專題3.25 用勾股定理求最值常用方法專題（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題3.25用勾股定理求最值常用方法專題（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）【方法一】利用幾何性質(zhì)解決問題【知識點(diǎn)1】點(diǎn)和線之間，垂線段最短【知識點(diǎn)2】兩點(diǎn)之間，線段最短（將軍飲馬問題）【知識點(diǎn)3】利用“畫圓”來確定動點(diǎn)問題解決最值問題運(yùn)用畫圓解決問題有兩種類型：類型（1）：動點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離是定值（圓上的點(diǎn)到圓心的距離恒等于半徑），類型(2)：動點(diǎn)為90°固定角的頂點(diǎn)（直徑所對的圓周角恒定為90°）【方法二】利用代數(shù)方法解決問題【知識點(diǎn)1】利用配方法求三次二項(xiàng)式的最值【知識點(diǎn)2】運(yùn)用二次函數(shù)中頂點(diǎn)求最值（以后學(xué)習(xí)）代數(shù)方法較為常見，所以我們本專題不涉及.接下來，我們來簡單看一下每個幾何知識點(diǎn)對應(yīng)的問題【考點(diǎn)一】勾股定理??垂線段最短求最值【例1】中，，，，，為的中點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，過作于，過作于．則的最大值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進(jìn)行計(jì)算即可．解：如圖，過點(diǎn)C作CK⊥l于點(diǎn)K，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，AH=，∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴BD=CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF=CK，延長AE，過點(diǎn)C作CN⊥AE于點(diǎn)N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當(dāng)直線l⊥AC時(shí)，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及勾股定理，垂線段最短，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，中，，，，點(diǎn)P是邊上一動點(diǎn)，則線段長度的最小值為（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得出，當(dāng)時(shí)，的值最小，利用面積法求解即可．解：在中，，，，∴，∵當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)：的面積為：，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高．【變式2】如圖，在長方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一個動點(diǎn)，則AP＋BP＋CP的最小值是（）A．14 B．14.8 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可求出AC，由題意可知當(dāng)BP取最小值時(shí)，AP＋BP＋CP的值最小，而當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP取最小值，故利用面積法求出BP的最小值即可.解：∵在長方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BC＝8，∴AC＝，∴AP＋CP＝AC＝10，∴當(dāng)BP取最小值時(shí)，AP＋BP＋CP的值最小，而當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP取最小值，故此時(shí)S△ABC＝，∴，即BP的最小值為4.8，∴AP＋BP＋CP的最小值是10+4.8＝14.8，故選B.【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，分析得出當(dāng)BP⊥AC時(shí)BP取最小值是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)二】勾股定理??兩點(diǎn)之間線段最短求最值??將軍飲馬問題【例2】已知如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】要使DN+MN最小，首先應(yīng)分析點(diǎn)N的位置．根據(jù)正方形的性質(zhì)：正方形的對角線互相垂直平分．知點(diǎn)D的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B，連接MB交AC于點(diǎn)N，此時(shí)DN+MN最小值即是BM的長．解：根據(jù)題意，連接BD、BM，則BM就是所求DN+MN的最小值，在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6根據(jù)勾股定理得：BM＝＝10，即DN+MN的最小值是10；故選B．【點(diǎn)撥】此題的難點(diǎn)在于確定滿足條件的點(diǎn)N的位置：利用軸對稱的方法．然后熟練運(yùn)用勾股定理．【舉一反三】【變式1】如如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，M是邊BC上的一個動點(diǎn)，N是邊CD上的一個動點(diǎn)，則AM＋MN＋EN的最小值是______．【答案】10【分析】作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A1，連接A1M，作E點(diǎn)關(guān)于DC的對稱點(diǎn)E1，連接E1N，因此，所以最小值為，用勾股定理算出即可．解：如圖，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A1，連接A1M，作E點(diǎn)關(guān)于DC的對稱點(diǎn)E1，連接E1N，∵∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)A和點(diǎn)A1關(guān)于BC對稱，點(diǎn)E和點(diǎn)E1關(guān)于DC對稱，∴，，∴，∴AM＋MN＋EN的最小值是，∵AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，∴，，∴，，∵∠BAD＝90°，∴，故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查了線段和的最值問題，勾股定理、軸對稱性質(zhì)，作出輔助線是本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】如下圖，首先確定DC＇＝DE＋EC＇＝DE＋CE的值最小，由已知條件得出BD和BC＇的長度，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算得出DC＇，即為DE＋CE的值最小值．解：如圖，過點(diǎn)C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′＝OC，連接DC＇，交AB于E，此時(shí)DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，連接BC′．在中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°．由對稱性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．∴∠CBC＇＝90°．∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，∴BC＇＝BC＝2．∵D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD＝1．根據(jù)勾股定理可得：DC＇＝＝．故EC＋ED的最小值是．故答案為：D．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，確定動點(diǎn)E何位置，使EC＋ED的值最小是關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】勾股定理??兩點(diǎn)之間線段最短求最值??長方體展開最值問題【例3】如圖，是一塊長、寬、高分別是、和的長方體木塊，一只螞蟻要從頂點(diǎn)出發(fā)，沿長方體的表面爬到和相對的頂點(diǎn)處吃食物，則它需要爬行的最短路線長是（）．

