考研數(shù)學(xué)二模擬396

考研數(shù)學(xué)二模擬396一、選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

若f(x)為定義在(0，+∞)上的正函數(shù)，在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞減，則有______A.f(a+b)＞f(a)+f(b)．B.f(a+b)＜f(a)+f(b)．C.f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減．D.f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增．正確答案：B[解析]在(0，+∞)上單調(diào)遞減，又f(x)，a，b均為正數(shù)，則

2.

若f(x)是實(shí)數(shù)集上二階可導(dǎo)的奇函數(shù)，在(-∞，0)內(nèi)f'(x)＞0，且f"(x)＜0，則在(0，+∞)內(nèi)必有______A.f'(x)＞0，f"(x)＞0．B.f'(x)＞0，f"(x)＜0．C.f'(x)＜0，f"(x)＞0．D.f'(x)＜0，f"(x)＞0．正確答案：A[解析]f(x)是奇函數(shù)，則f(0)=0，f'(x)是偶函數(shù)，f"(x)是奇函數(shù)．

所以，由在(-∞，0)內(nèi)f'(x)＞0，f"(x)＜0，得出在(0，+∞)內(nèi)

f'(x)=f'(-x)＞0，f"(x)=-f"(-x)＞0．

3.

函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，并滿足條件則______

A．

B．

C．A為正數(shù)．

D．可能存在，也可能不存在．正確答案：B[解析]由已知得

其中0＜ξ1，ξ2＜x．

類似地推導(dǎo)下去，可得

0≤f(x)≤xnf(ξn)，0＜ξ1，ξ2，…，ξn＜x，n=1，2，…．

由此可知，當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，f(x)≡0．由連續(xù)性可得

類似可推出，當(dāng)x∈[1，2)時(shí)，f(x)≡0，如此類推，可知當(dāng)x∈[0，+∞)時(shí)，f(x)≡0．

因此有

4.

設(shè)f(x)是奇函數(shù)，則f(x)在x=0處______A.不連續(xù)B.連續(xù)，左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)都不存在．C.連續(xù)，右導(dǎo)數(shù)存在，但左導(dǎo)數(shù)不存在．D.可導(dǎo)．正確答案：D[解析]令t=e1-cosx-1，當(dāng)x→0時(shí)，t→0+，f(0)=0．

因?yàn)樗?/p>

由于所以f(x)在x=0處右連續(xù)．

由于f(x)是奇函數(shù)，也有因此f(x)在x=0處連續(xù)．

又

所以f'(0)=2，f(x)在x=0處可導(dǎo)．

5.

f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，f"(x)＜0，則f(x)在(-∞，0)內(nèi)______A.單調(diào)增加且大于零．B.單調(diào)增加且小于零．C.單調(diào)減少且大于零．D.單調(diào)減少且小于零．正確答案：B[解析]由得f(0)=0，f'(0)=1．

因?yàn)閒"(x)＜0，所以f'(x)單調(diào)減少，在(-∞，0)內(nèi)f'(x)＞f'(0)=1＞0，故f(x)在(-∞，0)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)．

又f(0)=0，在(-∞，0)內(nèi)f(x)＜f(0)=0，故f(x)在(-∞，0)內(nèi)單調(diào)增加且小于零．

6.

設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，f(2)=2，則F'(2)等于______A.1．B.2．C.3．D.4．正確答案：C[解析]

7.

已知三階實(shí)矩陣A=(aij)3×3滿足條件：①|(zhì)A|=1，②a33=-1，③aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij為aij的代數(shù)余子式，則方程組的解是______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]思路一：|A|按第3行展開，利用a33=-1=A33，且|A|=1，得

則

因?yàn)閨A|=1，由得

其中

所以

思路二：因?yàn)閍ij=Aij，i，j=1，2，3，所以A*=AT，又|A|=1，可得

A-1=AT，AAT=E，

即A為三階正交矩陣，則方程的解為A-1的第三列，即A的第三行，即

因A為正交矩陣，則x是單位向量，已知a33=-1，則有a31=a32=0，故

8.

向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)，且可由向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs線性表出，則下列說法正確的是

______A.若向量組(Ⅱ)線性無(wú)關(guān)，則r=s．B.若向量組(Ⅱ)線性相關(guān)，則r≤s．C.不論怎樣，都有r＜s．D.不論怎樣，都有r≤s．正確答案：D[解析]向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs線性表示，則

r(α1，α2，…，αr)≤r(β1，β2，…，βs)≤s

因?yàn)橄蛄拷M(Ⅰ)線性無(wú)關(guān)，所以有r(α1，α2，…，αr)=r．故r≤s，與(Ⅱ)是否線性相關(guān)無(wú)關(guān)，故C不正確．

若向量組(Ⅱ)線性無(wú)關(guān)，則有r(α1，α2，…，αr)=r≤r(β1，β2，…，βs)=s，但不能推出r=s，所以A不對(duì)．

若向量組(Ⅱ)線性相關(guān)，則有r(α1，α2，…，αr)=r≤r(β1，β2，…，βs)＜s，從而r＜s，所以B不準(zhǔn)確．

綜上，正確答案為D．

二、填空題1.

若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且f(0)=f'(0)=1，則正確答案：-5[解析]

2.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z確定，則正確答案：1[解析]令F(x，y，z)=x+2y-3z-2sin(x+2y-3z)=0，則

3.

設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程確定，則y"|t=1=______．正確答案：[解析]由參數(shù)方程，得

4.

