初中數(shù)學(xué)向量的線性運算強化練習(xí)3

初中數(shù)學(xué)向量的線性運算強化練習(xí)3

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知萬是非零向量，b=-2a,下列說法中錯誤的是（）

A.5與M平行B.方與d互為相反向量

-_1

C.\h\=2\a\D.d=-3br

2.下列各量中是向量的是（）

A.時間B.速度C.面積D.長度

3.已知］為非零向量，a=2c,b=-3c,那么下列結(jié)論中，不正確的是（）

A.|a|=—|dB.a=-^bC.3a+2h=6D.a//b

4.在梯形ABCD中，AD1BC,AB=CD,那么下列結(jié)論中正確的是（）.

A.而與方C是相等向量；B.與g/5是相等向量；

C.而與是相反向量；D.而與%是平行向量.

5.如果點C是線段AB的中點，那么下列結(jié)論正確的是（）

UUI1LILIUULillIIIUI

A.AC+BC=OB.AC-BC=O

C.AC+BC=OD.AC-BC=O

6.設(shè)1為單位向量，忖=2,則下列各式中正確的是（）

A.a=2eB.H=eC.同=2付D.—a=±\

2

7.下列正確的有（）

□卜”卜

□UU小為單位向量，則匕I=-I忖—?.旬

「平面內(nèi)向量a、c，總存在實數(shù)加使得向量c-=,〃a

□若2=3+5，捻〃I，點〃2,則方、［就是￡在I、％方向上的分向量

A.0個B.1個C.2個D.3個

8.下列條件不能判定與平行的是（）

A.且［〃6B.a=2c,—b=cC.3a=—h,D.|a|=—1^|

二、填空題

9.如圖，已知平行四邊形ABCD,E是邊BC的中點，聯(lián)結(jié)DE并延長，與AB的延

長線交于點F.設(shè)方=￡,覺=5那么向量而用向量￡、加表示為.

D一「

R

ABF

1--

10.計算：-（a-2b）+2b=_____.

11.如圖，梯形ABCD中，ADDBC,AD=3,BC=i5.EF是中位線，設(shè)亞=￡,則

FE=______a.

AD

BC

12.如果向量"與單位向量工方向相反，且長度為2,那么向量"=____（用單位向量

工表示）.

13.如圖，已知點。是正六邊形/8CZJE尸的中心，t己而=元，OF=ii＜那么麗=

（用向量［表示）.

AF

CD

14.已知向量入」和最滿足關(guān)系式2￡+3（?）=6,那么用向量￡、B的線性組合表

示向量3=______.

在平行四邊形N8CD中，點〃是邊8中點，點N是邊8C的中點

AB=a,BC=b，那么而可用￡，B表示為_

L

A---------0

16.如圖，在AABC中，點D是邊BC的中點,設(shè)而=￡，AC^b，用￡、石的線

性組合表示而是

c

D

三、解答題

17.如圖，在AABC中，點。、E分別在邊48、AC上，且AQ=2,DB=4,

AE=3,EC=6,￡>E=3.2

（1）求BC的長

（2）聯(lián)結(jié),如果DE=a，BA=b.試用a、石表示向量CO.

18.如圖，在AA3C中，點G是AABC的重心，聯(lián)結(jié)AG,聯(lián)結(jié)8G并延長交邊AC于

點、D,過點G作GE//BC交邊AC于點E.

（1）如果荏=￡,AC=b<用人分表示向量南；

（2）當(dāng)AG_L8￡>,BG=6,NG4￡>=45。時，求AE的長.

19.如圖，點E、尸在平行四邊形ABC。的對角線2￡）上，且￡B=Z）F.

(1)填空：BC+BA=;BA+AF=;BC-AF=

（2）求作：BC+AF.

20.已知：如圖，平行四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD上的

點，且AE=CG,BF=DH.