A． B．6 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)長方體的側(cè)面展開計(jì)算：沿前表面和上表面所構(gòu)成矩形的對角線爬行距離，沿前表面和右表面所構(gòu)成矩形的對角線爬行距離，沿左表面和上表面所構(gòu)成矩形的對角線爬行距離，沿左表面和后表面所構(gòu)成矩形的對角線爬行距離，再比較大小即可；解：如圖1，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)前表面和上表面所構(gòu)成矩形的對角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，如圖2，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)前表面和右表面所構(gòu)成矩形的對角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，如圖3，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)左表面和上表面所構(gòu)成矩形的對角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，如圖4，當(dāng)螞蟻由點(diǎn)經(jīng)左表面和后表面所構(gòu)成矩形的對角線到達(dá)點(diǎn)時(shí)，

由勾股定理可得，∵，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了長方體的側(cè)面展開，兩點(diǎn)間的最短距離，勾股定理；根據(jù)長方體的側(cè)面展開分類討論是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，長方體的長、寬、高分別為．如果一只小蟲從點(diǎn)開始爬行，經(jīng)過兩個側(cè)面爬行到另一條側(cè)棱的中點(diǎn)處，那么這只小蟲所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)題意把圖形展開，連接，得出的長就是從處爬到處的最短路程，分為三種情況展開，根據(jù)勾股定理求出的長，再比較即可.解：如圖將正面與右面展開在同一平面，連接，

由勾股定理得：，如圖將下底面與后面展開在同一平面，連接，

由勾股定理得：，如圖將下底面與右面展開在同一平面，連接，

由勾股定理得：，∴從處爬到處的最短路程是，故選：．【點(diǎn)撥】此題考查了立方體側(cè)面展開圖最短路徑問題，解題關(guān)鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意要進(jìn)行分類討論．【變式2】已知長方體的長、寬、高分別為，，，一只螞蟻沿著長方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則需要爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將長方體按不同方式展開，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出長即可得到答案．解：如圖1所示將長方體展開，則；如圖2所示將長方體展開，則；如圖3所示將長方體展開，則；∵，∴螞蟻爬行的最短路徑長為，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了平面展開???最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是將圖形展開，轉(zhuǎn)化為直角三角形利用勾股定理解答．【考點(diǎn)四】勾股定理??兩點(diǎn)之間線段最短求最值??圓柱體展開最值問題【例4】如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲為直，利用勾股定理解決．解：把玻璃杯的側(cè)面展開，如圖，把點(diǎn)A向上平移6cm到點(diǎn)C，連接，過點(diǎn)B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為．故選：B【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意把圓柱展開，化曲為直是解決問題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，以及螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到的距離，再進(jìn)行比較即可．解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過的路徑的長是，螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到，爬過的路徑的長是．，最短路徑的長是．故選A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了長方體展開圖的對角線長度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯題型，希望能引起同學(xué)們的注意．【變式2】如圖，一個圓柱形食品盒，它的高為，底面圓的周長為(1)點(diǎn)A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對側(cè)中點(diǎn)B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是______；(2)將左圖改為一個無蓋的圓柱形食品盒，點(diǎn)C距離下底面，此時(shí)螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對側(cè)中點(diǎn)B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是___．【答案】【分析】（1）把圓柱側(cè)面展開，在中，利用勾股定理求解即可．（2）將圓柱側(cè)面展開，得到矩形，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，構(gòu)造，根據(jù)勾股定理求出即可解決問題．解：(1)如圖，把圓柱側(cè)面展開，在中，∵，∴，故答案為：．(2)如圖所示，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，可得，，則最短路程為故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理求線段最短距離，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】勾股定理??兩點(diǎn)之間線段最短求最值??圓柱體表面纏中的最值問題【例5】如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長度最短為___________cm．【答案】15【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動最短路線是：；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運(yùn)動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：；又∵圓柱高為，∴小長方形的一條邊長是；根據(jù)勾股定理求得；∴；故答案為：15．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平面展開--路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．【舉一反三】【變式1】．如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)．且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，則棉線最短為_____cm．【答案】30【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動最短路線是：→→；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運(yùn)動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為cm，∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：（cm）；又∵圓柱高為18cm，∴小長方形的一條邊長是（cm）；根據(jù)勾股定理求得（cm）；∴cm；故答案為：30．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開﹣﹣路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．【變式2】我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)處纏繞而上．(1)若繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．(2)若繞周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．【答案】(1)25；(2)【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，在Rt中，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）在Rt中根據(jù)勾股定理求解即可．（1）解：如圖所示，在Rt中，，，（尺）答：葛藤長為25尺．故答案為：25；（2）解：在Rt中，，，（尺），答：葛藤長為尺．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是平面展開—最短路徑問題，能夠根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六】勾股定理??兩點(diǎn)之間線段最短求最值??毛毯中的最值問題【例6】如圖是樓梯的示意圖，樓梯的寬為5米，米，米，若在樓梯上鋪設(shè)防滑材料，則所需防滑材料的面積至少為（

