專題03 實數(shù)（知識串講+熱考題型+真題訓練）（解析版）

專題03實數(shù)【考點1：平方根的】【考點2：利用開平方解方程】【考點3：算術(shù)平方根的概念及應用】【考點4：算術(shù)平方根的非負性】【考點5：立方根的概念及性質(zhì)】【考點6：開方運算中小數(shù)點移動規(guī)律】【考點7：平方根與立方根的綜合】【考點8：立方根的應用】【考點9：無理數(shù)的概念】【考點10：實數(shù)的分類和性質(zhì)】【考點11：實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】【考點12：估算無理數(shù)范圍】【考點13：無理數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分問題】【考點14：實數(shù)大小比較】【考點15：實數(shù)的運算】知識點1：平方根1.算術(shù)平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).注意：當式子有意義時，一定表示一個非負數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達為，其中是的算術(shù)平方根.知識點2：平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．注意：（1）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術(shù)平方根；負數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.知識點3：平方根的性質(zhì)知識點4：平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應地向右或者向左移動1位.例如：，，，.知識點5：立方根的定義1.定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.注意：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運算.2.立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).知識點6：立方根的性質(zhì)注意：第一個公式可以將求負數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.知識點7：立方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應地向右或者向左移動1位.例如，，，，.知識點8：無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).注意：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.知識點9：實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.知識點10：實數(shù)運算1．注意：有理數(shù)關(guān)于絕對值、相反數(shù)的意義同樣適用于實數(shù)。2．運算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的?！究键c1：平方根的】1．9的平方根是（）A．±3 B．± C．±9 D．3【答案】A【解答】解：9的平方根是：±＝±3．故選：A．2．一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a﹣3和5﹣a，則這個數(shù)是（）A．49 B．25 C．16 D．7【答案】A【解答】解：由題意得，2a﹣3+5﹣a＝0，解得a＝﹣2，∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴（±7）2＝49，即這個數(shù)是49，故選：A．3．的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【答案】C【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故選：C．4．若a2＝9，b3＝﹣8，且ab＞0，則a﹣b的值為（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1或5【答案】A【解答】解：∵a2＝9，b3＝﹣8，∴a＝±3，b＝﹣2，∵ab＞0，∴a＝﹣3∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．即a﹣b的值為﹣1．故選：A．【考點2：利用開平方解方程】5．求下列各式中x的值．（1）x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝64．【答案】（1）x＝±5；（2）x＝9或x＝﹣7．【解答】解：（1）移項，得x2＝25，開平方，得x＝±5；（2）開平方，得x﹣1＝±8，解得x＝9或x＝﹣7．6．解方程：（1）25x2﹣49＝0；（2）2（x+1）2﹣49＝1．【答案】（1）；（2）x1＝4，x2＝﹣6．【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，化為：，∴x＝±，∴；（2）2（x+1）2﹣49＝1，化為：（x+1）2＝25，∴x+1＝±5，∴x1＝4，x2＝﹣6．【考點3：算術(shù)平方根的概念及應用】7．4的算術(shù)平方根是（）±2 B．﹣2 C．2 D．【答案】C【解答】解：4的算術(shù)平方根是：，故選：C．8．整數(shù)100的算術(shù)平方根是（）A．10 B．±10 C．100 D．±100【答案】A【解答】解：100的算術(shù)平方根為10，故選：A．【考點4：算術(shù)平方根的非負性】9．若，則a+b的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【答案】C【解答】解：∵，|a+3|≥0，，∴a+3＝0，2﹣b＝0，解得a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣3+2＝﹣1．故選：C．10．若，則yx的值為（）A．﹣6 B．﹣8 C． D．【答案】B【解答】解：∵，∴y+2＝0，x﹣3＝0，解得：y＝﹣2，x＝3，∴yx＝（﹣2）3＝﹣8，故選：B．11．