（1）寫出與血相反的向量；

（2）寫出與所平行的向量；

（3）在圖中求作而-麗.（不要求寫出作法，只需寫出結(jié)論即可.）

21.如圖已知點M是DABC邊BC上一點，設(shè)而=6，AC=b

（1）當(dāng)=2時，AM=__________;（用a與6表示）

MC

（2）當(dāng)^^=m（m>0）時，AM=:（用客、6與m表示）

MC

22.如圖，四邊形力88是平行四邊形，點E是邊的中點NC、8E相交于點

O.設(shè)麗=￡,CB=b-

（1）試用￡、b表示BO;

（2）在圖中作出口在無、而上的分向量，并直接用￡、坂表示的.（不要求寫作

法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的有關(guān)定義和運算分別進行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：A.因為力=-25（/0）,則5與1平行，故此結(jié)論正確；

B.若兩個向量方向相反，大小相等，則為相反向量，故此結(jié)論錯誤；

C.因為力=-2』，則|5|=2團結(jié)論正確;

D.3=-2。兩邊同除以-2,則々=-35，故此結(jié)論正確.

故答案為：B.

【點睛】

本題考查了向量的相關(guān)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識及運算法則.

2.B

【解析】

【詳解】

根據(jù)向量的概念進行判斷即可.

解：既有大小，又有方向的量叫做向量；

時間、面積、長度只有大小沒有方向，因此不是向量.

而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量.

故選：B.

此題是個基礎(chǔ)題，本題的考點是向量的概念，純粹考查了定義的內(nèi)容.注意數(shù)學(xué)知識與實

際生活之間的聯(lián)系.

3.B

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】

解：a=2c,h=-3c,

答案第1頁，共14頁

一27

□a=—b,

3

Da//b，問=|W,3萬+2b=0,

DA,C,。正確，

故選：B.

【點睛】

本題考查了平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

4.D

【解析】

【分析】

根據(jù)相等向量、相反向量、平行向量的定義解答即可.

【詳解】

解：A、AB=CD,但AB不平行于CD,AB^DC，故本選項錯誤；

B、AD//BC,AB=CD,AC=BD,但AC不平行于BD,AC^BD，故本選項錯誤；

C、AD//BC,而與無不一定是相反向量，故本選項錯誤：

D、AD//BC,■萬與百是平行向量，故本選項正確.

故答案為：D.

【點睛】

本題考查了平面向量的相關(guān)知識，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定義是解答本題

的關(guān)鍵.

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)點C是線段AB的中點，可以判斷|不。=|阮但它們的方向相反，繼而即可得出答

案.

【詳解】

解：由題意，

□點C是線段AB的中點，

|AC|=|SC|

答案第2頁，共14頁

口近1與及為相反向量，

□AC+BC=O;

故選：C.

【點睛】

本題考查了平面向量的知識，注意向量包括長度及方向，及o與6的不同.

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)工為單位向量，可知忖=1,逐項進行比較即可解題.

【詳解】

解：□工為單位向量，

□忖=1,

A中忽視了向量的方向性，錯誤

B中忽視了向量的方向性，錯誤

C中，咽=2,忖=1,

同=2忖,正確,

D中忽視了向量的方向性，錯誤

故選C.

【點睛】

本題考查了向量的應(yīng)用，屬于簡單題，熟悉向量的概念是解題關(guān)鍵.

7.A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的有關(guān)知識，對選項逐個判斷即可.

【詳解】

解：|心卜|珅|,錯誤

%為單位向量，則以可倚或匹一忡%,錯誤，

口平面內(nèi)向量￡、入總存在實數(shù)"，使得向量2=，癡，只有￡、2共線時才成立，說法錯

答案第3頁，共14頁

誤，

口記、［也可能是2在I、Z反方向上的分向量，說法錯誤

故選A

【點睛】

此題考查了平面向量的基本知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的基本知識.

8.D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行向量的定義分析求解即可求得答案.

【詳解】

A、利5且3〃萬，因此日〃，故符合題意；

B、a=2c,-b=c,因此商||5,故符合題意；

C、3”-瓦因此口、5方向相反，但可防，故符合題意；

D、同=-問，沒法確定M5的方向，無法判定萬防，故不符合題意；

故選D.

【點睛】

本題考查平面向量的知識，掌握平行向量與向量的模的定義是關(guān)鍵.

9.a+2b

【解析】

【詳解】

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形DBFC是平行四邊形，則DC=BF,故

AF=2AB=2DC,結(jié)合三角形法則進行解答.