）A．65 B．85 C．90 D．150【答案】B【分析】勾股定理求出，平移的性質(zhì)推出防滑毯的長為，利用面積公式進(jìn)行求解即可．解：由圖可知：，∵米，米，∴米，由平移的性質(zhì)可得：水平的防滑毯的長度（米），鉛直的防滑毯的長度（米），∴至少需防滑毯的長為：（米），∵防滑毯寬為5米∴至少需防滑毯的面積為：（平方米）．故選：．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理．解題的關(guān)鍵是利用平移，將防滑毯的長轉(zhuǎn)化為兩條直角邊的邊長之和．【舉一反三】【變式1】如圖所示是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別等于7cm、6cm、2cm，A和B是這兩個臺階的兩個相對的端點(diǎn)，則一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)過臺階爬到點(diǎn)B的最短路線有多長？【答案】25cm【分析】展開后得到直角三角形ACB，根據(jù)題意求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出AB即可．解：如圖，將臺階展開，由題意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，即AB＝25（cm），答：螞蟻爬行的最短線路為25cm．【點(diǎn)撥】本題主要考查對勾股定理，平面展開——最短路徑問題等知識點(diǎn)的理解和掌握，能理解題意知道是求出直角三角形ABC的斜邊AB的長是解此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在一個長AB為18m，寬AD為7m的長方形草坪ABCD上，放著一根長方體的木塊，已知木塊的較長邊與AD平行，橫截是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是

________米．【答案】【分析】解答此題要將木塊表面展開，再構(gòu)建直角三角形，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再利用勾股定理進(jìn)行解答．解：如圖，由題意可知，將木塊展開，展開圖的長相當(dāng)于是AB+2個正方形的寬，∴長為18+2×2=22米；寬為7米．于是最短路徑為：（米）．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平面展開-最短路徑問題，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，有一定的難度，要注意培養(yǎng)空間想象能力．【考點(diǎn)七】勾股定理??兩點(diǎn)之間線段最短求最值??長方體內(nèi)筷子最值問題【例7】如圖，在長方體盒子中，已知，長為的細(xì)直木棒恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面接觸，當(dāng)木棒的端點(diǎn)I在長方形內(nèi)及邊界運(yùn)動時(shí)，長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)最大時(shí)，最小，當(dāng)I運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，最大，根據(jù)勾股定理求解即可．解：當(dāng)最大時(shí)，最小，當(dāng)I運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，最大，此時(shí)，而，∴，∴長度的最小值為．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出的最大值是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖長方體木箱的長，寬，高分別為，則能放進(jìn)木箱中的直木棒最長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用勾股定理計(jì)算出的長，再利用勾股定理計(jì)算出的長即可．解：如圖，∵側(cè)面對角線，∴，∵，∴，∴空木箱能放的最大長度為．故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．【變式2】將一根長為的細(xì)木棒放進(jìn)