若，則（a+b）2023＝﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵，∴a+3＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣1，∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1，故答案為：﹣1．【考點5：立方根的概念及性質(zhì)】12．實數(shù)﹣27的立方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣9【答案】B【解答】解：實數(shù)﹣27的立方根是﹣3，故選：B．13．若一個數(shù)的立方根等于﹣2，則這個數(shù)等于（）A．4 B．8 C．±8 D．﹣8【答案】D【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2，故選：D．14．若，則的值為（）A．﹣5 B．15 C．25 D．5【答案】A【解答】解：由題意得，x﹣5＝0，y+25＝0，解得x＝5，y＝﹣25，∴＝＝＝﹣5，故選：A．【考點6：開方運算中小數(shù)點移動規(guī)律】15．已知≈0.7937，≈1.7100，那么下列各式正確的是（）A．≈17.100 B．≈7.937 C．≈171.00 D．≈79.37【答案】B【解答】解：∵；故選：B．16．如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333【答案】C【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故選：C．17．已知，，那么約等于（）A．13.11 B．0.1311 C．41.47 D．0.4147【答案】A【解答】解：∵，∴，故選：A．【考點7：平方根與立方根的綜合】18．已知實數(shù)a+9的一個平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2．（1）求a、b的值．（2）求2a+b的算術(shù)平方根．【答案】（1）a＝16，b＝4；（2）6．【解答】解：（1）∵實數(shù)a+9的一個平方根是﹣5，∴a+9＝（﹣5）2＝25，解得a＝16，∵2b﹣a的立方根是﹣2，∴2b﹣a＝（﹣2）3＝﹣8，即2b﹣16＝﹣8，解得b＝4，∴a＝16，b＝4；（2）解：，即2a+b的算術(shù)平方根是6．19．已知7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．（1）求a，b的值．（2）求﹣8a+3b+3的平方根．【答案】（1）a＝﹣，b＝7；（2）±5．【解答】解：（1）∵7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．∴7a+1＝；8a+b﹣2＝4，解得；（2）當，b＝7時，﹣8a+3b+3＝﹣8×（﹣）+3×7+3＝25．則25的平方根是±5．∴﹣8a+3b+3的平方根是±5．【考點8：算術(shù)平方根和立方根的應用】20．一個立方體的體積為64，則這個立方體的棱長的算術(shù)平方根為（）A．±4 B．4 C．±2 D．2【答案】D【解答】解：棱長＝＝4，4的算術(shù)平方根為2．故選：D．21．某商店出售一種體積為36πcm3的小球，已知球的體積公式為（r為球的半徑），則這種小球的半徑為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解答】解：當V＝36π時，π，解得r＝3，故選：C．22．已知一個正方體的體積是1000cm3，現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去8個大小相同的小正方體，使截去后余下的體積是488cm3，問截得的每個小正方體的棱長是多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設截得的每個小正方體的棱長xcm，依題意得1000﹣8x3＝488，∴8x3＝512，∴x＝4，答：截得的每個小正方體的棱長是4cm．23．某小區(qū)有一塊面積為196m2的正方形空地，開發(fā)商計劃在此空地上建一個面積為100m2的長方形花壇，使長方形的長是寬的2倍．請你通過計算說明開發(fā)商能否實現(xiàn)這個愿望？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈7.070）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：長方形花壇的寬為xm，長為2xm．2x?x＝100，∴x2＝50，∵x＞0，∴x＝，2x＝2，∵正方形的面積＝196m2，∴正方形的邊長為14m，∵2＞14，∴當長方形的邊與正方形的邊平行時，開發(fā)商不能實現(xiàn)這個愿望．長方形花壇如圖放置，設寬為2xm，長為4xm．∵正方形ABCD的面積為196m2，∴AB＝14（m），AC＝14（m），由題意2x+4x＝14，∴x＝，∴長方形EFGH的面積＝8x2≈87.1＜100，∴開發(fā)商不能實現(xiàn)這個愿望．綜上所述，開發(fā)商不能實現(xiàn)這個愿望．24．有一張面積為81cm2的正方形卡片．（1）該正方形賀卡的邊長為9cm；（2）現(xiàn)有一個面積為96cm2的長方形卡袋，長寬之比為4：3，能否將這張卡片不折疊且全部放入此卡袋？請判斷并說明理由．【答案】（1）9；（2）不能，見解析，【解答】解：（1）設正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意，得x2＝81，解得x＝9，x＝﹣9（舍去），故正方形的邊長為9cm，故答案為：9．（2）不能將這張卡片不折疊且全部放入此卡袋．理由如下：∵面積為96cm2的長方形卡袋，長寬之比為4：3，∴設長為4xcm，寬為3xcm，∴4x×3x＝12x2＝96，解得x＝2，x＝﹣2（舍去），故長方形的寬為，∵，故不能將這張卡片不折疊且全部放入此卡袋．【考點9：無理數(shù)的概念】25．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B．3.14 C． D．0【答案】C【解答】解：A：是分數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；B：3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；C：π是無理數(shù)，故是無理數(shù)，符合題意；D：0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；故選：C．