【詳解】如圖，連接BD,FC,

口四邊形ABCD是平行四邊形，

□DC1AB,DC=AB,

□□DCEOUFBE,

又E是邊BC的中點，

答案第4頁，共14頁

DEEC1

一---------，

EFBC1

□EC=BE,即點E是DF的中點，

□四邊形DBFC是平行四邊形，

□DC=BF,故AF=2AB=2DC,

0DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b，

故答案是：a+2b.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，向量運算等,

熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.—a+b

2

【解析】

【分析】

先去括號，然后合并同類項即可.

【詳解】

1--

解：-(a-2b)+2b

--a--^2b+2b

22

］一r

=-a+b

2

故答案為：

【點睛】

本題考查了向量的線性運算.解題的關(guān)鍵在于理解向量的數(shù)乘與加減運算.

11.--

3

【解析】

【分析】

根據(jù)梯形的中位線定理求出EF,再根據(jù)平行向量的倍數(shù)關(guān)系和方向即可解答.

答案第5頁，共14頁

【詳解】

□EF是梯形ABCD的中位線，

QEF=-(AD+BC)=4,

2

□AD和理是平行向量，并且方向相反,

又AD=a>AD=3

,4

故答案為：-

【點睛】

本題考查了梯形的中位線定理、平行向量，解答的關(guān)鍵是熟練掌握梯形的中位線定理，會

用非零平行向量中的一個向量表示另一個向量，要注意兩個向量的方向.

12.-2工

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的表示方法可直接進行解答.

【詳解】

解：口。的長度為2,向量e是單位向量，

口a=2e,

□。與單位向量e的方向相反，

□c=-2e.

故答案為-2e.

【點睛】

本題考查的是平面向量的知識，即長度不為o的向量叫做非零向量，向量包括長度及方

向，而長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方

向.

13.-7r-n

【解析】

【分析】

根據(jù)正六邊形性質(zhì)，得AOEF為等邊三角形，根據(jù)平行線性質(zhì)，得FE//OD；結(jié)合向量性

答案第6頁，共14頁

質(zhì)，得而=礪，再根據(jù)向量性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】

CD

□六邊形Z5CDM是正六邊形，

360°

□Z￡OD=ZEOF=---=60°,OE=OF=OD=OB

6

□FE=OE=OF=OD

□AOEF為等邊三角形

□NOEF=NEOF

□FEHOD

CFE=OD

\OE=OF+FE=rc+n

OB--OE=-7r-n

故答案為：—兀一n.

【點睛】

本題考查了正多邊形、等邊三角形、平行線、向量的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊

形、向量的性質(zhì)，從而完成求解.

2--

14.—a+b

3

【解析】

【分析】

利用一元一次方程的求解方法，去括號、移項、系數(shù)化1,即可求得答案.

【詳解】

解：：2a+30-x)=。，

，2a+3b-3x=0,

2a+3b=3x

答案第7頁，共14頁

?.?一x=—Na一+b.

3

2--

故答案為：+

【點睛】

此題考查了平面向量的知識.此題難度不大，注意掌握此向量方程的解法與一元一次方程

的解法一樣.

1-1-

15.—a——b

22

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線段的中點，可用Z表示出前，用B表示出麗，再根據(jù)

MN=MC+CN，即可用公和加表示出兩.

【詳解】

OBC=b>

UU1

□CB=-b.

□四邊形/8CD是平行四邊形，

OCD=AB=a>

□點M是邊8中點，點N是邊8c的中點，

DMC=-AB=-a,CN=-CB=--b,

2222

DMN=MC+CN=-a+(--b)=-a--b.

2222

1_1_

故答案為：-a--b.

22

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點和向量的線性運算.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答

本題的關(guān)鍵.

1-1-

16.—a+—b

22

【解析】

【分析】

先根據(jù)向量運算求出比，再根據(jù)線段中點的定義可得而，然后根據(jù)向量運算即可得.

【詳解】

答案第8頁，共14頁

vAB=a，AC=b，

BC=AC—AB=h—a>

?.?點D是邊BC的中點，

:.BD=-BC=-(b-a),

22

AD=AB+BD=a+-(jb-a)=—a+—b,

222

故答案為："1-+1-

【點睛】

本題考查了向量的運算，掌握向量的運算法則是解題關(guān)鍵.

