∴CD＝CF，∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD2．如圖，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中點．問：AD，BC，AB之間有何關(guān)系？并說明理由．解析：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，連接BE.∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴EF＝DE.∵DE＝CE，∴EC＝EF.∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．∴BF＝BC，同理可證：AF＝AD.∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC3．如圖，已知DE＝AE，點E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，請問線段AB，CD和線段BC有何大小關(guān)系？并說明理由．解析：線段AB，CD和線段BC的關(guān)系是：BC＝AB＋CD.理由：在△DCE中，∠EDC＋∠DEC＝90°，∵∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＝∠EDC，又∵ED＝AE，∠ABE＝∠ECD＝90°，∴△ABE≌△ECD(AAS)，∴AB＝EC，BE＝CD，∴BC＝BE＋EC＝CD＋AB.4．如圖，AB∥CD，BE，CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，點E在AD上．求證：BC＝AB＋CD.證明：在BC上取點F，使BF＝BA，連接EF，如圖，∵BE，CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠ABE＝∠FBE，∠ECF＝∠ECD.∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴∠A＝∠BFE，∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∴∠BFE＋∠D＝180°.∵∠BFE＋∠EFC＝180°，∴∠EFC＝∠D.∴△CDE≌△CFE(AAS)，∴CF＝CD.∵BC＝BF＋CF，∴BC＝AB＋CD.

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，求證：AB＝AC＋CD.證明：如圖，延長AC到E，使CE＝CD，連接DE.則∠E＝∠CDE＝45°，∴∠B＝∠E.∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2，在△ABD和△AED中，∠B＝∠E，∠2＝∠1，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(AAS)．∴AE＝AB.∵AE＝AC＋CE＝AC＋CD，∴AB＝AC＋CD.6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)求證：AC＝AE＋CD.(1)解析：∵∠ABC＝60°，AD，CE分別