26．在，﹣3.14，0，，﹣32，，﹣1.121121112…（每兩個2之間依次多一個1）中，無理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：0，﹣3.14，，﹣32，是有理數(shù)；，﹣1.121121112…（每兩個2之間依次多一個1）是無理數(shù)，∴無理數(shù)有2個，故選：B．【考點10：實數(shù)的分類和性質(zhì)】27．下面4個數(shù)：，其中是有理數(shù)的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：，∴有理數(shù)有，共3個，故選：C．28．下列說法正確的有（）（1）帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；（2）立方根等于本身的數(shù)是0和1；（3）﹣a一定沒有平方根；（4）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的；（5）兩個無理數(shù)的差還是無理數(shù)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解答】解：（1）無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)，故（1）不符合題意；（2）立方根等于本身的數(shù)是0和1、﹣1故（2）不符合題意；（3）﹣a可能有平方根，故（3）不符合題意；（4）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，故（4）符合題意；（5）兩個無理數(shù)的差可能是無理數(shù)、可能是有理數(shù)，故（5）不符合題意；故選：A．29．計算：|3.14﹣π|＝π﹣3.14．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：|3.14﹣π|＝π﹣3.14，故答案為：π﹣3.14．30．計算：|3﹣|﹣|﹣2|＝1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝3﹣+（﹣2）＝1故答案為：131．的相反數(shù)是2﹣．【答案】2﹣．【解答】解：的相反數(shù)是：2﹣，故答案為：2﹣．【考點11：實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系】32．如圖，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為（）A．2.2 B．2.3 C． D．【答案】D【解答】解：OA2＝12+22＝5，OA＝﹣（舍去），OA＝．選項D符合題意，故選：D．33．為了證明數(shù)軸上的點可以表示無理數(shù)，老師給學生設計了如下材料：如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上一點由原點（記為點0）到達點A，點A對應的數(shù)是（）A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.14【答案】A【解答】解：∵直徑為1個單位長度的圓的周長為，∴點A對應的數(shù)是π，故選：A．34．如圖，在數(shù)軸上點B表示的數(shù)為1，在點B的右側(cè)作一個邊長為1的正方形BACD，將對角線BC繞點B逆時針轉(zhuǎn)動，使對角線的另一端落在數(shù)軸負半軸的點M處，則點M表示的數(shù)是1﹣．【答案】1﹣．【解答】解：根據(jù)題意得：BC＝，OB＝1，∴BM＝BC＝，OM＝MB﹣OB＝﹣1，∵M點在原點O的左側(cè)，∴點M表示的數(shù)是﹣（﹣1）＝1﹣，故答案為：1﹣．35．已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點如圖，化簡|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝c．【答案】c．【解答】解：由圖可知，a＜0，a＜b＜0＜c，且|a|＞|b|，所以，a+b＜0，c﹣b＞0，所以|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝﹣a+a+b+c﹣b＝c，故答案為：c36．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|a+3b|+|a﹣b|的結(jié)果為4b．【答案】4b．【解答】解：由題意得，a＜0＜b，且|a|＜|b|，∴a﹣b＜0，|a|＜|3b|，∴a+3b＞0，∴|a+3b|+|a﹣b|＝a+3b+b﹣a＝4b，故答案為：4b．【考點12：估算無理數(shù)范圍】37．估計3的值在（）A．3到4之間 B．4到5之間 C．5到6之間 D．6到7之間【答案】B【解答】解：∵3＝，＜＜，∴4＜＜5，即3的值在4到5之間，故選：B．38．若a＜＜b，其中a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，則ba的值為（）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【解答】解：∵4＜8＜9，∴，又∵，其中a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，∴a＝2，b＝3，∴ba＝32＝9．故選：C．39．估算的范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵25＜29＜36，∴5＜＜6，∴4＜﹣1＜5，故選：B．40．若，其中a是正整數(shù)，則a是（）A．1 B．1和2 C．2 D．2和3【答案】C【解答】解：∵4＜5＜9，∴，∴，∵，∴1＜a＜3，∵a是正整數(shù)，則a是2，故選：C．【考點14：無理數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分問題】41．如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，則a+b﹣＝2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵1＜＜2，3＜＜4，∴a＝﹣1，b＝3，∴a+b﹣＝﹣1+3﹣＝2．故答案為：2．42．