若y1=sinx，y2=1+sinx，y3=e2x+sinx是y"+α1(x)y'+α2(x)y=f(x)的三個(gè)解，則f(x)=______．正確答案：f(x)=-sinx-2cosx[解析]依題可知，齊次方程y"+α1(x)y'+α2(x)y=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解為

因此，該方程是二階線性常系數(shù)齊次方程，其特征值為λ1=0，λ2=2，具體方程為y"-2y'=0．

而y1=sinx是方程y"-2y'=f(x)的解．所以

f(x)=y"1-2y'1=-sinx-2cosx．

5.

正確答案：[解析]

6.

A，B均為3階矩陣，E是3階單位矩陣，已知2AB+A+4B=0，且求(A+2E)-1=______．正確答案：[解析]由2AB+A+4B=0，得

A(2B+E)+2(2B+E)=2E(A+2E)(2B+E)=2E，

則

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

正確答案：

2.

求微分方程xy"+y'=x2+1滿足條件的在(-∞，+∞)內(nèi)可微的解．正確答案：思路一：當(dāng)x≠0時(shí)，原方程化為由通解公式得

由題設(shè)知，其有可微解，必有C=0，所以

由于根據(jù)得

所以

思路二：

因解在(-∞，+∞)內(nèi)可微，上式令x=0，得則

3.

設(shè)函數(shù)f(x)=x4+x3-1．求f(x)全部零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并估計(jì)每個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間，使估計(jì)區(qū)間的長(zhǎng)度不超過0.5．正確答案：首先，因?yàn)閒(0)=-1＜0，所以在(-∞，0)和(0，+∞)內(nèi)至少各有一個(gè)零點(diǎn)．又f'(x)=4x3+3x2=x2(4x+3)，只有兩個(gè)駐點(diǎn)x1=0，且

x0(0，+∞)→+∞f'(x)負(fù)0正0正

f(x)↘↗f(0)＜0↗+∞

在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；在(0，+∞)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，共有兩個(gè)零點(diǎn)．

因?yàn)閒(-2)=7＞0，f(-1)=-1＜0，所以在區(qū)間中有一個(gè)根．又由f(1)=1＞0，f(0)=-1＜0，所以在區(qū)間中有另一個(gè)根．

4.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程x+y=z+ez確定，且求函數(shù)g(1，e)的值．正確答案：

由于x與y對(duì)稱，則有

所以

當(dāng)x=1，y=e時(shí)，由1+e=z+ez，確定z(1，e)=1．從而g(1，e)=-e．

5.

已知f(x)，g(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(a，b)滿足

正確答案：[證明]記則

F(a)=0，F(xiàn)'(x)=f(x)；G(b)=0，G'(x)=-g(x)．

作輔助函數(shù)：和Ψ(x)=F(x)·G(x)．則有

且Ψ(a)=Ψ(b)=0．

將羅爾定理用于函數(shù)Ψ(x)=F(x)·G(x)，從而Ψ'(ξ)=0．即

Φ(ξ)=F'(ξ)G(ξ)+G'(ξ)F(ξ)=0，

由此推出證畢．

6.

設(shè)f(t)，g(t)，y(t)均為區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，f(t)＞0，并且滿足

證明：在[a，b]上成立不等式正確答案：[證明]記則R(a)=0，只需證明

由已知條件可知R(t)為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，且R'(t)=f(t)y(t)．

由不等式得

即有微分不等式R'(t)-f(t)R(t)≤f(t)g(t)．

將上述不等式兩端同乘以得

因?yàn)閍＜t，對(duì)上述不等式兩端分別取[a，t]上的積分，注意到R(a)=0，則

將上述不等式兩端同除以得

因此

7.

設(shè)有直角三角形的閘板，兩直角邊和為l，將其豎直放入水中，使一條直角邊與水面重合，另一直角邊垂直向下，問兩直角邊成何比例時(shí)，三角形閘板承受水壓力最大?設(shè)水的密度為1，求出此最大壓力．正確答案：以垂直向下直角邊頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直向上方向?yàn)閥軸，xOy平面與三角板所在平面相平行建立坐標(biāo)系，如圖所示．

設(shè)水平直角邊與垂直向下直角邊的邊長(zhǎng)分別為a與ka，

則a+ka=l，斜邊所在直線方程為y=kx．

記P(k)為閘板承受的水壓力，橫向分割三角形域，

則有xdy表示面積微元，ka-y為水深，如此有微分關(guān)系

dP(k)=g(ka-y)xdy=gk2(ax-x2)dx，

于是

解得駐點(diǎn)k=2，且P'(k)在駐點(diǎn)兩側(cè)變號(hào)(先正后負(fù))，因此最大壓力為

8.

設(shè)線性非齊次方程組

問a，b為何值時(shí)，無(wú)解，唯一解，無(wú)窮多解，有解時(shí)求其全部解．正確答案：對(duì)增廣矩陣作初等行變換

當(dāng)a≠1，r(A)=r(Ab)=4，(*)有唯一解，其解為

x4=0，

故其解為

當(dāng)a=1、b≠-1時(shí)，r(A)=2≠r(Ab)=3，無(wú)解；

當(dāng)a=1、b=-1時(shí)，r(A)=2=r(Ab)，有無(wú)窮多解，

對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系：

取自由未知量x3=1，x4=0，代入方程得ξ1=(1，-2，1，0)T；

取x3=0，x4=1，代入方程得ξ2=(1，-2，0，1)T；

非齊次方程的特解：取x3=0，x4=0，解得x2=1，x1=-1，η=(-1，1，0，0)．

故通解為k1ξ1+k2ξ2+η．(k1，k2為任意常數(shù))

9.

設(shè)A是n階矩陣，α1，α2，α3是n維向量，且α1≠0，Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3，