中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)《幾何模型》專題17 費(fèi)馬點(diǎn)中的對稱模型與最值問題（教師版）

專題5費(fèi)馬點(diǎn)中的對稱模型與最值問題【專題說明】利用軸對稱的性質(zhì)，把三線段問題通過做對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題進(jìn)而解題?！纠}】1、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值．【分析】如圖，以AD為邊構(gòu)造等邊△ACD，連接BD，BD的長即為PA+PB+PC的最小值．至于點(diǎn)P的位置？這不重要！如何求BD？考慮到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，過點(diǎn)D作DH⊥BA交BA的延長線于H點(diǎn)，根據(jù)勾股定理，SKIPIF1<0即可得出結(jié)果．

2、如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為______．【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF過F作FH⊥BC交BC于H點(diǎn)，線段FH的長即為所求的最小值．

3、如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上運(yùn)動，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長的最小值為___________.【解析】如圖，作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．

4、如圖，點(diǎn)都在雙曲線上，點(diǎn)，分別是軸，軸上的動點(diǎn)，則四邊形周長的最小值為（）A． B． C． D．【解析】分別把點(diǎn)A（a，3）、B（b，1）代入雙曲線y=得：a=1，b=3，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）、B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P，B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，3），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），連結(jié)PQ分別交x軸、y軸于C點(diǎn)、D點(diǎn)，此時(shí)四邊形ABCD的周長最小，四邊形ABCD周長=DA+DC+CB+AB=DP+DC+CQ+AB=PQ+AB==4+2=6，故選B．5、如圖所示，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0周長的最小值．【解析】如圖，作P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交OA、OB于M、N，此時(shí)SKIPIF1<0周長最小，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0周長的最小值為8.6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上．（1）求直線AE的解析式；（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM+MN+NK的最小值；（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵y=x2﹣x﹣，∴y=（x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．當(dāng)x=4時(shí)，y=．∴E（4，）．設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：，解得：k=，b=．∴直線AE的解析式為y=x+．（2）設(shè)直線CE的解析式為y=mx﹣，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：4m﹣=，解得：m=．∴直線CE的解析式為y=x﹣．過點(diǎn)P作PF∥y軸，交CE與點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣），則點(diǎn)F（x，x﹣），則FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．∴△EPC的面積=×（x2+x）×4=﹣x2+x．∴當(dāng)x=2時(shí)，△EPC的面積最大．∴P（2，﹣）．如圖2所示：作點(diǎn)K關(guān)于CD和CP的對稱點(diǎn)G、H，連接G、H交CD和CP與N、M．∵K是CB的中點(diǎn)，∴k（，﹣）．∵點(diǎn)H與點(diǎn)K關(guān)于CP對稱，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，﹣）．∵點(diǎn)G與點(diǎn)K關(guān)于CD對稱，∴點(diǎn)G（0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．當(dāng)點(diǎn)O、N、M、H在條直線上時(shí)，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH==3．∴KM+MN+NK的最小值為3．（3）如圖3所示：∵y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F，∴點(diǎn)F（3，﹣）．∵點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，∴G（2，）．∴FG=．∴當(dāng)FG=FQ時(shí)，點(diǎn)Q（3，），Q′（3，）．當(dāng)GF=GQ時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)Q″關(guān)于y=對稱，∴點(diǎn)Q″（3，2）．當(dāng)QG=QF時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，a）．由兩點(diǎn)間的距離公式可知：a+=，解得：a=﹣．∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（3，﹣）．綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．7、已知，如圖，二次函數(shù)SKIPIF1<0圖象的頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)(SKIPIF1<0點(diǎn)在SKIPIF1<0點(diǎn)右側(cè))，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0對稱.(1)求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過點(diǎn)B作直線SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線SKIPIF1<0上的兩個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.【解析】(1)依題意,得ax2+2ax?3a=0(a≠0)，兩邊都除以a得x2+2x?3=0，解得x1=?3,x2=1，∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(?3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，答：A.

B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是(?3,0),(1,0).證明：∵直線l:y=SKIPIF1<0，當(dāng)x=?3時(shí),y=SKIPIF1<0，∴點(diǎn)A在直線l上．(2)∵點(diǎn)H、B關(guān)于過A點(diǎn)的直線l:y=SKIPIF1<0對稱，∴AH=AB=4，過頂點(diǎn)H作HC⊥AB交AB于C點(diǎn)，則AC=SKIPIF1<0，∴頂點(diǎn)HSKIPIF1<0，代入二次函數(shù)解析式,解得a=SKIPIF1<0，∴二次函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，答：二次函數(shù)解析式為SKIPIF1<0.(3)直線AH的解析式為SKIPIF1<0，直線BK的解析式為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即K(3,2SKIPIF1<0)，則BK=4，∵點(diǎn)H、B關(guān)于直線AK對稱,K(3,2SKIPIF1<0)，∴HN+M