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則2a﹣b＝24﹣．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵8＜＜9，∴a＝8，b＝﹣8，∴2a﹣b＝2×8﹣（﹣8）＝24﹣．故答案為：24﹣．【考點14：實數(shù)大小比較】43．比較大?。海迹敬鸢浮恳娫囶}解答內(nèi)容【解答】解：，，∵，，又∵，∴，∴，故答案為：＜．44．比較大小：（1）＞4；（2）＞1．【答案】（1）＞；（2）＞．【解答】解：（1）∵，17＞16，∴；（2）∵，∴，故答案為：（1）＞；（2）＞．45．比較大小：＞．【答案】＞．【解答】解：∵，∴，∴．故答案為：＞．【考點15：實數(shù)運算】46．計算：．【答案】3﹣4．【解答】解：原式＝﹣2+﹣2+2＝3﹣4．47．計算：．【答案】1+．【解答】解：原式＝2﹣1+＝1+．48．計算：（1）﹣22+×（1﹣）2；（2）﹣|2﹣|﹣．【答案】（1）﹣3；（2）0．【解答】（1）解：原式＝﹣4+＝﹣4+＝﹣4+＝﹣3；（2）解：原式＝2﹣（2﹣）﹣＝2﹣2+＝0．49．計算：|﹣5|．【答案】12．【解答】解：原式＝5﹣3+4+6＝12．1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．16 D．±2【答案】D【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，故選：D．2．的相反數(shù)是（）A． B．﹣ C．﹣ D．【答案】B【解答】解：的相反數(shù)是﹣．故選：B．3．如圖，數(shù)軸上A，B兩點分別對應實數(shù)a，b，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)+b＞0 B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞0【答案】C【解答】解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故選項A錯誤；B、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴ab＜0，故選項B錯誤；C、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a﹣b＞0，故選項C正確；D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|a|﹣|b|＜0，故選項D錯誤．故選：C．4．估算﹣2的值（）A．在1到2之間 B．在2到3之間 C．在3到4之間 D．在4到5之間【答案】C【解答】解：∵5＜＜6，∴3＜﹣2＜4．故選：C．5．如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是（）A．點P B．點Q C．點M D．點N【答案】C【解答】解：∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴對應的點是M．故選：C．6．的平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±2【答案】D【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故選：D．7．數(shù)軸上表示1，的對應點分別為A，B，點B關(guān)于點A的對稱點為C，則點C所表示的數(shù)是（）A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣ D．﹣2【答案】C【解答】解：∵數(shù)軸上表示1，的對應點分別為A，B，∴AB＝﹣1，∵點B關(guān)于點A的對稱點為C，∴AC＝AB．∴點C的坐標為：1﹣（﹣1）＝2﹣．故選：C．8．下列各數(shù)中，3.14159，，0.131131113…（相鄰兩個3之間1的個數(shù)逐次加1個），﹣π，，，無理數(shù)的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：由定義可知無理數(shù)有：0.131131113…，﹣π，共兩個．故選：B．9．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，則a﹣b的值為（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12【答案】D【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以當a＝5時，b＝7時，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，當a＝﹣5時，b＝7時，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值為﹣2或﹣12．故選：D．10．比較大?。海迹ㄌ睢埃?、＜、或＝”）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵（）2＝12，（3）2＝18，而12＜18，∴2＜3．故答案為：＜．11．8的立方根是2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵23＝8，∴8的立方根為2，故答案為：2．12．已知a、b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且，則a+b＝11．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵，a、b為兩個連續(xù)的整數(shù)，∴＜＜，∴a＝5，b＝6，∴a+b＝11．故答案為：11．13．化簡：||＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵＜0∴||＝2﹣．故答案為：2﹣．14．若實數(shù)a、b滿足|a+2|，則＝1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：，則原式＝＝1．故答案為：1．15．已知一個正數(shù)的平方根是3x﹣2和5x+6，則這個數(shù)是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意可知：3x﹣2+5x+6＝0，解得x＝﹣，所以3x﹣2＝﹣，5x+6＝，∴（）2＝故答案為：．16．任何實數(shù)a，可用[a]表示不超