17.(1)BC=9.6；(2)-3a+|〃.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)SAS判定~^ABC,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成立解題即可；

(2)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解題即可.

【詳解】

解：⑴-.-AD=2,DB=4,AE=3,EC=6,

AD21AE31

---=-=-,——=一

63AC93

?.,ZA=ZA

.'.^ADE~AABC

.DE-1

'~BC~3

??.BC=9.6；

(2)由(1)中,

—2—2-

BD=-BA=-b,

33

BE=3>DE=3a

________2

CD=CB+BD=-BC+BD=-3a+-b.

【點睛】

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、向量的線性運算等知識，是重要考點，難度較易，掌

握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

答案第9頁，共14頁

__21-L

18.(1)BG———a+—b；(2)AE=4-V2?

【解析】

【分析】

->i—>t2f

(1)由G是重心，可得AO=E〃，BG=[BD,因為訪=成+易)，可得

->->1->

BD=-a+-h,進而求出位;；

(2)根據(jù)G是重心，求出。G=3,因為n/G。是等腰直角三角形，勾股定理計算出

3五，由OC=3OE求出。E=應(yīng)，相加即可.

【詳解】

解：⑴BD=BA+AD,

□點G是史/BC的重心，

QAD=^AC,

AB=a'AC=h'

T1T

□AD=-a,

2

TT]7

□BD=—a+—b

2

T2f2f1T

口BG=-BD=-(—a+-b),

332

T2-1-

BG=——a+-b.

33

(2)DG是三角形的重心，

口BG=2GD,AD=DC,

□BG=6,

□GZ>3,

□AG±BD,NGAO=45",

□4G=GQ=3,

口)￡>=,32+32=30,

□GE//BC,

DEGD1

---=---——，

DCBD3

答案第10頁，共14頁

DDE=y/2,

[JAE=AD+DE=472

【點睛】

本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理；熟練掌握

三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，能夠熟練運用向量的運算、勾股定理解

題是關(guān)鍵.

19.；（2）見解析.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)平行四邊形法則，即可得出答案.

（2）利用平行四邊形法則來作合向量：品+而即可.

【詳解】

⑴BC+BA^BD,BA+AF=BF,BC-AF=BE,

⑵口配=而，

UBC+AF=AD+AF^

即是根據(jù)平行四邊形法則求作而和標的合向量.

【點睛】

本題考查了平面向量的知識，屬于基礎(chǔ)題，注意平面向量定義及平行四邊形法則的熟練掌

握.

20.（1）BA'CD;（2）G巨、麗、HE;（3）作圖見解析.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)相反的向量的定義即可判斷；

（2）根據(jù)的平行的向量的定義即可判斷；

答案第11頁，共14頁

（3）利用三角形法則，而即為所求.

【詳解】

解：（1）口四邊形ABCD為平行四邊形

□ABCCD,AD1BC

口與圓相反的向量為瓦1、CD;

(2)DAE=CG,BF=DH,AEDCG,BFDDH,

AD—DH=BC—BF,EA=CG

□AH=FC

□AH=FC

□FG=FC+CG=AH+EA=EH

口與后平行的向量有而、而、HE;

（3）連接HF,圖中向量而即為所求.

本題考查平面向量、三角形法則等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用三角形法則解決問題，屬

于中考基礎(chǔ)題.

1-2-/、1-mr3

21.(1)—anb；(2)——a+——b；(3)

33m+1m+14

【解析】

【分析】

（1）由電=晨AC=b，根據(jù)三角形法則即可求得而，又由器=2,即可求得兩的

值，繼而求得答案；

（2）由點=鼠AC=b.根據(jù)三角形法則即可求得配，又由器=m,即可求得兩的

值，繼而求得答案；

14

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可得一三=三，繼而求得m的值.

【詳解】

答案第12頁，共14頁

解：（1）AB=a，AC=6,

BC=AC~AB=b-a，

___2—一、2￡?2-

BM=~BC=~（b-a）=-b--a,

。。JJ

______2-2_1-2?

AM=AB+BM=a+（”一鏟）="a+~b

（2）□□AB=a，AC=b，

BC=AC~AB=b~a，

□BM

MC